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1.
Gegeben ist der Graph der linearen Funktion $g_1$:
Graph
Abb. 1: Graph von $g_1$
Graph
Abb. 1: Graph von $g_1$
a)
Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden $g_1$.
b)
Die Gerade $g_2$ hat die Funktionsgleichung $g_2:\quad y=-2x-3$.
Die Gerade $g_3$ verläuft parallel zu $g_2$ und durch den Punkt $C(1|2)$.
Ermittle die Funktionsgleichung von $g_3$ rechnerisch.
c)
Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes $N$ von $g_2$ mit der $x$-Achse und gebe $N$ an.
d)
Die Gerade $g_2$ wird an der $x$-Achse gespiegelt. Gebe die Funktionsgleichung der dadurch enstandenen Geraden $g_4$ an.
e)
Der Punkt $D(-16,5|y_D)$ liegt auf der Geraden $g_2$.
Berechne die fehlende Koordinate von $D$.
f)
Zeichne den Graphen der Geraden $g_2$ und $g_3$ in ein Koordinatensystem mit der Einheit $1~\text{cm}$
Hinweis zum Platzbedarf: $x$-Achse von $-5$ bis $5$, $y$-Achse von $-4$ bis $7$
g)
Berechne den Abstand zwischen den Punkten $A(2|0)$ und $B(0|4)$.
(8 P.)
#gerade
2.
Berechne die Längen der Strecken $x_1$, $x_2$ und $x_3$ (siehe Skizze).
Es gilt: $g_1~||~ g_2~||~ g_3$
Skizze
Abb. 2: Skizze nicht maßstabsgetreu
Maße in cm
Skizze
Abb. 2: Skizze nicht maßstabsgetreu
Maße in cm
(3 P.)
3.
a)
Die nach oben geöffnete Normalparabel $p_1$ hat den Scheitelpunkt $S_1(2|-4)$. Berechne die Funktionsgleichung der Parabel $p_1$ in der Normalform.
b)
Die Punkte $A(-4|-5)$ und $B(-1|-2)$ liegen auf der nach unten geöffnete Normalparabel $p_2$.
Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung von $p_2$.
c)
Die Normalparabel $p_3$ hat die Funktionsgleichung $p_3:\quad y=x^2-6x+5$.
Berechne die Koordinaten des Scheitelpunktes $S_3$ von $p_3$.
d)
Ermittle rechnerisch die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte $N_1$ und $N_2$ von $p_3$ mit der $x$-Achse.
e)
Gegeben ist die Normalparabel $p_4: \quad y=-x^2-4x-9$. Begründe mithilfe einer Rechnung, dass sich die Parabeln $p_3$ und $p_4$ nicht schneiden.
f)
Durch Spiegelung der arabel $p_1$ an der $y$-Achse entsteht die Parabel $p_5$.
Zeichne die Graphen der Parabeln $p_1$ und $p_5$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1~\text{cm}$.
Hinweis zum Platzbedarf: $x$-Achse von $-6$ bis $6$, $y$-Achse von $-5$ bis $6$
(8 P.)
#parabel
4.
Das Trapez $ABCD$ setzt sich aus mehreren Dreiecken zusammen (siehe Skizze).
Formuliere jeweils eine Anwendung des Höhensatzes und des Kathetensatzes unter Verwendung der in der Skizze angegebenen Strekenbezeichnungen.
Skizze
Abb. 3: Trapez $ABCD$
Skizze
Abb. 3: Trapez $ABCD$
(2 P.)
#dreieck
5.
Die Halbwärtszeit des radioaktiven Elements Radium beträgt $1602$ Jahre.
a)
Berechne die Masse an Radium, die nach $400$ Jahren von ursprünglich $5000$ Gramm noch vorhanden ist.
b)
Ermittle rechnerisch, nach wie vielen Jahren von ursprünglich $80$ Gramm Radium noch $56,57$ Gramm vorhanden sind.
Der Zerfall von $10~\text{g}$ radioaktivem Polonium-218 wird durch folgenden Graphen dargestellt.
Graph
Abb. 4: Zerfall von Polonium-218
Graph
Abb. 4: Zerfall von Polonium-218
c)
Bestimme die Halbwertszeit des Elements anhand des Graphen.
d)
Gebe an, nach wie vielen Minuten von $10~\text{g}$ Polonium-218 nur noch $0,5~\text{g}$ vorhanden sind.
(5 P.)
#halbwertszeit#exponentielleswachstum
6.
Gebe die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und ermittle die Lösungsmenge rechnerisch.
$\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{x-3}=\dfrac{3}{x-3}-2$
(4 P.)
#bruchgleichung
7.
In einem Behälter befinden sich Kugeln in den Farben grau ($g$), weiß ($w$) und schwarz ($s$). Bei einem Zufallsexperiment wird zweimal nacheinander jeweils eine Kugel gezogen.
Das folgende Baumdiagramm stellt die möglichen Ergebnisse dieses Zufallsexperiments dar.
Baumdiagramm
Abb. 5: Baumdiagramm
Baumdiagramm
Abb. 5: Baumdiagramm
a)
Begründe anhand des Baumdiagramms, dass es sich um ein Zufallsexeriment ohne Zurücklegen handelt.
b)
Notiere auf deinem Lösungsblatt die Nummer des Behälters (siehe Abbildung unten), die zum dargestellten Baumdiagramm passt.
1)
Skizze
Skizze
2)
Skizze
Skizze
3)
Skizze
Abb. 6: Behälter 3
Skizze
Abb. 8: Behälter 3
c)
Gebe die im Baumdiagramm fehlenden Wahrscheinlichkeiten $p_2$ und $p_3$ in Bruchschreibweise an.
d)
Berechne, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass es sich bei den beiden gezogenen Kugeln um eine graue sowie um eine weiße handelt.
(4 P.)
#wahrscheinlichkeit#baumdiagramm
8.
Folgende Gleichungen sind Anwendungen von Binomischen Formeln.
Ersetze jeweils den Platzhalter $\square$ durch den entsprechenden Terme und schreibe die mathematisch richtigen Gleichungen auf dein Lösungsblatt.
a)
$(\color{#87c800}{\square}+\color{#87c800}{\square})^2=\color{#87c800}{\square}+2fc+0,25c^2$
b)
$\color{#87c800}{\square}-5m)^2=1,44e^2-\color{#87c800}{\square}+\color{#87c800}{\square}$
(3 P.)
#binomischeformeln
9.
Berechne den Umfang des in der Skizze dargestellten stumpfwinkligen Dreiecks $ABC$.
Skizze
Abb. 7: Skizze nicht maßstabsgetreu
Skizze
Abb. 7: Skizze nicht maßstabsgetreu
(4 P.)
#dreieck
10.
Eine zylinderförmige Blumenvase hat ein Gesamtvolumen von $2,5$ Litern. Sie ist zu $\dfrac{3}{4}$ mit Wasser gefüllt.
Es werden $60$ farbige Deko-Glaskugeln hineingegeben, die vollständig untertauchen. Danach ist die Vase zu $\dfrac{4}{5}$ ihres Gesamtvolumens gefüllt.
Berechne den Durchmesser einer Glaskugel.
(4 P.)
#volumen
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