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Gruppe 2

Aufgaben
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Aufgabe 1

Die Gerade $g_1$ verläuft durch die Punkte $A(2\mid 4)$ und $B(-6\mid 8)$.
a)  Bestimme die Funktionsgleichung von $g_1$ rechnerisch.
b)  Die Gerade $g_2$ hat die Funktionsgleichung $y=-0,5x-2$.
Die Gerade $g_3$ geht durch den Punkt $C(4\mid 5)$ und steht senkrecht auf $g_2$.
Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung von $g_3$.
c)  Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ der Geraden $g_2$ mit der $x$-Achse.
d)  Der Punkt $D(-15\mid y)$ liegt auf der Geraden $g_2$.
Berechne die $y$-Koordinate des Punktes $D$.
e)  Die Gerade $g_4$ mit der Funktionsgleichung $y=x+1$ schneidet die Gerade $g_2$ im Punkt $E$.
Berechne die Koordinaten des Punktes $E$.
f)  Zeichne die Geraden $g_2$, $g_3$ und $g_4$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1\,\text{cm}$.
(8P)

Aufgabe 2

Gib die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und berechne deren Lösungsmenge.
$\dfrac{2x-1}{x}-\dfrac{3+x}{3-x}=-\dfrac{3}{x}+2$
(4P)

Aufgabe 3

In einem rechtwinkligen Dreieck $ABC$ sind die Längen der Strecken $[AD]$ und $[BC]$ bekannt (siehe Skizze).
Gruppe 2
Gruppe 2
a)  Berechne die Länge der Strecke $[BD]$.
b)  Ermittle den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ rechnerisch.
Hinweis: Rechne mit $\overline{BD}=9,0\,\text{cm}$.
c)  Berechne die Größe des Winkels $\beta.$
d)  Ermittle rechnerisch den Umfang des Dreiecks $ADE$.
Hinweis: Es ist sinnvoll, Zwischen- und Endergebnisse auf zwei Dezimalstellen zu runden.
(6P)

Aufgabe 4

Die nach oben geöffnete Normalparabel $p_1$ verläuft durch die Punkte $A(2\mid 3)$ und $B(4\mid -1)$.
a)  Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung von $p_1$ in der Normalform.
b)  Eine nach unten geöffnete Normalparabel $p_2$ hat den Scheitelpunkt $S_2(3\mid 4)$.
Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung von $p_2$ in der Normalform.
c)  Die Normalparabel $p_3$ hat die Funktionsgleichung $y=-x^2+2x-3$.
Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Schnittpunkte $N_1$ und $N_2$ von $p_3$ mit der $x$-Achse.
d)  Die Normalparabel $p_4$ hat die Funktionsgleichung $y=-x^2+2x+5$.
Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte $C$ und $D$ der Parabeln $p_3$ und $p_4$.
e)  Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes $S_3$ der Parabel $p_3$ rechnerisch.
f)  Zeichne $p_3$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1\,\text{cm}$.
(7P)

Aufgabe 5

Schreibe die folgenden Gleichungen auf dein Lösungsblatt und ersetze die Platzhalter $[\,\,\,]$ so, dass die Streckenverhältnisse richtig wiedergegeben werden. Es gilt: $g_1\mid \mid g_2$
a)  $\dfrac{c}{a}=\dfrac{d}{[\,\,\,]}$
b)  $\dfrac{f}{[\,\,\,]}=\dfrac{a+b}{a}$
c)  $\dfrac{c+d}{c}=\dfrac{[\,\,\,]}{a}$
Gruppe 2
Gruppe 2
(3P)

Aufgabe 6

Das radioaktive Element Strontium-90 hat eine Halbwertszeit von $20$ Jahren.
a)  Wie viele Milligramm Strontium-90 sind bei einer Ausgangsmenge von $500\,\text{mg}$ nach $80$ Jahren noch vorhanden. Berechne.
b)  Ermittle rechnerisch, nach wie vielen Jahren von $500\,\text{mg}$ Strontium-90 nur noch $1\,\text{mg}$ vorhanden ist.
c)  Berechne den durchschnittlichen jährlichen Zerfall von Strontium-90 in Prozent.
(4P)

Aufgabe 7

Bei einem Kugelstoßwettbewerb ist für Männer eine $6\,\text{kg}$ schwere Kugel vorgesehen.
$1\,\text{cm}^3$ Kugel wiegt $7,5\,$ Gramm.
a)  Berechne den Durchmesser dieser Kugel.
b)  Frauen verwenden eine leichtere Kugel. Die Volumina der beiden Kugeln stehen im Verhältnis $2:3$.
Berechne den Durchmesser der leichteren Kugel.
Hinweis: Es ist sinnvoll, Zwischen- und Endergebnisse auf zwei Dezimalstellen zu runden.
(3P)

Aufgabe 8

Bei einem Preisrätsel für die Jahrgangsstufe 9 einer Mittelschule haben $7$ Jugendliche der Klasse 9a, $12$ Jugendliche der Klasse 9b sowie $11$ Jugendliche der Klasse 9c die richtige Lösung abgegeben. Unter diesen werden zwei Preise verlost.
a)  Mit welchen Wahrscheinlichkeiten verteilen sich die beiden Preise auf die drei Klassen?
Erstelle ein Baumdiagramm und beschrifte die Äste mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.
b)  Berechne die Wahrscheinlichkeit, das beide Preise an Jugendliche der Klasse 9a gehen.
c)  Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Schülerinnen und Schüler der Klasse 9c keinen Preis erhalten.
(4P)

Aufgabe 9

Folgende Gleichungen stellen Binome dar.
Ersetze die Platzhalter und schreibe die vollständigen Gleichungen auf dein Lösungsblatt.
(⃝ $\rightarrow$ Rechenzeichen; ⃞ $\rightarrow$ Term)
a)  $(4ab-6$ ⃞ $)^2=$ ⃞ $a^2b^2$ ⃝ ⃞ $abc^2d^2+36c^4d^4$
b)  $($⃞ $-25c^2)\cdot($ ⃞ $+25c^2)=196a^2$ ⃝ ⃞
(4P)

Aufgabe 10

Notiere auf deinem Lösungsblatt, ob die jeweilige Behauptung richtig (r) oder falsch (f) ist.
a)  $\overline{BC}^2=\overline{AB}\cdot \overline{AP}$
b)  $\sin \alpha =\overline{CP}:\overline{AC}$
c)  $\cos \alpha \cdot \overline{AP}=\overline{QP}$
d)  △ $ABC$ ist ähnlich △ $BCP$
Gruppe 2
Gruppe 2
(2P)

