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Aufgabe II: Analysis

Aufgaben
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Aufgabe II: Kugelstoßen

1.
Abbildung 1 zeigt schematisch drei Bahnen, auf denen sich eine Kugel beim Kugelstoßen bewegen kann. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $1\,\text{m}$ in der Realität; die $x$-Achse beschreibt den horizontal verlaufenden Boden. Die Kugel soll als punktförmig angenommen werden.
Die Kugel wird aus der Ruhelage $(R)$ beschleunigt, bis sie im Abstoßpunkt $(A)$ die Hand der Athletin verlässt. Die anschließende Flugkurve der Kugel ist abhängig von ihrer Geschwindigkeit beim Abstoßen. Damit verändert sich insbesondere die Stoßweite, d.h. der Abstand zwischen dem Punkt $(0\mid0)$ und dem Auftreffpunkt auf dem Boden.
Die Bahn der Kugel von der Ruhelage bis zum Abstoßpunkt kann modellhaft durch die Funktion $f$ mit $f(x)= 0,4 +1,6\cdot \mathrm e^{0,5\cdot x}$ und $x\in [-2;0]$ beschrieben werden.
#zentraleraufgabenpool
$\,$
a)
Berechne die Länge der Bahn der Kugel von der Ruhelage bis zum Abstoßpunkt näherungsweise als Länge der Strecke zwischen diesen beiden Punkten.
(2 BE)
$\,$
b)
Berechne den horizontalen Abstand der Kugel von der Ruhelage, wenn sie sich in der Hand der Athletin $1,50\,\text{m}$ über dem Boden befindet.
(4 BE)
$\,$
c)
Während eines Stoßes wurde die Höhe der Kugel über dem Boden an fünf Stellen gemessen. Die fünf Stellen werden im Modell durch die $x$-Werte $x_1$ bis $x_5$ dargestellt, die gemessenen Höhen werden mit $h_1$ bis $h_5$ bezeichnet.
Beurteile die folgende Aussage:
Wenn der Wert des Terms $\left|\displaystyle\sum\limits_{i=1}^5 (h_i-f(x_i)) \right|$ klein ist, dann werden die gemessenen Höhen durch die Werte, die das Modell liefert, gut beschrieben.
(3 BE)
$\,$
Nach dem Abstoßen der Kugel lässt sich jede mögliche Flugkurve mithilfe einer der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p_a$ mit $p_a(x) = -ax^2+bx+2$ und $a\in \mathbb{R}^+$ beschrieben.
Alle möglichen Bahnen der Kugel weisen im Abstoßpunkt keinen Knick auf.
$\,$
d)
Ermittle den Wert von $b.$
[Zur Kontrolle und weiteren Verwendung: $b=0,8$]
(4 BE)
$\,$
e)
Berechne denjenigen Wert von $a,$ für den der Graph von $p_a$ durch den Punkt $(3\mid 3,5)$ verläuft.
(2 BE)
$\,$
f)
Bei der Flugkurve zu $a=0,1$ beträgt die Stoßweite $10\,\text{m}.$ Berechne die Größe des Winkels, unter dem die Kugel auf den Boden trifft.
(3 BE)
$\,$
g)
Zeige, dass $\left(\frac{0,4}{a}\mid 2+\frac{0,16}{a}\right)$ der einzige Hochpunkt des Graphen von $p_a$ ist.
(4 BE)
#extrempunkt
$\,$
h)
Es gibt eine Gerade, auf der die Hochpunkte aller Graphen $p_a$ liegen.
Berechne die Steigung dieser Geraden.
(3 BE)
$\,$
Der Zusammenhang zwischen den Werten von $a$ und den Stoßweiten $s$ mit $s>0$ lässt sich durch die Gleichung $a=\frac{0,8}{s}+\frac{2}{s^2}$ darstellen.
$\,$
i)
Leite diese Gleichung her.
(3 BE)
$\,$
j)
Bei einem Stoß beträgt die Stoßweite $20\,\text{m}.$ Berechne die Höhe der Flugkurve.
(4 BE)
$\,$
k)
Abbildung 2 stellt den Zusammenhang zwischen den Werten von $y=a(s)$ und den Stoßweiten $s$ graphisch dar.
