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Aufgabe 3

Aufgaben
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Seilspringen

(22 P)
Der Weltrekord im Seilspringen wurde von Olga Berberich aufgestellt.
Sie schaffte $251$ Sprünge in einer Minute.
a)
Berechne, wie viele Sprünge Olga Berberich pro Sekunde geschafft hat.
(2 P)
b)
Der alte Weltrekord lag bei $236$ Sprüngen in einer Minute.
Berechne die prozentuale Steigerung, die Olga Berberich mit ihrem Weltrekord erreicht hat.
(3 P)
c)
Die Schüler Max und Theo wollen die ideale Länge eines Springseils für sich herausfinden. Im Internet finden sie dazu passende Gleichungen:
Sportler, die kleiner als $167,5 \text{ cm}$ sind: Körpergröße + $85,5 \text{ cm} =$ Springseillänge
Sportler, die größer als $167,5 \text{ cm}$ sind: Körpergröße + $91,5 \text{ cm} =$ Springseillänge
Sie können ihr Springseil nur in der englischen Längeneinheit „inch“ bestellen:
$1 \text{ inch} = 2,54 \text{ cm}$
Körpergröße
in cm
Springseillänge
in cm
Springseillänge
in inch
Max$167 \text{ cm}$
Theo$264,5 \text{ cm}$
Gib die fehlenden Werte in der Tabelle an.
(4 P)
Ein kreisendes Seil zwischen zwei schülern soll in einem Koordinatensystem durch eine quadratische Funktion $f$ modellhaft beschrieben werden (siehe Abbildung).
Die Funktion $f$ beschreibt den höchsten Verlauf des Seils.
In der Abbildung liegt ein Ende des Seils im Ursprung des Koordinatensystems.
Die $x$-Achse verläuft horizontal auf der Höhe der Seilenden.
Eine Längeneinheit soll einen Meter in der Wirklichkeit entsprechen.
Skizze ist nicht maßstabsgerecht.
$f_1(x)=-\dfrac{1}{4}x^2+x+1$
$f_2(x)=\dfrac{1}{4}x^2+x-1$
$f_3(x)=-\dfrac{1}{4}x^2+x$
$f(x)$ steht für die Höhe des Seils in Metern;
$x$ entspricht der Entfernung zum Ursprung in Metern
d)
  • Wähle die Funktionsgleichung aus, die den Verlauf des Seils in der Abbildung modellhaft beschreiben könnte.
  • Begründe, warum die beiden anderen Funktionsgleichungen den Verlauf des Seils in der Abbildung nicht modellhaft beschreiben können.
(3 P)
e)
Ermittle rechnerisch, wie weit die beiden Enden des Seils voneinander entfernt sind.
(5 P)
f)
In der Abbildung wird das Seil in einer Höhe von $80\text{ cm}$ gehalten.
Eine $1,68 \text{ m}$ große Schülerin möchte unter dem Seil in der Mitte hindurch laufen.
Bestimme den Abstand zwischen dem Seil und der Schülerin.
(5 P)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Tipps
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a)
$\blacktriangleright$ Sprünge berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du berechnen, wie viele Sprünge Olga Berberich pro Sekunde geschafft. Hierbei hast du gegeben, dass Olga Berberich $251$ Sprünge in einer Minute geschafft hat.
Eine Minute entspricht $60$ Sekunden.
b)
$\blacktriangleright$ Prozentuale Steigerung berechnen
Du sollst die prozentuale Steigerung berechnen, die Olga Berberich mit ihrem Weltrekord erreicht hat. Es ist gegeben, dass der alte Weltrekord bei $236$ Sprüngen in einer Minute lag. Nun sollst du also die prozentuale Steigerung von $236$ Sprüngen auf $251$ Sprünge berechnen.
Die prozentuale Steigerung $p$ lässt sich mit folgender Formel über den Ausgangswert $A$ und den Endwwert $E$ berechnen:
$p=\dfrac{E-A}{A} \cdot 100 \,\%$
$p=\dfrac{E-A}{A} \cdot 100 \,\%$
c)
$\blacktriangleright$ Fehlende Werte angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du die fehlenden Werte in der Tabelle angeben. Die Tabelle ist mit folgenden Werten gegeben:
Körpergröße
in cm
Springseillänge
in cm
Springseillänge
in inch
Max$167 \text{ cm}$
Theo$264,5 \text{ cm}$
Du hast dazu die beiden folgenden Gleichungen gegeben:
Sportler, die kleiner als $167,5 \text{ cm}$ sind: Körpergröße + $85,5 \text{ cm} =$ Springseillänge
Sportler, die größer als $167,5 \text{ cm}$ sind: Körpergröße + $91,5 \text{ cm} =$ Springseillänge
Außerdem hast du die folgende Umrechnung von der Längeneinheit $\text{inch}$ in $\text{cm}$ folgendermaßen gegeben:
$1 \text{ inch} = 2,54 \text{ cm}$
Du kannst also mit den folgenden Angaben die erste Zeile vervollständigen. In der ersten Zeile hast du bereits die Körpergröße von Max in cm gegeben. Sie beträgt $167 \text{ cm}$. Dadurch kannst du die Springseillänge bestimmen.