(45P)
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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Gegeben sind die Punkte $A(2 \mid 4)$ und $B(-6 \mid 8)$, durch welche die Gerade $g_1$ verläuft. Aufgabe ist es, die Funktionsgleichung von $g_1$ anzugeben. Bei der Berechnung entsteht ein lineares Gleichungssystem, welches du mit dem Einsetzungsverfahren lösen kannst.
Die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden lautet:
$y=m\cdot x+c$
Wenn du die Koordinaten der beiden Punkte $A$ und $B$ in die allgemeine Gleichung einsetzt, erhältst du zwei Gleichungen:
$\text{I}:\; 4=m\cdot 2+c$
$\text{II}:\,8=m\cdot(-6)+c$
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung zu $\boldsymbol{g_3}$ bestimmen
Wir betrachten nun zusätzlich die Gleichung der Geraden $g_2$ mit $y:\; -0,5x -2$. Eine weitere Gerade $g_3$ verläuft durch den Punkt $C(4\mid 5)$ und steht senkrecht auf $g_2$. Du sollst nun die Gleichung von $g_3$ bestimmen.
Zunächst kannst du dir die Steigung der Geraden $g_3$ herleiten. Da $g_3$ senkrecht auf $g_2$ steht, gilt für die Steigung von $g_3:$
$m_3=-\dfrac{1}{m_2}=-\dfrac{1}{-0,5}=2$
Nun kannst du die Koordinaten von $C$ und $m_3$ in die allgemeine Geradengleichung einsetzen, um $c_3$ zu berechnen.
$\blacktriangleright$ Nullstelle bestimmen
Nun sollst du die Koordinaten des Schnittpunktes $N$ der Geraden $g_2$ und der $x$-Achse bestimmen.
Der Schnittpunkt einer Funktion mit der $x$-Achse besitzt den Funktionswert $0$. Folglich kannst du zur Berechnung der Nullstelle die Funktionsgleichung mit $0$ gleichsetzen und nach $x$ auflösen.
$\blacktriangleright$ Koordinaten zu Punkt $\boldsymbol{D}$ bestimmen
Du kennst die $x$-Koordinate des Punktes $D(-15 \mid y)$, der auf der Geraden $g_2$ liegt und sollst nun die $y$-Koordinate dieses Punktes bestimmen. Dazu kannst du die $x$-Koordinate einfach in die Funktionsgleichung einsetzen .
$\blacktriangleright$ Schittpunkt $\boldsymbol{E}$ bestimmen
Die Gerade $g_4$ mit der Funktionsgleichung $y=x+1$ schneidet die Gerade $g_2$ im Punkt $E$. Berechne die Koordinaten des Punktes $E$. Dazu kannst du die Funktionsgleichungen gleichsetzen und nach $x$ auflösen .
$\blacktriangleright$ Schaubild zeichnen
Zeichne die Geraden $g_2$, $g_3$ und $g_4$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1\,\text{cm}$. Gegebenenfalls kannst du eine Wertetabelle aufstellen.

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Definitionsmenge und Lösungsmenge angeben
Gegeben ist die Gleichung
$\dfrac{2x-1}{x}-\dfrac{3+x}{3-x}=-\dfrac{3}{x}+2$
von der du Definitionsmenge und Lösungsmenge angeben sollst.
Die Definitionsmenge einer Gleichung gibt an, welche Funktionswerte in die Gleichung eingesetzt werden dürfen. Kritische Punkte entstehen bei der gegebenen Gleichung, falls einer der drei Nenner $0$ wird, da nicht durch $0$ geteilt werden darf.
Die Lösungsmenge der Gleichung umfasst all die Werte für $x$, für die die Gleichung gelöst werden kann. Um diese zu ermitteln, kannst du die Gleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen und der $\boldsymbol{\color{#87c800}{p}}$ - $\boldsymbol{\color{#87c800}{q}}$ -Formel nach $x$ auflösen.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Streckenlänge $\boldsymbol{\overline{BD}}$ berechnen
Betrachte das rechtwinklige Dreieck $ABC$ (Skizze), von dem die Längen der Strecken $\overline{AD}$ und $\overline{BC}$ bekannt sind. Gesucht ist die Länge der Strecke $\overline{BD}$, die du mit Hilfe des Kathetensatzes berechnen kannst.
Gruppe 2
Gruppe 2
Da $ABC$ rechtwinklig ist und du die Länge der Strecken $\overline{BC}$ und $\overline{AD}$ kennst, kannst du die Länge der Strecke $\overline{BD}$ über den Kathetensatz berechnen:
Kathetensatz: $a^2=c\cdot p$
Für diese Aufgabe heißt das:
$a^2=\overline{BC}^2=c\cdot p= (\overline{BD}+\overline{AD})\cdot \overline{BD} $
Diese Gleichung kannst du nun nach $\overline{BD}$ auflösen.
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Nun sollst du den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks $ABC$ berechnen. Bevor du diesen bestimmen kannst, musst du noch die Höhe des Dreiecks über den Satz des Pythagoras berechnen.
Da du die Seitenlängen $\overline{BD}$ und $\overline{BC}$ des rechtwinkligen Dreiecks $BCD$ kennst, kannst du die Höhe $\overline{CD}$ des Dreiecks $ABC$ über den Satz des Pythagoras berechnen:
$\overline{BC}^2=\overline{BD}^2+\overline{CD}^2$
Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ berechnet sich wie folgt:
$A_{Dreieck}=\frac{1}{2} \cdot G\cdot h$
Hier ist $G$ die Grundseite und $h$ die Höhe des Dreiecks.
$\blacktriangleright$ Winkel berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Größe des Winkels $\beta$ berechnen. Hierzu kannst du zum Beispiel die Kosinusfunktion verwenden.
$\cos{\beta}=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}$
Da du sowohl die Länge der Ankathete $\overline{BC}$ als auch die Länge der Hypotenuse $\overline{AB}$ kennst, kannst du den Winkel $\beta$ direkt über den Kosinus berechnen.
$\blacktriangleright$ Umfang berechnen
Nun sollst du rechnerisch den Umfang des Dreiecks $ADE$ ermitteln. Neben dem Satz des Pythagoras kannst du bei der Berechnung der fehlenden Seitenlängen $\overline{AE}$ und $\overline{DE}$ ausnutzen, dass die Dreiecke $ADE$ und $ABC$ ähnlich sind.
Zunächst kannst du zeigen, dass die Dreiecke $ADE$ und $ABC$ ähnlich sind:
  • Der Winkel $EAD$ ist bei beiden Dreiecken identisch
  • Da der Winkel $CED$ $90°$ groß ist, beträgt der Winkel $AED$ ebenfalls $90°$
  • Da die Winkelsumme im Dreieck stets $180°$ beträgt, gilt für den letzten Winkel $ADE$:
    $\sphericalangle{ADE}=\beta=43,11°$
Somit sind nach dem Kongruenzsatz die beiden Dreiecke $ABC$ und $ADE$ ähnlich. Daher gilt unter Anderem:
$\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{DE}}{\overline{AD}}$
Diese Gleichung kannst du nach $\overline{DE}$ auflösen und über den Satz des Pythagoras die fehlende Seitenlänge $\overline{AE}$ berechnen.
Der Umfang $U$ des Dreiecks $ADE$ berechnet sich aus der Summe der Seitenlängen $\overline{AD}$, $\overline{DE}$ und $\overline{AE}$.

