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Aufgabengruppe A

Aufgaben
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Aufgabe 1

Vereinfache so weit wie möglich.
$a^6 \cdot (-2a)^3=$
(1 P)
#term

Aufgabe 2

c)
Eine $120$-jährige Buche hat einen Stamm mit einer Trockenmasse von $1,9\text{ t}$. Für den Aufbau ihres Stamms hat sie der Atmosphäre im Laufe ihres bisherigen Lebens $3,5 \text{ t}$ $\text{CO}_2$ entnommen. Wie viele $\text{kg}$ $\text{CO}_2$ sind dies durchschnittlich pro Jahr? Kreuze nur den richtigen Term an.
$\dfrac{120 \cdot 1.000}{1,9}$
$\dfrac{120}{1,9 \cdot 1.000}$
$\dfrac{120}{1,9\cdot 100}$
$\dfrac{3,5\cdot 1.000}{120}$
$\dfrac{3,5\cdot 120}{1.000}$
$\dfrac{3,5 \cdot 100}{120}$
(1 P)

Aufgabe 3

b)
Die nachstehende Tabelle zeigt für einige ausgewählte Jahre die Zahl der von Nahrungsmittelknappheit betroffenen Menschen weltweit.
Jahr$1970$$1990$$2005$
Zahl der von Nahrungsmittel-
knappheit Betroffenenen in Millionen
$870$$840$$870$
In einem Zeitungsartikel ist zu lesen: „$1970$ waren ungefähr $25\,\%$ der Weltbevölkerung von Nahrungsmittelknappheit betroffen. $2005$ war dieser Prozentsatz nur noch ungefähr halb so groß.“
Begründe, dass diese beiden Aussagen mit den vorliegenden Daten in Einklang stehen.
(2 P)
c)
Der Flächeninhalt der Ackerfläche der Erde wurde $2010$ auf $1,4 \cdot 10^{13} \text{ m}^2$ geschätzt. Wie viele Quadratmeter dieser Fläche entfielen im Jahr $2010$ bei gleichmäßiger Aufteilung auf jeden Erdenbürger?
(1 P)
#diagramm

Aufgabe 4

c)
Wähle aus der folgenden Liste diejenige Funktionsgleichungen aus, die zum „Umriss“ der Figur gehört.
$y=\dfrac{1}{2}(4-x)^2$
$y=8-\dfrac{1}{2}x^2$
(1 P)
#symmetrie#parabel

Aufgabe 5

Gegeben ist die Bruchgleichung $\dfrac{x}{x+3}+2=\dfrac{1}{x+3}$ über der Grundmenge $\mathbb{R}$.
a)
Begründe, dass $x=-3$ kein Element der Definitionsmenge der Bruchgleichung ist.
(1 P)
b)
Berechne die Lösung der Bruchgleichung.
(2 P)
#bruchgleichung#definitionsbereich

Aufgabe 6

Eine Urne enthält acht rote und zwei blaue Kugeln, die sich ansonsten nicht voneinander unterscheiden. Lukas behauptet: „Die Wahrscheinlichkeit dafür, aus dieser Urne zuerst eine rote und dann eine blaue Kugel zu ziehen, beträgt $\dfrac{8}{10} \cdot \dfrac{2}{9}$.“ Erläuter, woran man erkennen kann, dass Lukas dabei voraussetzt, dass die erste gezogene Kugel nicht wieder in die Urne zurückgelegt wird.
(1 P)
#wahrscheinlichkeit