In der zweiten Zeile hast du Springseillänge von Theo in cm gegeben. Hieraus kannst du wiederum die Springseillänge in inch $S_i$ bestimmen.
Anschließend musst du noch die Korpergröße von Theo in cm bestimmen. Für die Körpergröße von Theo gilt nun eine der beiden Gleichungen. Berechne also die jeweilige Körpergröße von Theo mit der jeweiligen GLeichung und überprüfe, ob die Bedingung der Gleichung gilt.
d)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung auswählen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Funktionsgleichung auswählen, die den Verlauf des Seils in der Abbildung modellhaft beschreibt. Du weißt dabei, dass das eine Ende des Seils im Ursprung des Koordinatensystem liegt. Somit muss für die jeweiligen Funktionen $f(0)=0$ gelten. Außerdem muss die Parabel nach unten geöffnet sein. Das bedeutet, dass das Vorzeichen vor $x^2$ negativ sein muss.
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichungen ausschließen
Du sollst anschließend begründen, weshalb die beiden anderen Funktionsgleichungen den Verlauf des Seils nicht modellhaft beschreiben können. Überprüfe somit die nötigen Bedingungen.
e)
$\blacktriangleright$ Entfernung der Seilenden ermitteln
In dieser Teilaufgabe sollst du rechnerisch die Entfernung der beiden Seilenden bestimmen. Aus Teilaufgabe d) weißt du bereits, dass sich der Verlauf des Seiles modellhaft durch die Funktionssgleichung $f_3(x)$ beschreiben lässt. Die Seilenden befinden sich nun genau an den Stellen, an denen die Funktion $f_3$ die $x$-Achse schneidet. Somit kannst du die Entfernung der beiden Seilenden bestimmen, indem du die Entfernung der beiden Nullstellen berechnest.
f)
$\blacktriangleright$ Abstand bestimmen
Du sollst in dieser Teilaufgabe den Abstand zwischen dem Seil und der Schülerin bestimmen. Du hast hierbei gegeben, dass das Seil in einer Höhe von $80 \text{ cm}$ gehalten wird. Außerdem weißt du, dass die Schülerin $1,68 \text{m}$ groß ist und in der Mitte unter dem Seil hindurch läuft. Um den Abstand zwischen dem Seil und der Schülerin zu bestimmen musst du dafür die Höhe des Seils in der Mitte berechnen und die Größe der Schülerin davon abziehen.
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a)
$\blacktriangleright$ Sprünge berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du berechnen, wie viele Sprünge Olga Berberich pro Sekunde geschafft. Hierbei hast du gegeben, dass Olga Berberich $251$ Sprünge in einer Minute geschafft hat.
Da eine Minute $60$ Sekunden entspricht hat Olga Berberich $\dfrac{251}{60}=4,18$ Sprünge pro Sekunde geschafft.
b)
$\blacktriangleright$ Prozentuale Steigerung berechnen
Du sollst die prozentuale Steigerung berechnen, die Olga Berberich mit ihrem Weltrekord erreicht hat. Es ist gegeben, dass der alte Weltrekord bei $236$ Sprüngen in einer Minute lag. Nun sollst du also die prozentuale Steigerung von $236$ Sprüngen auf $251$ Sprünge berechnen.
Die prozentuale Steigerung $p$ lässt sich mit folgender Formel über den Ausgangswert $A$ und den Endwwert $E$ berechnen:
$p=\dfrac{E-A}{A} \cdot 100 \,\%$
$p=\dfrac{E-A}{A} \cdot 100 \,\%$
Daraus folgt für die prozentuale Veränderung mit $A=236$ und $E=251$:
$\begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{E-A}{A} \cdot 100 \,\% \\[5pt] &=& \dfrac{251-236}{236} \cdot 100 \,\%\\[5pt] &=& \dfrac{15}{236} \cdot 100 \,\%\\[5pt] &=& 6,36 \,\%\\[5pt] \end{array}$
Die prozentuale Steigerung beträgt somit $6,36\,\%$.