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Normalform angeben
Betrachte die Punkte $A(2 \mid 3)$ und $B(4 \mid -1)$, die auf der nach oben geöffneten Normalparabel liegen. Gib die Normalform von $p_1$ an.
Zunächst kannst du die beiden Punkte in die Normalform für Normalparabeln einsetzen:
Normalform: $y=x^2+px+q$
Dadurch erhältst du:
$\text{I}\; 3=2^2+2p+q=4+2p+q$
$\text{II}\; -1=4^2+4p+q=16+4p+q$
Dies ist ein lineares Gleichungssystem, welches du mit dem Einsetzungsverfahren lösen kannst.
$\blacktriangleright$ Normalform angeben
Gegeben ist dir der Scheitelpunkt von der nach unten geöffneten Normalparabel $p_2$, von der du die Normalform angeben sollst. Stelle dazu zunächst die zugehörige Scheitelpunktform auf und führe diese in die Normalform über.
Die Scheitelpunktform einer nach unten geöffneten Normalparabel sieht wie folgt aus:
Scheitelpunktform: $y=-(x-x_s)^2+y_s$
,wobei $x_s$ und $y_s$ die Koordinaten des Scheitelpunktes darstellen. Den gegebenen Scheitelpunkt $S_2$ kannst du nun in die Scheitelpunktform einsetzen.
$\blacktriangleright$ Nullstellen berechnen
Betrachte die Gleichung der Parabel $p_3$ mit $y: x^2+2x-3$, von welcher du die Nullstellen bestimmen sollst.
Da der Funktionswert einer Funktion an den Schnittstellen mit der $x$-Achse stets $0$ ist, kannst du die Funktionsgleichung zur Berechnung der Nullstellen mit $0$ gleichsetzen und mittels $\boldsymbol{\color{#87c800}{p}}$-$\boldsymbol{\color{#87c800}{q}}$ -Formel nach $x$ auflösen.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte berechnen
Neu gegeben ist die Parabel $p_4$ mit $y=-x^2+2x+5$. Aufgabe ist es, die Schnittpunkte der Parabeln $p_3$ und $p_4$ zu berechnen.
Zur Berechnung der Schnittpunkte zweier Funktionen kannst du zuerst deren Funktionswerte gleichsetzen, um die $x$-Werte der Schnittpunkte zu errechnen.
$\blacktriangleright$ Scheitelpunkt rechnerisch bestimmen
Nun sollst du rechnerisch die Koordinaten des Scheitelpunkts $S_3$ der Parabel $p_3$ bestimmen. Dazu kannst du die gegebene Funktionsgleichung quadratisch ergänzen , um diese auf die Scheitelpunktform zurückzuführen.
Aus dem Term $x^2+2x$ aus der Funktionsgleichung von $p_3$ geht hervor, dass du so quadratisch ergänzen musst, damit du die erste binomische Formel für $a=x$ und $b=1$ anwenden kannst.
$\blacktriangleright$ Parabel zeichnen
In diesem Aufgabenteil sollst du das Schaubild der Parabel $p_3$ mit Längeneinheit $1\,\text{cm}$ zeichnen.

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ Streckenverhältnisse angeben
Betrachte die nebenstehende Skizze, wobei die Geraden $g_1$ und $g_2$ parallel verlaufen. Du sollst nun mit Hilfe der Strahlensätze die fehlenden Strecken in den Gleichungen $(a)$, $(b)$ und $(c)$ bestimmen:
Gruppe 2
Gruppe 2
Da in diesem Aufgabenteil $2$ sich schneidende Geraden von Parallelen geschnitten werden, kannst du die Strahlensätze anwenden.

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$ Restmenge angeben
Du kennst die Halbwertszeit des radioaktiven Elements Strontium-$90$ sowie dessen Ausgangsmenge von $500\,\text{mg}$. Nun sollst du berechnen, wie viel nach $80$ Jahren noch vorhanden ist. Dazu kannst du die Zinseszinsformel verwenden.
Die Halbwertszeit eines radioaktiven Elements gibt den Zeitraum an, in dem sich die Masse dieses Stoffes halbiert. Über den Zeitraum von $80$ Jahren und einer Halbwertszeit von $20$ Jahren wird sich die Masse daher $4$ mal halbieren.
$\blacktriangleright$ Zerfallsdauer angeben
Ermittle rechnerisch, nach wie vielen Jahren von $500\,\text{mg}$ Strontium-90 nur noch $1\,\text{mg}$ vorhanden ist. Dabei kannst du erneut die Zinseszinsformel benutzen.
Um zu berechnen, nach wie vielen Jahren nur noch $1\,\text{mg}$ Strontium vorhanden ist, musst du zunächst ausrechnen, wie oft sich die $500\,\text{mg}$ dafür halbieren müssen, um auf $1$ mg zu sinken.
$\blacktriangleright$ Jährlichen Zerfall berechnen
Zuletzt sollst du noch den durchschnittlichen jährlichen Zerfall von Strontium-90 in Prozent berechnen, wobei du wiederum auf die Zinseszinsformel zurückgreifen kannst.
Wie in der Aufgabe angegeben, halbiert sich alle $20$ Jahre die Menge des Strontiums. So sind beispielsweise nach $20$ Jahren $2$ mg Strontium zu $1$ mg zerfallen. Über die Zinseszinsformel kannst du diesen Sachverhalt auch so ausdrücken:
$1=2\cdot q^{20}$
, wobei $q$ angibt, wie viel Prozent des Strontiums am Ende jedes Jahres übrig geblieben sind. Zur Berechnung der jährlichen Zerfallsmenge, musst du zuerst $q$ berechnen.

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$ Kugeldurchmesser berechnen
Bei einem Kugelstoßwettbewerb ist für Männer eine $6\,\text{kg}$ schwere Kugel vorgesehen. $1\,\text{cm}^3$ Kugel wiegt $7,5\,$ Gramm. Du sollst nun den Kugeldurchmesser berechnen. Berechne dazu zunächst das Volumen der Kugel.
Da du sowohl die Dichte der Kugel als auch deren Masse kennst, kannst du zuerst das Volumen $V$ der Kugel berechnen:
$V=\dfrac{\text{Masse}}{\text{Dichte}}=\dfrac{6.000\,\text{g}}{7,5\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}}=800\,\text{cm}^3$
Das Volumen einer Kugel erhältst du wie folgt:
$V_{Kugel}=\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3 $
Nun kannst du das zuvor berechnete Volumen mit der Volumenformel gleichsetzen und $r$ berechnen.
$\blacktriangleright$ Kugeldurchmesser berechnen
Frauen verwenden eine leichtere Kugel. Die Volumina der beiden Kugeln stehen im Verhältnis $2:3$. Berechne den Durchmesser der leichteren Kugel.
Da du das Verhältnis zwischen den beiden Kugeln kennst, kannst du das Volumen der neuen Kugel wie folgt berechnen:
$V_{neu}=\dfrac{2}{3}\cdot 800 \,\text{cm}^3=533,33\,\text{cm}^3$
Analog zum vorigen Aufgabenteil kannst du nun den Radius $r_{neu}$ berechnen.

Aufgabe 8

$\blacktriangleright$ Baumdiagramm angeben
Bei einem Preisrätsel für die Jahrgangsstufe 9 einer Mittelschule haben $7$ Jugendliche der Klasse 9a, $12$ Jugendliche der Klasse 9b sowie $11$ Jugendliche der Klasse 9c die richtige Lösung abgegeben. Unter diesen werden zwei Preise verlost. Du sollst nun ein Baumdiagramm angeben, welches zeigt, mit welchen Wahrscheinlichkeiten sich die beiden Preise auf die drei Klassen verteilen. Bei dem Experiment handelt es sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment, bei dem die Gewinner jeweils ohne Zurücklegen gezogen werden.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass beide Preise an die Klasse $9a$ gehen. Benutze dazu die erste Pfadregel.
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Gewinne an die Klasse $9a$ gehen, kannst du mit Hilfe des linken Astes im Baumdiagramm berechnen.
Wahrscheinlichkeit berechnen
Zuletzt sollst du noch die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die Klasse $9c$ keinen Preis bekommt. Hierzu kannst du erneut die Pfadregeln benutzen.
Wie du dem Baumdiagramm entnehmen kannst, gibt es insgesamt $9$ verschiedene Möglichkeiten, wie die Gewinne verteilt werden können. Nun berechnest du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse, bei denen die $9c$ leer ausgeht (1. Pfadregel) und bildest anschließend die Summe über diese (2. Pfadregel), um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