Aufgabe 7

b)
Zeige die Gültigkeit der Gleichung $\sin(2\alpha)= 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha$, indem du den Flächeninhalt der Raute erneut berechnest, nun aber mithilfe der Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms.
(1 P)
#raute
Bildnachweise [nach oben]
[1]
Public Domain.
[2]
© 2016 – SchulLV.
[3]
© 2016 – SchulLV.
[4]
© 2016 – SchulLV.
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Tipps
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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Term vereinfachen
In dieser Aufgabe sollst du den gegebenen Term so weit wie möglich vereinfachen. Der Term ist gegeben mit $a^6 \cdot (-2a)^3$. Berechne also zuerst die Potenz und anschließend das Produkt.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Term angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du einen Term angeben, mit dem du $r$ aus $U$ berechnen kannst. Hierfür ist gegeben, dass Sophie einen Radius von $r=0,5 \text{ m}$ an dem Baum gemessen hat. Es handelt sich um einen Kreis. Den Umfang eines Kreises kannst du mit folgender Formel berechnen:
$U=2 \cdot \pi \cdot r$
U=2 \cdot \pi \cdot r$
Diese Formel kannst du nach dem gesuchten Radius $r$ umstellen und du erhältst einen Term mit dem du den Radius $r$ aus dem Umfang $U$ berechnen kannst.
b)
$\blacktriangleright$ Volumen bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du abschätzen, welches Volumen der Baumstamm auf der abgebildeten Abbildung besitzt. Dazu musst du die Höhe des Baumstamms abschätzen und kannst somit das Volumen berechnen. Du weißt bereits, dass der Baumstamm einen Radius von $r=0,5 \text{ m}$ besitzt. Dadurch weißt du, dass der Durchmesser des Baumstamms $1 \text{ m}$ beträgt. Du kannst den Durchmesser aus dem Bild abmessen und prüfen wie oft die Länge des Durchmessers in die Höhe des Baumstamms passt. Anschließend kannst du mit der Höhe und dem Durchmesser des Baumstamms das Volumen berechnen. Der Baumstamm besitzt ungefähr die Form eines Zylinders. Das Volumen eines Zylinders berechnet sich mit folgender Formel:
$V=\pi \cdot r^2 \cdot h$
$V=\pi \cdot r^2 \cdot h$
c)
$\blacktriangleright$ Menge an $\boldsymbol{\text{CO}_2}$ bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du den Term angeben, der die durchschnittliche Menge an $\text{CO}_2$ in $\text{kg}$ pro Jahr berechnet, die eine Buche aus der Atmosphäre entnommen hat. Hierfür hast du gegeben, dass die Buche $120$ Jahre alt ist und die Buche in ihrem bisherigen Leben $3,5 \text{ t}$ $\text{CO}_2$ aus der Atmosphäre entnommen hat. Die Menge an $\text{CO}_2$ musst du zuerst in $\text{ kg}$ umwandeln und außerdem noch auf durchschnittlich ein Jahr reduzieren.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Zuwachs der Weltbevölkerung ermitteln
Du sollst ermitteln, um wie viele Millionen Menschen die Weltbevölkerung laut dem gegebenen Diagramm zwischen $1960$ und $2010$ durchschnitttlich pro Jahr zugenommmen hat. Du musst also den Unterschied der Weltbevölkerung zwischen den Jahren $1960$ und $2010$ anhand des Diagramms ablesen und diesen Wert durch die Gesamtanzahl der Jahre teilen.
b)
$\blacktriangleright$ Aussagen begründen
Du sollst begründen, ob die beiden gegebenen Aussagen mit den gegebenen Daten übereinstimmen. Die Aussagen lauten, dass $1970$ etwa $25\,\%$ der Weltbevölkerung von Nahrungsmittelknappheit betroffen waren und $2005$ dieser Prozentsatz nur noch halb so groß war. Hierfür kannst du die jeweilige Weltbevölkerung aus dem Diagramm ablesen und hast die Tabelle mit der Zahl, der von Nahrungsmittelknappheit betroffenen Menschen, gegeben. Der jeweilige Prozentsatz der Weltbevölkerung, die von Nahrungsmittelknappheit betroffen ist, kannst du mit der Zahl der Menschen $B$, welche von Nahrungsmittelknappheit betroffen sind und durch die gesamte Weltbevölkerung $N$ mit folgender Formel berechnen:
$p=\dfrac{B}{N} \cdot 100\,\%$
$p=\dfrac{B}{N} \cdot 100\,\%$
Im Jahr $1970$ waren $870$ Millionen Menschen von der Nahrungsmittelknappheit betroffen und die Weltbevölkerung betrug etwa $3,6$ Milliarden Menschen.
Im Jahr $2005$ ist die Anzahl der Menschen, die von der Nahrungsmittelknappheit betroffen waren gleich geblieben. Sie betrug erneut $870$ Millionen Menschen. Die Weltbevölkerung betrug im Jahr $2005$ etwa $6,5$ Milliarden Menschen. Die Weltbevölkerung ist also etwa um das doppelte angestiegen.
c)
$\blacktriangleright$ Fläche berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Ackerfläche in $\text{ m}^2$ berechnen, die auf jeden Erdenbürger im Jahr $2010$ bei gleichmäßiger Aufteilung entfielen würde. Die Ackerfläche der Erde wurde $2010$ auf $1,4 \cdot 10^{13} \text{ m}^2$ geschätzt. Im Jahr $2010$ betrug die Erdbevölkerung etwa $7$ Milliarden Menschen. $7$ Milliarden entsprechen $7 \cdot 10^9$ Menschen. Du kannst also die Ackerfläche berechnen, die jeder Erdenbürger bei gleichmäßiger Aufteilung bekommen würde, indem du die gesamte Ackerfläche durch die Anzahl der Menschen teilst.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Gleichung angeben
Du sollst die Gleichung der zum anderen Auge gehörenden Funktion angeben. Du hast hierfür die Gleichung zu einem Auge gehörenden Funktion mit $y=-(x-2)^2+4$ gegeben.
Du weißt, dass die Figur symmetrisch zur $y$-Achse ist. Das bedeutet du musst die Gleichung der Funktion, die zu einem Auge gehört, an der $y$-Achse spiegeln und du erhältst die Gleichung der Funktion die zu dem zweiten Auge gehört.
Du kannst den Graphen einer Funktion spiegeln, indem du in der Funktionsgleichung jedes $x$ durch $-x$ ersetzt.
b)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse berechnen.
Die Parabel ist mit der Gleichung $y=\dfrac{1}{8}x^2 -4$ gegeben. Um die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse zu bestimmen musst du die Gleichung der Parabel mit $0$ gleichsetzen und nach $x$ auflösen.
c)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichungen wählen
Du sollst die Funktionsgleichung auswählen, die zum „Umriss“ der Figur gehört. Betrachte hierbei die Schnittpunkte mit den Achsen und überprüfe, ob dies mit den gegebenen Funktionsgleichungen übereinstimmt.
Die Parabel, die zum Umriss der Figur gehört besitzt einen Schnittpunkt mit der $y$-Achse bei $y=8$.
Die Parabel, die zum Umriss der Figur gehört besitzt die Schnittpunkte $x_1=-4$ und $x_2=4$ mit der $x$-Achse. Überprüfe, welche Funktionsgleichungen passend sind.

