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Aufgabe III: Wahlgebiet Analytische Geometrie

Aufgaben
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Die Abbildung zeigt modellhaft wesentliche Elemente einer Kletteranlage: zwei horizontale Plattformen, die jeweils um einen vertikal stehenden Pfahl gebaut sind, sowie eine Kletterwand, die an einer der beiden Plattformen angebracht ist.
Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den horizontalen Untergrund; eine Längeneinheit entspricht $1\,\text{m}$ in der Wirklichkeit. Die Punkte, in denen die Pfähle aus dem Untergrund austreten, werden durch $P_1(0\mid 0\mid 0)$ und $P_2(5\mid 10\mid 0)$ dargestellt. Außerdem sind die Koordinaten der Eckpunkte
$A(3\mid 0\mid 2),$ $B(0\mid 3\mid 2),$ $E(6\mid 0\mid 0),$ $F( 0\mid 6\mid 0),$ $R(5\mid7\mid3)$ $S(8\mid 13\mid 3)$ und $T(2\mid 10\mid 3)$ gegeben. Die Materialstärke aller Bauteile der Anlage soll vernachlässigt werden.
#zentraleraufgabenpool
a)
In den Mittelpunkten der oberen und unteren Kante der Kletterwand sind die Enden eines Seils befestigt, das $20\,\%$ länger ist als der Abstand der genannten Mittelpunkte. Berechne die Länge des Seils.
(3 BE)
Die Punkte $A,$ $B,$ $E$ und $F$ liegen in der Ebene $L: \, 2x_1 +2x_2 +3x_3 -12 = 0.$
b)
Zeige, dass die Kletterwand die Form eines Trapezes hat, in dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.
(3 BE)
#trapez
c)
Bestimme die Größe des Winkels, den die Kletterwand mit dem Untergrund einschließt.
(3 BE)
#schnittwinkel
d)
Auf die Anlage treffendes Sonnenlicht kann im Modell durch parallele Geraden beschrieben werden. Die Eckpunkte der Plattform 2 werden durch $R,$ $S$ und $T$ dargestellt, die zugehörigen Eckpunkte des Schattens dieser Plattform durch $R'(4\mid 2\mid 0),$ $S'$ und $T'(1\mid 5\mid 0).$
Der gesamte Schatten von Plattform 2 liegt auf dem horizontalen Untergrund.
Zeige rechnerisch, dass $T'$ auf der Strecke $\overline{EF}$ liegt.
Berechne die Koordinaten von $S'$ und stelle den Schatten der Plattform in der obigen Abbildung 1 grafisch dar.
(6 BE)
e)
Über ein Drahtseil kann man von einer Plattform zur anderen gelangen. Der eine Endpunkt dieses Seils ist am Pfahl 1 auf der Höhe der Plattform 1 befestigt, der andere am Pfahl 2 oberhalb der Plattform 2. Das Seil ist so gespannt, dass davon ausgegangen werden kann, dass es geradlinig verläuft. Es berührt die Plattform 2 an der Seite, die durch $\overline{RT}$ dargestellt wird.
Betrachtet wird derjenige Endpunkt des Seils, der oberhalb der Plattform 2 befestigt ist.
Beschreibe, wie man den Abstand dieses Endpunkts von der Plattform 2 berechnen könnte, wenn bekannt wäre, in welchem Verhältnis die durch $\overline{RT}$ dargestellte Seite der Plattform durch den Berührpunkt des Seils geteilt wird.
(5 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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a)
$\blacktriangleright$  Länge des Seils berechnenAufgabe III: Wahlgebiet Analytische Geometrie
1. Schritt: Koordinaten der Kantenmittelpunkte bestimmen
Mit der Mittelpunktsformel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}_1&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{3\\0\\2} + \pmatrix{0\\3\\2} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{1,5\\1,5\\2} \\[10pt] \overrightarrow{OM}_2&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OE} +\overrightarrow{OF}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{6\\0\\0} + \pmatrix{0\\6\\0} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{3\\3\\0} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}_1&=&\pmatrix{1,5\\1,5\\2} \\[10pt] \overrightarrow{OM}_2&=& \pmatrix{3\\3\\0} \\[10pt] \end{array}$
2. Schritt: Länge berechnen
Der Abstand der beiden Mittelpunkte ergibt sich über den Vektorbetrag. Insgesamt ergibt sich also für die Länge $l$ des Seils:
$\begin{array}[t]{rll} l&=& 1,2\cdot \left|\overrightarrow{M_1M_2} \right| \\[5pt] &=& 1,2\cdot \left|\pmatrix{1,5\\1,5\\-2} \right| \\[5pt] &=& 1,2\cdot \sqrt{1,5^2+1,5^2 +(-2)^2} \\[5pt] &\approx& 3,50 \\[5pt] \end{array}$
$ l\approx 3,50 $
Das Seil ist ca. $3,50\,\text{m}$ lang.
