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Gruppe 2

Aufgaben
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1.
Gegeben ist der Graph der linearen Funktion $g_1$:
Gruppe 2
Abb. 1: Graph von $g_1$
Gruppe 2
Abb. 1: Graph von $g_1$
a)
Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden $g_1$.
b)
Die Gerade $g_2$ hat die Funktionsgleichung $g_2:\quad y=-2x-3$.
Die Gerade $g_3$ verläuft parallel zu $g_2$ und durch den Punkt $C(1|2)$.
Ermittle die Funktionsgleichung von $g_3$ rechnerisch.
c)
Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes $N$ von $g_2$ mit der $x$-Achse und gebe $N$ an.
d)
Die Gerade $g_2$ wird an der $x$-Achse gespiegelt. Gebe die Funktionsgleichung der dadurch enstandenen Geraden $g_4$ an.
e)
Der Punkt $D(-16,5|y_D)$ liegt auf der Geraden $g_2$.
Berechne die fehlende Koordinate von $D$.
f)
Zeichne den Graphen der Geraden $g_2$ und $g_3$ in ein Koordinatensystem mit der Einheit $1~\text{cm}$
Hinweis zum Platzbedarf: $x$-Achse von $-5$ bis $5$, $y$-Achse von $-4$ bis $7$
g)
Berechne den Abstand zwischen den Punkten $A(2|0)$ und $B(0|4)$.
(8 P.)
#gerade
2.
Berechne die Längen der Strecken $x_1$, $x_2$ und $x_3$ (siehe Skizze).
Es gilt: $g_1~||~ g_2~||~ g_3$
Gruppe 2
Abb. 2: Skizze nicht maßstabsgetreu
Maße in cm
Gruppe 2
Abb. 2: Skizze nicht maßstabsgetreu
Maße in cm
(3 P.)
3.
a)
Die nach oben geöffnete Normalparabel $p_1$ hat den Scheitelpunkt $S_1(2|-4)$. Berechne die Funktionsgleichung der Parabel $p_1$ in der Normalform.
b)
Die Punkte $A(-4|-5)$ und $B(-1|-2)$ liegen auf der nach unten geöffnete Normalparabel $p_2$.
Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung von $p_2$.
c)
Die Normalparabel $p_3$ hat die Funktionsgleichung $p_3:\quad y=x^2-6x+5$.
Berechne die Koordinaten des Scheitelpunktes $S_3$ von $p_3$.
d)
Ermittle rechnerisch die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte $N_1$ und $N_2$ von $p_3$ mit der $x$-Achse.
e)
Gegeben ist die Normalparabel $p_4: \quad y=-x^2-4x-9$. Begründe mithilfe einer Rechnung, dass sich die Parabeln $p_3$ und $p_4$ nicht schneiden.
f)
Durch Spiegelung der arabel $p_1$ an der $y$-Achse entsteht die Parabel $p_5$.
Zeichne die Graphen der Parabeln $p_1$ und $p_5$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1~\text{cm}$.
Hinweis zum Platzbedarf: $x$-Achse von $-6$ bis $6$, $y$-Achse von $-5$ bis $6$
(8 P.)
#parabel
4.
Das Trapez $ABCD$ setzt sich aus mehreren Dreiecken zusammen (siehe Skizze).
Formuliere jeweils eine Anwendung des Höhensatzes und des Kathetensatzes unter Verwendung der in der Skizze angegebenen Strekenbezeichnungen.
Gruppe 2
Abb. 3: Trapez $ABCD$
Gruppe 2
Abb. 3: Trapez $ABCD$
(2 P.)
#dreieck
5.
Die Halbwärtszeit des radioaktiven Elements Radium beträgt $1602$ Jahre.
a)
Berechne die Masse an Radium, die nach $400$ Jahren von ursprünglich $5000$ Gramm noch vorhanden ist.
b)
Ermittle rechnerisch, nach wie vielen Jahren von ursprünglich $80$ Gramm Radium noch $56,57$ Gramm vorhanden sind.
Der Zerfall von $10~\text{g}$ radioaktivem Polonium-218 wird durch folgenden Graphen dargestellt.
Gruppe 2
Abb. 4: Zerfall von Polonium-218
Gruppe 2
Abb. 4: Zerfall von Polonium-218
c)
Bestimme die Halbwertszeit des Elements anhand des Graphen.
d)
Gebe an, nach wie vielen Minuten von $10~\text{g}$ Polonium-218 nur noch $0,5~\text{g}$ vorhanden sind.