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$ Definitionsmenge begründen
Du sollst begründen, dass $x=-3$ kein Element in der Definitionsmenge der Bruchgleichung ist. Die Bruchgleichung ist gegeben mit $\dfrac{x}{x+3}+2=\dfrac{1}{x+3}$. ein Element ist kein Element in der Definitionsmenge, wenn für dieses Element der Nenner in der Bruchgleichung $0$ wird, da du nicht durch $0$ teilen darfst.
b)
$\blacktriangleright$ Lösung berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Lösung der Bruchgleichung bestimmen. Hierzu musst du alle Terme zuerst auf den gleichen Nenner bringen. Dazu musst du den Hauptnenner finden und mit diesem multiplizieren. Der Hauptnenner lautet $x+3$. Multipliziere also die ganze Bruchgleichung mit $x+3$ und löse anschließend nach $x$ auf.

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$ Ziehverfahren erläutern
In dieser Aufgabe sollst du erläutern, woran man erkennen kann, dass Lukas dabei voraussetzt, dass die erste gezogene Kugel nicht wieder in die Urne zurückgelegt wird. Du hast hierfür gegeben, dass eine Urne acht rote und zwei blaue Kugel enthält. Lukas behauptet, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, aus der Urne zuerst eine rote und dann eine blaue Kugel zu ziehen $\dfrac{8}{10} \cdot \dfrac{2}{9}$ beträgt. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten erhältst du, indem du die Anzahl der Kugeln, die du ziehen kannst um ein positives Ergebnis zu bekommen durch die Gesamtanzahl der Kugeln teilst.

