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Analysis A I

Aufgaben
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1.0
1.1
Skizziere den Graphen $G_{g'}$ der 1. Ableitungsfunktion von $g$ in ein geeignetes Koordinatensystem und gib die max. Monotonieintervalle der 1. Ableitungsfunktion $g'$ an.
(5 BE)
#ableitung#monotonie
1.2.0
Zur Bestimmung des Funktionsterms $g(x)$ ist folgendes Gleichungssystem gegeben:
$\begin{array}{llrrll} \text{I}\quad&216a+36b+6c+d&=& 0 \\ \text{II}\quad&125a+25b+5c+d&=&-18 \\ \text{III}\quad&108a+12b+c&=&16 \\ \text{IV}\quad&30a+2b&=&0 \\ \end{array}$
1.2.1
Gib nachvollziehbar an, welche Ansätze zu diesen Gleichungen führen.
(4 BE)
1.2.2
Bestimme $g(x)$ mithilfe der Gleichungen aus 1.2.0.
(7 BE)
2.0
Gegeben ist nun die Funktion
$f: \quad x \to \frac{1}{10}\cdot g(x)=\frac{1}{10}(-x^3+15x^2-56x+12)$
$f: \quad x \to \frac{1}{10}\cdot g(x)=$ $\frac{1}{10}(-x^3+15x^2-56x+12)$
mit $\mathbb{D}_f= \mathbb{R},$ wobei $g$ die Funktion aus Teilaufgabe 1.2.2 ist. Der Graph wird mit $G_f$ bezeichnet.
2.1
Berechne alle Schnittpunkte des Graphen $G_f$ mit den Koordinatenachsen.
(7 BE)
2.2
Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von $G_f.$ Runde die Koordinaten auf eine Nachkommastelle.
(6 BE)
#extrempunkt
2.3
Bestimme die maximalen Krümmungsintervalle von $G_f.$
(4 BE)
#krümmung
2.4
Zeichne unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen $G_f$ im Bereich $-1\leq x\leq 10$ in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: $1\,\text{LE}=1 \text{cm}.$
(5 BE)
2.5
Es gilt $\displaystyle\int_{-2}^{6}f(x)\;\mathrm dx = 0.$ Interpretiere dieses Ergebnis in Bezug auf $G_f.$
(2 BE)
#integral
2.6
Die Parabel $G_p$ mit $p(x)= -0,1x^2+0,4x+1,2$ und $\mathbb{D}_p=\mathbb{R}$ schließt mit $G_f$ im $\text{I.}$ und $\text{IV.}$ Quadranten zwei endliche Flächenstücke ein.
Zeichne $G_p$ für $-1\leq x\leq 10$ in das vorhandene Koordinatensystem ein, schraffiere das linke der beiden Flächenstücke und berechne die Maßzahl seines Flächeninhalts. Die Integrationsgrenzen können der Zeichnung entnommen werden.
(7 BE)
3.0
3.1
Ermittle die Maßzahl $V(h)$ des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe $h$ und gib eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion $V:\quad h\to V(h)$ an, wenn die Höhe $h$ mindestens $6\,\text{cm}$ betragen soll.
[Mögliches Teilergebnis: $V(h)=h\pi (100-h^2)$]
(4 BE)
#zylinder
3.2
Berechne $h$ so, dass $V(h)$ den absolut größten Wert annimmt, und untersuche, ob das maximale Volumen $V_{\text{max}}$ des Zylinders mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens beträgt.
(9 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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1.1
$\blacktriangleright$  Graphen der 1. Ableitungsfunktion skizzieren
Analysis A I
Analysis A I
Abb. 1: $G_{g'}$
Analysis A I
Abb. 1: $G_{g'}$
$\blacktriangleright$  Maximale Monotonieintervalle angeben
Da $g$ eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist, ist die erste Ableitungsfunktion $g'$ eine ganzrationale Funktion zweiten Grades und der zugehörige Graph daher eine Parabel.
Der Graph von $g$ fällt im Bereich $x\leq 2,5$ und erreicht dann bei $x\approx 2,5$ einen Tiefpunkt und bei $x\approx 5$ einen Wendepunkt. Die Parabel ist also nach unten geöffnet und hat ihren Scheitelpunkt an der Stelle $x\approx 5.$
Da $g'$ die Steigung des Graphen von $g$ beschreibt, muss demnach folgendes gelten:
Im Intervall $]-\infty;5[$ ist $G_{g'}$ streng monoton steigend.
