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Hilfsmittelfreier Prüfungsteil

Aufgaben
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1 Analysis

Hilfsmittelfreier Prüfungsteil
Abbildung 1
Hilfsmittelfreier Prüfungsteil Abbildung 1
a)
Die Abbildung 1 zeigt den Graphen einer der drei Funktionen.
Gib an, um welche Funktion es sich handelt.
Begründe, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt.
(3P)
b)
Die erste Ableitungsfunktion von $h$ ist $h'$.
Bestimme den Wert von $\displaystyle\int_{0}^{1}h'(x)\;\mathrm dx$.
(2P)

(5P)

2 Lineare Algebra

Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:
$\;x_1+2x_2+3x_3\;$
$=23\;$
$\;x_1+x_2+x_3\;$
$=10\;$
$\;x_2+2x_3\;$
$=13\;$
$\;x_2+x_3\;$
$=\;\,8\;$
a)
Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.
(3P)
b)
Eine der letzten beiden Gleichungen des Gleichungssystems kann weggelassen werden, ohne dass sich die Lösungsmenge ändert.
Gib diese Gleichung an und begründe deine Angabe.
(2P)

(5P)

3 Stochastik

Hilfsmittelfreier Prüfungsteil
Abbildung 2
Hilfsmittelfreier Prüfungsteil Abbildung 2
a)
Ermittle mithilfe der Abbildung den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$.
(2P)
b)
Das Zufallsexperiment wird zweimal durchgeführt. Dabei wird jeweils der Wert der Zufallsgröße $X$ notiert.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe dieser beiden Werte negativ ist.
(3P)

(5P)

4 Analysis

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-6\cdot x^2+11\cdot x-6 $    $(x\in\mathbb{R})$.
a)
Weise nach, dass der Wendepunkt des Graphen von $f$ auf der Geraden mit der Gleichung $y=x-2$ liegt.
(3P)
b)
Der Graph von $f$ wird verschoben. Der Punkt $(2\mid0)$ des Graphen der Funktion $f$ besitzt nach der
Verschiebung die Koordinaten $(3\mid2)$. Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion $h$.
Gib eine Gleichung von $h$ an.
(2P)

(5P)
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1 Analysis

a)
$\blacktriangleright$  Funktion angeben
Du hast einen Graphen einer Funktion und drei verschiedene Funktionsgleichungen gegeben. Um zu bestimmen, welche Funktionsgleichung zu dem Graphen gehört, kannst du das Verhalten der Funktionen für $x\to\pm\infty$ bestimmen. Damit kannst du gleichzeitig begründen, warum die zwei anderen Funktionen den Graphen nicht beschreiben.
Bestimme also den Limes der Funktionen.
b)
$\blacktriangleright$  Integral berechnen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du das Integral $\displaystyle\int_{0}^{1} h'(x)\;\mathrm dx$ bestimmen. Die Funktion $h'$ ist die Ableitungsfunktion der Funktion $h$. Die Funktion $h$ ist also eine Stammfunktion der Funktion $h'$. Damit kannst du das Integral berechnen.

2 Lineare Algebra

a)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
Löse das lineare Gleichungssystem. Du siehst, dass du vier Gleichungen, aber nur drei Variablen gegeben hast. Zum Lösen eines linearen Gleichungssystems mit drei Variablen brauchst du auch nur drei Gleichungen. Versuche daher das Gleichungssystem mit drei Gleichungen zu lösen und setzte zur Überprüfung dein Ergebnis in die vierte Gleichung ein.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung angeben
Nun sollst du eine Gleichung des Gleichungssystems angeben, die weggelassen werden kann, ohne dass sich die Lösungsmenge ändert. Dabei handelt es sich um eine der letzten beiden Gleichungen. Du sollst deine Aussage auch begründen. Prüfe, ob es eine linear abhängige Gleichung in dem linearen Gleichungssystem gibt. Eine linear abhängige Gleichung ist für das Lösen eines Gleichungssystems nicht notwendig.