Aufgabe 9

$\blacktriangleright$ Platzhalter ersetzen
Ziel der Aufgabe ist es, die Platzhalter (Kreise stehen für Rechenzeichen, Rechtecke für Terme) in den Gleichungen zu ersetzen, wobei die Gleichungen Binome darstellen:
  • $(4ab-6$ ⃞ $)^2=$ ⃞ $a^2b^2$ ⃝ ⃞ $abc^2d^2+36c^4d^4$
    Wie du auf der linken Seite der Gleichung sehen kannst, handelt es sich hierbei um die 2. binomische Formel:
    $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$
  • $($⃞ $-25c^2)\cdot($ ⃞ $+25c^2)=196a^2$ ⃝ ⃞
    Wie du auf der linken Seite der Gleichung sehen kannst, handelt es sich hierbei um die 2. binomische Formel:
    $(x-y)\cdot(x+y)=x^2-y^2$

Aufgabe 10

$\blacktriangleright$ Platzhalter ersetzen
Gegeben ist die nebenstehende Skizze. Überprüfe nun ob die gegebenen Behauptungen richtig oder falsch sind:
  • $\overline{BC}^2=\overline{AB}\cdot \overline{AP}$
    Nach dem Kathetensatz gilt:
    $\overline{AB}\cdot\overline{AP}=\overline{AC}^2\neq\overline{BC}^2$
  • $\sin \alpha =\overline{CP}:\overline{AC}$
    Das Dreieck $APC$ ist rechtwinklig und es gilt:
    $\sin{\alpha}=\overline{CP}:\overline{AC}=\text{Gegenkathete}:\text{Hypotenuse}$
  • $\cos \alpha \cdot \overline{AP}=\overline{QP}$
    Es gilt:
    $\begin{array}[t]{rll} \cos{\alpha}\cdot \overline{AP}&=&\overline{QP} \\[5pt] \end{array}$
  • △ $ABC$ ist ähnlich zu △ $BCP$.
    Die Dreiecke stimmen im Winkel $\alpha$ überein und besitzen beide einen rechten Winkel. Daraus folgt, dass auch $\sphericalangle{APQ}=\sphericalangle{ABC}$.
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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Gegeben sind die Punkte $A(2 \mid 4)$ und $B(-6 \mid 8)$, durch welche die Gerade $g_1$ verläuft. Aufgabe ist es, die Funktionsgleichung von $g_1$ anzugeben. Bei der Berechnung entsteht ein lineares Gleichungssystem , welches du mit dem Einsetzungsverfahren lösen kannst.
Die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden lautet:
$y=m\cdot x+c$
Wenn du die Koordinaten der beiden Punkte $A$ und $B$ in die allgemeine Gleichung einsetzt, erhältst du:
$\text{I}:\; 4=m\cdot 2+c \;\text{und}\; \text{II}:\,8=m\cdot(-6)+c$
Dieses Gleichungssystem kannst du lösen, indem du zunächst Gleichung $\text{II}$ nach $c$ auflöst:
$\begin{array}[t]{rll} 8&=&-6m+c &\quad \scriptsize \mid\;+6m \\[5pt] 8+6m&=&c \end{array}$
Das Ergebnis kannst du nun in Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach $m$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} 4&=&2m+c &\quad \scriptsize c=8+6m\,\text{einsetzen} \\[5pt] 4&=&2m+8+6m &\quad \scriptsize\mid\;-8\\[5pt] -4&=&8m &\quad \scriptsize\mid\;:8\\[5pt] m&=&-\frac{1}{2} \end{array}$
Setze $m=\frac{1}{2}$ nun in Gleichung $\text{II}$ ein, um $c$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 8&=&-6m+c &\quad \scriptsize m=-\frac{1}{2} \\[5pt] 8&=&-6\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+c &\quad\scriptsize\mid\;-3\\[5pt] c&=&5 \end{array}$
Die Funktionsgleichung von $g_1$ lautet folglich:
$y=-\dfrac{1}{2}x+5$
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung zu $\boldsymbol{g_3}$ bestimmen
Wir betrachten nun zusätzlich die Gleichung der Geraden $g_2$ mit $y:\; -0,5x -2$. Eine weitere Gerade $g_3$ verläuft durch den Punkt $C(4\mid 5)$ und steht senkrecht auf $g_2$. Du sollst nun die Gleichung von $g_3$ bestimmen.
Zunächst kannst du dir die Steigung der Geraden $g_3$ herleiten. Da $g_3$ senkrecht auf $g_2$ steht, gilt für die Steigung von $g_3:$
$m_3=-\dfrac{1}{m_2}=-\dfrac{1}{-0,5}=2$
Nun kannst du die Koordinaten von $C$ und $m_3$ in die allgemeine Geradengleichung einsetzen, um $c_3$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&m_3\cdot x+c_3 &\quad \scriptsize C(4\mid 5)\,\text{und}\,m_3=2\,\text{einsetzen}\\[5pt] 5&=&2\cdot 4+c &\quad \scriptsize\mid\;-8\\[5pt] c&=&-3 \end{array}$
Damit besitzt $g_3$ die Funktionsgleichung $y=2x-3$.
$\blacktriangleright$ Nullstelle bestimmen
Nun sollst du die Koordinaten des Schnittpunktes $N$ der Geraden $g_2$ und der $x$-Achse bestimmen.
Der Schnittpunkt einer Funktion mit der $x$-Achse besitzt den Funktionswert $0$. Folglich kannst du zur Berechnung der Nullstelle die Funktionsgleichung mit $0$ gleichsetzen und nach $x$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} -0,5x-2&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt] -0,5x&=&2 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot(-2) \\[5pt] x&=&-4 \end{array}$
Das heißt, $N$ besitzt die Koordinaten $N(-4\mid 0)$.
$\blacktriangleright$ Koordinaten zu Punkt $\boldsymbol{D}$ bestimmen
Du kennst die $x$-Koordinate des Punktes $D(-15 \mid y)$, der auf der Geraden $g_2$ liegt und sollst nun die $y$-Koordinate dieses Punktes bestimmen. Dazu kannst du die $x$-Koordinate einfach in die Funktionsgleichung einsetzen :
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-0,5x-2 &\quad \scriptsize x=-15\,\text{einsetzen} \\[5pt] y&=&-0,5\cdot (-15)-2 \\[5pt] y&=&5,5 \end{array}$
$D$ besitzt die Koordinaten $D(-15\mid 5,5)$.
$\blacktriangleright$ Schittpunkt $\boldsymbol{E}$ bestimmen
Die Gerade $g_4$ mit der Funktionsgleichung $y=x+1$ schneidet die Gerade $g_2$ im Punkt $E$. Berechne die Koordinaten des Punktes $E$. Dazu kannst du die Funktionsgleichungen gleichsetzen und nach $x$ auflösen :
$\begin{array}[t]{rll} y_{g_4}&=&y_{g_2} &\quad \scriptsize \\[5pt] x+1&=&-0,5x-2 &\quad \scriptsize \mid\;-x+2 \\[5pt] 3&=&-1,5x &\quad \scriptsize \mid\;:(-1,5) \\[5pt] x&=&-2 \end{array}$
Das Resultat $x=-2$ kannst du in eine der Funktionsgleichungen einsetzen, um die $y$-Koordinate des Schnittpunktes zu erhalten:
$y=-0,5x-2=-0,5\cdot(-2)-2=-1$
Der Schnittpunkt $E$ hat die Koordinaten $E(-2\mid -1)$.
$\blacktriangleright$ Schaubild zeichnen
Zeichne die Geraden $g_2$, $g_3$ und $g_4$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1\,\text{cm}$.
Gruppe 2
Gruppe 2

