Raumdiagonale
Definition
Streckenlängen und Winkelweiten im Raum können berechnet werden, wenn die Strecke bzw. der Winkel zusammen mit anderen Strecken und Winkeln ein rechtwinkliges Dreieck bildet.
Für die Länge der Raumdiagonale in einem Quader mit den Kantenlängen 
und 
gilt: 
Für die Länge der Raumdiagonale in einem Würfel mit der Kantenlänge
und gilt:
gilt: 
1
Gegeben sind die Kantenlängen und eines Quaders. Berechne die Länge der Raumdiagonale 
. Runde auf zwei Dezimalstellen.
und eines Quaders. Berechne die Länge der Raumdiagonale . Runde auf zwei Dezimalstellen.
a)
b)
c)
d)
2
Gegeben ist ein Quader.
Berechne die Größe der markierten Winkel.
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1
a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
d&=&\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\[5pt]
d&=&\sqrt{(6\,\text{cm})^2+(8\,\text{cm})^2+(11\,\text{cm})^2}\\[5pt]
d&\approx&14,87\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/67578bf57593d7df752cdb45cd00498110eea3b61c45354e03e040002f29d762_light.svg)
b)
![\(\begin{array}[t]{rll}
d&=&\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\[5pt]
d&=&\sqrt{(2\,\text{cm})^2+(1\,\text{cm})^2+(1\,\text{cm})^2}\\[5pt]
d&\approx&2,45\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/92003ace324ceba4b46000874f32601858618028d20af041d621f3fc8f0dd965_light.svg)
c)
![\(\begin{array}[t]{rll}
d&=&\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\[5pt]
d&=&\sqrt{(13\,\text{m})^2+(7\,\text{m})^2+(4\,\text{m})^2}\\[5pt]
d&\approx&15,30\,\text{m}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6b906694e5c2322974642e769afcdff454285e78a4e0db1bb58150fc024645f7_light.svg)
d)
![\(\begin{array}[t]{rll}
d&=&\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\[5pt]
d&=&\sqrt{(6,2\,\text{km})^2+(7,1\,\text{km})^2+(9,7\,\text{km})^2}\\[5pt]
d&\approx&13,53\,\text{km}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e42bd203553a9fa11ae4192fc2dfba29beaa595fe81fc8c902de14624a913524_light.svg)
2
Berechnung der Größe des Winkels 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\alpha)&=& \dfrac{\overline{EH}}{\overline{AB}}\\[5pt]
\tan(\alpha)&=& \dfrac{8\,\text{cm}}{13\,\text{cm}}&\quad \scriptsize \mid \; \tan^{-1}\\[5pt]
\alpha&\approx& 32^{\circ}\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5b58af855140212f3960796cb1f18bc659fdcfb31ed1ef211dd81be5beebca65_light.svg)
Berechnung der Größe des Winkels 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\beta)&=& \dfrac{\overline{AE}}{\overline{AD}}\\[5pt]
\tan(\beta)&=& \dfrac{9\,\text{cm}}{8\,\text{cm}}&\quad \scriptsize \mid \; \tan^{-1}\\[5pt]
\beta&\approx& 48^{\circ}\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a07ce91868ec1947413025bcbeb0d610ad1bd94591800e7094dab1e1b26fb7bc_light.svg)
Berechnung der Größe des Winkels