(5 P.)
#halbwertszeit#exponentielleswachstum
6.
Gebe die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und ermittle die Lösungsmenge rechnerisch.
$\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{x-3}=\dfrac{3}{x-3}-2$
(4 P.)
#bruchgleichung
7.
In einem Behälter befinden sich Kugeln in den Farben grau ($g$), weiß ($w$) und schwarz ($s$). Bei einem Zufallsexperiment wird zweimal nacheinander jeweils eine Kugel gezogen.
Das folgende Baumdiagramm stellt die möglichen Ergebnisse dieses Zufallsexperiments dar.
Gruppe 2
Abb. 5: Baumdiagramm
Gruppe 2
Abb. 5: Baumdiagramm
a)
Begründe anhand des Baumdiagramms, dass es sich um ein Zufallsexeriment ohne Zurücklegen handelt.
b)
Notiere auf deinem Lösungsblatt die Nummer des Behälters (siehe Abbildung unten), die zum dargestellten Baumdiagramm passt.
1)
Gruppe 2
Gruppe 2
2)
Gruppe 2
Gruppe 2
3)
Gruppe 2
Abb. 6: Behälter 3
Gruppe 2
Abb. 8: Behälter 3
c)
Gebe die im Baumdiagramm fehlenden Wahrscheinlichkeiten $p_2$ und $p_3$ in Bruchschreibweise an.
d)
Berechne, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass es sich bei den beiden gezogenen Kugeln um eine graue sowie um eine weiße handelt.
(4 P.)
#wahrscheinlichkeit#baumdiagramm
8.
Folgende Gleichungen sind Anwendungen von Binomischen Formeln.
Ersetze jeweils den Platzhalter $\square$ durch den entsprechenden Terme und schreibe die mathematisch richtigen Gleichungen auf dein Lösungsblatt.
a)
$(\color{#87c800}{\square}+\color{#87c800}{\square})^2=\color{#87c800}{\square}+2fc+0,25c^2$
b)
$\color{#87c800}{\square}-5m)^2=1,44e^2-\color{#87c800}{\square}+\color{#87c800}{\square}$
(3 P.)
#binomischeformeln
9.
Berechne den Umfang des in der Skizze dargestellten stumpfwinkligen Dreiecks $ABC$.
Gruppe 2
Abb. 7: Skizze nicht maßstabsgetreu
Gruppe 2
Abb. 7: Skizze nicht maßstabsgetreu
(4 P.)
#dreieck
10.
Eine zylinderförmige Blumenvase hat ein Gesamtvolumen von $2,5$ Litern. Sie ist zu $\dfrac{3}{4}$ mit Wasser gefüllt.
Es werden $60$ farbige Deko-Glaskugeln hineingegeben, die vollständig untertauchen. Danach ist die Vase zu $\dfrac{4}{5}$ ihres Gesamtvolumens gefüllt.
Berechne den Durchmesser einer Glaskugel.
(4 P.)
#volumen
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Lösungen
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1.
Gruppe 2
Abb. 1: Steigungsdreieck der Geraden $g_1$
Gruppe 2
Abb. 1: Steigungsdreieck der Geraden $g_1$
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $g_3$ bestimmen
Parallele Geraden haben dieselbe Steigung. Die Gerade $g_2$ hat die Steigung $m_2=-2$, also muss auch die Gerade $g_3$ die Steigung $m_3=-2$ haben. Setze den Punkt $C(1|2)$ und die Steigung $m_3$ in die allgemeine Geradenformel ein und löse nach $c$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&mx+c &\quad \scriptsize \\[5pt] 2&=&-2\cdot 1+c &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] 4&=&c \end{array}$
Die Funktionsgleichung lautet also:
$g_3:\quad y=-2x+4$
c)
$\blacktriangleright$  Nullstelle berechnen
Setze $y=0$ und löse nach $x$ auf, um die den Schnittpunkt $N$ von $g_2$ mit der $x$-Achse zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&-2x-3 &\quad \scriptsize \mid\; +2x \\[5pt] 2x&=&-3 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] x&=&-1,5 \end{array}$
Damit ist der Schnittpunkt $N(-1,5|0)$.