Im Intervall $]5;\infty[$ ist $G_{g'}$ streng monoton fallend.
1.2.1
$\blacktriangleright$  Ansätze für das Gleichungssystem nennen
Da es sich bei $g$ um eine ganzrationale Funktion dritten Grades handelt, wurde folgender Ansatz verwendet:
$g(x)= ax^3 +bx^2 +cx +d$
1. Gleichung: $\boldsymbol{216a+36b+6c+d=0}$
Für die erste Gleichung wurde die Nullstelle $x=6$ verwendet, die sich der Abbildung entnehmen lässt. Daraus ergibt sich die Gleichung $g(6)=0,$ welche mit dem oben genannten Ansatz einer ganzrationalen Funktion dritten Grades zu folgender Umformung führt:
$\begin{array}[t]{rll} g(6)&=& 0 \\[5pt] a\cdot 6^3 +b\cdot 6^2 +c\cdot 6 +d &=& 0\\[5pt] 216a +36b +6c +d &=& 0\\[5pt] \end{array}$
$ g(6)=0 … $
2. Gleichung: $\boldsymbol{125a+25b+5c+d=-18}$
Für die zweite Gleichung wurde der Funktionswert von $g$ an der Stelle $x=5$ aus der Abbildung abgelesen. Der Abbildung lässt sich entnehmen, dass $g(5)\approx -18$ gilt. Wie oben ergibt sich daher:
$\begin{array}[t]{rll} g(5)&=& -18 \\[5pt] a\cdot 5^3 +b\cdot 5^2 +c\cdot 5 +d &=& 0\\[5pt] 125a +25b +5c +d &=& -18\\[5pt] \end{array}$
$ g(5)=-18… $
3. Gleichung: $\boldsymbol{108a+12b+c =16}$
Im Einführungstext der Aufgabe ist angegeben, dass $G_g$ an der Stelle $x=6$ eine Tangente mit $t:\quad y = 16x-96$ besitzt. Daraus lässt sich ableiten, dass $G_g$ an der Stelle $x=6$ die Steigung $g'(6)=16$ besitzt. Mit dem obigen Ansatz für $g(x)$ ergibt sich:
$g'(x)= 3ax^2+2bx+c$
Daher ergibt sich der Ansatz:
$\begin{array}[t]{rll} g'(6)&=& 16 \\[5pt] 3a6^2 +2b\cdot 6 +c &=& 16\\[5pt] 108a +12b +c &=& 16\\[5pt] \end{array}$
$ g'(6)=16 … $
4. Gleichung: $\boldsymbol{30a+2b=0}$
An der Stelle $x=5$ besitzt $G_g$ einen Wendepunkt. Aufgrund des notwendigen Kriteriums für Wendestellen muss daher $g''(5)=0$ gelten.