3 Stochastik

a)
$\blacktriangleright$  Erwartungswert bestimmen
Den Erwartungswert berechnest du, indem du den Wert $x_i$ der Zufallsgröße $X$ mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit $P(X=x_i)$ multipliziert. Die Formel zur Berechnung des Erwartungswertes lautet demnach:
$E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+…+x_n\cdot P(X=x_n)$
$$ E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+ $$ $$…$$
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit $Z$ bestimmen, wenn nach zweimaligen durchführen des Zufallsexperimentes die Summe der beiden Werte negativ ist.
Das Zufallsexperiment kann die drei Werte $-2$, $1$ und $2$ annehmen. Die Wahrscheinlichkeiten, mit denen diese Werte angenommen werden, siehst du in der Abbildung der Aufgabenstellung. Es gilt: $P(X=-2)=P(X=1)=0,25$ und $P(X=2)=0,5$
Überlege dir, für welche zwei Werte die Summe negativ wird und berechne die Wahrscheinlichkeit $Z$.

4 Analysis

a)
$\blacktriangleright$  Wendepunkt nachweisen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass der Wendepunkt des Graphen von $f$ auf der Geraden $y=x-2$ liegt. Bilde die zweite und dritte Ableitung der Funktion $f$ und berechne die Koordinaten des Wendepunktes. Mit einer Punktprobe kannst du überprüfen, ob der Wendepunkt auf der Geraden liegt.
Die Funktion $f$ kannst du mit der Summen- und Faktorregel ableiten.
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung der Funktion $\boldsymbol{h}$ angeben
Den Graphen der Funktion $h$ erhältst du, indem du den Graphen der Funktion $f$ verschiebst. Der Punkt $(2\mid0)$ hat nach der Verschiebung die Koordinaten $(3\mid2)$. Um den Graphen von $h$ zu erhalten, wird der Graph von $f$ um $1\,\text{LE}$ in positive $\boldsymbol{x}$-Richtung und um $2\,\text{LE}$ in positive $\boldsymbol{y}$-Richtung verschoben.
Wird ein Graph um einen Wert $a$ in $x$-Richtung verschoben, so wird die Variable $x$ durch $x-a$ ersetzt. Bei der Verschiebung in positive $y$-Richtung wird der entsprechende Wert zu dem Funktionsterm addiert.
Um die Funktionsgleichung der Funktion $h$ zu erhalten, kannst du so vorgehen:
  1. Verschiebe den Graphen von $f$ in $x$-Richtung
  2. Verschiebe den neuen Graphen in $y$-Richtung
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1 Analysis

a)
$\blacktriangleright$  Funktion angeben
Du hast einen Graphen einer Funktion und drei verschiedene Funktionsgleichungen gegeben. Um zu bestimmen, welche Funktionsgleichung zu dem Graphen gehört, kannst du das Verhalten der Funktionen für $x\to\pm\infty$ bestimmen. Damit kannst du gleichzeitig begründen, warum die zwei anderen Funktionen den Graphen nicht beschreiben.
Bestimme also den Limes der Funktionen.
Funktion $\boldsymbol{f}$:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty}f(x)&=&\lim\limits_{x\to\infty} \left(x^2-x+1\right) \\[5pt] &=&\infty \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)&=&\lim\limits_{x\to-\infty} \left(x^2-x+1\right) \\[5pt] &=&\infty \end{array}$
Funktion $\boldsymbol{g}$:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty}g(x)&=&\lim\limits_{x\to\infty} \left(x^3-x+1\right) \\[5pt] &=&\infty \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to-\infty}g(x)&=&\lim\limits_{x\to-\infty} \left(x^3-x+1\right) \\[5pt] &=&-\infty \end{array}$
Funktion $\boldsymbol{h}$:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty}h(x)&=&\lim\limits_{x\to\infty} \left(x^4+x^2+1\right) \\[5pt] &=&\infty \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to-\infty}h(x)&=&\lim\limits_{x\to-\infty} \left(x^4+x^2+1\right) \\[5pt] &=&\infty \end{array}$
Die Funktionen $f$ und $h$ streben für $x\to\pm\infty$ gegen unendlich. Die gesuchte Funktion strebt jedoch für $x\to-\infty$ gegen $-\infty$. Somit beschreiben die Funktionen $f$ und $h$ nicht den gesuchten Graphen. Bei der gesuchten Funktion handelt es sich um die Funktion $g$.
b)
$\blacktriangleright$  Integral berechnen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du das Integral $\displaystyle\int_{0}^{1} h'(x)\;\mathrm dx$ bestimmen. Die Funktion $h'$ ist die Ableitungsfunktion der Funktion $h$. Die Funktion $h$ ist also eine Stammfunktion der Funktion $h'$. Damit kannst du das Integral berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{1}h'(x)\;\mathrm dx&=& [h(x)]_0^1 \\[5pt] &=&\left[x^4+x^2+1\right]_0^1 \\[5pt] &=& 1^4+1^2+1-\left(0^4+0^2+1\right) \\[5pt] &=& 1+1+1-1 \\[5pt] &=& 2 \end{array}$
$ \displaystyle\int_{0}^{1}h'(x)\;\mathrm dx=2 $
Der gesuchte Wert beträgt $2$.