d)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $g_4$ bestimmen
Wenn die Gerade an der $x$-Achse gespiegelt wird, muss sich das Vorzeichen der Steigung, sowie das Vorzeichen des $y$-Achsenabschnittes ändern. Also gilt für die Funktionsgleichung:
$g_4:\quad y=-(-2x)-(-3)=2x+3$
$ g_4:\quad y=2x+3 $
e)
$\blacktriangleright$  Koordinate berechnen
Gegeben ist der $x$-Wert des Punktes $D$. Setze diesen in die Gerade $g_2$ ein, um den $y$-Wert zu erhalten:
$y=-2\cdot (-16,5)-3=33-3=30$
$ y=30$
Also gilt für $D(-16,5|30)$.
f)
$\blacktriangleright$  Geraden zeichnen
Sarte mit jeweils einem Punkt der Geraden. Dazu bietet sich der $y$-Achsenabschnitt von $g_2$ an mit dem Punkt $(0|-3)$. Für die Gerade $g_3$ kannst du auch den $y$-Achsenabschnitt wählen oder den gegebenen Punkt aus Teilaufgabe b) $(1|2)$. Zeichne ausgehend von diesen Punkten jeweils ein Steigungsdreieck für die Steigung $m=-2$. Also $1$ Schritt nach rechts und $2$ Schritte nach unten. Verbinde dann beide Punkte, um die Geraden zu erhalten:
Gruppe 2
Abb. 2: Graphen der Geraden $g_2$ und $g_3$
Gruppe 2
Abb. 2: Graphen der Geraden $g_2$ und $g_3$
Gruppe 2
Abb. 3: Skizze zum Abstand zwischen $A$ und $B$
Gruppe 2
Abb. 3: Skizze zum Abstand zwischen $A$ und $B$
#satzdespythagoras#nullstelle
2.
$\blacktriangleright$  Länge der Strecken berechnen
Da die Geraden $g_1$, $g_2$ und $g_3$ parallel sind, kannst du den Strahelnsatz anwenden. Es gibt daher mehrere Möglichkeiten die Strecken zu berechnen. Für $x_1$ gilt zum Beispiel:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x_1}{2}&=&\dfrac{3+4,5}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] x_1&=&\dfrac{2\cdot(3+4,5)}{3} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&5 \end{array}$
Für $x_2$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x_2+4,5+3}{3}&=&\dfrac{10}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{x_2+7,5}{3}&=&5 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 3 \\[5pt] x_2+7,5&=& 15 &\quad \scriptsize \mid\; -7,5 \\[5pt] x_2&=&7,5 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \dfrac{x_2+4,5+3}{3}&=&\dfrac{10}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=&7,5 \end{array} $
Und für $x_3$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{5}{2}&=&\dfrac{x_3+2,25}{x_3} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x_3 \\[5pt] \dfrac{5}{2}x_3&=& x_3+2,25 &\quad \scriptsize \mid\; - x_3 \\[5pt] \dfrac{3}{2}x_3&=& 2,25 &\quad \scriptsize \mid\; :\dfrac{3}{2} \\[5pt] x_3&=&1,5 \end{array}$
#strahlensatz
3.
a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung der Parabel $p_1$ berechnen
Die Parabel ist um $2$ nach rechts und um $4$ nach unten verschoben. Schreibe die Parabel zuerst in der Scheitelpunktsform:
$p_1:\quad y=(x-2)^2-4$
Multiplieziere die Funktionsgleichung aus, um die Normalform zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} (x-2)^2-4&=&x^2-2\cdot 2x +2^2-4 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&x^2-4x \end{array}$
$ y=x^2-4x $
Die Funktionsgleichung ist also $p1:\quad y=x^2-4x$.