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$ Katheten darstellen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Katheten $x$ und $y$ der rechtwinkligen Teildreiecke der Raute mithilfe von $a$ und $\alpha$ darstellen. Da das Dreieck rechtwinklig ist kannst du mit den Winkelfunktionen arbeiten. Zur Darstellung der Katheten $x$ und $y$ kannst du die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus berechnen.
Für den Sinus gilt folgende Formel:
$\sin \alpha= \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\sin \alpha= \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Für den Kosinus gilt entsprechend:
$\cos \alpha= \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\cos \alpha= \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt zeigen
Du sollst zeigen, dass für den Flächeninhalt $A$ der Raute $A=2 \cdot a^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha$ gilt. Die Fläche setzt sich aus vier gleich großen Flächen zusammen. Du musst also die Fläche eines der rechtwinkligen Teildreiecke berechnen und kannst diesen mit vier multiplizieren. Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt:
$A_{Dreieck}= \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$
$A_{Dreieck}= \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$
b)
$\blacktriangleright$ Gleichung zeigen
Du sollst zeigen, dass die Gleichung $\sin(2\alpha)=2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha$ gilt. Hierfür sollst du den Flächeninhalt der Raute erneut mit der Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen. Die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms lautet:
$A= g \cdot h_g$
$A= g \cdot h_g$
Du musst also noch die Höhe der Raute berechnen. Anschließend kannst du die zuvor berechnete Formel für den Flächeninhalt der Raute mit der Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms gleichsetzen und die gegebene Gleichung bestätigen.
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Lösungen
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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Term vereinfachen
In dieser Aufgabe sollst du den gegebenen Term so weit wie möglich vereinfachen. Der Term ist gegeben mit $a^6 \cdot (-2a)^3$. Berechne also zuerst die Potenz und anschließend das Produkt. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} a^6 \cdot (-2a)^3&=& a^6 \cdot (-8) \cdot a^3 \\[5pt] &=& -8 \cdot a^9 \\[5pt] \end{array}$
$a^6 \cdot (-2a)^3= \dotsc$

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Term angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du einen Term angeben, mit dem du $r$ aus $U$ berechnen kannst. Hierfür ist gegeben, dass Sophie einen Radius von $r=0,5 \text{ m}$ an dem Baum gemessen hat. Es handelt sich um einen Kreis. Den Umfang eines Kreises kannst du mit folgender Formel berechnen:
$U=2 \cdot \pi \cdot r$
$U=2 \cdot \pi \cdot r$
Diese Formel kannst du nach dem gesuchten Radius $r$ umstellen und du erhältst einen Term mit dem du den Radius $r$ aus dem Umfang $U$ berechnen kannst. Forme die gegebene Formel für den Umfang wie folgt um:
$\begin{array}[t]{rll} U&=& 2 \cdot \pi \cdot r & \quad \scriptsize \mid \, :2 \\[5pt] \dfrac{U}{2}&=& \pi \cdot r & \quad \scriptsize \mid \, :\pi\\[5pt] r&=& \dfrac{U}{2 \cdot \pi} \\[5pt] \end{array}$
$r= \dotsc $
Du kannst den Radius $r$ durch den Umfang $U$ mit dem Term $r=\dfrac{U}{2 \cdot \pi}$ berechnen.
b)
$\blacktriangleright$ Volumen bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du abschätzen, welches Volumen der Baumstamm auf der abgebildeten Abbildung besitzt. Dazu musst du die Höhe des Baumstamms abschätzen und kannst somit das Volumen berechnen. Du weißt bereits, dass der Baumstamm einen Radius von $r=0,5 \text{ m}$ besitzt. Dadurch weißt du, dass der Durchmesser des Baumstamms $1 \text{ m}$ beträgt. Du kannst den Durchmesser aus dem Bild abmessen und prüfen wie oft die Länge des Durchmessers in die Höhe des Baumstamms passt. Anschließend kannst du mit der Höhe und dem Durchmesser des Baumstamms das Volumen berechnen. Der Baumstamm besitzt ungefähr die Form eines Zylinders. Das Volumen eines Zylinders berechnet sich mit folgender Formel:
$V=\pi \cdot r^2 \cdot h$
$V=\pi \cdot r^2 \cdot h$
Die Höhe des Baumstamms kannst du etwa auf $h= 4 \text{ m}$ abschätzen. Dadurch folgt für das Volumen des Baumstamms mit $r=0,5 \text{ m}$:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \pi \cdot (0,5 \text{ m})^2 \cdot 4 \text{ m} \\[5pt] &\approx& 3 \text{ m}^3 \\[5pt] \end{array}$
$V\approx 3 \text{ m}^3 $
Das Volumen beträgt etwa $3 \text{ m}^3$.
c)
$\blacktriangleright$ Menge an $\boldsymbol{\text{CO}_2}$ bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du den Term angeben, der die durchschnittliche Menge an $\text{CO}_2$ in $\text{kg}$ pro Jahr berechnet, die eine Buche aus der Atmosphäre entnommen hat. Hierfür hast du gegeben, dass die Buche $120$ Jahre alt ist und die Buche in ihrem bisherigen Leben $3,5 \text{ t}$ $\text{CO}_2$ aus der Atmosphäre entnommen hat. Die Menge an $\text{CO}_2$ musst du zuerst in $\text{ kg}$ umwandeln und außerdem noch auf durchschnittlich ein Jahr reduzieren.
$3,5 \text{ t}$ $\text{CO}_2$ entsprechen $3,5 \cdot 1.000 \text{ kg} $ $\text{CO}_2$. Du weißt außerdem, dass dies die Menge an $\text{CO}_2$ ist, die die Buche in $120$ Jahren aus der Atmosphäre entnommen hat. Für die durchschnittliche Menge an $\text{CO}_2$ in $\text{ kg} $ gilt somit der folgende Term:
$\dfrac{3,5 \cdot 1.000}{120}$
#zylinder#kreis

