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A II

Aufgaben
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1.0
Gegeben ist die reelle Funktion $f:\quad x \mapsto \dfrac{1}{x\cdot \left(1- \ln(x) \right)^2} $ mit der maximalen Definitionsmenge $\mathbb{D}_f \subset \mathbb{R}.$
Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet und besitzt die $y-$Achse als Asymptote.
1.1
Bestimme die maximale Definitionsmenge $\mathbb{D}_f.$ Gib die Definitionslücke von $f$ und ihre Art genau an.
(5 BE)
#definitionsbereich
1.2
Untersuche das Verhalten der Funktionswerte $f(x)$ für $x \to \infty$ und für $x \to \mathrm e.$ Gib die Art und die Gleichungen der daraus folgenden Asymptoten des Graphen von $f$ an.
(6 BE)
#asymptote
1.3
Bestimme die maximalen Monotonieintervalle von $f$ und ermittle mithilfe dieser Monotonieintervalle die Art und Koordinaten des relativen Extrempunktes des Graphen von $f.$
[Mögliches Teilergebnis: $f'(x) = \dfrac{1+\ln(x)}{x^2\cdot \left(1-\ln(x) \right)^3}$ ]
(11 BE)
#monotonie
1.4
Zeichne mithilfe der bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion $f$ für $0 < x \leq 6$ sowie mit Farbe sämtliche Asymptoten von $G_f$ in ein kartesisches Koordinatensystem.
Maßstab: $1\,\text{LE}\mathrel{\widehat{=}} 2\,\text{cm}.$
(6 BE)
1.5
Bestimme eine Gleichung der Tangente $t$ an $G_f,$ die durch den Ursprung verläuft. Zeichne die Tangente $t$ in das Koordinatensystem von Teilaufgabe 1.4 ein.
[Teilergebnis: $t(x)=x$ ]
(6 BE)
#tangente
1.6
Die Tangente $t$ schneidet $G_f$ im Punkt $S\left( x_S \mid f(x_S)\right).$
Berechne mithilfe des Newton-Verfahrens einen Näherungswert für die Schnittstelle $x_S.$ Verwende dazu den Startwert $x_0=3,5\,,$ führe zwei Näherungsschritte durch und runde das Ergebnis auf drei Nachkommastellen.
(5 BE)
1.7
Gegeben ist die reelle Funktion $F:\quad x \mapsto \dfrac{1}{1-\ln(x)}$ mit der Definitionsmenge $\mathbb{D}_F = \mathbb{D}_f.$
Zeige, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ in $\mathbb{D}_F$ ist.
(3 BE)
#stammfunktion
1.8.0
Der Graph von $f,$ die Tangente $t$ und die Gerade $k_a$ mit der Gleichung $x = a$ mit $a \in \mathbb{R} \land 0 < a < 1$ schließen rechts von $k_a$ ein endliches Flächenstück mit der von $a$ abhängigen Maßzahl $A(a)$ des Flächeninhalts ein.
1.8.1
Kennzeichne dieses Flächenstück für $a = 0,25$ in Ihrem Schaubild aus 1.4 und zeige, dass für $A(a)$ gilt:
$A(a) =$ $0,5 \cdot \left(a^2+1\right)-\dfrac{1}{1-\ln(a)}.$
(4 BE)
1.8.2
Ermittle den rechtsseitigen Grenzwert von $A(a)$ für $a \to 0^+.$
(2 BE)
#grenzwert
1.9
Gegeben sind die reellen Funktionen $g_c: \quad x\mapsto \frac{1}{c}\cdot f(x)$ mit der Definitionsmenge $D_{g_c} = \mathbb{D}_f,$ wobei $x\in \mathbb{R}$ und $c< -1.$ Gib mit Begründung an, wie sich der Graph von $g_c$ im Vergleich zu $G_f$ verändert.
(4 BE)
2.0
In einer Box werden Mehlwürmer als Futter für Schildkröten gezüchtet. Der Bestand der Mehlwürmer in dieser Box wird in Kilogramm $[\text{kg}]$ angegeben und nach einem Modell durch die Funktion $M:\quad t\mapsto a\cdot \mathrm e^{b\cdot t} $ mit $t,a,b \in \mathbb{R}$ und $t\geq 0,$ $a> 0,$ $b> 0$ beschrieben. Dabei gibt $t$ die Zeit in Tagen $[\text{d}]$ ab Beobachtungsbeginn an.