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung der Parabel $p_2$ berechnen
Setze die beiden Punkte in die allgemeine Normalform für eine nach unten geöffnete Parabel $y=-x^2+px+q$ ein:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-5&=& -(-4)^2-4\cdot p+q &\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&-2&=& -(-1)^2-1\cdot p +q &\quad \\ \hline \text{I}\quad&-5&=& -16-4\cdot p+q &\quad \scriptsize \mid~ +16 \\ \text{II}\quad&-2&=& -1- p +q &\quad \scriptsize \mid~ +1\\ \hline \text{I}\quad&11&=& -4\cdot p+q &\quad \\ \text{II}\quad&-1&=& - p +q &\quad \\ \end{array}$
Löse jetzt das Geichungssystem, um die Parameter $p$ und $q$ zu bestimmen. Forme dazu Gleichung $\text{II}$ nach $q$ um:
$\begin{array}[t]{rll} -1&=&-p+q &\quad \scriptsize \mid\;+p \\[5pt] p-1&=&q \end{array}$
Setze dieses Ergebnis nun in die Gleichung $\text{I}$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} 11&=&-4p+(p-1) &\quad \scriptsize \\[5pt] 11&=& -3p+-1 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] 12&=& -3p &\quad \scriptsize \mid\; :(-3)\\[5pt] -4&=& p &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Berechne $q$ mithilfe der zuvor berechneten Beziehung:
$q=p-1=-4-1=-5$
$ p=-4 \\[5pt] q=-5 $
Setze nun $p$ und $q$ in die allgemeine Normalform ein, um die Funktionsgleichung zu erhalten:
$p_2:\quad y=-x^2-4x-5$
c)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt berechnen
Forme die Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform um, damit du den Scheitelpunkt ablesen kannst. Nutze dazu die quadratische Ergänzung:
$\begin{array}[t]{rll} x^2-6x+5&=&x^2-6x+5+\left(\dfrac{6}{2}\right)^2-\left(\dfrac{6}{2}\right)^2 &\quad \scriptsize\\[5pt] &=&x^2-6x+5+3^2-3^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&(x-3)^2+5-3^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&(x-3)^2-4 \end{array}$
$ y=(x-3)^2-4 $
Jetzt kannst du den Scheitelpunkt ablesen: $S_3(3|-4)$
d)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte $N_1$ und $N_2$ berechnen
Setze $y=0$, um die Schnittpunkte mit der $x$-Achse zu berechnen und löse mithilfe der $abc$-Formel (Mitternachtsformel) nach $x$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&x^2-6x+5 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{6 \pm \sqrt{-6)^2-4\cdot 1 \cdot 5}}{2\cdot 1} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{6 \pm \sqrt{36-20}}{2} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{6 \pm 4}{2} \\[5pt] x_1&=& 5\\[5pt] x_2&=& 1 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} 0&=&x^2-6x+5 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_1&=& 5\\[5pt] x_2&=& 1 \end{array} $
e)
$\blacktriangleright$  Begründen dass es keinen Schnittpunkt gibt
Setze die beiden Parabeln gleich:
$\begin{array}[t]{rll} x^2-6x+5&=& -x^2-4x-9 &\quad \scriptsize \mid\;+x^2+4x+9 \\[5pt] 2x^2-2x+14&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ 0=2x^2-2x+14 $
Versuche mithilfe der $abc$-Formel nach $x$ aufzulösen:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 2 \cdot 14 }}{2\cdot 2} \\[5pt] &=& \dfrac{2 \pm \sqrt{4-112 }}{4} \quad \text{↯} \\[5pt] \end{array}$
$ x_{1,2}=\dfrac{2 \pm \sqrt{4-112 }}{4} \quad \text{↯} $
Da die Zahl unter der Wurzel negativ ist, ist die Gleichung nicht lösbar. Es gibt also keinen Schnittpunkt zwischen den Parabeln $p_3$ und $p_4$.
f)
$\blacktriangleright$  Zeichnen der Parabeln $p_1$ und $p_5$
Zeichne zunächst den Scheitelpunkt $S_1$ der Parabel $p_1$. Spiegel diesen an der $y$-Achse, um den Scheitelpunkt $S_5(-2|-4)$ zu erhalten. Zeichne jetzt zwei nach oben geöffnete Normalparabeln ausgehend von den Scheitelpunkten:
Gruppe 2
Abb. 4: Graphen der Parabeln $p_1$ und $p_5$
Gruppe 2
Abb. 4: Graphen der Parabeln $p_1$ und $p_5$
#gleichungssystem#abc-formel
4.
