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LV-Prüfung 1

Aufgaben PLUS
Lösungen PLUS
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Aufgabe 1

Flächeninhalt berechnen
Du sollst den Flächeninhalt des Drachenvierecks berechnen. In der Skizze hast du eine Skala gegeben, somit weißt du, dass 2 Kästchen 10cm entsprechen.
Ein Drachenviereck besteht aus vier Dreiecken, welche du zu einem Rechteck zusammenlegen kannst.
Der Flächeninhalt des Drachenvierecks entspricht dem Flächeninhalt des Rechteckes. Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnest du mit:
ARechteck=ab
Du benötigst die Länge der beiden Seiten des Rechtecks. Dazu zählst du die Kästchen entlang der langen und kurzen Seite.
Die lange Seite ist 12 und die kurze Seite ist 5 Kästchen lang. Um den Flächeninhalt in Quadratzentimetern zu berechen benötigst du die Länge allerdings in Zentimetern. Du weißt, dass 2 Kästchen 10cm entsprechen:
2Kästchen=10cm:21Kästchen=5cm
Wenn du also die Anzahl der Kästchen mit 5cm multiplizieren, erhälst du die Höhe sowie die Breite des Rechtecks in cm.
Höhe:a=12Kästchen5cm=60cm
Breite:b=5Kästchen5cm=25cm
Für den Flächeninhalt des Rechecks multiplizierst du diese beiden Längen mit einander:
ARechteck=ab=60cm25cm=1.500cm2=15dm2
Der Flächeninhalt beträgt 15dm2.
#geometrie#viereck#rechteck

Aufgabe 2

Größe der Babygiraffe berechnen
Abb. 2: Giraffen im Vergleich
Abb. 2: Giraffen im Vergleich
Für die Größe der Mutter misst du:
Hals=4cmBeine=3cmGröße=4cm+3cm=7cm
Die Mutter ist 7cm groß.
Für das Giraffenbaby misst du nun ebenfalls und kommst auf eine Gesamtlänge von 4,5cm.
:7
7cm=^4,5m1cm=^0,64m4,5cm=^2,9m
:7
4,5
4,5
4,5cm=^2,9m
Die Babygiraffe ist 2,9m groß.
#dreisatz#geometrie

Aufgabe 3

Anzahl abschätzen
Abb. 3: Gummibären
Abb. 3: Gummibären
In einem Kästchen befinden sich 4 Gummibärchen, die du (zum Teil oder ganz) sehen kannst. Du kannst das Bild in ungefähr 35 Kästchen unterteilen und erhälst dadurch eine ungefähre Gesamtanzahl von:
Schätzung Gesamtanzahl=4GummibärchenKästchen35Kästchen=140Gummibärchen
Schätzung Gesamtanzahl=140
In dem Bild sind ungefähr 140Gummibärchen zu sehen.
#schätzen#geometrie

Aufgabe 4

4.1
Aussagen überprüfen
Gegeben ist dir folgende Geradengleichung: y=3x+1
1. Aussage: Die Gerade schneidet die x-Achse im Punkt (130)
Um die Nullstelle der Geraden und somit den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen, setzt du die Gleichung 0, da alle Punkt auf der x-Achse die y-Koordinate 0 besitzen.
0=3x+111=3x:3x=13
Die Gerade schneidet die x-Achse im Punkt (130) und die Aussage ist somit wahr.
2. Aussage: Die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (013)
Du sollst die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden mit der y-Ache bestimmen. Für alle Punkte auf der y-Achse gilt, dass die x-Koordinate 0 ist. Das setzt du ein:
y=30+1=1
Die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (01). Somit ist die Aussage falsch.
3. Aussage: Die Gerade hat eine negative Steigung
Eine Geradengleichung hat die Form y=mx+c, wobei m die Steigung bezeichnet. Die Gerade aus der Aufgabenstellung hat die Steigung 3>0 und ist nicht negativ.
Die Aussage der Aufgabenstellung ist falsch.
4.2
Gerade skizzieren
Du sollst den Verlauf der Geraden y=3 in einem Koordinatensystem skizzieren. Im Vergleich zu der Gerade in der Aufgabe davor besitzt diese Gerade keine Steigung und ist konstant.
Somit ist die Gerade parallel zur x-Achse mit Abstand 3.
Abb. 4 Gerade skizzieren
Abb. 4 Gerade skizzieren
#graph#schnittpunkt#steigung#geradengleichung#parallel