Zum Zeitpunkt $t=0$ werden $0,8\,\text{kg}$ Mehlwürmer in die Box eingesetzt. Exakt drei Tage später hat sich der Bestand um $2,79\,\text{kg}$ vermehrt.
Auf das Mitführen der Einheiten kann bei Berechnungen verzichtet werden. Alle Ergebnisse sich gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle zu runden.
2.1
Bestimme die Werte der Parameter $a$ und $b.$
Für die folgenden Teilaufgaben gilt: $a = 0,8$ und $b = 0,5 .$
(4 BE)
2.2
Berechne die mittlere Zuwachsrate des Mehlwürmerbestands in den ersten vier Tagen des Beobachtungszeitraums.
(3 BE)
2.3
Berechne den Bestand an Mehlwürmern, bei dem die momentane Zuwachsrate $1,2\,\frac{\text{kg}}{\text{d}}$ beträgt.
(4 BE)
#änderungsrate
2.4.0
Durch $M(t)$ wie im obigen Modell wird der Bestand an Mehlwürmern nur für wenige Tage hinreichend genau beschrieben. Der tatsächliche Bestand wird durch die Funktion
$p:\quad t \mapsto \dfrac{0,8 \cdot S}{0,8 + 9,2 \cdot \mathrm e^{- 0,6 \cdot t}}$
mit $t,S \in \mathbb{R}$ und $t \geq 0 ,$ $S > 0$ besser erfasst. Im Diagramm sind die Graphen von $M$ und $p$ abgebildet.
2.4.1
Entnimm dem Verlauf von $G_p$ näherungsweise den maximalen Bestand an Mehlwürmern, die in der Box leben können, und folgere hieraus auf den Wert von $S.$
(3 BE)
2.4.2
Bestimme mithilfe der Abbildung aus 2.4.0 die größte momentane Zuwachsrate des Mehlwürmerbestands, wie ihn die Funktion $p$ beschreibt. Beschreibe dein Vorgehen.
(4 BE)

(70 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Maximale Definitionsmenge bestimmen
A II Zwei Bedingungen schränken den Definitionsbereich ein:
  1. Der Nennerterm der gebrochenrationalen Funktion darf nicht Null werden, also muss für $x\in \mathbb{D}_f$ gelten $x\neq 0$ und $1-\ln(x)\neq 0.$
  2. Das Argument des Logarithmus muss positiv sein, also muss für $x\in \mathbb{D}_f$ gelten $x> 0.$
$\begin{array}[t]{rll} 1-\ln(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+\ln(x) \\[5pt] 1&=& \ln(x) &\quad \scriptsize \mid\;\mathrm e \\[5pt] \mathrm e&=& x \end{array}$
$ \mathrm e = x $
Der maximale Definitionsbereich ist also
$\mathbb{D}_f= ] 0\, ;\, \mathrm e[\, \cup\, ]\mathrm e\,;\, \infty[$
$ \mathbb{D}_f= … $
$\blacktriangleright$  Art der Definitionslücke angeben
Die Definitionslücke von $f$ ist $x_0 = \mathrm e.$ Da diese eine Nullstelle des Nennerterms, aber keine Nullstelle des Zählerterms ist, handelt es sich um eine Polstelle.
Da $x> 0$ und $\left(1-\ln(x) \right)^2 > 0 $ und $1>0$ sind, ist $f(x)>0$ für alle $x\in\mathbb{D}_f. $
Die Definitionslücke von $f$ ist also $x_0 = \mathrm e.$ Dabei handelt es sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.