$g''(x)= 6ax+2b$
Es ergibt sich also die angegebene Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} g''(5)&=& 0 \\[5pt] 6a\cdot 5 + 2b &=& 0\\[5pt] 30a +2b &=& 0\\[5pt] \end{array}$
$ g''(5)=0 … $
#wendepunkt
1.2.2
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
$\begin{array}{llrrll} \text{I}\quad&216a+36b+6c+d&=& 0 &\quad \scriptsize\mid\;\text{I}-\text{II}\\ \text{II}\quad&125a+25b+5c+d&=&-18 & \\ \text{III}\quad&108a+12b+c&=&16 & \\ \text{IV}\quad&30a+2b&=&0 & \\ \hline \text{Ia}\quad&91a+11b+c &=& 18 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Ia}-\text{III}\\ \text{II}\quad&125a+25b+5c+d&=&-18 & \\ \text{III}\quad&108a+12b+c&=&16 & \\ \text{IV}\quad&30a+2b&=&0 & \\ \hline \text{Ib}\quad&-17a-b &=& 2 &\quad \scriptsize\mid\;+17a\\ &-b &=& 2+17a &\quad \scriptsize\mid\;\cdot (-1)\\ &b &=& -2-17a \\[5pt] \text{II}\quad&125a+25b+5c+d&=&-18 & \\ \text{III}\quad&108a+12b+c&=&16 & \\ \text{IV}\quad&30a+2b&=&0 & \\ \hline \text{Ic}\quad&b &=& -2-17a & \text{Setze Ic in IV ein}\\ \text{II}\quad&125a+25b+5c+d&=&-18 & \\ \text{III}\quad&108a+12b+c&=&16 & \\ \text{IV}\quad&30a+2b&=&0 & \\ \end{array}$
Nun kannst du $\text{Ic}$ in $\text{IV}$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{IV}\quad 30a+2b&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;b = -2-17a \\[5pt] 30a+2 (-2-17a)&=& 0 \\[5pt] 30a -4-34a &=& 0 \\[5pt] -4a-4&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] -4a&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\;:(-4) \\[5pt] a&=& -1 \end{array}$
$ a= -1 $
Setze dies wiederum in $\text{Ic}$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} b&=&-2-17\cdot (-1) \\[5pt] &=& 15 \end{array}$
$a$ und $b$ lassen sich nun in $\text{III}$ einsetzen um $c$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{III}\quad 108a+12b+c&=& 16 \\[5pt] 108\cdot (-1) +12\cdot 15 +c&=& 16 \\[5pt] 72+c&=&16 &\quad \scriptsize \mid\;-72 \\[5pt] c&=& -56\\[5pt] \end{array}$
$ c= -56 $
Berechne nun $d$ durch Einsetzen in $\text{II}:$
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad 125a+25b+5c+d&=& -18 \\[5pt] 125\cdot (-1) +25\cdot 15 +5\cdot (-56) +d &=& -18 \\[5pt] -30 +d &=& -18 &\quad \scriptsize \mid\; +30 \\[5pt] d&=& 12 \end{array}$
$ d=12 $
Die Funktionsgleichung lautet:
$g(x)= -x^3+15x^2-56x+12$
2.1
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{x}$-Achse berechnen
Vereinfache die Gleichung $f(x)=0$ zuerst:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] \frac{1}{10}g(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : \frac{1}{10}\\[5pt] g(x)&=& 0 \end{array}$
Die Nullstellen von $f$ sind also die Nullstellen von $g.$ Eine Nullstelle von $f$ ist daher $x_1=6.$
Mit Polynomdivision ergibt sich:
$(-x^3$$+$$15x^2$$-$$56x$$+$$12)$$:$$(x-6)$$=$$-x^2 +9x-2$
$-$ $(-x^3$$-$$6x^2)$
$9x^2$$-$$56x$
$-$$(9x^2$$-$$54x)$
$-2x$$+$$12$
$-$$(-2x$$+$$12)$
$0$
$ -x^2 +9x-2 $
Nun kannst du die übrigen Nullstellen mit der $p$-$q$-Formel bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} -x^2+9x-2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] x^2-9x+2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; p\text{-}q\text{-Formel}\\[5pt] x_{2/3}&=& -\frac{-9}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-9}{2}\right)^2-2} \\[5pt] &=& \frac{9}{2}\pm \sqrt{\frac{81}{4}-2} \\[5pt] &=& \frac{9}{2}\pm \sqrt{\frac{73}{4}} \\[5pt] x_2&=& \frac{9-\sqrt{73}}{2} \\[5pt] x_3&=& \frac{9+\sqrt{73}}{2} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_2&=& \frac{9-\sqrt{73}}{2} \\[5pt] x_3&=& \frac{9+\sqrt{73}}{2} \\[5pt] \end{array}$
Die Schnittpunkte von $G_f$ mit der $x$-Achse sind $N_1\left(6\mid 0\right),$ $N_2\left( \frac{9-\sqrt{73}}{2}\mid 0\right)$ und $N_3\left( \frac{9+\sqrt{73}}{2}\mid 0\right).$