Beurteile die folgende Aussage:
Unterscheiden sich die Weiten zweier Stöße um $2\,\text{m},$ so ist der zur größeren Weite gehörende Wert von $a$ halb so groß wie der zur kleineren Weite gehörende Wert von $a.$
(3 BE)
$\,$
l)
Zeichne in Abbildung 2 die beiden Parallelen zur $s$-Achse ein, die durch die Punkte des Graphen mit den $s$-Koordinaten $2$ bzw. $10$ verlaufen.
Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das der in Abbildung 2 dargestellte Graph mit der $y$-Achse und den beiden eingezeichneten Parallelen einschließt.
(7 BE)
2.
#rotationsvolumen#kugel
$\,$
a)
Zeige, dass sich im Behälter mehr als $1500\,\text{cm}^3$ Wasser befinden.
(5 BE)
$\,$
b)
In den Behälter werden zusätzliche $300\,\text{cm}^3$ Wasser gefüllt. Die Füllhöhe über dem Boden steigt dadurch um $1\,\text{cm}.$ Stelle eine Gleichung auf, mit der sich die Füllhöhe vor dem Einfüllen der $300\,\text{cm}^3$ Wasser berechnen lässt.
(3 BE)
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.
a)
$\blacktriangleright$  Streckenlänge berechnen
Für die $y$-Koordinate von $R$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f(-2)&=& 0,4+1,6\cdot \mathrm e^{0,5\cdot (-2)} \\[5pt] &=& 0,4 + 1,6\cdot \mathrm e^{-1} \\[5pt] \end{array}$
$ f(-2)= 0,4 + 1,6\cdot \mathrm e^{-1} $
Für $A$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 0,4+1,6\cdot \mathrm e^{0,5\cdot 0} \\[5pt] &=& 0,4 +1,6\\[5pt] &=& 2 \end{array}$
$ f(0)=2 $
Mit der Formel für den Abstand zweier Punkte ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{RA}&=& \sqrt{(0,4 + 1,6\cdot \mathrm e^{-1} -2)^2 +(-2-0)^2 } \\[5pt] &=& \sqrt{(1,6\cdot \mathrm e^{-1} -1,6)^2 +4} \\[5pt] &\approx& 2,24 \end{array}$
$ \overline{RA}\approx 2,24 $
Die Länge der Bahn der Kugel von der Ruhelage bis zum Abstoßpunkt ergibt sich durch Annäherung als Strecke $\overline{RA}$ zu ca. $2,24\,\text{m}.$
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Abstand berechnen
Da sich die Kugel in einer Höhe von $1,50\,\text{m}$ in der Hand der Athletin befindet, ist $x\in [-2;0]$ mit $f(x)=1,5$ gesucht.
$\begin{array}[t]{rll} 1,5&=& 0,4+1,6\cdot \mathrm e^{0,5\cdot x} &\quad \scriptsize \mid\;-0,4 \\[5pt] 1,1&=& 1,6\cdot \mathrm e^{0,5\cdot x} &\quad \scriptsize \mid\; :1,6 \\[5pt] \frac{11}{16}&=& \mathrm e^{0,5\cdot x} &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] \ln \left(\frac{11}{16} \right)&=& 0,5\cdot x &\quad \scriptsize \mid\; :0,5\\[5pt] -0,75&\approx& x \end{array}$
$ x\approx -0,75 $
Die zur $y$-Achse parallele Gerade durch $R$ wird durch $x = -2$ beschrieben. Der horizontale Abstand der Kugel ergibt sich dann durch die Differenz der $x$-Koordinaten:
$d = -0,75-(-2) = 1,25$
Wenn die Kugel sich in der Hand der Athletin in einer Höhe von ca. $1,50\,\text{m}$ befindet, hat sie zur Ruhelage einen horizontalen Abstand von ca. $1,25\,\text{m}.$
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Die gemessenen Höhen werden durch $h_i$ beschrieben, die Werte für das Modell durch $f(x_i).$ In dem angegebenen Term werden die Differenzen $d_i=h_i-f(x_i)$ für alle $i\in \{1;…;5\}$ aufsummiert und anschließend der Betrag der Summe gebildet.