Aufgabe 5

Taschengeld berechnen
Für die Tabelle liest du Werte aus der Abbildung ab. Zum Beispiel erhält Tim im Alter von 12 Jahren 20€ Taschengeld.
Anhand der Tabelle suchst du nach einem Muster im Zuwachs des Taschengeldes, um danach vorhersagen zu können wie viel Taschengeld er mit 15 erhält.
Abb. 5: Taschengeld
Abb. 5: Taschengeld
Ab seinem 11. Geburtstag erhält Tim 4€ mehr. Ab seinem 12. allerdings nur 2€ mehr. Im Wechsel geht dies immer weiter.
Folgst du diesem Prinzip, erkennst du, dass er, wenn er 15 Jahre alt wird, eine Taschengelderhöhung von 4 erhält und somit letztendlich ein Taschengeld von 30 haben wird.
#diagramm#folge#tabelle

Aufgabe 6

Gleichungen vervollständigen
Setze die richtige Zahl ein, die die Gleichung erfüllt. Dazu drehst du die Rechnung um:
6:?=0,6?:0,6?=0,66=10
Die Gleichung lautet somit:
6:10=0,6
Für die anderen drei Gleichungen gehst du genauso vor und erhälst:
0,3:1=0,32,5:5=0,50,16:0,4=0,4
#gleichung#division

Aufgabe 7

7.1
Figur zum Drachenviereck vervollständigen
Du sollst eine Figur zu einem Drachenviereck ergänzen. Drachenvierecke zeichnen sich dadurch aus, dass sie aus zwei Dreiecken zusammen gesetz sind, welche eine gemeinsame Seite haben.
Diese beiden Dreiecke lassen sich weiter in jeweils zwei gleischschenklige, kongruente sowie zueinander symetrische Dreiecke zerlegen. In Aufgabe 1 hast du den Flächeninhalt eines Drachenvierecks berechnet.
Zuerst betrachtest du die genaue Position des Punktes B in Abhängigkeit von A an. Dies geschieht, indem du nachzählst wie viele Kästchen du von Punkt A nach rechts und dann nach unten gehen musst, um zu Punkt B zu gelangen. In diesem Fall gehst du 2 Kästchen nach rechts und 8 Kästchen nach unten.
Wegen der Symmetrie zeichnest du den Punkt D zwei Kästchen weiter links und 8 Kästchen weiter unten ein.
Der letzte Schritt ist nun Punkt C einzuzeichnen. Dieser Punkt muss auf derselben Linie wie Punkt A liegen jedoch tiefer als B und D, damit ein Drachenviereck entstehen kann.
Nachdem du die Punkte eingezeichnet hast, kannst du die Koordinaten nun ablesen mit C(61) und D(42).
Abb. 6: Drachenviereck
Abb. 6: Drachenviereck
7.2
Figur zu rechtwinkligem Dreieck ergänzen
Nachdem du das Drachenviereck eingezeichnet hast, sollst du nun ein rechtwinkliges Dreieck einzeichnen. Dafür sollst du einen Punkt C1 bestimmen. Damit das Dreieck rechtwinklig ist, zeichnest du C1 so ein, dass er unter A und auf der selben Höhe wie B liegt.
Danach kannst du die Koordinaten ablesen mit C1(62)
Abb. 7: Rechtwinkliges Dreieck
Abb. 7: Rechtwinkliges Dreieck
#rechterwinkel#dreieck#koordinaten#geometrie#viereck

