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Analysis

Aufgaben
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1.0
Der zum Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems punktsymmetrische Graph $G_{f}$ einer ganzrationalen Funktion f  dritten Grades mit der Definitionsmenge $D_{f}=\mathbb{R}$ besitzt einen lokalen Tiefpunkt an der Stelle $x=-2.$
1.1
Skizziere mithilfe der oben genannten Eigenschaften von f einen möglichen Graphen dieser Funktion und gib das Verhalten der Funktionswerte $f(x)$ für $x\rightarrow-\infty$ und $x\rightarrow\infty$ an.
1.2
Beschreibe den Verlauf des Graphen $G_{f'}$ der ersten Ableitungsfunktion $f'$ mit Worten. Gib dabei insbesondere die Nullstellen der Funktion $f'$, die Lage des Extrempunktes und das Symmetrieverhalten des Graphen $G_{f'}$ an.
2.0
Löse die beiden folgenden Gleichungen über der Grundmenge der reellen Zahlen.
a) $3 x^{4}-12 x^{2}=0$
b) $e^{x^{2}}=e^{2 x-1}$
3.0
Gegeben ist die Funktion $g:x$ a $e^{0,25 x}-e^{-0,25 x}$ mit der Definitionsmenge $D_{g}=\mathbb{R}$. Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{g}$ bezeichnet.
3.1
Untersuche das Symmetrieverhalten des Graphen der Funktion g zum Koordinatensystem und gib
$\displaystyle \int_{-2}^{2}g(x)dx$ an.
3.2
Ermittle die Gleichung für die Tangente an den Graphen der Funktion g an der Stelle $x=0$.
4.0
In der folgenden Abbildung ist ein Ausschnitt des Graphen der Funktion h und der entsprechende Ausschnitt des Graphen einer Stammfunktion $H$ von h dargestellt. Entnimm der Abbildung den Wert der Differenz $H(2)-H(0)$ und interpretieren diesen Wert bezüglich des Graphen von h geometrisch.
#integral#tangente#symmetrie#extrempunkt#stammfunktion
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Lösungen
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1.1
Abb. 1: Möglicher Graph von $f$
Für $x\to -\infty$ gilt $f(x) \to \infty.$
Für $x\to \infty$ gilt $f(x) \to -\infty.$
1.2
Bei dem Graphen $G_{f'}$ handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel. Die Parabel ist symmetrisch zur $y$-Achse. Ihr Scheitelpunkt ist ein Hochpunkt und befindet sich an der Stelle $x=0.$
Die Nullstellen von $f'$ lauten $x_1= -2$ und $x_2 = 2.$
Der Graph $G_{f'}$ verläuft also zunächst unterhalb der $x$-Achse und steigt dabei streng monoton. An der Stelle $x=-2$ schneidet er dann die $x$-Achse und verläuft anschließend oberhalb der $x$-Achse. An der Stelle $x=0$ nimmt der Graph seinen Hochpunkt an. Anschließend fällt der Graph von $f'$ streng monoton und schneidet dabei bei $x=2$ noch einmal die $x$-Achse und verläuft dann weiterhin unterhalb der $x$-Achse.
2.
a)
$\begin{array}[t]{rll} 3x^4 -12x^2 &=& 0 \\[5pt] x^2 \cdot (3x^2 -12) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;x_{1/2} =0 \\[5pt] 3x^2 -12 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +12 \\[5pt] 3x^2 &=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] x^2 &=& 4 \\[5pt] x_3 &=& -2 \\[5pt] x_4 &=& 2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 3x^4 -12x^2 &=& 0 \\[5pt] x_{1/2} &=& 0 \\[5pt] x_3 &=& -2 \\[5pt] x_4 &=& 2 \end{array}$
$\mathbb{L} = \{-2;0;2\}$
b)
$\begin{array}[t]{rll} \mathrm e^{x^2} &=& \mathrm e^{2x-1} &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] x^2 &=& 2x-1 &\quad \scriptsize \mid\;-2x ;+1 \\[5pt] x^2 -2x +1 &=& 0 \\[5pt] (x-1)^2 &=& 0 \\[5pt] x &=& 1 \end{array}$
$ x=1 $
$\mathbb{L} = \{1\}$
3.1
Symmetrie
$\begin{array}[t]{rll} g(-x) &=& \mathrm e^{0,25\cdot (-x)} -\mathrm e^{-0,25\cdot (-x)} \\[5pt] &=& \mathrm e^{-0,25 x} - \mathrm e^{0,25 x} \\[5pt] &=& -\left(\mathrm e^{0,25 x} - \mathrm e^{-0,25 x}\right) \\[5pt] &=& -g(x) \end{array}$
$ g(-x)=-g(x) $
Der Graph $G_g$ ist also symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.
Integral
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{-2}^{2}g(x)\;\mathrm dx &=& \displaystyle\int_{-2}^{2}\left( \mathrm e^{0,25 x} - \mathrm e^{-0,25 x}\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[ 4\mathrm e^{0,25 x} +4\mathrm e^{-0,25 x} \right]_{-2}^2 \\[5pt] &=& 4\mathrm e^{0,25 \cdot 2} +4\mathrm e^{-0,25 \cdot 2} \\[5pt] &=& 4\mathrm e^{0,5} +4\mathrm e^{-0,5} \\[5pt] \end{array}$
$ …=4\mathrm e^{0,5} +4\mathrm e^{-0,5} $
3.2
$\begin{array}[t]{rll} g'(x) &=& 0,25\mathrm e^{0,25 x} + 0,25 \mathrm e^{-0,25 x} \\[10pt] g'(0) &=& 0,25\mathrm e^{0,25 \cdot 0} + 0,25 \mathrm e^{-0,25 \cdot 0} \\[5pt] &=& 0,5 \\[10pt] g(0) &=& \mathrm e^{0,25 \cdot 0} - \mathrm e^{-0,25 \cdot 0} \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g'(0) &=& 0,5 \\[10pt] g(0) &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $g$ an der Stelle $x=0$ lautet:
$t:\, y = 0,5x$
4.
$H(2) -H(0)\approx 4 -3 = 1$
Die Differenz $H(2)-H(0)$ beschreibt den Inhalt der Fläche, die der Graph $G_h$ mit der $x$-Achse, der $y$-Achse und der Gerade zu $x=2$ einschließt. Dieser Flächeninhalt beträgt ca. $1\,\text{FE}.$
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