Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BY, Gymnasium
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 10
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
BMT 10
BMT 10
BMT 10
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Aufgabengruppe B

Aufgaben
Download als Dokument:PDF

Augabe 1

Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich.
a)
$\dfrac{a^7}{a^{-7}}=$
(1 P.)
b)
$\left(a^7\right)^{-7}=$
(1 P.)
#potenz

Aufgabe 2

Aufgabengruppe B
Abb. 1: Diagramm zur Nutzung der Boddenfläche Bayerns
Aufgabengruppe B
Abb. 1: Diagramm zur Nutzung der Boddenfläche Bayerns
b)
$40~\%$ der „Siedlungs- und Verkehrsfläche“ sind der Verkehrsfläche zuzuordnen. Gebe an, wie viel Prozent der Bodenfläche Bayerns demnach Verkehrsfläche sind.
(1 P.)
b)
In Bayern wird täglich Bodenfläche in einer Größe von etwa zehn Fußballfeldern in „Siedlungs- und Verkehrsfläche“ umgewandelt.
Berechne, wie viel Prozent der Bodenfläche Bayern demnach jedes Jahr in „Siedlungs- und Verkehrsfläche“ umgewandelt werden. Gehe davon aus, dass ein Fußballfeld etwa zehntausend Quadratmeter groß ist.
(2 P.)
#prozent

Aufgabe 3

Aufgabengruppe B
Abb. 2: Dreieck $ABC$
Aufgabengruppe B
Abb. 2: Dreieck $ABC$
#tangens#dreieck

Aufgabe 4

Beim Spiel „Mäxchen“ werden zwei Laplace-Würfel geworfen. Die beiden geworfenen Augenzahlen werden als Ziffer einer zweistelligen Zahl so angeordnet, dass diese möglichst groß ist. Für die Ereignisse ist die folgende Rangfolge festgelegt (aufsteigend geordnet):
Aufgabengruppe B
Abb. 3: Mögliche Ergebnisse
Aufgabengruppe B
Abb. 3: Mögliche Ergebnisse
a)
Begründe: Die Wahrscheinlichkeit dafür, die Zahl $55$ zu erhalten, beträgt $\dfrac{1}{36}$, und die Wahrscheinlichkeit dafür ein Mäxchen zu erhalten, ist doppelt so groß.
(2 P.)
b)
Lena hat die Zahl $54$ erwürfelt und behauptet: „Wenn ich jetzt die beiden Würfel noch einmal werfe, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, ein besseres Ergebnis zu erhalten, genau $50~\%$“. Begründe, dass Lena recht hat.
(1 P.)
#wahrscheinlichkeit

Aufgabe 5

Alina möchte untersuchen, ob der Regenbogen auf ihrem Foto parabelförmig ist.
Dazu hat sie in das Foto ein Koordinatensystem eingezeichnet, dess $x$-Achse im Ursprung den höchsten Punkt des Regenbogens berührt.
Aufgabengruppe B
Abb. 4: Regenbogen mit Koordinatensystem
Aufgabengruppe B
Abb. 4: Regenbogen mit Koordinatensystem
Sie möchte die Gleichung einer Parabel auftellen, deren Scheitel im Ursprung liegt und die durch einen weiteren Punkt $P$ verläuft, der auf dem Regenbogen liegt. Dazu verwendet sie einen der folgenden Anzätze, wobei $r>0$ gilt.
$y=-x^2+s$
$y=-(x-s)^2$
$y=-sx^2$
a)
Begründe, dass weder der Ansatz $(1)$ noch der Ansatz $(2)$ geeignet ist.
(2 P.)
b)
Wähle in der Abbildung einen geeigneten Punkt $P$ aus und bestimme damit den Wert von $s$ in Ansatz $(3)$.
(2 P.)
c)
Beschreibe, wie Alina untersuchen kann, ob die Form des Regenbogens durch die in Aufgabe $b$ ermittelte Gleichung beschrieben werden kann.
(1 P.)
#parabel