c)
$\blacktriangleright$ Fehlende Werte angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du die fehlenden Werte in der Tabelle angeben. Die Tabelle ist mit folgenden Werten gegeben:
Körpergröße
in cm
Springseillänge
in cm
Springseillänge
in inch
Max$167 \text{ cm}$
Theo$264,5 \text{ cm}$
Du hast dazu die beiden folgenden Gleichungen gegeben:
Sportler, die kleiner als $167,5 \text{ cm}$ sind: Körpergröße + $85,5 \text{ cm} =$ Springseillänge
Sportler, die größer als $167,5 \text{ cm}$ sind: Körpergröße + $91,5 \text{ cm} =$ Springseillänge
Außerdem hast du die folgende Umrechnung von der Längeneinheit $\text{inch}$ in $\text{cm}$ folgendermaßen gegeben:
$1 \text{ inch} = 2,54 \text{ cm}$
Du kannst also mit den folgenden Angaben die erste Zeile vervollständigen. In der ersten Zeile hast du bereits die Körpergröße von Max in cm gegeben. Sie beträgt $167 \text{ cm}$. Dadurch kannst du die Springseillänge bestimmen. Da die Körpergröße von Max kleiner als $167,5 \text{ cm}$ ist gilt für die Springseillänge nach der oben genannte Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Springseillänge}&=& \text{Körpergröße} + 85,5 \text{ cm}\\[5pt] &=& 167 \text{ cm} + 85,5 \text{ cm}\\[5pt] &=& 252,5 \text{ cm}\\[5pt] \end{array}$
Somit ergibt sich für die Springseillänge in inch $S_i$:
$\begin{array}[t]{rll} S_i&=& \dfrac{252,5 \text{ cm}}{2,54 \frac{\text{cm}}{\text{inch}}}\\[5pt] &=& 99,41 \text{ inch}\\[5pt] \end{array}$
In der zweiten Zeile hast du Springseillänge von Theo in cm gegeben. Hieraus kannst du wiederum die Springseillänge in inch $S_i$ folgendermaßen bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} S_i&=& \dfrac{264,5 \text{ cm}}{2,54 \frac{\text{cm}}{\text{inch}}}\\[5pt] &=& 104,13 \text{ inch}\\[5pt] \end{array}$
Anschließend musst du noch die Korpergröße von Theo in cm bestimmen. Für die Körpergröße von Theo gilt nun eine der beiden Gleichungen. Berechne also die jeweilige Körpergröße von Theo mit der jeweiligen GLeichung und überprüfe, ob die Bedingung der Gleichung gilt.
Für die Körpergröße von Theo gilt nach der ersten Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Springseillänge}&=& \text{Körpergröße} + 85,5 \text{ cm} & \quad \mid \, -85,5 \text{ cm}\\[5pt] \text{Körpergröße}&=& \text{Springseillänge} - 85,5 \text{ cm}\\[5pt] \text{Körpergröße}&=& 264,5 \text{ cm} - 85,5 \text{ cm}\\[5pt] &=& 179 \text{ cm}\\[5pt] \end{array}$
Dadurch ist die Bedingung, dass Theo kleiner als $167,5 \text{ cm}$ ist falsch und die Gleichung gilt somit nicht für Theo.
Für die Körpergröße von Theo gilt nach der zweiten Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Springseillänge}&=& \text{Körpergröße} + 91,5 \text{ cm} & \quad \mid \, -85,5 \text{ cm}\\[5pt] \text{Körpergröße}&=& \text{Springseillänge} - 91,5 \text{ cm}\\[5pt] \text{Körpergröße}&=& 264,5 \text{ cm} - 91,5 \text{ cm}\\[5pt] &=& 173 \text{ cm}\\[5pt] \end{array}$
Somit ist die Bedingung erfüllt, dass Theo größer als $167,5 \text{ cm}$ ist und die Körpergröße von Theo beträgt somit $167,5 \text{ cm}$.
Für die Tabelle folgen dadurch folgende Werte:
Körpergröße
in cm
Springseillänge
in cm
Springseillänge
in inch
Max$167 \text{ cm}$$252,5 \text{ cm}$$99,41 \text{ inch}$
Theo$173 \text{ cm}$$264,5 \text{ cm}$$104,13 \text{ inch}$
d)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung auswählen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Funktionsgleichung auswählen, die den Verlauf des Seils in der Abbildung modellhaft beschreibt. Du weißt dabei, dass das eine Ende des Seils im Ursprung des Koordinatensystem liegt. Somit muss für die jeweiligen Funktionen $f(0)=0$ gelten. Außerdem muss die Parabel nach unten geöffnet sein. Das bedeutet, dass das Vorzeichen vor $x^2$ negativ sein muss.
Daraus kann man schließen, dass die Funktion $f_3(x)$ den Verlauf des Seils modellhaft beschreiben kann.