#vektorbetrag
b)
$\blacktriangleright$  Trapezform zeigen
Bei dem Viereck $AEFB$ handelt es sich um ein Trapez, wenn zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind. Der Abbildung kannst du entnehmen, dass mit großer Wahrscheinlichkeit die beiden Strecken $[AB]$ und $[EF]$ parallel sind. Überprüfe also, ob die zugehörigen Verbindungsvektoren linear abhängig sind.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=& a\cdot \overrightarrow{EF} \\[5pt] \pmatrix{-3\\3\\0}&=& a\cdot \pmatrix{-6\\6\\0} \end{array}$
Diese Gleichung ist für $a=\frac{1}{2}$ erfüllt. Die beiden Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{EF}$ sind also parallel. Die Kletterwand ist demnach trapezförmig.
$\blacktriangleright$  Gleichlange Seiten zeigen
Überprüfe, ob die beiden Seiten, die nicht parallel sind, gleich lang sind:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AE} &=& \left|\overrightarrow{AE} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{3\\0\\-2} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{3^2 +0^2 +(-2)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{13} \\[10pt] \overline{BF} &=& \left|\overrightarrow{BF} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{0\\3\\-2} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2 +3^2 +(-2)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{13} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AE} &=& \sqrt{13} \\[10pt] \overline{BF} &=&\sqrt{13} \\[10pt] \end{array}$
Die beiden gegenüberliegenden nicht parallelen Seiten sind also gleich lang.
#lineareabhängigkeit
c)
$\blacktriangleright$  Winkelgröße bestimmen
Der Untergrund wird durch die $x_1x_2$-Ebene beschrieben. Ein zugehöriger Normalenvektor ist $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{0\\0\\1}.$ Die Kletterwand liegt im Modell in der Ebene $L$ mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}_2 = \pmatrix{2\\2\\3}.$ Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{\left| \overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2 \right|}{\left|\overrightarrow{n}_1 \right|\cdot \left|\overrightarrow{n}_2 \right| } \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{\left| \pmatrix{0\\0\\1} \circ \pmatrix{2\\2\\3} \right|}{\left|\pmatrix{0\\0\\1}\right|\cdot \left|\pmatrix{2\\2\\3} \right| } \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{3}{1 \cdot \sqrt{2^2+2^2+3^2} } \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{3}{ \sqrt{17} } &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 43,3^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 43,3^{\circ} $
Die Kletterwand schließt einen Winkel der Größe von ca. $43,3^{\circ}$ ein.
d)
$\blacktriangleright$  Lage des Punkts auf der Strecke zeigen
Damit $T'$ auf der Strecke $\overline{EF}$ liegt, muss sich der Ortsvektor von $T'$ in der folgenden Form mit $0\leq t \leq 1$ darstellen lassen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OT'}&=& \overrightarrow{OE} + t\cdot \overrightarrow{EF} \\[5pt] \pmatrix{1\\5\\0}&=& \pmatrix{6\\0\\0} +t\cdot \pmatrix{-6\\6\\0} \end{array}$
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&1&=& 6-6t \\ \text{II}\quad&5&=& 0+6t \\ \text{III}\quad&0&=& 0+0t \\ \end{array}$
Die letzte Gleichung ist für alle Werte von $t$ erfüllt. Für die zweite Gleichung gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 5&=& 6t &\quad \scriptsize \mid\; :6 \\[5pt] \frac{5}{6}&=& t \end{array}$
Für die erste Gleichung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 1&=& 6- 6t&\quad \scriptsize \mid\;-6 \\[5pt] -5&=& -6t &\quad \scriptsize \mid\;:(-6) \\[5pt] \frac{5}{6}&=& t \end{array}$
Alle Gleichungen sind also für $t= \frac{5}{6}$ erfüllt. Damit liegt der Punkt $T'$ auf der Strecke $\overline{EF}.$
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
1. Schritt: Geradengleichung für die Lichtstrahlen aufstellen
Die Sonnenstrahlen bewegen sich entlang der Richtung vom Punkt $R$ aus zum Punkt $R'$ bzw. vom Punkt $T$ zum Punkt $T'.$ Du kannst also beispielsweise $\overrightarrow{RR'}$ als Richtungsvektor der Geraden verwenden. Da der Schattenunkt von $S$ gesucht ist, wähle $S$ als Aufpunkt.