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Definitionsmenge und Lösungsmenge angeben
Gegeben ist die Gleichung
$\dfrac{2x-1}{x}-\dfrac{3+x}{3-x}=-\dfrac{3}{x}+2$
von der du Definitionsmenge und Lösungsmenge angeben sollst.
Die Definitionsmenge einer Gleichung gibt an, welche Funktionswerte in die Gleichung eingesetzt werden dürfen. Kritische Punkte entstehen bei der gegebenen Gleichung, falls einer der drei Nenner $0$ wird, da nicht durch $0$ geteilt werden darf:
$x=0 \;\text{und} \;3-x=0 \Longleftrightarrow x=0 \;\text{und}\;x=3$
Das heißt für die Definitionsmenge:
$\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{3;0\right\}$
Die Lösungsmenge der Gleichung umfasst all die Werte für $x$, für die die Gleichung gelöst werden kann. Um diese zu ermitteln, kannst du die Gleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen und der $\boldsymbol{\color{#87c800}{p}}$ - $\boldsymbol{\color{#87c800}{q}}$ -Formel nach $x$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2x-1}{x}-\dfrac{3+x}{3-x}&=&-\dfrac{3}{x}+2 &\quad \scriptsize \mid\;+\dfrac{3}{x}-2 \\[5pt] \dfrac{2x-1}{x}-\dfrac{3+x}{3-x}+\dfrac{3}{x}-2&=&0 \\[5pt] \dfrac{2x+2}{x}-\dfrac{3+x}{3-x}-2&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot(x)\cdot(3-x)\\[5pt] (2x+2)\cdot(3-x)-(3+x)\cdot x -2 \cdot(x)\cdot(3-x)&=&0\\[5pt] 6x-2x^2+6-2x-3x-x^2 -6x +2x^2&=&0 \\[5pt] -x^2-5x+6&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot(-1)\\[5pt] x^2+5x-6&=&0 \\[5pt] \end{array}$
Die entstandene quadratische Gleichung kannst du nun mit der $p$-$q$-Formel lösen:
$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
Für unseren Fall heißt das:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&- \frac{5}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2 - (-6)} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=&- \frac{5}{2} \pm \sqrt {\frac{49}{4}} \\[5pt] x_{1,2}&=&- \frac{5}{2} \pm \frac{7}{2} \\[5pt] x_1&=&1 \\[5pt] x_2&=&-6 \end{array}$
Das heißt, für die Lösungsmenge gilt:
$\mathbb{L}=\{1;-6\}$.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Streckenlänge $\boldsymbol{\overline{BD}}$ berechnen
Betrachte das rechtwinklige Dreieck $ABC$ (Skizze), von dem die Längen der Strecken $\overline{AD}$ und $\overline{BC}$ bekannt sind. Gesucht ist die Länge der Strecke $\overline{BD}$, die du mit Hilfe des Kathetensatzes berechnen kannst.
Gruppe 2
Gruppe 2
Da $ABC$ rechtwinklig ist und du die Länge der Strecken $\overline{BC}$ und $\overline{AD}$ kennst, kannst du die Länge der Strecke $\overline{BD}$ über den Kathetensatz berechnen:
Kathetensatz: $a^2=c\cdot p$
Für diese Aufgabe heißt das:
$a^2=\overline{BC}^2=c\cdot p= (\overline{BD}+\overline{AD})\cdot \overline{BD} $
Diese Gleichung kannst du nun nach $\overline{BD}$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{BC}^2&=&(\overline{BD}+\overline{AD})\cdot \overline{BD} &\quad \scriptsize\\[5pt] (12,4\,\text{cm})^2&=& (\overline{BD}+8\,\text{cm})\cdot \overline{BD} &\quad \scriptsize \\[5pt] 153,76\,\text{cm}^2 &=& \overline{BD}^2 +8\,\text{cm}\cdot \overline{BD} &\quad \scriptsize \mid\;-153,76\,\text{cm}^2 \\[5pt] \overline{BD}^2 +8\,\text{cm}\cdot \overline{BD} -153,76\,\text{cm}^2&=& 0 &\quad \scriptsize \overline{BD}=x \\[5pt] x^2+8x-153,76&=&0 \\[5pt] \end{array}$
Die entstandene quadratische Gleichung kannst du mit der $p$-$q$-Formel lösen:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& - \frac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}&\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& - \frac{8}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{8}{2}} \right)^2 - (-153)} \\[5pt] x_{1,2}&=& -4\pm \sqrt {169} \\[5pt] x_{1,2}&=& -4\pm 13 \\[5pt] x_1&=&9\\[5pt] x_2&=&-17\\[5pt] \end{array}$
Da es keine negativen Streckenlängen geben kann, ist die Strecke $\overline{BD}\,9\,\text{cm}$ lang.
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Nun sollst du den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks $ABC$ berechnen. Bevor du diesen bestimmen kannst, musst du noch die Höhe des Dreiecks über den Satz des Pythagoras berechnen.
Da du die Seitenlängen $\overline{BD}$ und $\overline{BC}$ des rechtwinkligen Dreiecks $BCD$ kennst, kannst du die Höhe $\overline{CD}$ des Dreiecks $ABC$ über den Satz des Pythagoras berechnen:
$\overline{BC}^2=\overline{BD}^2+\overline{CD}^2$
Das heißt:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{BC}^2&=&\overline{BD}^2+\overline{CD}^2 &\quad \scriptsize \mid\;-\overline{BD}^2 \\[5pt] \overline{BC}^2-\overline{BD}^2&=&\overline{CD}^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{} \\[5pt] \overline{CD}&=&\sqrt{\overline{BC}^2-\overline{BD}^2}\\[5pt] \overline{CD}&=&\sqrt{(12,4\,\text{cm})^2-(9\,\text{cm})^2}\\[5pt] \overline{CD}&=&8,53\,\text{cm} \end{array}$
Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ berechnet sich wie folgt:
$A_{Dreieck}=\frac{1}{2} \cdot G\cdot h$
Hier ist $G$ die Grundseite und $h$ die Höhe des Dreiecks. Somit gilt für den Flächeninhalt $A$ des Dreiecks $ABC$:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{1}{2} \cdot G\cdot h \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot\overline{AB}\cdot\overline{CD} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot(\overline{AD}+\overline{BD})\cdot \overline{CD} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot 17\,\text{cm} \cdot 8,53\,\text{cm} \\[5pt] &=& 72,51\,\text{cm}^2 \\ \end{array}$
Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ beträgt also $72,51\,\text{cm}^2$.
$\blacktriangleright$ Winkel berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Größe des Winkels $\beta$ berechnen. Hierzu kannst du zum Beispiel die Kosinusfunktion verwenden.
$\cos{\beta}=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}$
Da du sowohl die Länge der Ankathete $\overline{BC}$ als auch die Länge der Hypotenuse $\overline{AB}$ kennst, kannst du den Winkel $\beta$ direkt über den Kosinus berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \cos{\beta}&=&\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos{\beta}&=&\dfrac{12,4\,\text{cm}}{17\,\text{cm}}&\quad \scriptsize \\[5pt] \cos{\beta}&=&0,73&\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \beta&=&43,11° \end{array}$
Der Winkel $\beta$ ist $43,11°$ groß.
$\blacktriangleright$ Umfang berechnen
Nun sollst du rechnerisch den Umfang des Dreiecks $ADE$ ermitteln. Neben dem Satz des Pythagoras kannst du bei der Berechnung der fehlenden Seitenlängen $\overline{AE}$ und $\overline{DE}$ ausnutzen, dass die Dreiecke $ADE$ und $ABC$ ähnlich sind.
Zunächst kannst du zeigen, dass die Dreiecke $ADE$ und $ABC$ ähnlich sind:
  • Der Winkel $EAD$ ist bei beiden Dreiecken identisch
  • Da der Winkel $CED$ $90°$ groß ist, beträgt der Winkel $AED$ ebenfalls $90°$
  • Da die Winkelsumme im Dreieck stets $180°$ beträgt, gilt für den letzten Winkel $ADE$:
    $\sphericalangle{ADE}=\beta=43,11°$
Somit sind nach dem Kongruenzsatz die beiden Dreiecke $ABC$ und $ADE$ ähnlich. Daher gilt unter Anderem:
$\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{DE}}{\overline{AD}}$
Diese Gleichung kannst du nach $\overline{DE}$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}}&=&\dfrac{\overline{DE}}{\overline{AD}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{12,4\,\text{cm}}{17\,\text{cm}}&=&\dfrac{\overline{DE}}{8\,\text{cm}} &\quad \scriptsize\mid\;\cdot 8\,\text{cm} \\[5pt] 0,73\cdot 8\,\text{cm}&=&\overline{DE} \\[5pt] \overline{DE}&=&5,84\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
Nun kannst du über den Satz des Pythagoras die fehlende Seitenlänge $\overline{AE}$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AE}&=&\sqrt{\overline{AD}^2-\overline{DE}^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{AE}&=&\sqrt{(8,\text{cm})^2-(5,84\,\text{cm})^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{AE}&=&5,47\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang $U$ des Dreiecks $ADE$ berechnet sich aus der Summe der Seitenlängen $\overline{AD}$, $\overline{DE}$ und $\overline{AE}$:
$U=\overline{AD}+\overline{DE}+\overline{AE}=8\,\text{cm}+5,84\,\text{cm}+5,47\,\text{cm}=19,31\,\text{cm}$
Der Umfang des Dreiecks $ADE$ beträgt also $19,31\,\text{cm}$.

