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Pflichtaufgaben - Teil 2

Aufgaben
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P10
Für alle Wohnungen im Haus des Mittelgasse 5 ist der Mietpreis pro Quadratmeter derselbe. Julia zahlt $450~€$ Miete für ihre $60~\text{m}^2$ große Wohnungen in diesem Haus.
a.
Frau Grimm bewohnt eine $80~\text{m}$ große Wohnung im selben Haus.
Berechne, wie viele Euro Miete Frau Grimm für ihre wohnung zahlen muss.
(2 Pkt.)
b.
Familie Rüdiger zahlt $825~€$ Miete in diesem Haus.
Berechne, wie viele Quadratmeter ihre Wohnung hat.
(2 Pkt.)
P11
Pflichtaufgaben - Teil 2
Abb. 1: Zeichnung nicht maßstabsgerecht
Pflichtaufgaben - Teil 2
Abb. 1: Zeichnung nicht maßstabsgerecht
b.
Auf einer Wise werden drei Windräder $W_1$, $W_2$ und $W_3$ aufgestellt.
$W_1$ hat zu $W_2$ eine Entfernung von $350~\text{m}$.
$W_1$ hat zu $W_3$ eine Entfernung von $300~\text{m}$.
Die Entfernung von $W_2$ zu $W_3$ beträgt $400~\text{m}$.
Fertige zu dieser Situation eine Freihandskizze an. Trage in die Skizze auch die Entfernungen zwischen den Windrädern ein.
(2 kt.)
#dreieck
P12
Ein Mopded kostet $1450~€$.
Dazu kommen noch $19~\%$ Mehrwertsteuer.
a.
Berechne den Gesamtpreis mit Mehrwertsteuer.
(3 Pkt.)
b.
Maria behauptet: „Die Mehrwertsteuer in Euro kann ich schnell überchlagen, indem ich den Preis ohne Mehrwertsteuer durch fünf teile.“
Hat Maria recht? Begründe deine Antwort.
(2 Pkt.)
#prozent
P13
Pflichtaufgaben - Teil 2
Abb. 2: Auflaufform
Pflichtaufgaben - Teil 2
Abb. 2: Auflaufform
(4 Pkt.)
#volumen
P14
a.
Löse die Gleichung.
$44x-4=42x+12-6x$
(4 Pkt.)
b.
Notiere zu folgendem Zahlenrätsel die passende Gleichung.
„Wenn du zum Dreifachen einer unbekannten Zahl $18$ addierst, so erhältst du das Vierfache der unbekannten Zahl.“
(2 Pkt.)
#gleichung
P15
An der Rheingau-Schule wird jedes Jahr ein Wohltätigkeitsbasar veranstaltet. Der gesamte Gewinn wird gespendet.
In folgender Tabelle sind die Gewinne der Klassen 8 und 9 aufgelistet.
Pflichtaufgaben - Teil 2
Abb. 3: Tabelle
Pflichtaufgaben - Teil 2
Abb. 3: Tabelle
a.
Berechne den Durchschnitt des Gewinns der fünf Klassen.
(2 Pkt.)
b.
Für die Schülerzeitung sollen die Gewinne der Jahrgangsstufen 8 und 9 in einem Kreisdiagramm dargestellt werden.
Begründe durch eine Rechnung, warum der Winkel für den Kreisausschnitt der Jahrgangsstufe 9 größer als $180^{\circ}$ sein muss.
(2 Pkt.)
c.
Die Klassen 7a und 7b erzielten im Durchschnitt einen Gewinn von $198~€$.
Die Klasse 7a erzielte dabei einen Gewinn von $232~€$.
Berechne den Gewinn der Klasse 7b.
(2 Pkt.)
#durchschnitt
P16
Ein Baumstamm hat einen Durchmesser von $40~\text{cm}$ (siehe Abbildung).
aus diesem Baumstamm soll ein möglichst großer Balken mit quadratischer Grundfläche herausgesägt werden.
Berechne die Länge der Seite $a$ der quadratischen Grundfläche.
Runde dein Ergebnis auf ganze Zentimeter.
Pflichtaufgaben - Teil 2
Abb. 4: querschnitt des Baumstammes
Pflichtaufgaben - Teil 2
Abb. 4: querschnitt des Baumstammes
(4 Pkt.)
P17
Pflichtaufgaben - Teil 2
Abb. 5: Heißluftballon mit Würfel
Pflichtaufgaben - Teil 2
Abb. 5: Heißluftballon mit Würfel
#schätzen
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Lösungen
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P10
a.