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{y}$-Achse berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& \frac{1}{10}\left(-0^3+15\cdot 0^2 -56\cdot 0 +12 \right) \\[5pt] &=& \frac{6}{5} \end{array}$
$ f(0)= \frac{6}{5}$
Der Schnittpunkt von $G_f$ mit der $y$-Achse ist $S_y\left(0\mid\frac{6}{5}\right).$
2.2
$\blacktriangleright$  Extrempunkte bestimmen
1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\frac{1}{10}\cdot (-x^3+15x^2-56x+12) \\[10pt] f'(x)&=& \frac{1}{10}\cdot (-3x^2+30x-56) \\[10pt] f'(x)&=& 0 \\[5pt] \frac{1}{10}\cdot (-3x^2+30x-56) &=& 0&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 10 \\[5pt] -3x^2+30x-56&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:(-3) \\[5pt] x^2-10x+\frac{56}{3}&=& 0 &\quad \scriptsize p\text{-}q\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& -\frac{-10}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{-10}{2}\right)^2 -\frac{56}{3}} \\[5pt] &=& 5 \pm \sqrt{\frac{19}{3}} \\[5pt] x_1&=& 5+ \sqrt{\frac{19}{3}} \\[5pt] &\approx& 7,5 \\[10pt] x_2&\approx& 2,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 5+ \sqrt{\frac{19}{3}} \\[5pt] &\approx& 7,5 \\[10pt] x_2&\approx& 2,5 \end{array}$
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& \frac{1}{10}\cdot (-3x^2+30x-56) \\[10pt] f''(x)&=& \frac{1}{10}\cdot (-6x+30) \\[10pt] f''\left(7,5\right)&=& \frac{1}{10}\cdot \left(-6\cdot 7,5+30\right) \\[5pt] &=& -1,5 \\[5pt] &<& 0 \\[10pt] f''\left(2,5\right)&=& \frac{1}{10}\cdot \left(-6\cdot 2,5+30\right) \\[5pt] &=& 1,5 \\[5pt] &>& 0 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f''\left(7,5\right)&=& -1,5 \\[5pt] &<& 0 \\[10pt] f''\left(2,5\right)&=& 1,5 \\[5pt] &>& 0 \\[10pt] \end{array}$
3. Schritt: Koordinaten berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(7,5)&=& \frac{1}{10}\cdot (-7,5^3+15\cdot 7,5^2-56\cdot 7,5+12) \\[5pt] &\approx& 1,4 \\[10pt] f(2,5)&=& \frac{1}{10}\cdot (-2,5^3+15\cdot 2,5^2-56\cdot 2,5+12) \\[5pt] &\approx& -5,0 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(7,5)&\approx& 1,4 \\[10pt] f(2,5)&\approx& -5,0 \\[10pt] \end{array}$
$G_f$ besitzt einen relativen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(7,5\mid 1,4)$ und einen relativen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(2,5\mid -5,0).$
2.3
$\blacktriangleright$  Maximale Krümmungsintervalle bestimmen
Das Krümmungsverhalten des Graphen von $f$ wird durch die zweite Ableitungsfunktion $f''$ beschrieben. Der Graph ist linksgekrümmt, wenn $f''(x)>0$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&>& 0 \\[5pt] \frac{1}{10}\cdot (-6x+30)&>&0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 10\\[5pt] -6x+30&>& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+6x \\[5pt] 30&>& 6x &\quad \scriptsize \mid\; :6 \\[5pt] 5&>&x \\[5pt] \end{array}$
$ 5 > x $
$G_f$ ist im Intervall $]-\infty;5[$ linksgekrümmt.
Der Graph ist rechtsgekrümmt, wenn $f''(x)<0$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&<& 0 \\[5pt] \frac{1}{10}\cdot (-6x+30)&<&0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 10\\[5pt] -6x+30&<& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+6x \\[5pt] 30&<& 6x &\quad \scriptsize \mid\; :6 \\[5pt] 5&<&x \\[5pt] \end{array}$
$ 5 < x $
$G_f$ ist im Intervall $]5;\infty[$ rechtsgekrümmt.
2.4
$\blacktriangleright$  Graph skizzieren
Analysis A I
Abb. 2: $G_f$
Analysis A I
Abb. 2: $G_f$
2.5
$\blacktriangleright$  Integralwert interpretieren
Es gilt $\displaystyle\int_{-2}^{6}f(x)\;\mathrm dx = 0.$ Der Ausdruck $\displaystyle\int_{-2}^{6}f(x)\;\mathrm dx$ gibt die Flächenbilanz des Graphen von $f$ im Intervall $[-2;6]$ an. Diese Flächenbilanz setzt sich aus negativen und positiven Summanden zusammen:
  • Die Größen der Flächen, die oberhalb der $x$-Achse liegen, gehen positiv in die Bilanz ein.