#logarithmus
1.2
$\blacktriangleright$  Grenzverhalten untersuchen
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty}f(x)&=& \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{1}{\underbrace{x}_{\to\infty}\cdot \underbrace{\left(1- \ln(x) \right)^2}_{\to \infty} } \\[5pt] &=& 0^+ \end{array}$
$ \lim\limits_{x\to\infty}f(x) = 0^+ $
Für $x\to \mathrm e^-$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{\underbrace{x}_{\to\mathrm e^-}\cdot \underbrace{\left(1- \underbrace{\ln(x)}_{\to 1^-} \right)^2}_{\to \mathrm 0^+} } \to \infty \end{array}$
$ … \to \infty $
Für $x\to \mathrm e^+$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{\underbrace{x}_{\to\mathrm e^+}\cdot \underbrace{\left(1- \underbrace{\ln(x)}_{\to 1^+} \right)^2}_{\to \mathrm 0^+} } \to \infty \end{array}$
$ …\to \infty $
$\blacktriangleright$  Asymptoten angeben
Mit dem obigen Grenzverhalten ergibt sich die waagerechte Asymptote $y = 0$ und die senkrechte Asymptote $x= \mathrm e.$
#grenzwert
1.3
$\blacktriangleright$  Maximale Monotonieintervalle bestimmen
Die Steigung des Graphen von $f$ und damit das Monotonieverhalten von $f$ wird durch die 1. Ableitungsfunktion $f'$ bestimmt. Mit der Quotienten, der Produkt- und der Kettenregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \dfrac{1}{x\cdot \left(1- \ln(x) \right)^2} \\[10pt] f'(x)&=& \dfrac{0\cdot x\cdot \left(1- \ln(x) \right)^2 - 1\cdot \left( x\cdot 2\cdot \left(1-\ln(x) \right)\cdot \left(-\frac{1}{x} \right)+ 1\cdot \left(1-\ln(x) \right)^2 \right)}{x^2\cdot \left(1- \ln(x) \right)^4} \\[5pt] &=& \dfrac{- \left( x\cdot 2\cdot \left(1-\ln(x) \right)\cdot \left(-\frac{1}{x} \right)+ 1\cdot \left(1-\ln(x) \right)^2 \right)}{x^2\cdot \left(1- \ln(x) \right)^4} \\[5pt] &=& \dfrac{2\cdot \left(1-\ln(x) \right) - \left(1-\ln(x) \right)^2}{x^2\cdot \left(1- \ln(x) \right)^4} \\[5pt] &=& \dfrac{2 - \left(1-\ln(x) \right)}{x^2\cdot \left(1- \ln(x) \right)^3} \\[5pt] &=& \dfrac{2 - 1+\ln(x) }{x^2\cdot \left(1- \ln(x) \right)^3} \\[5pt] &=& \dfrac{1+\ln(x) }{x^2\cdot \left(1- \ln(x) \right)^3}\\[5pt] \end{array}$
$ f'(x)= … $
Die Nullstelle ergibt sich durch die Nullstelle des Zählerterms:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 0 \\[5pt] \dfrac{1+\ln(x) }{x^2\cdot \left(1- \ln(x) \right)^3}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot x^2\cdot \left(1- \ln(x) \right)^3 \\[5pt] 1+\ln(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] \ln(x)&=& -1 &\quad \scriptsize \mid\;\mathrm e \\[5pt] x&=& \mathrm e^{-1} \end{array}$
$ x= \mathrm e^{-1} $
Mithilfe einer Vorzeichentabelle lässt sich der Vorzeichenwechsel untersuchen:
$x$$0< x < \mathrm e^{-1}$$\mathrm e^{-1}$$\mathrm e^{-1} < x < \mathrm e$$\mathrm e < x < \infty$
$1+\ln(x)$ $- $$0 $$ +$$ +$
$x^2 $ $+ $$+ $$+ $$+ $
$(1-\ln(x))^3 $ $ +$$ +$$+ $$- $
$f'(x) $ $- $$0 $$+ $$- $
$f$ ist also streng monoton fallend in $]0\, ; \, \mathrm e^{-1}[$ und $]\mathrm e\, ; \, \infty[$ und streng monoton steigend in $]\mathrm e^{-1}\, ; \, \mathrm e[.$
$\blacktriangleright$  Art und Koordinaten des Extrempunkts bestimmen
Nach den obigen Ergebnissen, wechselt der Graph von $f$ an der Stelle $x = \mathrm e^{-1}$ von streng monoton fallend zu streng monoton steigend. An der Stelle $\mathrm e^{-1}$ besitzt der Graph von $f$ also einen relativen Tiefpunkt.