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Normalform angeben
Betrachte die Punkte $A(2 \mid 3)$ und $B(4 \mid -1)$, die auf der nach oben geöffneten Normalparabel liegen. Gib die Normalform von $p_1$ an.
Zunächst kannst du die beiden Punkte in die Normalform für Normalparabeln einsetzen:
Normalform: $y=x^2+px+q$
Dadurch erhältst du:
$\text{I}\; 3=2^2+2p+q=4+2p+q$
$\text{II}\; -1=4^2+4p+q=16+4p+q$
Dies ist ein lineares Gleichungssystem, welches du mit dem Einsetzungsverfahren lösen kannst. Löse dazu zunächst $\text{I}$ nach $q$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 3&=&4+2p+q &\quad \scriptsize \mid\;-4-2p \\[5pt] q&=&-1-2p \end{array}$
Dies kannst du nun in Gleichung $\text{II}$ einsetzen und $p$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} -1&=&16+4p+q &\quad \scriptsize q=-1-2p\,\text{einsetzen} \\[5pt] -1&=&16+4p-1-2p &\quad \scriptsize \mid\;-15 \\[5pt] -16&=&2p &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] p&=&-8 \end{array}$
Setze $p=8$ in $\text{I}$ ein, um $q$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 3&=&4+2p+q &\quad \scriptsize p=-8\,\text{einsetzen} \\[5pt] 3&=&4+2\cdot(-8)+q &\quad \mid \;\scriptsize +12 \\[5pt] q&=&15 \end{array}$
Somit hat die Parabel $p_1$ die Normalform: $y=x^2-8x+15$.
$\blacktriangleright$ Normalform angeben
Gegeben ist dir der Scheitelpunkt von der nach unten geöffneten Normalparabel $p_2$, von der du die Normalform angeben sollst. Stelle dazu zunächst die zugehörige Scheitelpunktform auf und führe diese in die Normalform über.
Die Scheitelpunktform einer nach unten geöffneten Normalparabel sieht wie folgt aus:
Scheitelpunktform: $y=-(x-x_s)^2+y_s$
,wobei $x_s$ und $y_s$ die Koordinaten des Scheitelpunktes darstellen. Den gegebenen Scheitelpunkt $S_2$ kannst du nun in die Scheitelpunktform einsetzen:
$y=-((x-x_s)^2+y_s)=-((x-3)^2+4)$
Ausmultiplizieren und die 2. binomische Formel liefern folgende Normalform:
$-((x-3)^2+4)=-x^2+6x-9+4=-x^2+6x-5$
Die Parabel $p_2$ hat also die Normalform $y=-x^2+6x-5$.
$\blacktriangleright$ Nullstellen berechnen
Betrachte die Gleichung der Parabel $p_3$ mit $y: x^2+2x-3$, von welcher du die Nullstellen bestimmen sollst.
Da der Funktionswert einer Funktion an den Schnittstellen mit der $x$-Achse stets $0$ ist, kannst du die Funktionsgleichung zur Berechnung der Nullstellen mit $0$ gleichsetzen und mittels $\boldsymbol{\color{#87c800}{p}}$-$\boldsymbol{\color{#87c800}{q}}$ -Formel nach $x$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} x^2+2x-3&=&0 &\quad \scriptsize p\text{-}q\text{-Formel} \\[5pt] x_{1,2}&=&-\dfrac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-(-3)}\\[5pt] x_{1,2}&=&-1\pm\sqrt{4} \\[5pt] x_1&=&1 \\[5pt] x_2&=&-3 \\[5pt] \end{array}$
Das heißt, für die Nullstellen gilt $N_1(1\mid 0)$ und $N_2(-3\mid 0)$.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte berechnen
Neu gegeben ist die Parabel $p_4$ mit $y=-x^2+2x+5$. Aufgabe ist es, die Schnittpunkte der Parabeln $p_3$ und $p_4$ zu berechnen.
Zur Berechnung der Schnittpunkte zweier Funktionen kannst du zuerst deren Funktionswerte gleichsetzen, um die $x$-Werte der Schnittpunkte zu errechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y_3&=& y_4 &\quad \scriptsize \\[5pt] x^2+2x-3&=&-x^2+2x+5 &\quad \scriptsize \mid\;-(-x^2+2x+5) \\[5pt] 2x^2-8&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+8 \\[5pt] 2x^2&=&8 & \quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x^2&=&4 & \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] x_{1,2}&=&\pm 2\\[5pt] \end{array}$
Durch Einsetzen von $x=2$ beziehungsweise $x=-2$ erhältst du die zugehörigen $y-$Koordinaten der Schnittpunkte.
  • $x=2$ einsetzen:
    $y=2^2+2\cdot 2-3=5$
  • $x=-2$ einsetzen:
    $y=(-2)^2+2\cdot (-2)-3=-3$
Das heißt, die Parabeln $p_4$ und $p_3$ besitzen die Schnittpunkte $C(2\mid 5)$ und $D(-2\mid -3)$.
$\blacktriangleright$ Scheitelpunkt rechnerisch bestimmen
Nun sollst du rechnerisch die Koordinaten des Scheitelpunkts $S_3$ der Parabel $p_3$ bestimmen. Dazu kannst du die gegebene Funktionsgleichung quadratisch ergänzen , um diese auf die Scheitelpunktform zurückzuführen.
Aus dem Term $x^2+2x$ aus der Funktionsgleichung von $p_3$ geht hervor, dass du so quadratisch ergänzen musst, damit du die erste binomische Formel für $a=x$ und $b=1$ anwenden kannst:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2+2x-3 &\quad \scriptsize \mid\;+1-1 \,(\text{quadratische Ergänzung}) \\[5pt] y&=&x^2+2x-3+1-1 &\quad \scriptsize 1.\,\text{binomische Formel} \\[5pt] y&=&(x+1)^2-4 \end{array}$
Aus der eben berechneten Scheitelpunktform kannst du den Scheitelpunkt $S_3(-1\mid -4)$ direkt ablesen.
$\blacktriangleright$ Parabel zeichnen
In diesem Aufgabenteil sollst du das Schaubild der Parabel $p_3$ mit Längeneinheit $1\,\text{cm}$ zeichnen.
Gruppe 2
Gruppe 2