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Zuwachs der Weltbevölkerung ermitteln
Du sollst ermitteln, um wie viele Millionen Menschen die Weltbevölkerung laut dem gegebenen Diagramm zwischen $1960$ und $2010$ durchschnitttlich pro Jahr zugenommmen hat. Du musst also den Unterschied der Weltbevölkerung zwischen den Jahren $1960$ und $2010$ anhand des Diagramms ablesen und diesen Wert durch die Gesamtanzahl der Jahre teilen.
Im Jahr $1960$ lag die Weltbevölkerung bei etwa $3$ Milliarden Menschen. $2010$ lag die Weltbevölkerung bei etwa $7$ Milliarden Menschen. Für den Zuwachs $Z$ gilt somit:
$\begin{array}[t]{rll} Z&=& 7 \text{ Mrd} - 3 \text{ Mrd} \\[5pt] &=& 4 \text{ Mrd} \\[5pt] \end{array}$
Der Zuwachs der Weltbevölkerung von $1960$ bis $2010$ liegt bei $4$ Milliarden Menschen. Das bedeutet, dass die Weltbevölkerung in $50$ Jahren um $4$ Milliarden Menschen angewachsen ist. Pro Jahr ist die Weltbevölkerung somit durchschnittlich um
$\dfrac{4 \text{ Mrd}}{50}=0,08 \text{ Mrd}$
Menschen angewachsen. Dies entspricht einem Zuwachs von $80$ Millionen Menschen pro Jahr.
b)
$\blacktriangleright$ Aussagen begründen
Du sollst begründen, ob die beiden gegebenen Aussagen mit den gegebenen Daten übereinstimmen. Die Aussagen lauten, dass $1970$ etwa $25\,\%$ der Weltbevölkerung von Nahrungsmittelknappheit betroffen waren und $2005$ dieser Prozentsatz nur noch halb so groß war. Hierfür kannst du die jeweilige Weltbevölkerung aus dem Diagramm ablesen und hast die Tabelle mit der Zahl, der von Nahrungsmittelknappheit betroffenen Menschen, gegeben. Der jeweilige Prozentsatz der Weltbevölkerung, die von Nahrungsmittelknappheit betroffen ist, kannst du mit der Zahl der Menschen $B$, welche von Nahrungsmittelknappheit betroffen sind und durch die gesamte Weltbevölkerung $N$ mit folgender Formel berechnen:
$p=\dfrac{B}{N} \cdot 100\,\%$
$p=\dfrac{B}{N} \cdot 100\,\%$
Im Jahr $1970$ waren $870$ Millionen Menschen von der Nahrungsmittelknappheit betroffen und die Weltbevölkerung betrug etwa $3,6$ Milliarden Menschen. Für den Prozentsatz $p$ der Menschen, die von der Nahrungsmittelknappheit betroffen waren folgt:
$\begin{array}[t]{rll} p&=& \dfrac{B}{N} \cdot 100\,\% \\[5pt] &=& \dfrac{870 \text{ Mio}}{3,6 \text{ Mrd}} \cdot 100\,\% \\[5pt] &=& \dfrac{870 \text{ Mio}}{3.600 \text{ Mio}} \cdot 100\,\% \\[5pt] &=& 24,17\,\% \\[5pt] \end{array}$
$p=24,17\,\%$
Der Prozentsatz betrug somit ungefähr $25\,\%$ und die erste Aussage ist bestätigt.
Im Jahr $2005$ ist die Anzahl der Menschen, die von der Nahrungsmittelknappheit betroffen waren gleich geblieben. Sie betrug erneut $870$ Millionen Menschen. Die Weltbevölkerung betrug im Jahr $2005$ etwa $6,5$ Milliarden Menschen. Die Weltbevölkerung ist also etwa um das doppelte angestiegen und dadurch hat sich der Prozentsatz von der Nahrungsmittelknappheit betroffenen Menschen etwa halbiert und die zweite Aussage ist somit auch korrekt.
c)
$\blacktriangleright$ Fläche berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Ackerfläche in $\text{ m}^2$ berechnen, die auf jeden Erdenbürger im Jahr $2010$ bei gleichmäßiger Aufteilung entfielen würde. Die Ackerfläche der Erde wurde $2010$ auf $1,4 \cdot 10^{13} \text{ m}^2$ geschätzt. Im Jahr $2010$ betrug die Erdbevölkerung etwa $7$ Milliarden Menschen. $7$ Milliarden entsprechen $7 \cdot 10^9$ Menschen. Du kannst also die Ackerfläche berechnen, die jeder Erdenbürger bei gleichmäßiger Aufteilung bekommen würde, indem du die gesamte Ackerfläche durch die Anzahl der Menschen teilst. Es folgt für jeden Menschen eine Ackerfläche von
$\dfrac{1,4 \cdot 10^{13} \text{ m}^2}{7 \cdot 10^9}=2.000 \text{ m}^2$.
Auf jeden Menschen würde eine Ackerfläche von $2.000 \text{ m}^2$ entfielen.
#prozentrechnen