$\blacktriangleright$  Anwendungen formulieren
Für den Höhensatz gilt:
Gruppe 2
Abb. 5: Höhensatz
Gruppe 2
Abb. 5: Höhensatz
Suche also ein Dreieck mit eingezeichneter Höhe $h$ in der Skizze. Für den Höhensatz gilt dann:
$o^2=m\cdot k$
Für den Kathetensatz gilt:
Gruppe 2
Abb. 6: Kathetensatz
Gruppe 2
Abb. 6: Kathetensatz
Im selben dreieck kannst du den Kathetensatz anwenden:
$n^2=m\cdot (k+m)\quad$ oder $\quad i^2=k\cdot (k+m)$
5.
a)
$\blacktriangleright$  Noch vorhandene Masse berechnen
Nach $1602$ Jahren ist noch $50~\%$ der ursprünglichen Masse vorhanden. Schreibe $400$ Jahre als Anteil von $1602$ mit $n=\dfrac{Jahre}{Halbwertszeit}=\dfrac{400}{1602}$. Jetzt kannst du die Restmenge angeben mit:
$5000 \cdot 0,5^{\dfrac{400}{1602}} \approx 4205$
Es sind also noch etwa $4205$ Gramm vorhanden.
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Jahre bestimmen
Mit der gleichen Fromel kannst du $n$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} 56,57&=& 80 \cdot 0,5^n &\quad \scriptsize \mid~:80 \\[5pt] 0,7071&=&0,5^2&\quad \scriptsize \mid~ \log_{0,5} \\[5pt] 0,50&\approx&n \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} 56,57&=&80\cdot 80 \cdot 0,5^n \\[5pt] n &\approx&0,50 \end{array} $
Da $n$ der Anteil der Jahre von der Halbwertszeit ist, gilt:
$\begin{array}[t]{rll} n&=&\dfrac{Jahre}{Halbwertszeit} &\quad \scriptsize \\[5pt] 0,5&=&\dfrac{Jahre}{1602} &\quad \scriptsize \mid~ \cdot 1602 \\[5pt] 1602\cdot 0,5&=& Jahre \\[5pt] 801&=& Jahre \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} 0,5&=&\dfrac{Jahre}{1602} &\quad \scriptsize \\[5pt] Jahre &=& 801 \end{array} $
Nach $801$ Jahren sind also nur noch $56,57$ Gramm vorhanden.
c)
$\blacktriangleright$  Halbwertszeit bestimmen
Nach einer Halbwertszeit sind noch $5~\text{g}$ vorhanden. Bestimme also die Stelle auf dem Graphen, an welcher noch $5~\text{g}$ vorhanden sind. Lese die zugehörige Zeit ab. Als Ergebnis solltest du als Halbwertszeit $3~\text{min}$ erhalten.
Gruppe 2
Abb. 7: Skizze zur Halbwertszeitbestimmung
Gruppe 2
Abb. 7: Skizze zur Halbwertszeitbestimmung
d)
$\blacktriangleright$  Zeit angeben
Gehe wie in der Aufgabe zuvor vor. Lese am Graphen ab, wann nur noch $0,5~\text{g}$ vorhanden sind und bestimme die zugehörige Zeit. Als Ergebnis erhältst du $13~\text{min}$.
6.
$\blacktriangleright$  Defintionsbereich angeben
Um den Defintionsbereich angeben zu können, musst du die Nullstelle des Nenners berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} x-3&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+3 \\[5pt] x&=&3 \end{array}$
Für $x=3$ würde man also durch $0$ teilen. da dies nicht erlaubt ist, ist die Funktion für $x=3$ nicht definiert und du musst $x=3$ aus allen reelen Zahlen ausschließen. Damit erhältst du:
$D=\mathbb{R} \setminus \{ 3\}$
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge ermitteln
Löse die Gleichung, indem du zuerst mit dem Nenner multiplizierst und dann die Gleichung sortierst:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{x-3}&=&\dfrac{3}{x-3}-2&\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x-3) \\[5pt] \dfrac{x\cdot (x-3)}{2}+x&=&3-2\cdot (x-3) &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{x^2-3x}{2}+x&=&3-2x+6 &\quad \scriptsize \mid~ \cdot 2 \\[5pt] x^2-3x+2x&=&6-4x+12 &\quad \scriptsize \\[5pt] x^2-x&=&-4x+18 &\quad \scriptsize \mid~ +4x-18 \\[5pt] x^2+3x-18&=&0 \end{array}$
$ x^2+3x-18=0$
Benutze jetzt die $abc$-Formel (Mitternachtsformel), um nach $x$ aufzulösen::
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2-4\cdot 1 \cdot (-18)}}{2\cdot 1} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-3 \pm \sqrt{9+72}}{2} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-3 \pm 9}{2} \\[5pt] x_1&=& 3\\[5pt] x_2&=&-6 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} x_1&=& 3\\[5pt] x_2&=&-6 \end{array} $
Da die Lösung $x_1=3$ nicht in der Definitionsmenge liegt ist die Lösungsmenge:
$L=\{-6 \}$
#definitionsbereich#abc-formel
7.