$f(\mathrm e^{-1}) = \dfrac{1}{\mathrm e^{-1}\cdot \left(1- \ln\left(\mathrm e^{-1}\right) \right)^2} = \frac{1}{4}\mathrm e $
$ f(\mathrm e^{-1}) = \frac{1}{4}\mathrm e $
Der Graph von $f$ besitzt den relativen Tiefpunkt $T\left(\mathrm e^{-1} \mid \frac{1}{4}\mathrm e\right).$
#kettenregel#produktregel#quotientenregel
1.4
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
A II
Abb. 1: Graph von $f$
A II
Abb. 1: Graph von $f$
1.5
$\blacktriangleright$  Tangentengleichung bestimmen
Für die Tangente $t$ mit $t(x)=m_t\cdot x +b$ folgt aufgrund des Verlaufs durch den Ursprung direkt $b=0.$
Sie verläuft durch den Punkt $P(x_P\mid f(x_P))$ des Graphen von $f.$ Die Steigung von $t$ lässt sich daher mithilfe des Differenzenquotienten wie folgt darstellen:
$\begin{array}[t]{rll} m_t&=& \dfrac{f(x_P)-0}{x_P-0} \\[5pt] &=& \dfrac{f(x_P)}{x_P} \\[5pt] &=& \dfrac{\dfrac{1}{x_P\cdot \left(1- \ln(x_P) \right)^2}}{x_P} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{x_P^2\cdot \left(1- \ln(x_P) \right)^2} \\[5pt] \end{array}$
$ m_t = … $
Da $t$ eine Tangente an $G_f$ im Punkt $P$ ist, muss $t$ die gleiche Steigung haben wie $G_f$ im Punkt $P,$ also ist $m_t = f'(x_P):$
$\begin{array}[t]{rll} m_t&=& f'(x_P) \\[5pt] &=& \dfrac{1+\ln(x_P) }{x_P^2\cdot \left(1- \ln(x_P) \right)^3} \\[5pt] \end{array}$
$ m_t = … $
Gleichsetzen der beiden Terme für die Steigung ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1+\ln(x_P) }{x_P^2\cdot \left(1- \ln(x_P) \right)^3}&=& \dfrac{1}{x_P^2\cdot \left(1- \ln(x_P) \right)^2}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot x_P^2\cdot \left(1- \ln(x_P) \right)^2 \\[5pt] \dfrac{1+\ln(x_P) }{1- \ln(x_P)}&=& 1&\quad \scriptsize \mid\;\cdot (1- \ln(x_P)) \\[5pt] 1+\ln(x_P)&=& 1- \ln(x_P)&\quad \scriptsize \mid\;+ \ln(x_P);-1\\[5pt] 2\ln(x_P)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \ln(x_P)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\mathrm e \\[5pt] x_P&=&1 \end{array}$
$ x_P=1 $
Einsetzen in eine der beiden Steigungsgleichungen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} m_t&=& \dfrac{1}{1^2\cdot \left(1- \ln(1) \right)^2} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
$ m_t = 1 $
Die Gleichung der Tangente lautet also $t(x)=x.$
$\blacktriangleright$  Tangente einzeichnen
A II
Abb. 2: Tangente einzeichnen
A II
Abb. 2: Tangente einzeichnen
1.6
$\blacktriangleright$  Newton-Verfahren durchführen
Gesucht ist eine Näherung für $x_S$ mit $f(x_S) = t(x_S).$ Da das Newton-Verfahren zur Näherung von Nullstellen verwendet wird, muss die Gleichung entsprechend umgeformt werden: $f(x_S) - t(x_S) =0.$ Gesucht ist also eine Nullstelle der Differenzenfunktion $d(x)=f(x)-t(x).$
Die Formel für das Newton-Verfahren lautet
$x_{n+1} = x_n - \dfrac{d(x_S)}{d'(x_S)}$
$x_{n+1} =$ $x_n - \dfrac{d(x_S)}{d'(x_S)}$
$\begin{array}[t]{rll} d(x)&=& f(x)-t(x) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{x\cdot \left(1- \ln(x) \right)^2} - x \\[10pt] d'(x)&=& \dfrac{1+\ln(x) }{x^2\cdot \left(1- \ln(x) \right)^3} -1 \\[5pt] \end{array}$
$ d'(x)= … $
Mit $x_0 = 3,5$ folgt dann:
