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B II

Aufgaben
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1.0
In einem kartesischen Koordinatensystem des $\mathbb{R}^3$ sind die Geraden $g_1$, $g_2$ und die Ebene $F$ gegeben:
$g_1 : \overrightarrow{x} = \pmatrix{2\\2\\0} + \lambda \pmatrix{1\\-2\\1},$ $\lambda \in \mathbb{R};\quad$ $g_2: \overrightarrow{x} = \pmatrix{2\\2\\0} + \mu \pmatrix{1\\5\\-3},$ $\mu \in \mathbb{R}$;
$F : 2x_1 + 5x_2 + 8x_3 - 11= 0$.
1.1
Begründe, dass die Geraden $g_1$ und $g_2$ eine Ebene $E$ aufspannen, und bestimme eine Gleichung dieser Ebene $E$ in Parameterform und in Koordinatenform.
$[$ Mögliches Teilergebnis: $E: x_1 + 4x_2 + 7x_3 -10 =0$ $]$
(4 BE)
#parameterform#koordinatenform
1.2
Die Ebenen $E$ und $F$ schneiden sich in der Geraden $s$. Bestimme eine Gleichung der Schnittgeraden $s$.
$[$ Mögliches Ergebnis: $s: \overrightarrow{x}$ $= \pmatrix{-2\\3\\0} + \sigma \pmatrix{1\\-2\\1},$ $\sigma \in \mathbb{R}$ $]$
(4 BE)
#schnittgerade
1.3
Berechne die Größe des Schnittwinkels der Ebenen $E$ und $F$. Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
(4 BE)
#schnittwinkel
1.4
Ermittle den Abstand der parallelen Geraden $s$ und $g_1$.
(5 BE)
2.0
Zusätzlich zu den Ebenen $E$ und $F$ aus Aufgabe 1 sind nun die Ebenen $H_a : a x_1 +6x_2 + 9x_3 = 12$ mit $a \in \mathbb{R} $ gegeben.
2.1
Prüfe, ob eine der Ebenen $H_a$ zu $F$ parallel ist.
(3 BE)
2.2
Bestimme alle Werte von $a$ so, dass für den Abstand $d_a$ des Ursprungs $O$ von der Ebene $H_a$ gilt: $d_a = \frac{12}{11}$.
(6 BE)
2.3
Bestimme den Wert von $a$, für den die Normalenvektoren der Ebenen $E$, $F$ und $H_a$ keine Basis des $\mathbb{R}^3$ bilden.
(4 BE)
#basis
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Ebene begründen
Die beiden Geraden würden nur dann keine Ebene aufspannen, wenn sie identisch oder windschief wären. Identisch können sie nicht sein, da ihre Richtungsvektoren nicht linear abhängig sind und windschief können sie nicht sein, da ihr Aufpunkt identisch ist und sie somit einen gemeinsamen Punkt besitzen.
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Parameterform bestimmen
Als Stützvektor kann der gemeinsame Stützvektor der Geraden verwendet werden, als Spannvektoren die beiden Richtungsvektoren:
$E: \quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{2\\2\\0}+ r\cdot \pmatrix{1\\-2\\1}+s\cdot \pmatrix{1\\5\\-3} $ mit $r,s\in \mathbb{R}.$
$ E: \quad \overrightarrow{x} = … $
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Koordinatenform bestimmen
Ein Normalenvektor kann über das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \pmatrix{1\\-2\\1} \times \pmatrix{1\\5\\-3} \\[5pt] &=& \pmatrix{-2\cdot (-3) - 1\cdot 5 \\ 1\cdot 1 - 1\cdot (-3)\\ 1\cdot 5 -(-2)\cdot 1} \\[5pt] &=& \pmatrix{1\\ 4\\7 }\\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\ 4\\7 }$
Mit dem Aufpunkt $P(2\mid 2\mid 0)$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} E: \quad x_1 +4x_2 +7x_3 -d &=& 0 \\[5pt] 2+4\cdot 2 + 7\cdot 0 -d &=& 0 \\[5pt] 10 -d&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+d \\[5pt] 10&=& d \end{array}$
$ d = 10 $
Eine Ebenengleichung von $E$ in Koordinatenform lautet also:
$E:\quad x_1 +4x_2 +7x_3 -10 = 0.$
$E:\quad x_1 +4x_2 +7x_3 -10 = 0.$
#kreuzprodukt#lineareabhängigkeit
1.2
$\blacktriangleright$  Gleichung der Schnittgerade bestimmen
Aus der Parameterform von $E$ lässt sich für die Koordinaten der Punkte in $E$ ablesen:
$\overrightarrow{OX} = \pmatrix{2+r+s\\2-2r+5s\\r-3s}$
Diese kannst du in die angegebene Koordinatenform von $F$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} F:\quad 2x_1+5x_2+8x_3-11 &=& 0 \\[5pt] 2\cdot (2+r+s) + 5\cdot (2-2r+5s) +8\cdot (r-3s) -11 &=& 0\\[5pt] 4+2r+2s +10 -10r +25s +8r-24s -11 &=& 0 \\[5pt] 3+3s&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt] 3s&=& -3&\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] s&=& -1 \end{array}$
$ s=-1 $