a)
$\blacktriangleright$  Begründen
Im Baumdiagramm kannst du am Nenner der Wahrscheinlichkeiten erkennen, dass beim ersten Ziehen $50$ Kugeln im Behälter waren. Beim zweiten Ziehen hingegen nur noch $49$ Kugeln. Also muss es sich um ein Zufallsexperiment ohne Zurücklegen handeln.
b)
$\blacktriangleright$  Passenden Behälter finden
In allen drei Behältern befinden sich $50$ Kugeln. Am Baumdiagramm kannst du die Anzahl der weißen, schwarzen und grauen Kugeln ablesen. Im Behälter sollten sich $45$ graue Kugeln, $4$ weiße Kugeln und $1$ schwarze Kugel befinden. Zu dieser Situation passt nur Behälter $1$.
c)
$\blacktriangleright$  $p_2$ und $p_3$ angeben
Die Wahrscheinlichkeit pro Zug muss insgesamt immer $100~\%=1$ sein. Für $p_2$ gilt also:
$p_2=\dfrac{49}{49}-\dfrac{4}{49}-\dfrac{1}{49}=\dfrac{45}{49}$
Für $p_3$ erhältst du:
$p_3=\dfrac{49}{49}-\dfrac{45}{49}\dfrac{1}{49}=\dfrac{3}{49}$
Du kannst auch durch Überlegen, wie viele Kugeln sich im Behälter befinden, auf die Wahrscheinlichkeiten schließen.
d)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Für eine weiße und eine graue Kugel gibt es $2$ Pfade. Mit der Pfadmultiplikations- und Additionsregel gilt:
$P=\dfrac{4}{50}\cdot \dfrac{45}{49}+\dfrac{45}{50}\cdot \dfrac{4}{49}=\dfrac{36}{245}\approx 0,1469=14,69~\%$
$ P=\dfrac{36}{245}$
#prozent
8
$\blacktriangleright$  Terme vervollständigen
Für die Aufagbe benötigst du die $1.$ und die $2.$ Binomische Formel:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ und $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
a)
Benutze die $1.$ Binnomische Formel und betrachte zuerst das $2.$ Kästchen. Hier muss $b$ stehen, wobei $b^2=0,25c^2$ ist. Also:
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=&0,25c^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{} \\[5pt] b&=&\sqrt{0,25c^2} \\[5pt] &=& 0,5c \end{array}$
Betrachte als nächstes das $1.$ Käschen. Hier muss $a$ stehen. Du kannst $2ab=2fc$ ablesen. Also:
$\begin{array}[t]{rll} 2ab&=&2fc &\quad \scriptsize \\[5pt] 2a \cdot 0,5c &=&2fc &\quad \scriptsize \\[5pt] ac &=&2fc &\quad \scriptsize \mid~ :c \\[5pt] a&=&2f \end{array}$
Für das $3.$ Kästchen gilt $a^2$, also:
$a^2=(2f)^2=4f^2$
Setzt du dies ein, erhältst du:
$(\color{#87c800}{2f}+\color{#87c800}{0,5c})^2=\color{#87c800}{4f^2}+2fc+0,25c^2$
$ … $
b)
Dies ist die $2.$ Binomische Formel. Betrachte zuerst das $1.$ Kästchen, indem $a$ stehen muss. Aus der Formel kannst du $a^2=1,44e^2$ ablesen. Also:
$a=\sqrt{1,44e^2}=1,2e$
Außerdem kannst du $b=5m$ aus dem gegebenen Term ablesen. Für das $3.$ Kästchen gilt $b^2$:
$b^2=(5m)^2=25m^2$
Das $2.$ Kästchen steht für $2ab$, setze also $a$ und $b$ ein:
$2ab=2\cdot 1,2e \cdot 5m= 12em$
Setzt du nun wieder alles in die Gleichung ein, erhältst du:
$(\color{#87c800}{1,2e}-5m)^2=1,44e^2-\color{#87c800}{12em}+\color{#87c800}{25m^2}$
$ … $
9.