$\begin{array}[t]{rll} l:\, \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OS} + r \cdot \overrightarrow{RR'} \\[5pt] &=& \pmatrix{8\\13\\3} + r\cdot \pmatrix{-1\\-5\\-3}\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Koordinaten berechnen
Der Schattenpunkt $S'$ ist der Durchstoßpunkt der Geraden $l$ durch die $x_1x_2$-Ebene. Für diese gilt die Gleichung $x_3=0.$ Für $S'$ muss also $S'(x_1\mid x_2\mid 0)$ gelten.
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS'}&=& \pmatrix{8\\13\\3} + r\cdot \pmatrix{-1\\-5\\-3} \\[5pt] \pmatrix{x_1\\x_2\\0}&=& \pmatrix{8\\13\\3} + r\cdot \pmatrix{-1\\-5\\-3} \end{array}$
$ \overrightarrow{OS'} = \pmatrix{8\\13\\3} + r\cdot \pmatrix{-1\\-5\\-3} $
Die letzte Zeile für die $x_3$-Koordinate ist erfüllt, wenn $r=1$ gilt. Dann folgt:
$\overrightarrow{OS'} = \pmatrix{8\\13\\3} + 1\cdot \pmatrix{-1\\-5\\-3} = \pmatrix{7\\8\\0}$
$ \overrightarrow{OS'} = \pmatrix{7\\8\\0} $
Die Koordinaten von $S'$ lauten $S'(7\mid 8\mid 0).$
$\blacktriangleright$  Schatten grafisch darstellen
Aufgabe III: Wahlgebiet Analytische Geometrie
Abb. 1: Schatten
Aufgabe III: Wahlgebiet Analytische Geometrie
Abb. 1: Schatten
e)
$\blacktriangleright$  Abstandsbestimmung beschreiben
Bezeichne den Befestigungspunkt des Seils an Pfahl 1 mit $B_1$ und den Befestigungspunkt an Pfahl 2 mit $B_2.$ Den Punkt, in dem das Seil die Seite der Plattform berührt, die durch $\overline{RT}$ dargestellt wird, kannst du mit $B_3$ bezeichnen.
Angegeben sind:
  • Das Verhältnis, in dem die Strecke $\overline{RT}$ durch den Punkt $B_3$ geteilt wird.
  • Das Drahtseil verläuft geradlinig, sodass die zugehörige Strecke auf einer Geraden liegt. Die Punkte $B_1,$ $B_2$ und $B_3$ liegen also auf einer Geraden.
  • Der Punkt $B_1$ stellt den Befestigungspunkt an Pfahl 1 dar und befindet sich gleichzeitig auf der Plattform 1. $B_1$ ist daher der Durchstoßpunkt der Geraden, die den Verlauf von Pfahl 1 beschreibt, durch die Ebene, die die Lage der Plattform 1 darstellt.
Man kann daher wie folgt vorgehen:
  1. Anhand des Teilungsverhältnisses kann man die Koordinaten von $B_3$ bestimmen.
  2. Man kann eine Gleichung für die Gerade $g$ aufstellen, die den Verlauf des Pfahls darstellt und eine Gleichung für die Ebene $E,$ die die Plattform 1 beschreibt.
  3. Anschließend kann man den Durchstoßpunkt von $g$ und $E$ bestimmen, bei dem es sich dann um $B_1$ handelt.
  4. Stelle dann eine Gleichung der Geraden $s$ durch $B_1$ und $B_3$ auf, entlang derer das Seil verläuft.
  5. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Geraden, die den Verlauf des Pfahls 2 beschreibt, ist dann der Punkt $B_2.$
  6. Die Koordinaten von $R,$ $S$ und $T$ stimmen in der $x_3$-Koordinate überein. Daher kann der Abstand vom Befestigungspunkt $B_2$ zur Plattform mithilfe der $x_3$-Koordinate von $B_2$ und den drei Eckpunkten der Plattform 2 bestimmt werden.
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