$\blacktriangleright$  Miete berechnen
Mithilfe eines Dreisatzes erhältst du:
$:6$
Pflichtaufgaben - Teil 2
$\begin{array}{rrcll} & 60~\text{m}^2&\mathrel{\widehat{=}}& 450~€\\[5pt] & 10~\text{m}^2&\mathrel{\widehat{=}}& 75~€\\[5pt] & 80~\text{m}^2&\mathrel{\widehat{=}}& 600~€& \end{array}$ Pflichtaufgaben - Teil 2
$:6$
$\cdot 8$
Pflichtaufgaben - Teil 2
Pflichtaufgaben - Teil 2
$\cdot 8$
$\begin{array}{rrcll} & 60~\text{m}^2&\mathrel{\widehat{=}}& 450~€\\[5pt] & 10~\text{m}^2&\mathrel{\widehat{=}}& 75~€\\[5pt] & 80~\text{m}^2&\mathrel{\widehat{=}}& 600~€& \end{array}$
Damit muss Frau Grimm also $600~€$ für ihre Wohnung zahlen.
b.
$\blacktriangleright$  Quadratmeter berechnen
Auch hier kannst du die Quadratmeter mithilfe eines Dreisatzes berechnen:
$:450$
Pflichtaufgaben - Teil 2
$\begin{array}{rrcll} & 450~€&\mathrel{\widehat{=}}& 60~\text{m}^2\\[5pt] & 1~€&\mathrel{\widehat{=}}& 0,133… ~\text{m}^2\\[5pt] & 825~€ &\mathrel{\widehat{=}}& 110~\text{m}^2& \end{array}$ Pflichtaufgaben - Teil 2
$:450$
$\cdot 825$
Pflichtaufgaben - Teil 2
Pflichtaufgaben - Teil 2
$\cdot 825$
$ \begin{array}{rrcll} & 450~€&\mathrel{\widehat{=}}& 60~\text{m}^2\\[5pt] & 1~€&\mathrel{\widehat{=}}& 0,133… ~\text{m}^2\\[5pt] & 825~€ &\mathrel{\widehat{=}}& 110~\text{m}^2& \end{array} $
Die Wohnung von Familie Rüdiger hat also $110~\text{m}^2$.
#dreisatz
P11
a.
$\blacktriangleright$  Dreieck zeichnen
Fange mit der Seite $a$ oder $b$ an. Zeichne dann den Winkel $\gamma$ an die richtige Seite. Du kannst dich dabei an der Skizze in der Aufgabenstellung orientieren. Mit $\gamma$ kannst du jetzt $b$ oder $a$ einzeichnen, je nachdem mit welcher Seite du angefangen hast. Verbindest du nun die beiden Endpunkte von $a$ und $b$ erhältst du $c$.
Beschrifte zum Schluss alle Eckpunkte.
Pflichtaufgaben - Teil 2
Abb. 1: Dreieck $ABC$
Pflichtaufgaben - Teil 2
Abb. 1: Dreieck $ABC$
b.
$\blacktriangleright$  Freihandskizze anfertigen
Zeichne $3$ Punkt für $W_1$, $W_2$ und $W_3$, beschrifte und verbinde diese. Jetzt musst du nur noch die Abstände richtig beschriften.
Pflichtaufgaben - Teil 2
Abb. 2: Skizze Windräder
Pflichtaufgaben - Teil 2
Abb. 2: Skizze Windräder
P12
a.
$\blacktriangleright$  Gesamtpreis berechnen
Berechne zuerst die Mehrwertsteuer mihilfe eines Dreisatzes:
$:100$
Pflichtaufgaben - Teil 2
$\begin{array}{rrcll} & 100~\%&\mathrel{\widehat{=}}& 1450~€\\[5pt] & 1 ~\%&\mathrel{\widehat{=}}& 14,50~€\\[5pt] & 19~\%&\mathrel{\widehat{=}}& 275,5~€& \end{array}$ Pflichtaufgaben - Teil 2
$:100$
$\cdot 19$
Pflichtaufgaben - Teil 2
Pflichtaufgaben - Teil 2
$\cdot 19$
$ \begin{array}{rrcll} & 100~\%&\mathrel{\widehat{=}}& 1450~€\\[5pt] & 1 ~\%&\mathrel{\widehat{=}}& 14,50~€\\[5pt] & 19~\%&\mathrel{\widehat{=}}& 275,5~€& \end{array}$
Jetzt kannst du den Gesamtpreis ausrechnen, indem du die Mehrwertsteuer von $275,50~€$ auf den angegebenen Preis addierst:
$1450~€+275,50~€=1725,50~€$
Das Moped kostet also $1725,50~€$ mit Mehrwertsteuer.
$Oder:$ Da der Gesamtpreis insgesamt $119~\%$ des Preises ohne Mehrwertsteuer ist, kannst du diesen auch direkt berechnen:
$1450~€\cdot 119~\%=1450~€\cdot 1,19=1725,50~€$
$ 1450~€\cdot 119~\%=1725,50~€ $
b.