  • Die Größen der Flächen, die unterhalb der $x$-Achse liegen, gehen negativ in die Bilanz ein.
Die Funktion $f$ hat innerhalb des betrachteten Intervalls $[-2;6]$ die Nullstelle $x_2=\frac{9-\sqrt{73}}{2}.$ An dieser Stelle wechselt das Vorzeichen von $f$ von positiv zu negativ. Der Graph $G_f$ verläuft davor also oberhalb der $x$-Achse, danach unterhalb der $x$-Achse.
Das Flächenstück, das der Graph $G_f$ im Intervall $[-2;6]$ mit der $x$-Achse einschließt, setzt sich also aus zwei Teilstücken zusammen:
  • $A_1$ ist die Fläche, die $G_f$ im Intervall $[-2;\frac{9-\sqrt{73}}{2}]$ mit der $x$-Achse einschließt. Diese Fläche liegt oberhalb der $x$-Achse. Ihre Größe geht daher positiv in die Flächenbilanz ein.
  • $A_2$ ist die Fläche, die $G_f$ im Intervall $[\frac{9-\sqrt{73}}{2};6]$ mit der $x$-Achse einschließt. Diese Fläche liegt unterhalb der $x$-Achse. Ihre Größe geht daher negativ in die Flächenbilanz ein.
Da die Flächenbilanz sich zu Null ergibt, müssen positive und negative Werte sich gegenseitig aufheben, also betragsmäßig identisch sein. Die beiden Flächenstücke $A_1$ und $A_2$ besitzen also den gleichen Flächeninhalt.
2.6
$\blacktriangleright$  Zeichnung anfertigen
Analysis A I
Abb. 3: Linke Schnittfläche von $G_f$ und $G_p$
Analysis A I
Abb. 3: Linke Schnittfläche von $G_f$ und $G_p$
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Die betrachtete Fläche ist die Fläche, die die Graphen $G_f$ und $G_p$ zwischen ihren beiden linken Schnittstellen einschließen.
Diese können laut Aufgabenstellung der Zeichnung entnommen werden:
$x_1 = 0$ und $x_2= 6$
Der Flächeninhalt zwischen zwei Graphen lässt sich mithilfe eines Integrals berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \displaystyle\int_{0}^{6}(p(x)-f(x))\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{6}\left(-0,1x^2+0,4x+1,2-\left(\frac{1}{10}(-x^3+15x^2-56x+12)\right)\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{6}\left(-0,1x^2+0,4x+1,2+0,1x^3-1,5x^2+5,6x-1,2\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{6}\left(0,1x^3-1,6x^2+6x\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& [0,025x^4-\frac{8}{15}x^3+3x^2]_0^6 \\[5pt] &=& 0,025\cdot 6^4-\frac{8}{15}\cdot 6^3+3\cdot 6^2 - 0,025\cdot 0^4-\frac{8}{15}\cdot 0^3+3\cdot 0^2\\[5pt] &=& 25,2 \,[\text{FE}] \end{array}$
$ A=25,2 $
Der Flächeninhalt der beschriebenen Fläche beträgt $25,2\,\text{FE}.$
3.1
$\blacktriangleright$  Volumen des Zylinders ermitteln
Das Volumen eines Zylinders wird allgemein über folgende Formel berechnet:
$V= \pi \cdot r^2\cdot h$
Die Höhe $h$, der Radius $r$ und der Kugelradius $R,$ wie sie in der Abbildung dargestellt sind, bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Mithilfe des Satz des Pythagoras ergibt sich also eine Darstellung von $r$ in Abhängigkeit von $h:$
$\begin{array}[t]{rll} r^2+h^2&=& R^2 &\quad \scriptsize \mid\; R=10 \\[5pt] r^2+h^2&=& 10^2 \\[5pt] r^2+h^2&=& 100 &\quad \scriptsize \mid\; -h^2 \\[5pt] r^2&=&100-h^2 \\[5pt] r&=& \sqrt{100-h^2} \end{array}$
$ r= \sqrt{100-h^2} $
Es gilt also $r(h)= \sqrt{100-h^2}.$ Einsetzen in die Volumenformel ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} V(h)&=& \pi \cdot \sqrt{100-h^2}^2\cdot h \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(100-h^2\right)\cdot h \\[5pt] &=& h\cdot\pi\cdot \left(100-h^2\right)\\[5pt] \end{array}$