Ist jetzt für ein $i$ beispielsweise die Differenz $d_{i_1}$ sehr groß und positiv, weil $h_{i_1}$ viel größer ist als $f(x_{i_1})$ und die Differenz $d_{i_2}$ für ein anderes Wertepaar vom Betrag her genauso groß, aber negativ, weil $h_{i_2}$ eben deutlich kleiner ist als $f(x_{i_2})$ dann ist $d_{i_1}+d_{i_2} = 0.$ Zwei sehr große Abweichungen können sich also gegenseitig aufheben, sodass bei einer sehr großen Abweichung trotzdem insgesamt ein sehr kleiner Wert für den Term entsteht. Das Modell ist in dem Fall keine gute Näherung für die Messwerte.
Die Aussage trifft also nicht zu. Damit die Aussage zutrifft, müsste man den Betrag bereits vor der Summenbildung anwenden, also die Beträge der Differenzen aufsummieren:
$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^5\left|h_i-f(x_i) \right|$
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Parameterwert ermitteln
Da die Bahnen der Kugel im Punkt $A$ keinen Knick aufweisen sollen, muss sowohl der Funktionswert von $p_a$ als auch die Steigung des Graphen von $p_a$ mit der vom Graphen von $f$ im Punkt $A$ übereinstimmen:
  1. $p_a(0)=f(0)=2$
  2. $p_a'(0)=f'(0)$
Erstens ist bereits durch die Funktionsgleichung $p_a(x)=-ax^2+bx+2$ gegeben. Für die zweite Bedingung ergeben sich folgende Ableitungsfunktionen:
$\begin{array}[t]{rll} p_a'(x)&=& -2ax+b \\[5pt] f'(x)&=&1,6\cdot 0,5\cdot \mathrm e^{0,5\cdot x} \\[10pt] f'(0)&=& 1,6\cdot 0,5\cdot \mathrm e^{0,5\cdot 0} \\[5pt] &=& 0,8 \end{array}$
$ f'(0) = 0,8 $
Einsetzen in $p_a'(x)$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} p_a'(0)&=& 0,8 \\[5pt] -2a\cdot 0+b&=& 0,8 \\[5pt] b&=& 0,8 \end{array}$
$ b = 0,8 $
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Parameterwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} p_a(3)&=& 3,5 \\[5pt] -a\cdot 3^2+0,8\cdot 3 +2 &=& 3,5 \\[5pt] -9a +4,4 &=& 3,5 &\quad \scriptsize \mid\;-4,4 \\[5pt] -9a&=& -0,9 &\quad \scriptsize \mid\;:(-9) \\[5pt] a&=& 0,1 \end{array}$
$ a = 0,1 $
Für $a=0,1$ liegt der Punkt $(3\mid 3,5)$ auf dem Graphen von $p_a.$
$\,$
f)
$\blacktriangleright$  Winkelgröße berechnen
Die Größe des Winkels, in dem die Kugel auf den Boden auftrifft, entspricht dem Steigungswinkel des Graphen von $p_{0,1}$ an der Auftreffstelle $x=10.$ Für die Steigung des Graphen an dieser Stelle gilt:
$\begin{array}[t]{rll} p_{0,1}'(x)&=& -0,2x+0,8 \\[5pt] p_{0,1}'(10)&=& -0,2\cdot 10 +0,8\\[5pt] &=& -1,2 \end{array}$
$ p_{0,1}'(10) = -1,2 $
Für den Steigungswinkel folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha &=& p_{0,1}'(10) \\[5pt] \tan \alpha &=& -1,2 &\quad \scriptsize \mid \; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha &\approx& -50,19^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx -50,19^{\circ} $
Die Kugel trifft in einem Winkel von ca. $50,19^{\circ}$ auf dem Boden auf.
#steigungswinkel
$\,$
g)
$\blacktriangleright$  Hochpunkt zeigen
Da $a\in \mathbb{R}^+$ und daher insbesondere positiv ist, handelt es sich bei $p_a$ um die Funktion einer nach unten geöffneten Parabel. Der Graph von $p_a$ besitzt also genau einen Extrempunkt und dieser ist ein Hochpunkt.
Die erste Ableitungsfunktion von $p_a$ ist:
$p_a'(x)= -2ax + 0,8 $
Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen folgt also:
$\begin{array}[t]{rll} p_a'(x)&=& 0 \\[5pt] -2ax + 0,8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-0,8 \\[5pt] -2ax&=& -0,8 &\quad \scriptsize \mid\;:(-2a)\neq 0 \\[5pt] x&=& \frac{0,4}{a} \end{array}$
$ x = \frac{0,4}{a} $
Die einzige mögliche Extremstelle von $p_a$ ist also $x = \frac{0,4}{a}.$ Wegen obiger Begründung muss der Graph daher an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzen.