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Gleichung angeben
Du sollst die Gleichung der zum anderen Auge gehörenden Funktion angeben. Du hast hierfür die Gleichung zu einem Auge gehörenden Funktion mit $y=-(x-2)^2+4$ gegeben.
Du weißt, dass die Figur symmetrisch zur $y$-Achse ist. Das bedeutet du musst die Gleichung der Funktion, die zu einem Auge gehört, an der $y$-Achse spiegeln und du erhältst die Gleichung der Funktion die zu dem zweiten Auge gehört.
Du kannst den Graphen einer Funktion spiegeln, indem du in der Funktionsgleichung jedes $x$ durch $-x$ ersetzt. Daraus folgt für die Gleichung der zum anderen Auge gehörenden Funktion:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -(-x-2)^2+4\\[5pt] &=& -(x+2)^2+4\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der zum anderen Auge gehörenden Funktion lautet somit $y=-(x+2)^2+4$.
b)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse berechnen.
Die Parabel ist mit der Gleichung $y=\dfrac{1}{8}x^2 -4$ gegeben. Um die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse zu bestimmen musst du die Gleichung der Parabel mit $0$ gleichsetzen und nach $x$ auflösen. Für die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte gilt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} y &=& 0\\[5pt] \dfrac{1}{8}x^2 -4&=& 0 & \quad \scriptsize \mid \, +4 \\[5pt] \dfrac{1}{8}x^2&=& 4 & \quad \scriptsize \mid \, \cdot 8\\[5pt] x^2&=& 32 & \quad \scriptsize \mid \, \sqrt{\,}\\[5pt] x_1&=& 5,66\\[5pt] x_2&=& -5,66\\[5pt] \end{array}$
$x_{1,2}= \dotsc$
Die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte mit der $x$-Achse betragen $x_1=5,66$ und $x_2=-5,66$.
c)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichungen wählen
Du sollst die Funktionsgleichung auswählen, die zum „Umriss“ der Figur gehört. Betrachte hierbei die Schnittpunkte mit den Achsen und überprüfe, ob dies mit den gegebenen Funktionsgleichungen übereinstimmt.
Die Parabel, die zum Umriss der Figur gehört besitzt einen Schnittpunkt mit der $y$-Achse bei $y=8$. Die Graphen der Funktionsgleichungen $y=-4x^2+8$ und $y=8-\dfrac{1}{2}x^2$ besitzen jeweils den gleichen Schnittpunkt.
Die Parabel, die zum Umriss der Figur gehört besitzt die Schnittpunkte $x_1=-4$ und $x_2=4$ mit der $x$-Achse. Dies trifft nur für den Graphen der Funktionsgleichung $y=8-\dfrac{1}{2}x^2$ zu, da folgenden Rechnungen gelten:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 8-\dfrac{1}{2}x^2 \\[5pt] &=& 8-\dfrac{1}{2}\cdot 4^2\\[5pt] &=& 0\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 8-\dfrac{1}{2}x^2 \\[5pt] &=& 8-\dfrac{1}{2}\cdot (-4)^2\\[5pt] &=& 0\\[5pt] \end{array}$
Somit ist die gesuchte Funktionsgleichung $y=8-\dfrac{1}{2}x^2$.
#geradengleichung#schnittpunkt