$ V(h)= h\pi \left(100-h^2\right)$
Die Maßzahl des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe $h$ ist $V(h)=h\cdot\pi\cdot \left(100-h^2\right).$
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge angeben
Es müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
  1. $h$ soll mindestens $6$ sein, also $h\geq 6.$
  2. $r$ muss positiv sein, also $r>0$
Aus 2. ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} r&>&0 \\[5pt] \sqrt{100-h^2}&>& 0 &\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] 100-h^2&>& 0 \\[5pt] 100&>& h^2 \\[5pt] \end{array}$
$ 100> h^2 $
Diese Ungleichung ist genau dann erfüllt, wenn $-10 < h < 10$ ist. Zusammen mit der Bedingung $h\geq 6$ folgt für den Definitionsbereich für $V:$
$\mathbb{D}_V = [6;10[$
3.2
$\blacktriangleright$  Höhe berechnen
Gesucht ist das absolute Maximum der Funktion $V$ im Definitionsvereich $\mathbb{D}_V=[6;10[.$
1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
$\begin{array}[t]{rll} V(h)&=& h\cdot\pi\cdot \left(100-h^2\right) \\[5pt] &=& \pi\cdot \left(100h-h^3\right) \\[10pt] V'(h)&=& \pi\cdot (100-3h^2) \\[10pt] V'(h)&=& 0 \\[5pt] \pi\cdot (100-3h^2) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;: \pi \\[5pt] 100-3h^2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +3h^2 \\[5pt] 100&=& 3h^2&\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] \frac{100}{3}&=& h^2 \\[5pt] h_1&=& -\sqrt{\frac{100}{3}} \\[5pt] &\approx& -5,77 \\[10pt] h_2&=& \sqrt{\frac{100}{3}} \\[5pt] &\approx& 5,77 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h_1&=& -\sqrt{\frac{100}{3}} \\[5pt] &\approx& -5,77 \\[10pt] h_2&=& \sqrt{\frac{100}{3}} \\[5pt] &\approx& 5,77 \\[5pt] \end{array}$
Beide Werte liegen nicht im angegebenen Definitionsbereich, da $h\geq 6$ vorgegeben ist. Es gibt also kein relatives Maximum. Das globale Maximum muss daher an einem der beiden Intervallränder liegen.
2. Schritt: Intervallränder überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} V(6)&=& 6\cdot\pi\cdot \left(100-6^2\right) \\[5pt] &=& 384\pi \\[5pt] &\approx& 1.206,37 \end{array}$
$ V(6)\approx 1.206,37 $
Für die rechte Intervallgrenze muss der Grenzwert für $h\to 10$ betrachtet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{h\to 10}V(h) &=& \lim\limits_{h\to 10} h\cdot\pi\cdot \underbrace{\left(100-h^2\right)}_{\to 0} \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ \lim\limits_{h\to 10}V(h) = 0 $
Für $h\to 10$ geht das Volumen des Zylinders gegen Null. Der absolut größte Wert von $V(h)$ wird also für $h=6$ angenommen.
$\blacktriangleright$  Verhältnis zum Kugelvolumen untersuchen
Das maximale Zylindervolumen beträgt $V_{\text{max}} = 1.206,37.$
Das Volumen der Halbkugel ergibt sich mit der Volumenformel für Kugeln und dem angegebenen Radius von $R=10$ zu:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Halbkugel}}&=& \frac{2}{3}\pi\cdot R^3 \\[5pt] &=& \frac{2}{3}\pi\cdot 10^3 \\[5pt] &\approx& 2.094,40 \\[5pt] \end{array}$
$ V_{\text{Halbkugel}}\approx 2.094,40 $
Das Volumen $V_{\text{max}}$ nimmt mit $1.206,37$ also mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens $2.094,40$ ein.
#grenzwert
Bildnachweise [nach oben]
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