Aufgabe 6

Kreuze (nur) die Zahlen an, die rational sind.
$-6$
$\sqrt{\dfrac{4}{9}}$
$\sqrt{2}$
$1,41$
(1 P.)
#rationalezahlen

Aufgabe 7

Aufgabengruppe B
Abb. 5: Trapez $C'A'BC$
Aufgabengruppe B
Abb. 5: Trapez $C'A'BC$
#trapez#kongruenz
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[5]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Term vereinfachen
Benutze das folgende Potenzgesetz:
$\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$
Damit erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a^7}{a^{-7}}&=&a^{7-(-7)} \\[5pt] &=&a^{14} \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Term vereinfachen
Benutze hier folgende Potenzgesetze:
$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}\\[5pt] a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$
Vereinfache damit den Term soweit, dass der Exponent positiv ist:
$\begin{array}[t]{rll} \left(a^7\right)^{-7}&=&a^{7\cdot (-7)} \\[5pt] &=&a^{-49} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{a^{49}} \end{array}$
#potenzgesetze

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Bodenfläche berechnen
Ohne Wald- und Landwirtschaftsflächen bleiben nur noch die Siedlungs- und Verkehrsflächen, sowie die sonstigen Flächen übrig. Diese bilden zusammen $12~\%+5~\%=17~\%$ der gesamten bayrischen Bodenfläche.
Berechne also $17~\%$ von der Gesamtfläche $70~000~\text{km}^2$:
$\begin{array}[t]{rll} 70~000~\text{km}^2\cdot 17~\%&=& 70~000~\text{km}^2\cdot 0,17&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 11~900~\text{km}^2&\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&12~000~\text{km}^2 \end{array}$
$ 70~000~\text{km}^2\cdot 17~\% \\ \approx 12~000~\text{km}^2 $
Also gilt:
etwa $58~000~\text{km}^2$
etwa $25~000~\text{km}^2$
etwa $12~000~\text{km}^2$
etwa $8400~\text{km}^2$
b)
$\blacktriangleright$  Anteil der Verkehrsfläche berechnen
$40~\%$ der Siedlungs- und Verkehrsfläche sind Verkehrsfläche. Für die Siedlungs- und Verkehrsfläche gilt:
$12~\%\cdot 70~000~\text{km}$
Und somit für die Verkehrsfläche:
$\begin{array}[t]{rll} 40~\%\cdot 12~\%\cdot 70~000~\text{km}&=&0,4 \cdot 0,12\cdot 70~000~\text{km} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&3360~\text{km}^2 \end{array}$
$ …=3360~\text{km}^2 $
c)
$\blacktriangleright$  Anteil der umgewandelten Fläche berechnen
Berechne zuerst die Größe von $10$ Fußballfeldern:
$\begin{array}[t]{rll} 10\cdot 10~000~\text{m}^2&=&100~000~\text{m}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&0,1~\text{km}^2 \end{array}$
$ 10\cdot 10~000~\text{m}^2=0,1~\text{km}^2 $
Diese Fläche wird pro Tag umgewandelt. In einem Jahr ist die Fläche also:
$365\cdot 0,1~\text{km}^2=36,5~\text{km}^2$
Bestimme jetzt wie viele Prozent dies von der Gesamtfläche sind:
$\dfrac{36,5~\text{km}^2}{70~000~\text{km}^2}\approx 0,0005=5~\%$
Pro Jahr werden also etwa $5\%$ der Bodenfläche Bayerns in Siedlungs- und Verkehrsfläche umgewandelt.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Wert von $\tan(\alpha)$ bestimmen
Messe zunächst die Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ oder zähle die Kästchen. Für den Tangens gilt dann:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{3}{5} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,6 \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Begründen
Aufgabengruppe B
Abb. 1: Erweiterung der Abbildung
Aufgabengruppe B
Abb. 1: Erweiterung der Abbildung