2 Lineare Algebra

a)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
Löse das lineare Gleichungssystem. Du siehst, dass du vier Gleichungen, aber nur drei Variablen gegeben hast. Zum Lösen eines linearen Gleichungssystems mit drei Variablen brauchst du auch nur drei Gleichungen. Versuche daher das Gleichungssystem mit drei Gleichungen zu lösen und setzte zur Überprüfung dein Ergebnis in die vierte Gleichung ein.
Zum Lösen des Gleichungssystems verwenden wir die Gleichung $(\text{I})$, $(\text{II})$ und $(\text{IV})$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x_1&+& 2x_2&+& 3x_3&=& 23\quad \\ \text{II}\quad& x_1&+& x_2&+& x_3&=& 10& \quad\scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}-\text{II}\\ \text{IV}\quad& && x_2&+& x_3&=& 8&\quad\\ \hline \text{I}\quad& x_1&+& 2x_2&+& 3x_3&=& 23\quad \\ \text{II}'\quad& && x_2&+& 2x_3 &=& 13\\ \text{IV}\quad& && x_2&+& x_3&=& 8&\quad\scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{II}'-\text{IV}\\ \hline \text{I}\quad& x_1&+& 2x_2&+& 3x_3&=& 23\quad \\ \text{II}'\quad& && x_2&+& 2x_3 &=& 13\\ \text{IV}'\quad& && && x_3&=& 5&\quad \end{array}$
$ \begin{array}{} \text{I}\quad& x_1&+& 2x_2&+… \\ \text{II}\quad& x_1&+& x_2&+…\\ \text{IV}\quad& && x_2&+…\\ \end{array} $
Einsetzen in Gleichung $\boldsymbol{(\text{II})'}$:
$\begin{array}[t]{rll} x_2+2x_3&=& 13 &\quad \scriptsize \mid\; -2x_3\\[5pt] x_2&=& 13-2x_3\\[5pt] x_2&=& 13-2\cdot5\\[5pt] x_2&=& 13-10\\[5pt] x_2&=& 3 \end{array}$
Einsetzen in Gleichung $\boldsymbol{(\textbf{I})}$:
$\begin{array}[t]{rll} x_1+2x_2+3x_3&=& 23 &\quad \scriptsize \mid\; -2x_2-3x_3\\[5pt] x_1&=& 23-2x_2-3x_3\\[5pt] x_1&=& 23-2\cdot3-3\cdot5\\[5pt] x_1&=& 23-6-15\\[5pt] x_1&=& 2 \end{array}$
$ x_1=2 $
Um zu überprüfen, ob $x_1=2$, $x_2=3$ und $x_3=5$ tatsächlich die Lösung des Gleichungssystems ist, setzt du die Werte in die Gleichung $(\text{III})$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} x_2+2x_3&=& 13 \\[5pt] 3+2\cdot5&=& 13\\[5pt] 13&=& 13 \end{array}$
Die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystem lautet: $\mathbb{L}=\{2;3;5\}$
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung angeben
Nun sollst du eine Gleichung des Gleichungssystems angeben, die weggelassen werden kann, ohne dass sich die Lösungsmenge ändert. Dabei handelt es sich um eine der letzten beiden Gleichungen. Du sollst deine Aussage auch begründen. Prüfe, ob es eine linear abhängige Gleichung in dem linearen Gleichungssystem gibt. Eine linear abhängige Gleichung ist für das Lösen eines Gleichungssystems nicht notwendig.
Wir haben die Gleichung $(\text{III})$ des Gleichungssystems zunächst weggelassen und im ersten Schritt die Gleichung $(\text{II})$ von der Gleichung $(\text{I})$ subtrahiert. Die Gleichung $(\text{II})'$ entspricht der Gleichung $(\text{III})$. Somit ist die Gleichung $(\text{III})$ linear abhängig von den Gleichungen $(\text{I})$ und $(\text{II})$. Die Gleichung $(\text{III})$ kann somit weggelassen werden, ohne dass sich die Lösungsmenge ändert.