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichungen ausschließen
Du sollst anschließend begründen, weshalb die beiden anderen Funktionsgleichungen den Verlauf des Seils nicht modellhaft beschreiben können.
Die beiden anderen Funktionsgleichungen besitzen jeweils einen $y-Achsenabschnitt$ der ungleich $0$ ist. Dadurch verlaufen beide Funktionen nicht durch den Ursprung. Desweiteren besitzt die Funktion $f_2(x)$ ein positives Vorzeichen vor dem Term $x^2$. Somit wäre die Parabel, welche durch die Funktionsgleichung $f_2(x)$ beschrieben wird nach oben geöffnet und die Funktionsgleichung könnte somit die Abbildung nicht modellhaft beschreiben.
e)
$\blacktriangleright$ Entfernung der Seilenden ermitteln
In dieser Teilaufgabe sollst du rechnerisch die Entfernung der beiden Seilenden bestimmen. Aus Teilaufgabe d) weißt du bereits, dass sich der Verlauf des Seiles modellhaft durch die Funktionssgleichung $f_3(x)$ beschreiben lässt. Die Seilenden befinden sich nun genau an den Stellen, an denen die Funktion $f_3$ die $x$-Achse schneidet. Somit kannst du die Entfernung der beiden Seilenden bestimmen, indem du die Entfernung der beiden Nullstellen berechnest.
Die erste Nullstelle hast du bereits aus der Aufgabenstellung gegeben. Diese liegt bei $x_1=0$. Die zweite Nullstelle kannst du berechnen, indem du die Funktionsgleichung $f_3(x)=-\dfrac{1}{4}x^2+x$ gleich Null setzt und die Gleichung nach $x$ auflöst. Daraus folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f_3(x)&=& 0 \\[5pt] -\dfrac{1}{4}x^2+x&=& 0 \\[5pt] x \cdot \left(-\dfrac{1}{4}x +1 \right)&=& 0\\[5pt] \end{array}$
Durch den Satz des Nullprodukts weißt du, dass $x \cdot \left(-\dfrac{1}{4}x +1 \right)=0$ gilt, falls $x=0$ ist oder $-\dfrac{1}{4}x +1 =0$ gilt. Die Nullstelle bei $x_1=0$ hast du bereits gegeben. Du musst somit noch die Nullstelle an der Stelle $x_2$ finden für die gilt $-\dfrac{1}{4}x_2 +1 =0$. Forme also die Gleichung nach $x_2$ um.
$\begin{array}[t]{rll} -\dfrac{1}{4}x_2 +1 &=& 0 & \quad \scriptsize \mid \, -1 \\[5pt] -\dfrac{1}{4}x_2&=& -1 & \quad \scriptsize \mid \, \cdot (-4) \\[5pt] x_2 &=& 4\\[5pt] \end{array}$
Daraus folgt, dass die zweite Nullstelle bei $x_2=4$ liegt.
Der Abstand der beiden Nullstellen ist mit $x_2 -x_1 =4$ gegeben und somit beträgt die Entfernung der beiden Seilenden zueinander $4$ Meter.
f)
$\blacktriangleright$ Abstand bestimmen
Du sollst in dieser Teilaufgabe den Abstand zwischen dem Seil und der Schülerin bestimmen. Du hast hierbei gegeben, dass das Seil in einer Höhe von $80 \text{ cm}$ gehalten wird. Außerdem weißt du, dass die Schülerin $1,68 \text{m}$ groß ist und in der Mitte unter dem Seil hindurch läuft. Um den Abstand zwischen dem Seil und der Schülerin zu bestimmen musst du dafür die Höhe des Seils in der Mitte berechnen und die Größe der Schülerin davon abziehen.
Da sich die Nullstellen des Seils bei $x_1=0$ und $x_2=4$ befinden kannst du folgern, dass sich die Mitte des Seils bei $x=2$ befindet. Die Höhe des Seils beträgt für $x=2$ entsprechend $f_3(x=2)+0,8 \text{m}$, da das Seil in einer Höhe von $80 \text{ cm}$ gehalten wird. Für die Höhe des Seils $h_S$ folgt damit:
$\begin{array}[t]{rll} h_S&=& f_3(x=2)+0,8 \text{m} & \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{4} \cdot 2^2 + 2 + 0,8 \text{m} & \quad \scriptsize \mid \, \cdot (-4) \\[5pt] &=& 1,80 \text{ m}\\[5pt] \end{array}$
Für den Abstand $d$ des Seiles zu der Schülerin folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} d&=& 1,80 \text{ m} - 1,68 \text{ m}\\[5pt] &=& 0,12 \text{ m}\\[5pt] \end{array}$
Dadurch ist der Abstand der Schülerin zu dem Seil $0,12 \text{ m}$ groß.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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