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 3,5 - \dfrac{d(3,5)}{d'(3,5)} \\[5pt] &=& 3,5- \dfrac{\dfrac{1}{3,5\cdot \left(1- \ln(3,5) \right)^2} - 3,5 }{\dfrac{1+\ln(3,5) }{3,5^2\cdot \left(1- \ln(3,5) \right)^3} -1} \\[5pt] &\approx& 3,578 \\[10pt] x_2&=& 3,578 - \dfrac{d(3,578)}{d'(3,578)} \\[5pt] &=& 3,578- \dfrac{\dfrac{1}{3,578\cdot \left(1- \ln(3,578) \right)^2} - 3,578 }{\dfrac{1+\ln(3,578) }{3,578^2\cdot \left(1- \ln(3,578) \right)^3} -1} \\[5pt] &\approx& 3,591 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&\approx& 3,578 \\[10pt] x_2&\approx& 3,591 \\[10pt] \end{array}$
Nach zwei Schritten des Newton-Verfahrens ergibt sich für die Schnittstelle der Näherungswert $x_S\approx 3,591.$
1.7
$\blacktriangleright$  Stammfunktion nachweisen
Damit $F$ eine Stammfunktion von $f$ auf $\mathbb{D}_F =\mathbb{D}_f $ ist, muss für alle $x\in \mathbb{D}_f$ gelten: $F'(x)=f(x).$ Mit der Quotientenregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} F(x)&=& \dfrac{1}{1-\ln(x)} \\[10pt] F'(x)&=& \dfrac{0\cdot \left(1-\ln(x) \right) - 1\cdot \left(-\frac{1}{x} \right)}{\left(1-\ln(x) \right)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{1}{x} }{\left(1-\ln(x) \right)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{x\left(1-\ln(x) \right)^2} \\[5pt] &=& f(x) \end{array}$
$ F'(x) = … = f(x) $
Dies gilt für alle $x\in \mathbb{D}_f.$ $F$ ist also eine Stammfunktion von $f.$
#quotientenregel
1.8.1
$\blacktriangleright$  Maßzahl des Flächenstücks nachweisen
A II
Abb. 3: Flächenstück für $a=0,25$
A II
Abb. 3: Flächenstück für $a=0,25$
Die Maßzahl des Flächenstücks ergibt sich mithilfe eines Integrals über der Differenzenfunktion $d = f-t.$ Die Integrationsgrenzen sind $a$ und die Berührstelle $x_P = 1.$
$\begin{array}[t]{rll} A(a)&=& \displaystyle\int_{a}^{1}\left(f(x)-t(x) \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{a}^{1}\left(\dfrac{1}{x\cdot \left(1- \ln(x) \right)^2} -x \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[F(x)-\frac{1}{2}x^2 \right]_a^1 \\[5pt] &=& F(1)-\frac{1}{2}\cdot 1^2 - F(a)+\frac{1}{2}\cdot a^2 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{1-\ln(1)}-\frac{1}{2}\cdot 1^2 - \dfrac{1}{1-\ln(a)}+\frac{1}{2}\cdot a^2 \\[5pt] &=& 1-\frac{1}{2} - \dfrac{1}{1-\ln(a)}+\frac{1}{2}\cdot a^2 \\[5pt] &=& \frac{1}{2} - \dfrac{1}{1-\ln(a)}+\frac{1}{2}\cdot a^2 \\[5pt] &=& 0,5\cdot \left(a^2+1 \right) - \dfrac{1}{1-\ln(a)} \\[5pt] \end{array}$
$ A(a)= … $
#integral
1.8.2
$\blacktriangleright$  Rechtsseitigen Grenzwert ermitteln
$\lim\limits_{a\to 0^+} A(a) = \lim\limits_{a\to 0^+} \left(0,5\cdot \underbrace{\left(a^2+1 \right)}_{\to 1^+} - \underbrace{\dfrac{1}{1-\underbrace{\ln(a)}_{\to -\infty} }}_{\to 0} \right) =0,5$
$ \lim\limits_{a\to 0^+} A(a) = 0,5 $
1.9
$\blacktriangleright$  Verhalten der Graphen vergleichen
  • Da $c$ negativ ist werden alle Funktionswerte mit einer negativen Zahl multipliziert. Der Graph von $f$ wird also an der $x$-Achse gespiegelt.
  • Da $c< -1$ ist gilt $-1< \frac{1}{c} < 0.$ Jeder Funktionswert von $f$ wird also mit einem Wert multipliziert, der betragsmäßig kleiner als $1$ ist. Der Graph von $g$ ist also im Vergleich zu dem von $f$ in $y$-Richtung gestaucht.