Einsetzen in die Parameterform von $E$ liefert dann:
$\begin{array}[t]{rll} s:\quad \overrightarrow{x}&=& \pmatrix{2\\2\\0} +r\cdot \pmatrix{1\\-2\\1}+s\cdot \pmatrix{1\\5\\-3} &\quad \scriptsize \mid\;s=-1 \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\2\\0} +r\cdot \pmatrix{1\\-2\\1}-1\cdot \pmatrix{1\\5\\-3} \\[5pt] &=&\pmatrix{1\\-3\\3} +r\cdot \pmatrix{1\\-2\\1} \\[5pt] \end{array}$
$ s: \quad \overrightarrow{x}= … $
1.3
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel bestimmen
Mit der Formel für den Schnittwinkel $\alpha$ zweier Ebenen folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{\left|\pmatrix{2\\5\\8}\circ\pmatrix{1\\4\\7} \right|}{\left|\pmatrix{2\\5\\8} \right| \cdot \left|\pmatrix{1\\4\\7} \right|} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{2\cdot 1+5\cdot 4 +8\cdot 7}{\sqrt{2^2+5^2+8^2} \cdot \sqrt{1^2+4^2+7^2}} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{78}{\sqrt{93} \cdot \sqrt{66}} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{78}{\sqrt{6.138}} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha &\approx& 5,4^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha \approx 5,4^{\circ} $
Der Schnittwinkel der Ebenen $E$ und $F$ ist ca. $5,4^{\circ}$ groß.
1.4
$\blacktriangleright$  Abstand ermitteln
Eine Hilfsebene, die senkrecht zu $s$ durch den Aufpunkt von $s$ verläuft, erhält man, indem man als Normalenvektor den Richtungsvektor von $s$ und als Aufpunkt den Aufpunkt von $s$ verwendet:
$\begin{array}[t]{rll} H: \quad x_1 -2x_2 +x_3 -d &=& 0 \\[5pt] 1-2\cdot (-3) +3 -d &=& 0 \\[5pt] 10-d &=& 0&\quad \scriptsize \mid\;+d \\[5pt] 10&=& d \end{array}$
$ d = 10 $
Also ist $H:\quad x_1 -2x_2 +x_3 -10 =0.$ $H$ ist ebenfalls senkrecht zu $g_1.$ Daher ist der Abstand zwischen $s$ und $g$ der Abstand des Aufpunkts $Q(1\mid -3\mid 3)$ zum Schnittpunkt $S$ von $H$ und $g_1.$
Für die Punkte auf $g_1$ gilt:
$\overrightarrow{OX} = \pmatrix{2+\lambda \\ 2-2\lambda \\ \lambda}$
Einsetzen in die Ebenengleichung von $H$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} H:\quad x_1 -2x_2 +x_3 -10 &=& 0 \\[5pt] 2+\lambda -2\cdot (2-2\lambda ) + \lambda-10 &=& 0 \\[5pt] 2+\lambda -4+4\lambda + \lambda-10 &=& 0 \\[5pt] -12 +6\lambda &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+12 \\[5pt] 6\lambda &=& 12&\quad \scriptsize \mid\; :6\\[5pt] \lambda &=& 2 \end{array}$
$ \lambda =2 $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
$\overrightarrow{OS}= \pmatrix{2+2\\2-2\cdot 2 \\ 2} = \pmatrix{4\\-2\\2}$
$ \overrightarrow{OS}=\pmatrix{4\\-2\\2} $
Der Abstand ergibt sich dann zu:
$\begin{array}[t]{rll} d(g_1,s)&=& d(Q,S) \\[5pt] &=& \left|\overrightarrow{QS} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{3\\1\\-1} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{3^2+1^2+(-1)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{11} \end{array}$
$ d(g_1,s)= \sqrt{11} $
Der Abstand der Geraden $s$ und $g_1$ ist $\sqrt{11}.$
2.1
$\blacktriangleright$  Parallelität prüfen
Die Ebenen $H_a$ und $F$ sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren linear abhängig sind. Es muss also einen Faktor $b$ geben, für den folgende Gleichung gilt:
$\pmatrix{a\\6\\9} = b\cdot \pmatrix{2\\5\\8}$
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&a&=& 2b \\ \text{II}\quad&6&=& 5b \\ \text{III}\quad&9&=& 8b \\ \end{array}$
Aus $\text{III}$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} 9&=& 8b &\quad \scriptsize \mid\; :8\\[5pt] \frac{9}{8}&=& b \end{array}$
$ b = \frac{9}{8} $
Einsetzen in $\text{II}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 6&=& 5b &\quad \scriptsize \mid\; b=\frac{9}{8} \\[5pt] 6&=& 5\cdot \frac{9}{8} \\[5pt] 6&=& \frac{45}{8} \end{array}$
$ 6 = \frac{45}{8} $
Dies ist ein Widerspruch. Das Gleichungssystem ist also nicht lösbar. Also sind die beiden Normalenvektoren für keinen Wert von $a$ linear abhängig. Es gibt demnach keine Ebene $H_a,$ die zu $F$ parallel ist.