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$ Definitionsmenge begründen
Du sollst begründen, dass $x=-3$ kein Element in der Definitionsmenge der Bruchgleichung ist. Die Bruchgleichung ist gegeben mit $\dfrac{x}{x+3}+2=\dfrac{1}{x+3}$. ein Element ist kein Element in der Definitionsmenge, wenn für dieses Element der Nenner in der Bruchgleichung $0$ wird, da du nicht durch $0$ teilen darfst.
Da für $x=-3$ der Ausdruck $x+3$ gleich $0$ wird ist $x=-3$ kein Element in der Definitionsmenge.
b)
$\blacktriangleright$ Lösung berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Lösung der Bruchgleichung bestimmen. Hierzu musst du alle Terme zuerst auf den gleichen Nenner bringen. Dazu musst du den Hauptnenner finden und mit diesem multiplizieren. Der Hauptnenner lautet $x+3$. Multipliziere also die ganze Bruchgleichung mit $x+3$ und löse anschließend nach $x$ auf. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x}{x+3}+2&=& \dfrac{1}{x+3} & \quad \scriptsize \mid \, \cdot(x+3) \\[5pt] x + 2 \cdot (x+3)&=& 1\\[5pt] x+ 2x + 6&=& 1& \quad \scriptsize \mid \, -6\\[5pt] 3x &=& -5& \quad \scriptsize \mid \, :3\\[5pt] x &=& \dfrac{-5}{3}\\[5pt] \end{array}$
$x= \dfrac{-5}{3}$
Die Lösung der Bruchgleichung ist $x= \dfrac{-5}{3}$.

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$ Ziehverfahren erläutern
In dieser Aufgabe sollst du erläutern, woran man erkennen kann, dass Lukas dabei voraussetzt, dass die erste gezogene Kugel nicht wieder in die Urne zurückgelegt wird. Du hast hierfür gegeben, dass eine Urne acht rote und zwei blaue Kugel enthält. Lukas behauptet, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, aus der Urne zuerst eine rote und dann eine blaue Kugel zu ziehen $\dfrac{8}{10} \cdot \dfrac{2}{9}$ beträgt. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten erhältst du, indem du die Anzahl der Kugeln, die du ziehen kannst um ein positives Ergebnis zu bekommen durch die Gesamtanzahl der Kugeln teilst.
Die erste Wahrscheinlichkeit beträgt $\dfrac{8}{10}$. Dies ist die Wahrscheinlichkeit dafür beim ersten Ziehen eine rote Kugel zu ziehen, da sich acht rote Kugeln in der Urne befinden und aus insgesamt $10$ Kugeln gezogen wird. Die zweite Wahrscheinlichkeit beträgt $\dfrac{2}{9}$. Das bedeutet, dass nur noch aus insgesamt $9$ Kugeln gezogen wird. Somit handelt es sich um Ziehen ohne zurücklegen.
#wahrscheinlichkeit