Aufgabe 8

8.1
Möglichkeiten aufzählen
Nach drei Spielen hat Nordirland drei Punkte und du sollst aufzählen, wie viele Spiele Nordirland gewonnen haben kann.
Für einen Sieg bekommt eine Mannschaft drei Punkte, Nordirland kann somit maximal ein Spiel gewonnen haben und muss die anderen zwei verloren haben. Sonst hätten sie mehr als drei Punkte.
Wenn Nordirland kein Spiel gewonnen hat, dann müssen alle drei Spiele unentschieden aus gegangen sein. Denn für ein Unentschieden bekommt eine Mannschaft einen Punkt.
Diese beiden stellen alle Möglichkeiten dar.
8.2
Punktstand erklären
Du sollst erklären wieso es nicht möglich ist, dass eine Mannschaft nach 3 Spielen 8 Punkte hat.
Überlege dir hierzu wie viele Punkte eine Mannschaft bekommen würde wenn sie z.B. zweimal gewonnen und einmal verloren hätte.
Nach drei Spielen kann eine Mannschaft dreimal gewonnen haben und hat dann neun Punkte.
Hat eine Mannschaft nur zwei mal gewonnen und einmal unentschieden gespielt, hat sie lediglich sieben Punkte.
In allen anderen möglichen Fällen erreicht sie nur weniger Punkte. Sie kann also nach drei Spielen nicht acht Punkte erreichen.
8.3
Anzahl der Spiele berechnen
Um herauszubekommen wie viele Spiele in einer Gruppe stattfinden, verfolgst du eine Mannschaft durch das Turnier.
Deutschland spielt z.B. gegen Polen, Nordirland und die Ukraine. Hat also drei Spiele.
Polen spielt auch gegen Deutschland, dieses Spiel ist aber bereits bei den drei Spielen von Deutschland dabei. Weiter spielt Polen gegen Nordirland und die Ukraine, hat also zwei weitere Spiele.
Nordirland spielt gegen Deutschland, dieses Spiel ist schon bei Deutschland bedacht, gegen Polen, dieses Spiel ist bereits bei der polnischen Nationalmannschaft bedacht, sowie gegen die Ukraine. Es bleibt nur ein neues Spiel.
Die Ukraine spielt auch gegen alle drei Mannschaften, aber nicht in einem Spiel welches noch nicht aufgezählt wurde.
Zusammen gibt es in einer Gruppe also 3+2+1+0=6 Spiele.
#ereignis

Aufgabe 9

9.1
Höhenunterschied berechnen
Das Gefälle einer Straße wird in Prozent angegeben. Damit du ausrechnen kannst, wie groß das Gefälle auf 350m ist, brauchst du den Höhenunterschied pro Meter. Diesen kannst du mit einem Dreisatz berechnen.
35%=^35m auf 100m:351%=^1m auf 100m2525%=^25m auf 100m
Ein Gefälle von 25% entspricht einem Höhenunterschied von 25m bei einem Abstand von 100m. Das rechnest du nun noch auf 350m hoch.
3,525m=87,5m
Zwischen den beiden Gebäuden liegen 87,5m Höhenunterschied.
9.2
Steigung berechnen
Auf einer Strecke von 100m entspricht 1% Steigung einem Höhenunterschied von 1m. Du benötigst aber den Unterschied auf 8m.
1%=^1m auf 100m=^0,01m auf 1m=^0,08m auf 8m2525%=^2m auf 8m
2m Höhenunterschied entsprechen einer Steigung von 25%.
9.3
Steigung aus Winkel berechnen
Den Prozentwert der Steigung kannst du über eine trigonometrische Rechnung oder eine geometrische Überlegung bestimmen.
Lösungsweg A: Geometrische Überlegung
Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt immer 180. Im Steigungsdreieck ist immer ein rechter Winkel vorhanden und laut der Aufgabenstellung beträgt der Steigungswinkel 45.
1809045=45
Das Dreieck hat zwei gleichgroße Winkel und heißt dadurch gleichschenklig. Bei gleichschenkligen Dreiecken sind die beiden Schenkel, also die kürzeren Seiten gleich lang.
Auf 100m Strecke steigt die Straße um 100m. Der Prozentwert der Steigung ist dann:
1%=^1m auf 100m100100%=^100m auf 100m
Bei einem Winkel von 45 beträgt die Steigung 100%.
Lösungsweg B: Trigonometrische Rechnung
Abb. 8: Dreieck zur Bestimmung des Steigungswinkels
Abb. 8: Dreieck zur Bestimmung des Steigungswinkels
Die beiden Katheten sind gleich lang. Den Prozentwert berechnest du ähnlich einem Dreisatz:
1%=^1m auf 100m100100%=^100m auf 100m
Bei einem Winkel von 45 beträgt die Steigung 100%.
#dreisatz#prozentrechnen#geometrie#trigonometrie#steigung