$p_a\left(\frac{0,4}{a}\right) = -a\cdot \left(\frac{0,4}{a}\right)^2 +0,8\cdot\frac{0,4}{a} +2 =2+ \frac{0,16}{a} $
$ p_a\left(\frac{0,4}{a}\right) =2+ \frac{0,16}{a} $
$\left(\frac{0,4}{a}\mid 2+\frac{0,16}{a}\right)$ ist also Hochpunkt des Graphen von $p_a.$
$\,$
h)
$\blacktriangleright$  Steigung der Geraden berechnen
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Differenzenquotient mit zwei Punkten
Bestimme die Koordinaten für zwei verschiedene Punkte auf der Geraden, also beispielsweise der Hochpunkte von $p_1$ und $p_2:$
$H_1\left(\frac{0,4}{1}\mid 2+ \frac{0,16}{1}\right) = H_1(0,4\mid 2,16)$
$ H_1(0,4\mid 2,16) $
$H_2\left(\frac{0,4}{2}\mid 2+ \frac{0,16}{2}\right) = H_2(0,2\mid 2,08)$
$ H_2(0,2\mid 2,08) $
Mit dem Differenzenquotienten ergibt sich die Steigung der Geraden, auf der beide Punkte liegen:
$\begin{array}[t]{rll} m &=& \dfrac{2,16 - 2,08}{ 0,4 -0,2} \\[5pt] &=& \frac{0,08}{0,2} \\[5pt] &=& 0,4 \end{array}$
Die Steigung der Geraden, auf der die Hochpunkte der Graphen von $p_a$ liegen, hat also die Steigung $m=0,4.$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Ortskurve bestimmen
Forme zunächst die $x$-Koordinate des Hochpunkts von $p_a$ nach $a$ um:
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \frac{0,4}{a} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot a \\[5pt] xa&=& 0,4 &\quad \scriptsize \mid\;:x \\[5pt] a&=& \frac{0,4}{x} \end{array}$
$ a = \frac{0,4}{x} $
Einsetzen in die $y$-Koordinate liefert:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 2+\frac{0,16}{a} &\quad \scriptsize \mid\; a=\frac{0,4}{x} \\[5pt] &=& 2 +\frac{0,16}{\frac{0,4}{x}} \\[5pt] &=&2 +0,16\cdot\frac{x}{0,4} \\[5pt] &=& 2+0,4x \end{array}$
$ y = 2+0,4x $
Die Gleichung der Ortskurve der Hochpunkte der Graphen von $p_a$ lautet also $y= 2+0,4x.$ Die Steigung der Geraden ist also $m=0,4.$
#ortslinie
$\,$
i)
$\blacktriangleright$  Gleichung herleiten
Die Stoßweite $s$ entspricht der positiven Nullstelle von $p_a.$ Es muss daher gelten $p_a(s)=0.$
$\begin{array}[t]{rll} p_a(s) &=& 0 \\[5pt] -as^2+0,8s+2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -0,8s ; -2 \\[5pt] -as^2 &=& -0,8s -2 &\quad \scriptsize \mid\; : (-s^2)\neq 0\\[5pt] a &=& \frac{0,8}{s}+\frac{2}{s^2}\\[5pt] \end{array}$
$ a = \frac{0,8}{s}+\frac{2}{s^2} $
$\,$
j)
$\blacktriangleright$  Größte Höhe über dem Boden berechnen
1. Schritt: Zugehörigen Parameterwert berechnen
Für eine Stoßweite von $s=20$ ergibt sich mit dem angegebenen Zusammenhang zwischen $a$ und $s$ folgender Paramterwert:
$\begin{array}[t]{rll} a_{20}&=& \frac{0,8}{20}+\frac{2}{20^2} \\[5pt] &=& 0,045 \end{array}$
$ a_{20} = 0,045 $
2. Schritt: Maximale Höhe berechnen
Die maximale Höhe erreicht die Kugel an der Stelle, die im Modell der Hochpunkt des Graphen von $p_a$ ist.