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$ Katheten darstellen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Katheten $x$ und $y$ der rechtwinkligen Teildreiecke der Raute mithilfe von $a$ und $\alpha$ darstellen. Da das Dreieck rechtwinklig ist kannst du mit den Winkelfunktionen arbeiten. Zur Darstellung der Katheten $x$ und $y$ kannst du die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus berechnen.
Für den Sinus gilt folgende Formel:
$\sin \alpha= \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\sin \alpha= \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Für den Kosinus gilt entsprechend:
$\cos \alpha= \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\cos \alpha= \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Somit kannst du die Kathete $y$ mit dem Sinus folgendermaßen aufstellen:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha&=& \dfrac{y}{a} & \quad \scriptsize \mid \, \cdot a \\[5pt] y&=& \sin \alpha \cdot a\\[5pt] \end{array}$
$ y =\sin \alpha \cdot a$
Für die Kathete $x$ gilt mit dem Kosinus:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{x}{a} & \quad \scriptsize \mid \, \cdot a \\[5pt] x&=& \cos \alpha \cdot a\\[5pt] \end{array}$
$x= \cos \alpha \cdot a$
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt zeigen
Du sollst zeigen, dass für den Flächeninhalt $A$ der Raute $A=2 \cdot a^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha$ gilt. Die Fläche setzt sich aus vier gleich großen Flächen zusammen. Du musst also die Fläche eines der rechtwinkligen Teildreiecke berechnen und kannst diesen mit vier multiplizieren. Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt:
$A_{Dreieck}= \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$
$A_{Dreieck}= \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$
Somit gilt für den Flächeninhalt der Raute:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 4 \cdot A_{Dreieck}\\[5pt] &=& 4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g \\[5pt] &=& 2 \cdot x \cdot y \\[5pt] &=& 2 \cdot \cos \alpha \cdot a \cdot \sin \alpha \cdot a \\[5pt] &=& 2 \cdot a^2 \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha\\[5pt] \end{array}$
$ A= \dotsc $
Du hast somit gezeigt, dass für den Flächeninhat $A$ der Raute $A=2 \cdot a^2 \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha$ gilt.
b)
$\blacktriangleright$ Gleichung zeigen
Du sollst zeigen, dass die Gleichung $\sin(2\alpha)=2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha$ gilt. Hierfür sollst du den Flächeninhalt der Raute erneut mit der Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen. Die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms lautet:
$A= g \cdot h_g$
$A= g \cdot h_g$
Du musst also noch die Höhe der Raute berechnen. Anschließend kannst du die zuvor berechnete Formel für den Flächeninhalt der Raute mit der Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms gleichsetzen und die gegebene Gleichung bestätigen.
Die Höhe kannst du wie folgt in die Raute einzeichnen:
Die Höhe $h$ der Raute kannst du mit dem Sinus berechnen. Für die Höhe $h$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \sin 2\alpha&=& \dfrac{h}{a} & \quad \scriptsize \mid \, \cdot a\\[5pt] h&=& \sin 2\alpha \cdot a\\[5pt] \end{array}$
$h=\sin 2\alpha \cdot a $
Für die Formel des Flächeninhalts der Raute gilt dadurch:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& g \cdot h_g\\[5pt] &=& a \cdot \sin 2\alpha \cdot a\\[5pt] &=& a^2 \cdot \sin 2\alpha \\[5pt] \end{array}$
$A=a^2 \cdot \sin 2\alpha$
Die Gleichung für den Flächeninhalt kannst du mit der zuvor berechneten Formel für den Flächeninhalt gleichsetzen und erhältst dadurch:
$\begin{array}[t]{rll} a^2 \cdot \sin 2\alpha&=& 2 \cdot a^2 \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha & \quad \scriptsize \mid \, :a^2 \\[5pt] \sin 2\alpha&=& 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha\\[5pt] \end{array}$
$\sin 2\alpha = \dotsc$
Du hast somit die Gültigkeit der Gleichung $\sin(2\alpha)=2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha$ gezeigt.
#kosinus#sinus
Bildnachweise [nach oben]
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