Aufgabe 10

10.1
a)
3-stellige Zahl bestimmen
Die Quersumme q(xyz)=x+y+z ist die Summe aller Ziffern einer Zahl und soll hier kleiner als 10, also maximal 9 sein.
Da die dreistellige Zahl mit 7 beginnt gilt:
9=q(7xy)=7+x+y72=x+y
Die zwei Ziffern x und y dürfen zusammen lediglich eine Quersumme von 2 ergeben. Da eine 0 in dieser Aufgabe nicht als Ziffer erlaubt wurde, gilt:
x=y=1
Die gesuchte Zahl muss 711 sein.
b)
5-stellige Zahl bestimmen
Erneut darf die Quersumme maximal 9 sein. Die fünfstellige Zahl beginnt mit 2 und 3:
9=q(23xyz)=2+3+x+y+z54=x+y+z
Für die drei Ziffern x, y und z bleiben 4 Stellenwerte übrig. Auf die drei übrigen Stellen verteilt, sind zwei Zahlen auf jeden Fall eine 1 und die übrige eine 2. Die Zahlen 23.112, 23.121 oder 23.211 sind mögliche Lösungen.
10.2
a)
5-stellige Zahl bestimmen
Die Quersumme soll durch 5 teilbar sein, bei der fünfstelligen Zahl mit den Anfangsziffern 7, 2 und 2, deren Quersumme bisher 11 ist, wäre die nächste durch 5 teilbare Quersumme 15, auf die übrigen 2 Ziffern sind 1511=4 Stellenwerte zu übertragen. Die Zahlen 72.222, 72.213 und 72.231 sind mögliche Lösungen.
b)
2-stellige Zahl bestimmen
Die Quersumme der mit 8 beginnenden Zahl soll durch 5 teilbar sein. Die Quersumme kann somit 10 oder 15 ergeben.
Für eine Quersumme von 10 heißt die Zahl 82.
Für eine Quersumme von 15 heißt die Zahl 87.
10.3
a)
4-stellige Zahl bestimmen
Die Quersumme soll durch 3 und 7 teilbar sein. Die kleinste so teilbare Zahl ist 21. Du passt die Quersumme so an, dass sie 21 ist.
Die vierstellige Zahl beginnt mit 79 und hat bisher die Quersumme 16. Auf zwei Ziffern sind noch 2116=5 Stellenwerte zu verteilen. Mögliche Lösungen sind 7.914 oder 7.923.
b)
6-stellige Zahl bestimmen
Die sechsstellige Zahl beginnt mit 283 und hat bisher die Quersumme 13. Auf drei Ziffern sind noch 2113=8 Stellenwerte zu verteilen. Mögliche Lösungen sind 283.116 oder 283.224.
#quersumme

Aufgabe 11

11.1
Zahlenpyramide füllen
Die Zahl eines Steines berechnest du, indem du die beiden darunter liegenden Zahlen multipliziert.
Um auf die Zahl x zu schließen füllst du zuerst alle Lücken. Begeinne hierbei mit dem rechten Stein der mittleren Ebene:
84=32
Im linken Stein steht die Zahl, welche mit 32 multipliziert 512 ergibt. Anders gesagt, die gesuchte Zahl ist das Ergebniss von 512:(32):
512:(32)=16
Im linken Stein der mittleren Ebene steht 16. x ist somit die Zahl, welche mit 8 multipliziert 16 ergibt:
16:(8)=2
Die gesuchte Zahl x ist 2.
Abb. 9: Zahlenpyramide
Abb. 9: Zahlenpyramide
11.2
Zahlenpyramide füllen
Bei dieser Pyramide gehst du wie zuvor vor und berechnest alle Lücken um auf die Zahlen x und y zu schließen. Beginne nun allerdings mit dem linken Stein der mittleren Ebene.
144:18=8
Somit kannst du bereits x berechnen:
8:2=4
Die gesuchte Zahl x ist 4.
Für y berechnest du:
18:2=9
Die gesuchte Zahl y ist 9.
Abb. 10: Zahlenpyramide
Abb. 10: Zahlenpyramide
#division#zahlenpyramide