$\blacktriangleright$  Behauptung begründen
Da $19~\%$ in etwa einem Fünftel enspricht, stimmt die Behauptung. Du kannst die Bahauptung auch nachrechnen:
$19~\%=0,19 \approx 0,2=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}$
#dreisatz
P13
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Das Volumen des Zylinders kannst du mit
$V=\pi \cdot r^2 \cdot h_k$
berechnen. Die Höhe $h_k$ ist in der Abbildung mit $h_k=10~\text{cm}$ angegeben. Für den Radius gilt $r=\dfrac{d}{2}=13~\text{cm}$. Damit gilt für das Volumen:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi \cdot (13~\text{cm})^2 \cdot 10~\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 5309,29~\text{cm}^3 \end{array}$
Jetzt musst du dein Ergebnis noch in Litern angeben. Mit
$\begin{array}[t]{rll} 1~L&=&1~\text{dm}^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] 1~L&=& 10\cdot 10 \cdot 10 ~\text{cm}^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&1000 ~\text{cm}^3 \end{array}$
kannst du das Ergebnis umrechnen:
$5309,29~\text{cm}^3 \approx 5~L$
Das Volumen der Auflaufform beträgt also in etwa $5$ Liter.
#zylinder
P14
a
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 44x-4&=& 42x+12-6x &\quad \scriptsize \\[5pt] 44x-4&=& 36x+12 &\quad \scriptsize \mid\; -36x \\[5pt] 8x-4&=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] 8x&=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; :8 \\[5pt] x&=& 2 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} 44x-4&=& 42x+12-6x \\[5pt] 44x-4&=& 36x+12\\[5pt] 8x-4&=& 12 \\[5pt] 8x&=& 16 \\[5pt] x&=& 2 \end{array} $
b.
$\blacktriangleright$  Gleichung aufstellen
Versuche das Zahlenrätsel in Abschnitte zu teilen und diese zu deuten. Die unbekannte Zahl musst du mit einer Variable, z.B. $x$ ersetzen:
Das dreifache einer unbekannten Zahl: $3x$
Hierzu $18$ addieren: $3x+18$
Das vierfache der unbekannten Zahl: $4x$
Nun musst du die einzelnen Teile nur noch in eine Gleichung schreiben:
$3x+18=4x$
P15
a.
$\blacktriangleright$  Durchschnittlichen Gewinn berechnen
Berechne zuerst den Gesamtgewinn aller Klassen:
$82~€+229~€+93~€+265~€+181~€=850~€$
$ 850~€ $
Für den durchschnittlichen Gewinn, musst du den Gesamtgewinn durch die Anzahl der Klassen teilen:
$\dfrac{850~€}{5}=170~€$
Der durchschnittliche Gewinn pro Klasse ist $170~€$.
b.
$\blacktriangleright$  Begründe
Der Gewinn der Jahrgangsstufe 9 beträgt:
$265~€+181~€=446~€$
Der Gewinn der Jahrgangsstufe 8 beträgt hingegen nur:
$82~€+229~€+93~€=404~€$
Die neunte Jahrgangsstufe konnte also mehr Gewinn erzielen als die achte Jahrgangsstufe. Somit muss auch deren Anteil im Kreisdiagramm größer sein als der, der 8. Klassen. Damit ist der Winkel für den Gewinn der 9. Klassen größer als $180^{\circ}$.
c.
$\blacktriangleright$  Gewinn berechnen
Den Gesamtgewinn beider Klassen kannst du mithilfe des Durchschnittgewinns berechnen:
$2\cdot 198~€=396~€$
Ziehe davon den Gewinn der Klasse 7a ab, um den Gewinn von Klasse 7b zu erhalten:
$396~€-232~€=164~€$
Die Klasse 7b hat also einen Gewinn von $164~€$ erzielt.
P16
$\blacktriangleright$  Länge berechnen
Pflichtaufgaben - Teil 2
Abb. 3: Skizze mit eingezeichnetem Dreieck
Pflichtaufgaben - Teil 2
Abb. 3: Skizze mit eingezeichnetem Dreieck
#satzdespythagoras
P17
a.
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Messe mit einem Lineal oder Geodreieck die Länge des Korbes und die Kantenlänge des Würfels. Zum Beispiel mit einem Dreisatz kannst du dann die Kantenlänge $x$ berechnen. In etwa solltest du für die Kantenlänge das 10-fache des Korbes messen. Damit gilt für die Kantenlänge $x\approx 10 \cdot 1,10~\text{m}=11~\text{m}$. Auch andere Ergebnisse im Bereich von $9~\text{m}\leq x \leq 13~\text{m}$ werden als richtig gewertet.
Mit dem geschätzten Wert $x$, kannst du das Volumen des Würfels berechnen:
$V=x^3\approx (11~\text{m})^3=1331~\text{m}^3$
b.
$\blacktriangleright$  Alternativen Körper angeben
Hier gibt es viele Möglichkeiten für einen Körper, wie z.B. eine Kugel oder ein Zylinder. Diese Körper passen besser zu den Rundungen des Ballons und sind damit genauer.
Zusammengesetzte Formen sind noch genauer, wie z.B. ein Kegel mit aufgesetzter Halbkugel.
Bildnachweise [nach oben]
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