Aus Teilaufgabe 2.2.4 sind die Koordinaten des Hochpunkts in Abhängigkeit von $a$ bekannt. Für die $y$-Koordinate, also die maximale Höhe, folgt daher:
$\begin{array}[t]{rll} h_{max}&=& 2+\frac{0,16}{a} &\quad \scriptsize \mid\; a= 0,045 \\[5pt] &=& 2+\frac{0,16}{0,045} \\[5pt] &=& \frac{50}{9}\\[5pt] &\approx& 5,56 \end{array}$
$ h_{max} \approx 5,56$
Die Kugel erreicht bei einer Stoßweite von $20\,\text{m}$ eine größte Höhe von ca. $5,56\,\text{m}.$
$\,$
k)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Bezeichne die beiden Stoßweiten mit $s_1$ und $s_2$ und die zugehörigen Werte von $a$ mit $a_1$ und $a_2.$ Wähle beispielsweise $s_1= 2,$ dann ist $s_2=4$ und
$\begin{array}[t]{rll} a_1&=& \frac{0,8}{s_1} +\frac{2}{s_1^2} \\[5pt] &=& \frac{0,8}{2} +\frac{2}{2^2}\\[5pt] &=& 0,9 \\[10pt] a_2&=& \frac{0,8}{s_2} +\frac{2}{s_2^2} \\[5pt] &=& \frac{0,8}{4} +\frac{2}{4^2}\\[5pt] &=& 0,325 \\[10pt] \end{array}$
Damit die Aussage gilt, müsste $a_2=0,5\cdot a_1$ gelten. Es ist aber $0,325\neq 0,5\cdot 0,9.$ Die Aussage gilt also nicht.
$\,$
l)
$\blacktriangleright$  Parallelen in die Abbildung einzeichnen
Parallelen
Abb. 1: Parallelen
Parallelen
Abb. 1: Parallelen
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
1. Schritt: Stammfunktion angeben
Eine Stammfunktion von $\frac{1}{s}$ ist $\ln s.$ Du kannst den Funktionsterm von $a(s)$ wie folgt umschreiben:
$\begin{array}[t]{rll} a(s)&=& \frac{0,8}{s} +\frac{2}{s^2} \\[5pt] &=& \frac{0,8}{s}+2s^{-2} \\[10pt] A(s)&=& 0,8\cdot \ln s + 2\cdot (-1)\cdot s^{-1} \\[5pt] &=& 0,8\cdot \ln s - \frac{2}{s} \\[5pt] \end{array}$
$ A(s) =0,8\cdot \ln s - \frac{2}{s} $
Eine Stammfunktion von $a$ ist $A$ mit $A(s)=0,8\cdot \ln s - \frac{2}{s}. $
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Flächeninhalt
Abb. 2: Skizze
Flächeninhalt
Abb. 2: Skizze
Die Fläche lässt sich in zwei Teilflächen aufteilen:
  • Das Rechteck mit den Seitenlängen $a=a(2)-a(10)$ und $b= 2.$
  • Die Fläche, die von den Graphen von $a$ und der Parallele $y = a(10)$ im Bereich $2\leq s \leq 10$ begrenzt wird.
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Rechteck}}&=& 2\cdot \left(a(2)-a(10) \right) \\[5pt] &=& 2\cdot \left(\frac{0,8}{2}+\frac{2}{2^2}-\frac{0,8}{10}-\frac{2}{10^2} \right) \\[5pt] &=& 2\cdot \left(\frac{1,8}{2}-\frac{1}{10} \right) \\[5pt] &=& 1,6\,\text{[FE]} \end{array}$
$ A_{\text{Rechteck}}=1,6\,\text{[FE]} $
Der Inhalt der zweiten Fläche kann mithilfe eines Integrals berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A_g&=& \displaystyle\int_{2}^{10}\left(a(s)- a(10) \right)\;\mathrm ds \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{2}^{10}\left( a(s)- \frac{1}{10}\right)\;\mathrm ds \\[5pt] &=& [A(s)- \frac{1}{10}s]_2^{10}] \\[5pt] &=& A(10)-\frac{1}{10}\cdot 10 - \left(A(2) - \frac{1}{10}\cdot 2 \right) \\[5pt] &=& A(10)-1 - A(2) + \frac{1}{5} \\[5pt] &=& A(10) - A(2) - \frac{4}{5} \\[5pt] &=& 0,8\cdot \ln 10 -\frac{2}{10} - \left(0,8\cdot \ln 2 -\frac{2}{2} \right) - \frac{4}{5} \\[5pt] &=& 0,8\cdot \ln 10 -\frac{2}{10} - 0,8\cdot \ln 2 +\frac{2}{2} - \frac{4}{5} \\[5pt] &=& 0,8\cdot \ln 10 - 0,8\cdot \ln 2 \\[5pt] &=& 0,8\cdot \left(\ln 10 -\ln 2\right) \\[5pt] &=& 0,8\cdot \ln \left(\frac{10}{2} \right) \\[5pt] &=& 0,8\cdot \ln 5 \\[5pt] &\approx& 1,29\,\text{[FE]} \end{array}$
$ A_g\approx 1,29\,\text{[FE]} $
Der Gesamtinhalt ergibt sich dann zu:
$A\approx 1,6\,\text{FE} + 1,29\,\text{FE}= 2,89\,\text{FE}.$
$ 2,89\,\text{FE} $
#integral
2.