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ Streckenverhältnisse angeben
Betrachte die nebenstehende Skizze, wobei die Geraden $g_1$ und $g_2$ parallel verlaufen. Du sollst nun mit Hilfe der Strahlensätze die fehlenden Strecken in den Gleichungen $(a)$, $(b)$ und $(c)$ bestimmen:
Gruppe 2
Gruppe 2
Da in diesem Aufgabenteil $2$ sich schneidende Geraden von Parallelen geschnitten werden, kannst du die Strahlensätze anwenden:
  • $a)$: $\dfrac{c}{a}=\dfrac{d}{[\,\,\,]}$
    Mit Hilfe des 1. Strahlensatzes kannst du die gesuchte Strecke ergänzen:
    $\dfrac{c}{a}=\dfrac{d}{\color{#87c800}{\boldsymbol{b}}}$
  • $b)$: $\dfrac{f}{[\,\,\,]}=\dfrac{a+b}{a}$
    Diesen Aufgabenteil kannst du mit Hilfe des 2. Strahlensatz lösen:
    $\dfrac{f}{\color{#87c800}{\boldsymbol{e}}}=\dfrac{a+b}{a}$
  • $c)$: $\dfrac{c+d}{c}=\dfrac{[\,\,\,]}{a}$
    Mit Hilfe des 1. Strahlensatzes kannst du die fehlende Strecke ergänzen:
    $\dfrac{c+d}{c}=\dfrac{\color{#87c800}{\boldsymbol{a+b}}}{a}$

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$ Restmenge angeben
Du kennst die Halbwertszeit des radioaktiven Elements Strontium-$90$ sowie dessen Ausgangsmenge von $500\,\text{mg}$. Nun sollst du berechnen, wie viel nach $80$ Jahren noch vorhanden ist. Dazu kannst du die Zinseszinsformel verwenden.
Die Halbwertszeit eines radioaktiven Elements gibt den Zeitraum an, in dem sich die Masse dieses Stoffes halbiert. Über den Zeitraum von $80$ Jahren und einer Halbwertszeit von $20$ Jahren wird sich die Masse daher $4$ mal halbieren. Folglich gilt mit Zinseszinsformel:
$\begin{array}[t]{rll} g_{80}&=&g_0\cdot 0,5^4 &\quad \scriptsize \\[5pt] g_{80}&=&500\,\text{mg}\cdot 0,5^4 &\\[5pt] g_{80}&=&31,25\,\text{mg} \end{array}$
Nach $80$ Jahren sind also noch $31,25\,\text{mg}$ Strontium-90 enthalten.
$\blacktriangleright$ Zerfallsdauer angeben
Ermittle rechnerisch, nach wie vielen Jahren von $500\,\text{mg}$ Strontium-90 nur noch $1\,\text{mg}$ vorhanden ist. Dabei kannst du erneut die Zinseszinsformel benutzen.
Um zu berechnen, nach wie vielen Jahren nur noch $1\,\text{mg}$ Strontium vorhanden ist, musst du zunächst ausrechnen, wie oft sich die $500\,\text{mg}$ dafür halbieren müssen, um auf $1$ mg zu sinken:
$\begin{array}[t]{rll} 1\,\text{mg}&=&500\,\text{mg}\cdot 0,5^n &\quad \scriptsize \mid\;:500\,\text{mg} \\[5pt] \dfrac{1}{500}&=&0,5^n &\quad\scriptsize\\[5pt] 0,002&=&0,5^n &\quad\scriptsize\mid\;\log{}\\[5pt] \log{(0,002)}&=&\log{\left(0,5^n\right)} \\[5pt] \log{(0,002)}&=&n\cdot\log{(0,5)} \\[5pt] \dfrac{\log{(0,002)}}{\log{(0,5)}}&=&n \\[5pt] n&=&8,97 \end{array}$
Das heißt, das Strontium muss sich circa $9$ mal halbieren, bis nur noch $1\,\text{mg}$ übrig ist. Da die Halbwertszeit $20$ Jahre beträgt musst du $n$ noch mit $20$ multiplizieren, um die Anzahl der Jahre zu erhalten: $n\cdot 20=179,32$.
Nach circa $180$ Jahren ist nur noch $1\,\text{mg}$ Strontium vorhanden.
$\blacktriangleright$ Jährlichen Zerfall berechnen
Zuletzt sollst du noch den durchschnittlichen jährlichen Zerfall von Strontium-90 in Prozent berechnen, wobei du wiederum auf die Zinseszinsformel zurückgreifen kannst.
Wie in der Aufgabe angegeben, halbiert sich alle $20$ Jahre die Menge des Strontiums. So sind beispielsweise nach $20$ Jahren $2$ mg Strontium zu $1$ mg zerfallen. Über die Zinseszinsformel kannst du diesen Sachverhalt auch so ausdrücken:
$1=2\cdot q^{20}$
, wobei $q$ angibt, wie viel Prozent des Strontiums am Ende jedes Jahres übrig geblieben sind. Zur Berechnung der jährlichen Zerfallsmenge, musst du zuerst $q$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 1&=&2\cdot q^{20} &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] 0,5&=&q^{20}&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[20]{} \\[5pt] \sqrt[20]{0,5}&=&q\\[5pt] q&=&0,966 \end{array}$
Da $q$ die Menge an verbliebenem Strontium eines jeden Jahres angibt, gilt für die Jährliche Zerfallsmenge $p=1-q=0,034$.
Der durchschnittliche jährliche Zerfall von Strontium beträgt also $3,4\%$.

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$ Kugeldurchmesser berechnen
Bei einem Kugelstoßwettbewerb ist für Männer eine $6\,\text{kg}$ schwere Kugel vorgesehen. $1\,\text{cm}^3$ Kugel wiegt $7,5\,$ Gramm. Du sollst nun den Kugeldurchmesser berechnen. Berechne dazu zunächst das Volumen der Kugel.
Da du sowohl die Dichte der Kugel als auch deren Masse kennst, kannst du zuerst das Volumen $V$ der Kugel berechnen:
$V=\dfrac{\text{Masse}}{\text{Dichte}}=\dfrac{6.000\,\text{g}}{7,5\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}}=800\,\text{cm}^3$
Das Volumen einer Kugel erhältst du wie folgt:
$V_{Kugel}=\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3 $
Nun kannst du das zuvor berechnete Volumen mit der Volumenformel gleichsetzen und $r$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} V_{Kugel}&=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] 800\,\text{cm}^3&=& \dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\dfrac{3}{4\cdot\pi} \\[5pt] \dfrac{3\cdot 800}{4\cdot\pi}\,\text{cm}^3&=&r^3 \\[5pt] 190,99\,\text{cm}^3&=&r^3 &\quad \scriptsize\mid\;\sqrt[3]{} \\[5pt] r&=&5,76\,\text{cm} \end{array}$
Somit hat die Kugel den Durchmesser $d$ von $d=2r=11,52\,\text{cm}$.
$\blacktriangleright$ Kugeldurchmesser berechnen
Frauen verwenden eine leichtere Kugel. Die Volumina der beiden Kugeln stehen im Verhältnis $2:3$. Berechne den Durchmesser der leichteren Kugel.
Da du das Verhältnis zwischen den beiden Kugeln kennst, kannst du das Volumen der neuen Kugel wie folgt berechnen:
$V_{neu}=\dfrac{2}{3}\cdot 800 \,\text{cm}^3=533,33\,\text{cm}^3$
Analog zum vorigen Aufgabenteil kannst du nun den Radius $r_{neu}$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 533,33\,\text{cm}^3&=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r_{neu}^3 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\dfrac{3}{4\cdot\pi} \\[5pt] \dfrac{3\cdot 533,33}{4\cdot\pi}\,\text{cm}^3&=&r_{neu}^3 \\[5pt] 127,32 \,\text{cm}^3&=&r_{neu}^3 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt[3]{}\\[5pt] \sqrt[3]{127,32 \,\text{cm}^3}&=&r_{neu} \\[5pt] r_{neu}&=&5,03\,\text{cm} \end{array}$
Somit hat die neue Kugel den Durchmesser $d_{neu}$ von $d_{neu}=2r_{neu}=10,06\,\text{cm}$.