3 Stochastik

a)
$\blacktriangleright$  Erwartungswert bestimmen
Den Erwartungswert berechnest du, indem du den Wert $x_i$ der Zufallsgröße $X$ mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit $P(X=x_i)$ multipliziert. Die Formel zur Berechnung des Erwartungswertes lautet demnach:
$E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+…+x_n\cdot P(X=x_n)$
$$ E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+ $$ $$…$$
Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten kannst du aus der Abbildung ablesen.
Du erhältst für die Werte $-2$ und $1$ die Wahrscheinlichkeit $P(X=-2)=P(X=1)=0,25$ und für den Wert $2$ die Wahrscheinlichkeit $P(X=2)=0,5$. Mit diesem Werten kannst du den Erwartungswert berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& -2\cdot P(X=-2)+1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2) \\[5pt] E(X)&=& -2\cdot 0,25+1\cdot 0,25+2\cdot 0,5 \\[5pt] E(X)&=& 0,75 \end{array}$
$ E(X) = 0,75 $
Der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ beträgt $0,75$.
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit $Z$ bestimmen, wenn nach zweimaligen durchführen des Zufallsexperimentes die Summe der beiden Werte negativ ist.
Das Zufallsexperiment kann die drei Werte $-2$, $1$ und $2$ annehmen. Die Wahrscheinlichkeiten, mit denen diese Werte angenommen werden, siehst du in der Abbildung der Aufgabenstellung. Es gilt: $P(X=-2)=P(X=1)=0,25$ und $P(X=2)=0,5$
Überlege dir, für welche zwei Werte die Summe negativ wird und berechne die Wahrscheinlichkeit $Z$.
Damit die Summe zweier Werte negativ wird, gibt es zwei Möglichkeiten:
  1. Die Zufallsgröße nimmt zweimal den Wert $-2$ an.
  2. Die Zufallsgröße nimmt einmal den Wert $-2$ und einmal den Wert $1$ an.
Du erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} P(Z)&=& P(X=-2)\cdot P(X=-2)+P(X=1)\cdot P(X=-2)+P(X=-2)\cdot P(X=1) \\[5pt] &=& 0,25\cdot 0,25+0,25\cdot 0,25+0,25\cdot 0,25 \\[5pt] &=& 0,0625+0,0625+0,0625 \\[5pt] &=& 0,1875 \end{array}$
$ P(Z) = 0,1875$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe beider Werte negativ ist beträgt $18,75\,\%$.