#lineareabhängigkeit
2.2
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Der Abstand kann mithilfe der Hesseschen Normalenform von $H_a$ bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} H_a:\quad \dfrac{ax_1+6x_2+9x_3-12}{\sqrt{a^2+6^2+9^2}}&=& 0 \\[5pt] \dfrac{ax_1+6x_2+9x_3-12}{\sqrt{a^2+117}}&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ H_a:\quad … $
Für den Abstand von $H_a$ zu einem Punkt $P(x_1\mid x_2\mid x_3)$ gilt dann:
$d_a(H_a,P) = \dfrac{\left|ax_1+6x_2+9x_3-12\right|}{\sqrt{a^2+117}} $
$ d_a(H_a,P) = … $
Einsetzen der Koordinaten von $O$ und Gleichsetzen mit $\dfrac{12}{11}$ liefert dann:
$\begin{array}[t]{rll} d_a(H_a,O)&=& \dfrac{12}{11}\\[5pt] \dfrac{\left|a\cdot 0+6\cdot 0+9\cdot 0-12\right|}{\sqrt{a^2+117}}&=& \dfrac{12}{11} \\[5pt] \dfrac{12}{\sqrt{a^2+117}}&=& \dfrac{12}{11} \\[5pt] \sqrt{a^2+117}&=& 11 &\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] a^2+117&=& 121&\quad \scriptsize \mid\;-117 \\[5pt] a^2&=& 4 \\[5pt] a&=& \pm 2 \end{array}$
$ a=\pm 2 $
Für $a=-2$ und $a=2$ beträgt der Abstand von $H_a$ zum Ursprung $O$ $\frac{12}{11}.$
2.3
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Die Normalenvektoren bilden dann keine Basis des $\mathbb{R}^3,$ wenn sie linear abhängig sind. Bestimme also $a$ so, dass es zwei Faktoren $b$ und $c$ gibt, sodass die folgende Gleichung erfüllt ist:
$\pmatrix{a\\6\\9} = b\cdot \pmatrix{2\\5\\8} +c\cdot \pmatrix{1\\4\\7}$
$ \pmatrix{a\\6\\9} = … $
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&a&=& 2b+c \\ \text{II}\quad&6&=& 5b +4c \\ \text{III}\quad&9&=& 8b+7c \\ \end{array}$
$\text{III}$ lässt sich nach $b$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{III}\quad 9 &=& 8b+7c &\quad \scriptsize \mid\;-7c \\[5pt] 9-7c&=& 8b &\quad \scriptsize \mid\; :8 \\[5pt] \frac{9}{8}-\frac{7}{8}c&=&b \end{array}$
$ b= \frac{9}{8}-\frac{7}{8}c $
Einsetzen in $\text{II}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad 6 &=& 5b +4c &\quad \scriptsize \mid\; b= \frac{9}{8}-\frac{7}{8}c \\[5pt] 6 &=& 5\cdot \left(\frac{9}{8}-\frac{7}{8}c \right) +4c \\[5pt] 6 &=& \frac{45}{8}-\frac{35}{8}c +4c \\[5pt] 6 &=& \frac{45}{8}-\frac{3}{8}c &\quad \scriptsize \mid\;-\frac{45}{8} \\[5pt] \frac{3}{8}&=& -\frac{3}{8}c&\quad \scriptsize \mid\;:\left( -\frac{3}{8}\right) \\[5pt] -1&=& c \end{array}$
$ c = -1 $
Also ist
$b= \frac{9}{8}+\frac{7}{8} = 2. $
$ b=2 $
Einsetzen von $b$ und $c$ in $\text{I}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 2\cdot 2-1 \\[5pt] &=&3 \end{array}$
$ a =3 $
Für $a=3$ sind die drei Normalenvektoren von $H_a,$ $F$ und $E$ linear abhängig und bilden demnach keine Basis des $\mathbb{R}^3.$
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