$\blacktriangleright$  Umfang berechnen
Für die Strecke $[BC]$ gilt mit dem Kosinus:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(180^{\circ}-145^{\circ})&=&\dfrac{\overline{CD}}{\overline{BC}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos(35^{\circ})&=&\dfrac{4,7}{\overline{BC}} &\quad \scriptsize \mid~ \cdot \overline{BC} \\[5pt] \overline{BC} \cdot \cos(35^{\circ})&=&4,7~\text{m} &\quad \scriptsize \mid~ :\cos(35^{\circ}) \\[5pt] \overline{BC}&=&\dfrac{4,7~\text{m}}{\cos(35^{\circ})} \\[5pt] &\approx& 5,74 ~\text{m} \end{array}$
$\overline{BC}\approx 5,74 ~\text{m} $
Für die Strecke $[BD]$ gilt mit dem Satz des Pythagoras:
$\begin{array}[t]{rll} (5,74~\text{m})^2&=&\overline{BD}^2+(4,7~\text{m})^2 &\quad \scriptsize \mid\; -(4,7~\text{m})^2 \\[5pt] (5,74~\text{m})^2-(4,7~\text{m})^2&=&\overline{BD}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{}\\[5pt] \sqrt{(5,74~\text{m})^2-(4,7~\text{m})^2}&=&\overline{BD} \\[5pt] 3,30 ~\text{m}&\approx& \overline{BD} \end{array}$
$ \overline{BD}\approx 3,30 ~\text{m} $
Die Strecke $[AD]$ ist damit:
$\overline{AD}=15~\text{m}-3,3~\text{m}=11,7~\text{m}$
Jetzt kannst du die Strecke $ [AC]$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}^2&=&(4,7~\text{m})^2+(11,7~\text{m})^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{} \\[5pt] \overline{AC}&=&\sqrt{(4,7~\text{m})^2+(11,7~\text{m})^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 12,61~\text{m} \end{array}$
$ \overline{AC}\approx 12,61~\text{m} $
Addiere alle Längen des Dreiecks zusammen, um den Umfang zu erhalten:
$U=5,74~\text{m}+15~\text{m}+12,61~\text{m}=33,35~\text{m}$
$ U=33,35~\text{m}$
Der Umfang des Dreiecks ist also $33,35~\text{m}$.
#kosinus#satzdespythagoras
10.
$\blacktriangleright$  Durchmesser der Glaskugel berechnen
Aus der Aufgabe kannst du entnehmen, dass $60$ Glaskugeln den Wasserpegel von $\dfrac{3}{4}$ auf $\dfrac{4}{5}$ von $2,5$ Litern ansteigen lassen. Berechne zuerst wie groß diese Volumensänderung ist. Rechne in $\text{cm}^3$. Da $1~\text{L}=1~\text{dm}^3=1000~\text{cm}^3$ ist, gilt:
$2500~\text{cm}^3\cdot \dfrac{3}{4}=1875~\text{cm}^3\\[5pt] 2500~\text{cm}^3\cdot \dfrac{4}{5}=2000~\text{cm}^3$
Das Volumen der $60$ Kugel ist also:
$V_{60}=2000~\text{cm}^3-1875~\text{cm}^3=125~\text{cm}^3$
$ V_{60}=125~\text{cm}^3 $
Und demetsprechend das Volumen einer Kugel entspricht:
$V=\dfrac{125~\text{cm}^3}{60}\approx 2,083~\text{cm}^3$
Berechne jetzt mithilfe der Volumensformel einer Kugel deren Radius:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{4}{3}\cdot 3,14 \cdot r^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] 2,083~\text{cm}^3&=&\dfrac{4}{3}\cdot 3,14 \cdot r^3 &\quad \scriptsize \mid~ :\left(\dfrac{4}{3}\cdot 3,14 \right) \\[5pt] 0,4975~\text{cm}^3&=&r^3&\quad \scriptsize \mid~ \sqrt[3]{\color{#0000}{x}} \\[5pt] 0,79~\text{cm}&\approx& r \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{4}{3}\cdot 3,14 \cdot r^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] r &\approx& 0,79~\text{cm} \end{array}$
Der Durchmesser einer Glaskugel ist also:
$d=2\cdot r= 2\cdot 0,79~\text{cm}=1,58~\text{cm}$
#kugel
Bildnachweise [nach oben]
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