4 Analysis

a)
$\blacktriangleright$  Wendepunkt nachweisen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass der Wendepunkt des Graphen von $f$ auf der Geraden $y=x-2$ liegt. Bilde die zweite und dritte Ableitung der Funktion $f$ und berechne die Koordinaten des Wendepunktes. Mit einer Punktprobe kannst du überprüfen, ob der Wendepunkt auf der Geraden liegt.
Die Funktion $f$ kannst du mit der Summen- und Faktorregel ableiten.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& x^3-6x^2+11x-6 \\[5pt] f'(x)&=& 3x^2-6\cdot2x+11\\[5pt] &=& 3x^2-12x+11\\[5pt] f''(x)&=& 3\cdot2x-12\\[5pt] &=& 6x-12\\[5pt] &=& 6\cdot(x-2)\\[5pt] f'''(x)&=& 6\quad \neq0 \end{array}$
Notwendige Bedingung:
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=& 0\\[5pt] 6\cdot(x-2)&=& 0\\[5pt] x_1&=& 2 \end{array}$
Setze nun den Wert $x_1$ in den Funktionsterm von $f$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& x^3-6x^2+11x-6 \\[5pt] f(2)&=& 2^3-6\cdot2^2+11\cdot2-6 \\[5pt] f(2)&=& 8-6\cdot4+22-6 \\[5pt] f(2)&=& 8-24+22-6 \\[5pt] f(2)&=& 0 \end{array}$
Der Graph hat damit einen Wendepunkt mit den Koordinaten $W(2\mid0)$. Führe nun eine Punktprobe durch, um zu überprüfen, ob der Punkt auf der Geraden $y=x-2$ liegt.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x-2 \\[5pt] 0&=& 2-2\\[5pt] 0&=& 0 \end{array}$
Der Wendepunkt des Graphen von $f$ liegt auf der Geraden $y=x-2$.
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung der Funktion $\boldsymbol{h}$ angeben
Den Graphen der Funktion $h$ erhältst du, indem du den Graphen der Funktion $f$ verschiebst. Der Punkt $(2\mid0)$ hat nach der Verschiebung die Koordinaten $(3\mid2)$. Um den Graphen von $h$ zu erhalten, wird der Graph von $f$ um $1\,\text{LE}$ in positive $\boldsymbol{x}$-Richtung und um $2\,\text{LE}$ in positive $\boldsymbol{y}$-Richtung verschoben.
Wird ein Graph um einen Wert $a$ in $x$-Richtung verschoben, so wird die Variable $x$ durch $x-a$ ersetzt. Bei der Verschiebung in positive $y$-Richtung wird der entsprechende Wert zu dem Funktionsterm addiert.
Um die Funktionsgleichung der Funktion $h$ zu erhalten, kannst du so vorgehen:
  1. Verschiebe den Graphen von $f$ in $x$-Richtung
  2. Verschiebe den neuen Graphen in $y$-Richtung
1. Schritt: Graph in $\boldsymbol{x}$-Richtung verschieben
Der Graph von $f$ wird um eine Längeneinheit in positive $x$-Richtung verschoben. Ersetze daher das $x$ durch $x-1$. Verwende beim Ausmultiplizieren die binomischen Formeln.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& x^3-6x^2+11x-6 \\[5pt] f^*(x)&=&(x-1)^3-6\cdot(x-1)^2+11\cdot(x-1)-6\\[5pt] f^*(x)&=& x^3-3x^2+3x-1-6\cdot(x^2-2x+1)+11x-11-6\\[5pt] f^*(x)&=& x^3-3x^2+3x-1-6x^2+12x-6+11x-11-6\\[5pt] f^*(x)&=& x^3-9x^2+26x-24 \end{array}$
$ f^*(x) = x^3-9x^2+26x-24 $
2. Schritt: Graph in $\boldsymbol{y}$-Richtung verschieben
Um die Funktionsgleichung von $h$ zu erhalten, verschiebst du den Graphen von $f^*$ um zwei Längeneinheiten in positive $y$-Richtung. Addiere dazu den Wert $2$ zu dem Funktionsterm von $f^*$ hinzu.
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& f^*(x)+2 \\[5pt] h(x)&=& x^3-9x^2+26x-24+2\\[5pt] h(x)&=& x^3-9x^2+26x-22 \end{array}$
Eine Funktionsgleichung der Funktion $h$ lautet: $h(x)=x^3-9x^2+26x-22$
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