2.1
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Aus den Angaben im Aufgabentext lassen sich folgende Bedingungen ableiten:
  1. $M(0) = 0,8$
  2. $M(3) = 2,79$
Mit 1. kann $a$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} 0,8&=& a\cdot \mathrm e^{b\cdot 0} \\[5pt] 0,8&=& a \end{array}$
Mit 2. folgt dann:
$\begin{array}[t]{rll} 2,79+0,8&=& 0,8\cdot \mathrm e^{b\cdot 3} &\quad \scriptsize \mid\; :0,8\\[5pt] 4,4875&=& \mathrm e^{b\cdot 3} &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] \ln\left(4,4875\right)&=& b\cdot 3 &\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] 0,5&\approx& b \end{array}$
$ b \approx 0,5$
Es ergeben sich die Parameterwerte $a=0,8$ und $b\approx 0,5.$
2.2
$\blacktriangleright$  Mittlere Zuwachsrate ermitteln
Die mittlere Zuwachsrate ergibt sich mithilfe der Sekantensteigung, also durch den Differenzenquotienten:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{M(4)-M(0)}{4-0}&=& \dfrac{0,8\cdot \mathrm e^{0,5\cdot 4} - 0,8}{4} \\[5pt] &\approx& 1,3 \\[5pt] \end{array}$
$ … \approx 1,3 $
Die mittlere Zuwachsrate in den ersten vier Tagen beträgt ca. $1,3\,\text{kg}$ pro Tag.
2.3
$\blacktriangleright$  Bestand berechnen
1. Schritt: Zeitpunkt mit der angegebenen Zuwachsrate berechnen
Die momentane Zuwachsrate wird durch die erste Ableitungsfunktion $\dot M$ von $M$ beschrieben:
$\dot M(t)= 0,5\cdot 0,8\cdot \mathrm e^{0,5\cdot t} = 0,4\cdot \mathrm e^{0,5\cdot t}$
$ \dot M(t)= 0,4\cdot \mathrm e^{0,5\cdot t}$
Gesucht ist $t$ mit $\dot M(t)= 1,2.$
$\begin{array}[t]{rll} 0,4\cdot \mathrm e^{0,5\cdot t}&=& 1,2 &\quad \scriptsize \mid\;: 0,4 \\[5pt] \mathrm e^{0,5\cdot t} &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] 0,5\cdot t&=& \ln(3) &\quad \scriptsize \mid\; :0,5\\[5pt] t&=& 2\cdot \ln(3) \end{array}$
$ t= 2\cdot \ln(3) $
2. Schritt: Bestand berechnen
Einsetzen in $M(t)$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} M\left(2\cdot \ln(3)\right) &=& 0,8\cdot \mathrm e^{0,5\cdot 2\cdot \ln(3)} \\[5pt] &=& 0,8\cdot 3\\[5pt] &=& 2,4 \end{array}$
$ M\left(2\cdot \ln(3)\right) = 2,4 $
Zu dem Zeitpunkt, zu dem die momentane Zuwachsrate $1,2\,\frac{\text{kg}}{\text{d}}$ beträgt, beträgt der Bestand der Mehlwürmer $2,4\,\text{kg}.$
2.4.1
$\blacktriangleright$  Maximalen Bestand ablesen
Der Abbildung kann man entnehmen, dass sich der Graph für $t\to \infty$ der Asymptote $y= 10$ annähert. Der maximale Bestand der Mehlwürmer in der Box lässt sich also auf ca. $10\,\text{kg}$ schätzen.
Für $t\to \infty$ sollte also $p(t)\to 10$ gelten.
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{t\to\infty} p(t)&=& \lim\limits_{t\to\infty} \dfrac{0,8\cdot S}{0,8+9,2\cdot \underbrace{\mathrm e^{-0,6\cdot t}}_{\to 0^+} }\\[5pt] &=& S \end{array}$
$ \lim\limits_{t\to\infty} p(t) = S $
Es muss also $S=10$ gelten.
2.4.2
$\blacktriangleright$  Größte momentane Zuwachsrate bestimmen
Die größte momentane Zuwachsrate besitzt $p$ im Wendepunkt von $G_p,$ der sich der Abbildung bei $t_W\approx 4$ entnehmen lässt.
Die Steigung der Tangente an $G_p$ in diesem Punkt entspricht der größten momentanen Zuwachsrate.
Zeichnet man also die Tangente an $G_p$ im Punkt $W$ in die Abbildung ein, so kann man mithilfe eines Steigungsdreiecks die Steigung bestimmen. Es lässt sich beispielsweise ablesen:
$\dfrac{5}{3,5} \approx 1,4 $
Mithilfe der Abbildung ergibt sich also die größte momentane Zuwachsrate des Mehlwürmerbestands zu ca. $1,4\,\frac{\text{kg}}{\text{d}}.$
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