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Begründen
Für einen Pasch wie $55$ muss man zweimal hintereinander die $5$ würfeln. Mit der Pfadmultiplikationsregel gilt deshalb für die Wahrscheinlichkeit:
$P(55)=\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$
Für ein Mäxchen wird eine $1$ und eine $2$ gebraucht, die Reihenfolge ist jedoch egal. Es gibt also $2$ Pfade: Einen für $12$ und einen für $21$. Mit der Pfadmultiplikations- und Additionsregel gilt dann:
$P(\text{Mäxchen})=\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6}=2\cdot \dfrac{1}{36}$
$ P(\text{Mäxchen})=2\cdot \dfrac{1}{36}$
Die Wahrscheinlichkeit für ein Mäxchen ist deshalb doppelt so groß wie für einen Pasch.
b)
$\blacktriangleright$  Lenas Behauptung begründen
Bessere Ergebnisse als $54$ stehen in der Abbildung „rechts“ von $54$ und bestehen aus $6$ Päschen und $6$ zusammengesetzten Zahlen wie das Mäxchen. Päsche haben, wie zuvor berechnet, eine Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{1}{36}$. Zusammengesetzte Zahlen haben eine Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{2}{36}$. Damit gilt für die besseren Ergebnisse:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{bessere Ergebnisse})&=&6\cdot \dfrac{1}{36}+6\cdot \dfrac{2}{36} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{6}{36} + \dfrac{12}{36} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{18}{36} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& 50~\% \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} P&=&6\cdot \dfrac{1}{36}+6\cdot \dfrac{2}{36} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{6}{36} + \dfrac{12}{36} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{18}{36} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& 50~\% \end{array} $
Damit hast du die Bahuptung gezeigt.
#prozent

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Ansatz begründen
Die allgemeine Form einer Parabel ist:
$y=a\cdot (x+b)^2 +c$
Wobei für $a$, $b$ und $c$ gilt:
  • $a$: Bestimmt wie sehr die Parabel gestaucht ($a< 1$) bzw. gestreckt wird ($a>1$).
  • $b$: Gibt die Verschiebung parallel zur $x$-Achse an (Links-Rechts-Verschiebung).
  • $c$: Gibt die Verschiebung parallel zur $y$-Achse an (Hoch-Runter-Verschiebung).
Im Ansatz $(1)$ steht $s$ an der Position des $c$ und würde die Parabel nach oben oder unten verschieben. Da der Scheitel bei $(0|0)$ sein soll, ist dieser Ansatz nicht geeignet.
Im Ansatz $(2)$ steht $s$ an der Position des $b$ und würde die Parabel also nach rechts oder links verschieben. Auch dieser Ansatz ist also nicht geeignet.
b)
$\blacktriangleright$  Wert von $s$ bestimmen.
Suche einen Punkt $P$ auf dem Regenbogen, welchen du gut ablesen kannst. Hier bietet sich zum Beispiel der Punkt $P(4|-1)$ an:
Aufgabengruppe B
Abb. 2: Regenbogen mit P
Aufgabengruppe B
Abb. 2: Regenbogen mit P
Setze den Punkt $P$ in den Ansatz $(3)$ ein, um $s$ zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-sx^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] -1&=&-s\cdot 4^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] -1&=&-16s&\quad \scriptsize \mid~ :(-16) \\[5pt] \dfrac{1}{16}&=&s \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Beschreibe
Alina könnte den Graphen der Parabel in das Koordinatensystem zeichnen. Sie sieht dann wie genau/ungenau die Parabel den Regenbogen beschreibt.

Aufgabe 6

Rationale Zahlen sind Zahlen, die mit ganzen Zahlen als Bruch dargestellt werden können. Also gilt:
$-6=\dfrac{-6}{1}$
$\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$
$\sqrt{2}$
$1,41=\dfrac{141}{100}$

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$  Rechten Winkel begründen
Aufgabengruppe B
Abb. 3: Skizze Trapez $C'A'BC$
Aufgabengruppe B
Abb. 3: Skizze Trapez $C'A'BC$
b)
$\blacktriangleright$  Beziehung herleiten
Aufgabengruppe B
Abb. 4: Skizze Trapez $C'A'BC$
Aufgabengruppe B
Abb. 4: Skizze Trapez $C'A'BC$
#flächeninhalt
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[4]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App