Aufgabe 8

$\blacktriangleright$ Baumdiagramm angeben
Bei einem Preisrätsel für die Jahrgangsstufe 9 einer Mittelschule haben $7$ Jugendliche der Klasse 9a, $12$ Jugendliche der Klasse 9b sowie $11$ Jugendliche der Klasse 9c die richtige Lösung abgegeben. Unter diesen werden zwei Preise verlost. Du sollst nun ein Baumdiagramm angeben, welches zeigt, mit welchen Wahrscheinlichkeiten sich die beiden Preise auf die drei Klassen verteilen. Bei dem Experiment handelt es sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment, bei dem die Gewinner jeweils ohne Zurücklegen gezogen werden.
Gruppe 2
Gruppe 2
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass beide Preise an die Klasse $9a$ gehen. Benutze dazu die erste Pfadregel.
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Gewinne an die Klasse $9a$ gehen, kannst du mit Hilfe des linken Astes im Baumdiagramm berechnen:
$P\{(\text{zweimal}\, 9\,\text{a})\}=\dfrac{7}{30}\cdot \dfrac{6}{29}=0,048$
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Preise an die Klasse $9a$ gehen, beträgt also $4,8\%$.
Wahrscheinlichkeit berechnen
Zuletzt sollst du noch die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die Klasse $9c$ keinen Preis bekommt. Hierzu kannst du erneut die Pfadregeln benutzen.
Wie du dem Baumdiagramm entnehmen kannst, gibt es insgesamt $9$ verschiedene Möglichkeiten, wie die Gewinne verteilt werden können. Nun berechnest du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse, bei denen die $9c$ leer ausgeht (1. Pfadregel) und bildest anschließend die Summe über diese (2. Pfadregel), um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen:
$P\{(9c\,\text{geht leer aus})\}=\dfrac{7}{30}\cdot \dfrac{6}{29}+\dfrac{7}{30}\cdot\dfrac{12}{29}+\dfrac{12}{30}\cdot\dfrac{7}{29}+\dfrac{12}{30}\cdot\dfrac{11}{29}=0,39$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Klasse $9c$ keinen Gewinn erhält, beträgt $39\%$.

Aufgabe 9

$\blacktriangleright$ Platzhalter ersetzen
Ziel der Aufgabe ist es, die Platzhalter (Kreise stehen für Rechenzeichen, Rechtecke für Terme) in den Gleichungen zu ersetzen, wobei die Gleichungen Binome darstellen:
  • $(4ab-6$ ⃞ $)^2=$ ⃞ $a^2b^2$ ⃝ ⃞ $abc^2d^2+36c^4d^4$
    Wie du auf der linken Seite der Gleichung sehen kannst, handelt es sich hierbei um die 2. binomische Formel:
    $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$
    Daher siehst du sofort, dass das fehlende Rechenzeichen ein "$-$" ist.
    Dem letzten Term der rechten Seite entnimmst du, dass $y^2=36c^4d^4$ ist und somit $y=6c^2d^2$. Folglich ist $c^2d^2$ die Lösung für die erste Lücke.
    Da $(4ab)^2=16a^2b^2$, ist $16$ die Lösung für die zweite Lücke.
    Nun rechnest du: $2xy=2\cdot 4ab\dot 6c^2d^2=48abc^2d^2$. Das heißt, $48$ muss in die letzte offene Lücke eingesetzt werden.
    Die komplette Gleichung sieht wie folgt aus:
    $(4ab-6\color{#87c800}{\boldsymbol{c^2d^2}})^2=\color{#87c800}{\boldsymbol{16}}a^2b^2\color{#87c800}{\boldsymbol{-}}\color{#87c800}{\boldsymbol{48}}abc^2d^2+36c^4d^4$
  • $($⃞ $-25c^2)\cdot($ ⃞ $+25c^2)=196a^2$ ⃝ ⃞
    Wie du auf der linken Seite der Gleichung sehen kannst, handelt es sich hierbei um die 2. binomische Formel:
    $(x-y)\cdot(x+y)=x^2-y^2$
    Folglich ist das fehlende Rechenzeichen ein "$-$".
    Da $x^2=196a^2$ gilt $x=\sqrt{196a^2}=14a$, was die ersten beiden Lücken füllt.
    Die letzte Lücke wird von $y^2=(25c^2)^2=625c^4$ gefüllt.
    Somit sieht die komplette Gleichung wie folgt aus:
    $(\color{#87c800}{\boldsymbol{14a}}-25c^2)\cdot(\color{#87c800}{\boldsymbol{14a}}+25c^2)=196a^2\color{#87c800}{\boldsymbol{-}}\color{#87c800}{\boldsymbol{625c^4}}$

Aufgabe 10

$\blacktriangleright$ Platzhalter ersetzen
Gegeben ist die nebenstehende Skizze. Überprüfe nun ob die gegebenen Behauptungen richtig oder falsch sind:
  • $\overline{BC}^2=\overline{AB}\cdot \overline{AP}$
    Diese Aussage ist falsch.
    Nach dem Kathetensatz gilt:
    $\overline{AB}\cdot\overline{AP}=\overline{AC}^2\neq\overline{BC}^2$
  • $\sin \alpha =\overline{CP}:\overline{AC}$
    Diese Aussage ist richtig .
    Das Dreieck $APC$ ist rechtwinklig und es gilt:
    $\sin{\alpha}=\overline{CP}:\overline{AC}=\text{Gegenkathete}:\text{Hypotenuse}$
  • $\cos \alpha \cdot \overline{AP}=\overline{QP}$
    Diese Aussage ist falsch da:
    $\begin{array}[t]{rll} \cos{\alpha}\cdot \overline{AP}&=&\overline{QP} &\quad \scriptsize \mid\;:\overline{AP} \\[5pt] \cos{\alpha}&=&\dfrac{\overline{QP}}{\overline{AP}} \end{array}$
    Dies stellt genau den Sinus und nicht den Kosinus dar.
  • △ $ABC$ ist ähnlich zu △ $BCP$. Diese Antwort ist richtig.
    Die Dreiecke stimmen im Winkel $\alpha$ überein und besitzen beide einen rechten Winkel. Daraus folgt, dass auch $\sphericalangle{APQ}=\sphericalangle{ABC}$. Da das Dreieck $ABC$ weiterhin eine Streckung des Dreiecks $APQ$ ist, sind die beiden Dreiecke ähnlich.
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