a)
$\blacktriangleright$  Volumen zeigen
1. Schritt: Volumen des Bechers bis zur Wasseroberfläche berechnen
Da die Kugel einen Durchmesser von $10\,\text{cm}$ hat, auf dem Boden des Gefäßes liegt und sich vollständig unterhalb der Wasseroberfläche befindet, muss die Gerade, die die Wasseroberfläche beschreibt, eine Gleichung der Form $x= a$ mit $a\geq10$ besitzen.
Das minimale Volumen erhält man für $a=10.$ Gesucht ist also das Rotationsvolumen des Graphen von $q$ für $0\leq x\leq 10$ um die $x$-Achse. Mit der entsprechenden Formel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Wasseroberfläche}}&=& \pi\cdot \displaystyle\int_{0}^{10}q(x)^2\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi\cdot \displaystyle\int_{0}^{10}\sqrt{5x+40}^2\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi\cdot \displaystyle\int_{0}^{10}\left(5x+40\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi \cdot \left[ \frac{5}{2}x^2+40x\right]_0^{10} \\[5pt] &=& \pi\cdot \left( \frac{5}{2}\cdot 10^2+40\cdot 10 - \left(\frac{5}{2}\cdot 0^2+40\cdot 0 \right)\right) \\[5pt] &=& \pi\cdot 650 \\[5pt] &\approx& 2.042\,\left[\text{cm}^3\right] \\[5pt] \end{array}$
$ V_{\text{Wasser}} \approx 2.042\,\left[\text{cm}^3\right] $
2. Schritt: Kugelvolumen berechnen
Der Radius der Kugel beträgt $r= 5\,\text{cm}.$
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Kugel}}&=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt] &=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot (5\,\text{cm})^3 \\[5pt] &\approx& 524\,\text{cm}^3 \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Mindestvolumen des Wassers bestimmen
Dort wo die Kugel liegt, befindet sich kein Wasser.
$V \approx 2.042\,\text{cm}^3 - 524\,\text{cm}^3 = 1.518\,\text{cm}^3$
$ V\approx 1.518\,\text{cm}^3 $
Es befinden sich also in jedem Fall mehr als $1.500\,\text{cm}^3$ Wasser im Behälter.
#integral
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung aufstellen
Bezeichne die Füllhöhe vor dem Einfüllen mit $x_1,$ die Füllhöhe nach dem Einfüllen mit $x_2.$ Da sich die Füllhöhe über dem Boden durch das Einfüllen um $1\,\text{cm}$ erhöht, ist $x_2 = x_1+1.$
Zwischen diesen beiden Füllhöhen soll das Volumen $300\,\text{cm}^3$ betragen. Der Rotationskörper, der durch Rotation des Graphen von $q$ im Bereich $x_1\leq x\leq x_2$ entsteht soll also ein Volumen von $300\,\text{cm}^3$ haben. Es ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} 300 &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{x_1}^{x_2}q(x)^2\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; x_2 = x_1 +1\\[5pt] 300 &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{x_1}^{x_1+1}(5x+40)\;\mathrm dx \end{array}$
$ 300 = \pi \cdot \displaystyle\int_{x_1}^{x_1+1}(5x+40)\;\mathrm dx $
Mit der Gleichung $300 = \pi \cdot \displaystyle\int_{x_1}^{x_1+1}(5x+40)\;\mathrm dx$ kann die Füllhöhe $x_1$ vor dem Einfüllen der $300\,\text{cm}^3$ berechnet werden.
#integral
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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