Aufgabe 12

12.1
Schritte ordnen
Du sollst die möglichen Schritte der Umfrage einer sinnvollen Reihenfolge zuordnen. Überlege dir zum Beispiel:
Es ist nicht möglich die Lösung für das Sommerfest festzulegen, wenn die Ergebnisse der Umfrage noch nicht interpretiert wurden. Auch ergibt es keine Sinn, Fragen zu formulieren, wenn das Problem nicht benannt wurde.
Wenn du so für jeden Punkt vorgehst erhältst du folgende Ordnung:
  1. Geeignete Fragen formulieren.
  2. Das Problem benennen.
  3. Die Ergebnisse der Umfrage interpretieren.
  4. Die Lösung für das Sommerfest festlegen.
  5. Die Umfrage in den anderen Klassen durchführen.
  6. die Umfrageergebnisse in Tabellen und Diagrammen darstellen.
12.2
Frage auswählen
Du sollst aus den vier Fragen diejenige aussuchen, welche am besten zum Ziel der Umfrage passt, festzustellen wie viele Schüler vormittags am Vollyballturnier teilnehmen wollen. Gehe hierbei nach dem Ausschlussverfahren vor:
Wäre es Frage 1 würden manche Schüler ja antworten, weil sie z.B. im Verein Vollyball spielen, können am Turnier aber nicht teilnehmen, weil sie eben durch ihren Verein ein Spiel haben. Das gleiche gilt für Fragestellung 2.
Weil viele Schüler sich z.B. nicht zutrauen am Spiel teilzunehmen, aber gerne zum Zuschauen vorbei kommen, ist Frage 3 auch nicht zielführend.
Somit bleibt als sinnvolle Fragestellung die 4. Diese enthält alle wichtigen Informationen über das Spiel und den Zeitpunkt.
#logik

Aufgabe 13

13.1
Höchste Gewinnchance wählen
Du sollst das Glücksrad auswählen, bei welchem du die größten Gewinnchancen hast, der Anteil der blauen Felder dementsprechend am größten ist.
Alle Glücksräder bestehen aus 13 Feldern. Beim ersten Glücksrad sind 3, beim zweiten 5 und beim dritten 4 Felder blau. Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen beträgt also 313, 513 oder 413.
Am größten ist dieser Bruch für das zweite Rad. Du wählst dieses Rad.
13.2
Gewinnwahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst diese Wahrscheinlichkeit angeben, dass genau eines der drei Räder auf einem blauen Feld stehen bleibt. Überlege dir hierzu welche Möglichkeiten es gibt.
Die Wahrscheinlichkeit P(1), dass ein Glückrad auf einer blauen Farbe stehen bleibt setzt sich zusammen, aus der Wahrscheinlichkeit, dass das Erste oder das Zweite oder das Dritte blau anzeigt. Nach der 2. Pfadregel addierst du diese Wahrscheinlichkeiten um P(1) zu erhalten.
Die Wahrscheinlichkeiten p für die Farbe blau hast du bereits bestimmt. Dafür, dass nicht blau eintritt betrachtest du 1p. 1. Pfadregel berechnest du die Wahrscheinlichkeiten für die drei Räder.
P(1)=313813913+1013513913+1013813413=2162.197+4502.197+3202.197=9862.1970,4488=44,88%
P(1)=44,88%
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Glücksrad blau zeigt beträgt 44,88%.
Genau so gehst du für zwei blaue Glückräder vor:
P(2)=313513913+313813413+1013513413=1352.197+962.197+2002.197=4312.1970,1962=19,62%
P(2)=19,62%
Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Glücksräder blau zeigen beträgt 19,62%.
Für drei blaue Räder gehst du genauso vor, allerdings gibt es hierbei nur eine Möglichkeit.: