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Analysis 2

Aufgaben
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X-15
Analysis 2
Abb. 1: X-15 Experimentalflugzeug
Analysis 2
Abb. 1: X-15 Experimentalflugzeug
Vereinfachend wird angenommen, dass die Flugbahn in einer Ebene liegt. Die Variable $x$ bedeutet dann die horizontale Entfernung des Flugzeugs vom Startpunkt des Fluges und $h(x)$ ist die Höhe des Flugzeuges über dem Boden. Sowohl $x$ als auch $h(x)$ werden in Kilometern gemessen (siehe Abbildung 2 in der Anlage).
a)
Beschreibe markante Eigenschaften des Graphen von $h$.
(5P)
In einer Flughöhe von $500\,\text{m}$ musste der Pilot über dem Zielflughafen sein und unmittelbar die Landung vorbereiten.
b)
Bestätige, dass die Entfernung des Zielflughafens vom Startpunkt $402\,\text{km}$ betragen durfte.
(3P)
c)
  • Weise nach, dass
    $h'(x)=\left(0,02x-10^{-6}x^3\right)\cdot\mathrm{e}^{-0,00005\cdot x^2}$
    $ h'(x)=(0,02x- …$
    gilt.
  • Bestimme rechnerisch den horizontalen Abstand $x_G$ vom Startpunkt, in dem die maximale Höhe dieses Fluges erreicht wurde, und den Wert für diese Höhe.
(8P)
Der Raketenantrieb arbeitete nur für einige Minuten. Noch während des Steigflugs waren die Tanks erschöpft und der Antrieb wurde abgeschaltet. Dieses Ereignis heißt Brennschluss; es fand in $36\,\text{km}$ Höhe statt.
d)
  • Ermittle hierfür die horizontale Entfernung vom Startpunkt des Fluges näherungsweise mit einer Genauigkeit von einer Nachkommastelle.
  • Berechne den Steigungswinkel der Flugbahn beim Brennschluss.
(6P)
Für den Anfangsbereich der Bahnkurve des Flugzeugs kann die durch $h$ angegebene Bahnkurve näherungsweise durch den Parabelanteil von $h$ modelliert werden:
$h_{par}(x)=\dfrac{1}{100}x^2$
e)
  • Bestätige, dass die Abweichung der Flughöhe bei Verwendung von $h_{par}$ in der horizontalen Entfernung $x=25$ gegenüber der durch $h(25)$ bestimmten Flughöhe unter $0,2\,\text{km}$ liegt.
  • Bestimme die Entfernung, ab der die Flughöhe durch diese Parabelnäherung um mehr als $5\,\%$ über der tatsächlichen Flughöhe liegt.
(7P)
Der Modellierung der Bahnkurve durch die Funktion $h$ liegen einige Modellannahmen zugrunde.
Andere Modellannahmen würden für einen Teil der Flugbahn zu einer neuen Parabelnäherung durch eine quadratische Funktion $p$ führen.
In der folgenden Teilaufgabe soll diese neue Näherung für $100\leq x \leq 200$ untersucht werden.
Die Funktion $p$ soll in ungefährer Übereinstimmung mit $h$ an der Stelle $x=100$ den Funktionswert $60$ und die lokale Steigung $0,6$ haben, wogegen ihr höchster Punkt etwas tiefer als das Maximum von $h$ liegen soll, nämlich in einer Höhe von $72\,\text{km}$.
f)
  • Leite aus diesen Angaben die Funktionsgleichung von $p$ her.
    (Zur Kontrolle: Es ist
    $p(x)=-0,0075x^2+2,1x-75$.)
    $ p(x)=… $
  • Berechne die Koordinaten des höchsten Punktes der zu $p$ gehörigen Parabel.
  • Zeichne den zu $p$ gehörigen Parabelbogen in das beigefügte Koordinatensystem (siehe Abbildung 1 in der Anlage) ein.
(12P)
Nun wird wieder die Modellierung mit der Funktion $h$ betrachtet. Die Funktion $h$ ist eine spezielle Funktion der Art:
$h_{a,b}(x)=a\cdot x^2\cdot\mathrm{e}^{-0,00005\cdot b\cdot x^2}$ $(a,b\in\mathbb{R^+})$
$h_{a,b}(x)= …$
g)
  • Beschreibe den Einfluss des Parameters $b$ mit $b>0$ auf den Verlauf der Flugbahn.
  • Untersuche qualitativ, wie sich die Lagen der wesentlichen Punkte (Gipfelpunkt, mögliche Lage des Zielflughafens) auf der Flugbahn verändern würden, wenn sich der Parameter $a$ verdoppelte.
(7P)
In den letzten $60$ Sekunden vor dem Aufsetzen auf der Landebahn folgt die Geschwindigkeit $v$ der X-15 in etwa der Funktion mit der Gleichung $v(t)=\dfrac{1}{200}t^2-2t+210$. Die Geschwindigkeit ist dabei in Metern pro Sekunde gemessen, die Zeit $t$ in Sekunden, es gilt $0\leq t\leq60$.
h)
Berechne die Länge der Flugstrecke in den letzten $60$ Sekunden des Fluges.
(2P)

(50P)
Anlage zur Aufgabe „X-15“
Analysis 2
Abb. 2: Der Graph der Funktion $h$
Analysis 2
Abb. 2: Der Graph der Funktion $h$
Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://upload.wikimedia.org/ wikipedia/commons /8/88/X-15_Dryden.jpg – Cooper CC BY-SA 3.0.
[2]
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Tipps
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a)
$\blacktriangleright$  Graph beschreiben
Um die markanten Eigenschaften des Graphen von $h$ zu beschreiben, betrachtest du die Abbildung 2 in der Anlage.
b)
$\blacktriangleright$  Entfernung bestätigen
Du sollst bestätigen, dass die Entfernung des Zielflughafens vom Startpunkt bei einer Flughöhe von $500\,\text{m}=0,5\,\text{km}$ nur $402\,\text{km}$ betragen durfte.
Berechne daher den Funktionswert für $x=402$. Beträgt dieser $0,5$, so durfte die Entfernung nur $402\,\text{km}$ betragen.
c)
$\blacktriangleright$  Erste Ableitung $\boldsymbol{h'}$ nachweisen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du nachweisen, dass die erste Ableitung der Funktion $h$ folgendermaßen lautet:
$h'(x)=\left(0,02x-10^{-6}x^3\right)\cdot\mathrm e^{-0,00005x^2}$
$h'(x)=\left(0,02x-10^{-6}x^3\right)\cdot\mathrm e^{-0,00005x^2}$
Leite die Funktion $h$ einmal mit der Produktregel ab, um die erste Ableitung zu bestätigen.
$\blacktriangleright$  Hochpunkt berechnen
Um den horizontalen Abstand $x_G$, in dem die maximale Höhe des Fluges erreicht wird, zu berechnen, berechnest du den Hochpunkt des Graphen von $h$. Die $y$-Koordinate des Hochpunktes entspricht der maximalen Höhe.
Für eine Extremstelle $x_G$ einer Funktion $h$ müssen folgende Bedingungen gelten:
  • Notwendiges Kriterium: $h'(x_G)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $h''(x_G)\neq0$
Du kannst alternativ zum hinreichenden Kriterium auch überprüfen, ob die erste Ableitung $h'$ an der Stelle $x_G$ ein Vorzeichenwechsel hat. So kannst du auch die Art der Extremstelle herausfinden. Wechselt $h'$ das Vorzeichen von $+$ nach $-$ , so liegt ein Maximum vor. Ändert sich das Vorzeichen von $-$ nach $+$, so handelt es sich um ein Minimum.
Damit du nicht die zweiten Ableitung $h''$ bilden musst, untersuchen wir hier den Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung an der Stelle $x_G$. Du kannst so vorgehen:
  1. Prüfe das notwendige Kriterium.
  2. Untersuche den Vorzeichenwechsel von $h'$ an der Stelle $x_G$
  3. Berechne die vollständigen Koordinaten des Extrempunktes
d)
$\blacktriangleright$  Horizontale Entfernung bestimmen
Der Raketenantrieb des Flugzeugs wird in einer Höhe von $36\,\text{km}$ abgeschaltet. Du sollst nun näherungsweise bestimmen, wie weit das Flugzeug bei dieser Höhe von dem Startpunkt entfernt ist.
Dies kannst du durch systematisches Propieren herausfinden. Schätze zunächst die Entfernung vom Startpunkt mit Hilfe der Abbildung 2 ab und grenze dann den Wert ein. Du sollst die Entfernung mit einer Genauigkeit von einer Nachkommastelle berechnen.
Anhand der Abbildung 2 schätzen wir ab, dass das Flugzeug bei einer Höhe von $36\,\text{km}$ etwa $65\,\text{km}$ von dem Startplatz entfernt ist. Setze diesen Wert in die Funktionsgleichung ein und erhöhe den Wert jeweils um eins, bis der Funktionswert annähernd gleich $36$ ist. Anschließend kannst du in kleineren Schritten vorgehen.
$\blacktriangleright$  Steigungswinkel berechnen
Nun sollst du den Steigungswinkel der Flugbahn beim Brennschluss berechnen. Den Steigungswinkel $\alpha$ einer Funktion berechnest du wie folgt:
$\tan\alpha=m$
$\tan\alpha=m$
Dabei entspricht $m$ der Steigung der Funktion. In diesem Fall also der Steigung von $h$ an der Stelle $x=67,2$. Die Steigung einer Funktion berechnest du mit der ersten Ableitung. Diese hast du aus der Teilaufgabe c) gegeben. Berechne zunächst $m=h'(67,2)$ und anschließend den Steigungswinkel an dieser Stelle.
e)
$\blacktriangleright$  Angabe bestätigen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du bestätigen, dass die Abweichung der Flughöhe für $x=25$ der beiden Funktionen $h$ und $h_{par}$ unter $0,2\,\text{km}$ liegt. Berechne daher die Differenz der beiden Funktionswerte $h(25)$ und $h_{par}=25$. Ist diese Differenz kleiner als $0,2$, so wird die Aussage bestätigt.
$\blacktriangleright$  Entfernung bestimmen für eine Abweichung $\boldsymbol{>5 \%}$
In dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, ab welcher Entfernung die Abweichung größer als $5$ % ist. Hierzu musst du dir zuerst überlegen wie du die Abweichung berechnest. Die Abweichung kannst du berechnen, indem du $h_{par}(x)$ durch $h(x)$ dividierst. Nun musst du aber noch beachten, dass du hierbei nicht die gesuchte relative Abweichung berechnest, sondern die absolute Abweichung. Deshalb musst du zeigen, ab welcher Entfernung die Ungleichung $\dfrac{h_{par}(x)}{h(x)}>1,05 $ erfüllt ist.
f)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung $\boldsymbol{p}$ herleiten
Bei der Funktion $p$ soll es sich um eine quadratische Funktion handeln. Die allgemeine Gleichung einer quadratischen Funktion lautet:
$y=ax^2+bx+c$
$y=ax^2+bx+c$
Du hast folgende Informationen gegeben:
  1. $p(100)=60$
  2. $p'(100)=0,6$
  3. $H(x_1\mid72)$
Mit Hilfe dieser Bedingungen kannst du drei Gleichungen aufstellen, mit denen du die Werte für $a$, $b$ und $c$ berechnen kannst. Die dritte Gleichung erhältst du, indem du dir überlegst, was für Kriterien für einen Hochpunkt gelten müssen.
Du kannst so vorgehen:
  1. Stelle die drei Gleichungen auf
  2. Bestimme die Werte $a$, $b$ und $c$.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des höchstens Punktes bestimmen
Der höchste Punkt der Funktion $p$ entspricht auch dem Scheitelpunkt der Funktion. Der Scheitelpunkt $S$ besitzt die Koordinaten:
$S\left(-\dfrac{b}{2a}\mid \dfrac{4ac-b^2}{4a} \right)$
$\blacktriangleright$  Zeichne den Graphen von $\boldsymbol{p}$ ein
Die Funktion $p$ ist eine Näherung im Bereich $100\leq x\leq 200$. Zeichne deshalb $p$ nur in diesem Bereich ein. Du weißt außerdem, dass $p$ den Scheitelpunkt mit den Koordinaten $(140 \mid 72)$ besitzt und durch den Punkt $(100 \mid 60)$ verläuft. Zusätzlich kannst du noch den Funktionswert bei $x=200$ berechnen, um den Graphen der Funktion besser einzeichnen zu können.
g)
$\blacktriangleright$  Einfluss des Parameters $\boldsymbol{b}$ beschreiben
In dieser Teilaufgabe sollst du die Modellierung der Funktion $h$ mit $h_{a,b}(x)=a \cdot x^2 \cdot \mathrm e^{-0,00005 \cdot b \cdot x^2}$ betrachten. Zudem sollst du zuerst den Einfluss des Parameters $b$ mit $b>0$ auf den Verlauf der Flugbahn beschreiben. Überlege also welchen Einfluss $b$ in der $\mathrm e$-Funktion nimmt. Da der Parameter $b$ nur in der $\mathrm e$-Funktion enthalten ist und stets $> 0$ ist, überlege wie sich die Funktion für $0 < b < 1$ und für $b > 1$ verhält.
$\blacktriangleright$  Untersuche die Lage der wesentlichen Punkte
In dieser Teilaufgabe sollst du untersuchen, wie sich die Lage der wesentlichen Punkte (Gipfelpunkt, mögliche Lage des Zielflughafens) verrändern würde, wenn sich der Parameter $a$ verdoppelte. Betrachte hierbei den Graph der Funktion $h$ und überlege, welchen Einfluss der Parameter $a$ hätte. Der Parameter $a$ gibt eine Streckung in $\boldsymbol{y}$-Richtung an.
h)
$\blacktriangleright$  Länge der Flugstrecke in den letzten $\boldsymbol{60}$ Sekunden des Fluges bestimmen
Die Geschwindigkeit in den letzten $60$ Sekunden des Fluges ist mit der Funktion $v(t)=\dfrac{1}{200} \cdot t^2 -2t +210$ gegeben. Nun sollst du die Flugstrecke in den letzten $60$ Sekunden angeben. Die Flugstrecke ergibt sich aus der Integration der Geschwindigkeitsfunktion. Um also die Flugstrecke in den ersten $60$ Sekunden zu berechnen kannst du die Fläche unter der Geschwindigkeitsfunktion in den ersten $60$ Sekunden berechnen. Um das Integral zu berechnen, benötigst du eine Stammfunktion der Funktion $v$ mit $v(t) = \dfrac{1}{200} \cdot t^2 -2t +210$. Die Stammfunktion gibt die Strecke $s$ an, die das Flugzeug in den letzten $60$ Sekunden zurück gelegt hat.
Gehe hierbei wie folgt vor:
  1. Stammfunktion bestimmen
  2. Integral berechnen
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a)
$\blacktriangleright$  Graph beschreiben
Um die markanten Eigenschaften des Graphen von $h$ zu beschreiben, betrachtest du die Abbildung 2 in der Anlage.
Der Graph steigt zu Beginn steil an. In der Nähe des Hochpunktes des Graphen, flacht die Kurve nun etwas ab. An dem Hochpunkt ist das Flugzeug etwa $140\,\text{km}$ von dem Startplatz entfernt und befindet sich in ca. $74\,\text{km}$ Höhe. Anschließend beginnt das Flugzeug seinen Sinkflug. Die Kurve fällt ab ca. $220\,\text{km}$ weniger stark ab, als zu Beginn des Sinkfluges und nähert sich dann asymptotisch immer weiter der $x$-Achse bzw. dem Boden an. Das Flugzeug landet $450\,\text{km}$ entfernt von seinem Startplatz. Der Graph der Funktion hat außerdem zwei Wendepunkte.
b)
$\blacktriangleright$  Entfernung bestätigen
Du sollst bestätigen, dass die Entfernung des Zielflughafens vom Startpunkt bei einer Flughöhe von $500\,\text{m}=0,5\,\text{km}$ nur $402\,\text{km}$ betragen durfte.
Berechne daher den Funktionswert für $x=402$. Beträgt dieser $0,5$, so durfte die Entfernung nur $402\,\text{km}$ betragen.
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=&\dfrac{1}{100}\cdot x^2\cdot\mathrm e^{-0,00005x^2} \\[5pt] h(402)&=&\dfrac{1}{100}\cdot 402^2\cdot\mathrm e^{-0,00005\cdot402^2} \\[5pt] h(402)&\approx& 0,5 \end{array}$
Die Flughöhe des Flugzeugs beträgt $500\,\text{m}$, wenn das Flugzeug $402\,\text{km}$ von dem Startpunkt entfernt ist. Somit wird die Aussage bestätigt.
c)
$\blacktriangleright$  Erste Ableitung $\boldsymbol{h'}$ nachweisen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du nachweisen, dass die erste Ableitung der Funktion $h$ folgendermaßen lautet:
$h'(x)=\left(0,02x-10^{-6}x^3\right)\cdot\mathrm e^{-0,00005x^2}$
$h'(x)=\left(0,02x-10^{-6}x^3\right)\cdot\mathrm e^{-0,00005x^2}$
Leite die Funktion $h$ einmal mit der Produktregel ab, um die erste Ableitung zu bestätigen.
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=&\dfrac{1}{100}\cdot x^2\cdot\mathrm e^{-0,00005x^2} \\[5pt] h'(x)&=&\dfrac{1}{100}\cdot 2x\cdot\mathrm e^{-0,00005x^2}+\dfrac{1}{100}\cdot x^2\cdot\mathrm e^{-0,00005x^2}\cdot2x\cdot(-0,00005) \\[5pt] h'(x)&=&\left(0,02x+\dfrac{1}{100}\cdot(-0,0001x)\cdot x^2\right)\cdot\mathrm e^{-0,00005x^2} \\[5pt] h'(x)&=&\left(0,02x-10^{-6} x^3\right)\cdot\mathrm e^{-0,00005x^2} \\[5pt] \end{array}$
$\scriptsize{h'(x)=\left(0,02x-10^{-6} x^3\right) \mathrm e^{-0,00005x^2}} $
Die erste Ableitung der Funktion $h$ lautet: $h'(x)=\left(0,02x-10^{-6}x^3\right)\cdot\mathrm e^{-0,00005x^2}$.
$\blacktriangleright$  Hochpunkt berechnen
Um den horizontalen Abstand $x_G$, in dem die maximale Höhe des Fluges erreicht wird, zu berechnen, berechnest du den Hochpunkt des Graphen von $h$. Die $y$-Koordinate des Hochpunktes entspricht der maximalen Höhe.
Für eine Extremstelle $x_G$ einer Funktion $h$ müssen folgende Bedingungen gelten:
  • Notwendiges Kriterium: $h'(x_G)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $h''(x_G)\neq0$
Du kannst alternativ zum hinreichenden Kriterium auch überprüfen, ob die erste Ableitung $h'$ an der Stelle $x_G$ ein Vorzeichenwechsel hat. So kannst du auch die Art der Extremstelle herausfinden. Wechselt $h'$ das Vorzeichen von $+$ nach $-$ , so liegt ein Maximum vor. Ändert sich das Vorzeichen von $-$ nach $+$, so handelt es sich um ein Minimum.
Damit du nicht die zweiten Ableitung $h''$ bilden musst, untersuchen wir hier den Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung an der Stelle $x_G$. Du kannst so vorgehen:
  1. Prüfe das notwendige Kriterium.
  2. Untersuche den Vorzeichenwechsel von $h'$ an der Stelle $x_G$
  3. Berechne die vollständigen Koordinaten des Extrempunktes
1. Schritt: Notwendiges Kriterium:
Setze den Term der ersten Ableitung $h'$ gleich Null und löse nach $x$ auf. Beachte, dass der Term mit der $\mathrm e$-Funktion nicht gleich Null werden kann. Nach dem Satz des Nullproduktes genügt es daher nur den Klammerterm zu betrachten.
$\begin{array}[t]{rll} h'(x)&=& 0 \\[5pt] \left(0,02x-10^{-6} x^3\right)\cdot\mathrm e^{-0,00005x^2}&=& 0&\quad \scriptsize \text{Satz vom Nullprodukt} \\[5pt] \left(0,02x-10^{-6} x^3\right)&=& 0\\[5pt] x\cdot\left(0,02-10^{-6} x^2\right)&=& 0\\[5pt] x_1&=& 0\\[5pt] 0,02-10^{-6} x^2&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -0,02\\[5pt] -10^{-6} x^2&=& -0,02&\quad \scriptsize \mid\; :\left(-10^{-6}\right)\\[5pt] x^2&=& 20.000&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_{2,3}&\approx& \pm141,42 \end{array}$
$ x_{2,3}\approx \pm141,42 $
Die Funktion ist nur für $x\geq0$ definiert. Daher entfällt $x_3=-141,42$. Die Funktion $h$ hat an den Stellen $x_1=0$ und $x_{2}=141,42$ eine potentielle Extremstelle.
2. Schritt: Vorzeichenwechsel untersuchen
Da das Flugzeug bei $x=0$ startet, kann es bei diesem Zeitpunkt nicht um die maximale Höhe handeln. Wir untersuchen daher nur, ob es sich bei $x_2$ um ein Maximum handelt.
Setze einen Wert kleiner $x_2$ in die ersten Ableitung $h'$ ein und einen, der größer als $x_2$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} h'(x)&=& \left(0,02x-10^{-6} x^3\right)\cdot\mathrm e^{-0,00005x^2} \\[5pt] h'(140)&=& \left(0,02\cdot140-10^{-6} \cdot140^3\right)\cdot\mathrm e^{-0,00005\cdot140^2}\\[5pt] h'(140)&\approx& 0,02&>0\\[5pt] h'(142)&=& \left(0,02\cdot142-10^{-6} \cdot142^3\right)\cdot\mathrm e^{-0,00005\cdot142^2}\\[5pt] h'(142)&\approx& -0,008&<0 \end{array}$
$h'(140)\approx 0,02 >0$ $ h'(142) \approx -0,008 <0 $
Bei $x_2$ liegt ein Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$ vor. Die Funktion hat an der Stelle $x_2$ ein Maximum.
3. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen
Um die vollständigen Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $h$ zu berechnen, setzt du $x_2=141,42$ in den Funktionsterm von $h$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=&\dfrac{1}{100}\cdot x^2\cdot\mathrm e^{-0,00005x^2} \\[5pt] h(141,42)&=&\dfrac{1}{100}\cdot 141,42^2\cdot\mathrm e^{-0,00005\cdot141,42^2} \\[5pt] h(141,42)&\approx& 73,58 \end{array}$
$ h(141,42) \approx 73,58 $
Der Hochpunkt hat die Koordinaten $H(141,42\mid73,58)$. Damit erreicht das Flugzeug etwa $141\,\text{km}$ vom Startpunkt seine maximale Höhe. Diese beträgt ca. $74\,\text{km}$.
d)
$\blacktriangleright$  Horizontale Entfernung bestimmen
Der Raketenantrieb des Flugzeugs wird in einer Höhe von $36\,\text{km}$ abgeschaltet. Du sollst nun näherungsweise bestimmen, wie weit das Flugzeug bei dieser Höhe von dem Startpunkt entfernt ist.
Dies kannst du durch systematisches Propieren herausfinden. Schätze zunächst die Entfernung vom Startpunkt mit Hilfe der Abbildung 2 der Anlage ab und grenze dann den Wert ein. Du sollst die Entfernung mit einer Genauigkeit von einer Nachkommastelle berechnen.
Anhand der Abbildung 2 schätzen wir ab, dass das Flugzeug bei einer Höhe von $36\,\text{km}$ etwa $65\,\text{km}$ von dem Startplatz entfernt ist. Setze diesen Wert in die Funktionsgleichung ein und erhöhe den Wert jeweils um eins, bis der Funktionswert annähernd gleich $36$ ist. Anschließend kannst du in kleineren Schritten vorgehen.
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=&\dfrac{1}{100}\cdot x^2\cdot\mathrm e^{-0,00005x^2} \\[5pt] h(65)&=&\dfrac{1}{100}\cdot 65^2\cdot\mathrm e^{-0,00005\cdot65^2} \\[5pt] &\approx& 34,2\\[5pt] h(66)&=&\dfrac{1}{100}\cdot 66^2\cdot\mathrm e^{-0,00005\cdot66^2} \\[5pt] &\approx& 35,0\\[5pt] h(67)&=&\dfrac{1}{100}\cdot 67^2\cdot\mathrm e^{-0,00005\cdot67^2} \\[5pt] &\approx& 35,9 \end{array}$
Für $x=67$ beträgt der Funktionswert schon fast $36$. Du kannst den Wert von $x$ nun in $0,1$-Schritten erhöhen.
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=&\dfrac{1}{100}\cdot x^2\cdot\mathrm e^{-0,00005x^2} \\[5pt] h(67,1)&=&\dfrac{1}{100}\cdot 67,1^2\cdot\mathrm e^{-0,00005\cdot67,1^2} \\[5pt] &\approx& 35,9\\[5pt] h(67,2)&=&\dfrac{1}{100}\cdot 67,2^2\cdot\mathrm e^{-0,00005\cdot67,2^2} \\[5pt] &\approx& 36,0 \end{array}$
$h(67,2) \approx 36,0$
Das Flugzeug ist zum Zeitpunkt des Brennschlusses etwa $67,2\,\text{km}$ von dem Startpunkt entfernt.
$\blacktriangleright$  Steigungswinkel berechnen
Nun sollst du den Steigungswinkel der Flugbahn beim Brennschluss berechnen. Den Steigungswinkel $\alpha$ einer Funktion berechnest du mit der folgenden Formel:
$\tan\alpha=m$
$\tan\alpha=m$
Dabei entspricht $m$ der Steigung der Funktion. In diesem Fall also der Steigung von $h$ an der Stelle $x=67,2$. Die Steigung einer Funktion berechnest du mit der ersten Ableitung. Diese hast du aus der Teilaufgabe c) gegeben. Berechne zunächst $m=h'(67,2)$ und anschließend den Steigungswinkel an dieser Stelle.
$\begin{array}[t]{rll} h'(x)&=& \left(0,02x-10^{-6} x^3\right)\cdot\mathrm e^{-0,00005x^2} \\[5pt] h'(67,2)&=& \left(0,02\cdot67,2-10^{-6} \cdot67,2^3\right)\cdot\mathrm e^{-0,00005\cdot67,2^2} \\[5pt] &\approx& 0,83 \end{array}$
$ h'(67,2) \approx 0,83$
Steigungswinkel:
$\begin{array}[t]{rll} \tan\alpha&=& m \\[5pt] \tan\alpha&=& h'(67,2)\\[5pt] \tan\alpha&\approx& 0,83&\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 39,7^{\circ} \end{array}$
Der Steigungswinkel beträgt etwa $39,7^{\circ}$.
e)
$\blacktriangleright$  Angabe bestätigen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du bestätigen, dass die Abweichung der Flughöhe für $x=25$ der beiden Funktionen $h$ und $h_{par}$ unter $0,2\,\text{km}$ liegt. Berechne daher die Differenz der beiden Funktionswerte $h(25)$ und $h_{par}=25$. Ist diese Differnez kleiner als $0,2$, so wird die Aussage bestätigt.
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=&\dfrac{1}{100}\cdot x^2\cdot\mathrm e^{-0,00005x^2} \\[5pt] h(25)&=&\dfrac{1}{100}\cdot 25^2\cdot\mathrm e^{-0,00005\cdot25^2} \\[5pt] &\approx& 6,06 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h_{par}(x)&=&\dfrac{1}{100}\cdot x^2 \\[5pt] h_{par}(25)&=&\dfrac{1}{100}\cdot 25^2 \\[5pt] &=& 6,25 \end{array}$
Bilde nun die Differenz der beiden Werte.
$\begin{array}[t]{rll} \Delta h&=& h_{par}(25)-h(25)\\[5pt] &=& 6,25-6,06 \\[5pt] &=& 0,19&<0,2 \end{array}$
Die Abweichung der Flughöhe liegt unter $0,2\,\text{km}$.
$\blacktriangleright$  Entfernung bestimmen für eine Abweichung $\boldsymbol{>5\,\%}$
In dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, ab welcher Entfernung die Abweichung größer als $5\,\%$ ist. Hierzu musst du dir zuerst überlegen wie du die Abweichung berechnest. Die Abweichung kannst du berechnen, indem du $h_{par}(x)$ durch $h(x)$ dividierst. Nun musst du aber noch beachten, dass du hierbei nicht die gesuchte relative Abweichung berechnest, sondern die absolute Abweichung. Deshalb musst du zeigen, ab welcher Entfernung die Ungleichung $\dfrac{h_{par}(x)}{h(x)}>1,05 $ erfüllt ist.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{h_{par}(x)}{h(x)}&>& 1,05 \\[5pt] \dfrac{0,01x^2}{0,01x^2 \cdot \mathrm e^{-0,00005x^2} }&>& 1,05 \\[5pt] \dfrac{1}{\mathrm e^{-0,00005x^2} }&>& 1,05\\[5pt] \mathrm e^{0,00005x^2}&>& 1,05 & \quad \mid \cdot \ln \\[5pt] 0,00005x^2&>&\ln(1,05)& \quad \mid :0,00005\\[5pt] x^2&>&\dfrac{\ln(1,05)}{0,00005} & \quad \mid \sqrt{}\\[5pt] x_{1,2}&>& \sqrt{975,80}\\[5pt] x_{1}&>& 31,24\\[5pt] x_{2}&>& -31,24\\[5pt] \end{array}$
$x_{1} > 31,24$
Die Lösung für $x_2$ kannst du vernachlässigen, da $x$ größer als $0$ sein muss. Somit ist die Abweichung ab $31,24\,\text{km}$ größer als $5\,\%$.
f)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung $\boldsymbol{p}$ herleiten
Bei der Funktion $p$ soll es sich um eine quadratische Funktion handeln. Die allgemeine Gleichung einer quadratischen Funktion lautet:
$y=ax^2+bx+c$
$y=ax^2+bx+c$
Du hast folgende Informationen gegeben:
  1. $p(100)=60$
  2. $p'(100)=0,6$
  3. $H(x_1\mid72)$
Mit Hilfe dieser Bedingungen kannst du drei Gleichungen aufstellen, mit denen du die Werte für $a$, $b$ und $c$ berechnen kannst. Die dritte Gleichung erhältst du, indem du dir überlegst, was für Kriterien für einen Hochpunkt gelten müssen.
Du kannst so vorgehen:
  1. Stelle die drei Gleichungen auf
  2. Bestimme die Werte $a$, $b$ und $c$.
1. Schritt: Gleichungen aufstellen
Gleichung ($\textbf{I}$):
Setzt du die erste Bedingung in die allgemeine Funktionsgleichung ein, so erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} 60&=& 100^2\cdot a+100b+c &\quad \scriptsize (\text{I}) \end{array}$
Gleichung ($\textbf{II}$):
Für die zweite Bedingung benötigst du die erste Ableitung der ersten Parabelfunktion. Diese kannst du mit der Summen- und Faktorregel ableiten.
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=& ax^2+bx+c \\[5pt] p'(x)&=& 2ax+b \end{array}$
Setzt du die zweite Bedingung in den Funktionsterm der ersten Ableitung $p'$ ein, so erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} 0,6&=& 2a\cdot100+b\\[5pt] 0,6&=& 200a+b&\quad \scriptsize (\text{II}) \end{array}$
Gleichung ($\textbf{III}$):
Du weißt, dass der Graph der Funktion $p$ einen Hochpunkt hat. Dieser Hochpunkt entspricht auch dem Scheitelpunkt der Funktion. Der Scheitelpunkt $S$ besitzt die Koordinaten:
$S\left(-\dfrac{b}{2a}\mid \dfrac{4ac-b^2}{4a} \right)$
Gegeben ist, dass sich an der Stelle $x_1=-\dfrac{b}{2a}$ das Flugzeug in $72\,\text{km}$ Höhe befindet. Deshalb gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 72&=& \dfrac{4ac-b^2}{4a} &\quad \mid \cdot 4a \\[5pt] 288a&=& 4ac-b^2&\quad \scriptsize (\text{III}) \\[5pt] \end{array}$
$ 288a= 4ac-b^2 $
2. Schritt: Werte $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ bestimmen
Gleichung ($\textbf{II}$) nach $\boldsymbol{b}$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} 0,6&=& 200a+b &\quad \mid -200a \\[5pt] 0,6 -200a&=& b &\quad \scriptsize (\text{II}') \end{array}$
$ 0,6 -200a = b $
Gleichung ($\textbf{I}$) nach $\boldsymbol{c}$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} 60&=& 100^2\cdot a+100b+c &\quad \mid -100^2 a &\quad \mid -100b\\[5pt] 60 -100^2 a -100b&=& c &\quad \scriptsize (\text{I}') \end{array}$
$60 -100^2 a -100b= c$
Nun kannst du die Gleichung $\text{II}'$ in die Gleichung $\text{I}'$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 60 -100^2 a -100b&=& c &\quad \scriptsize \text{II}' \text{ Einsetzen}\\[5pt] 60 -100^2 a -100 \cdot (0,6 -200a)&=& c \\[5pt] 60 -10.000 a -60 +20.000a&=& c\\[5pt] 10.000 a&=& c &\quad \scriptsize (\text{I}'') \end{array}$
$10.000 a= c$
Die Gleichung $\text{I}''$ und $\text{II}'$ kannst du in die Gleichung $\text{III}$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 288a&=& 4ac-b^2 &\quad \scriptsize \text{II}' \text{ und I}'' \text{ Einsetzen}\\[5pt] 288a&=& 4a \cdot 10.000 a - (0,6 -200a)^2 \\[5pt] 288a&=& 40.000 a^2 -(0,36-240a+40.000a^2)\\[5pt] 288a&=& -0,36 +240a &\quad \mid -240a \\[5pt] 48a&=& -0,36 &\quad \mid :48 \\[5pt] a&=& -0,0075 \end{array}$
$a= -0,0075 $
Anschließend kannst du den Wert für $a$ in die Gleichung $\text{II}'$ und $\text{I}''$ einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} 0,6 -200a&=& b &\quad \mid a=-0,0075 \\[5pt] 0,6 -200 \cdot (-0,0075)&=& b \\[5pt] 2,1&=& b\\[5pt] \end{array}$
$2,1= b$
Für den Parameter $c$ gilt somit:
$\begin{array}[t]{rll} 10.000 a&=& c &\quad \mid a=-0,0075 \\[5pt] 10.000 \cdot (-0,0075)&=& c \\[5pt] -75&=& c\\[5pt] \end{array}$
$-75= c$
Somit lautet die Funktionsgleichung $p(x)=-0,0075x^2 +2,1x-75$.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des höchstens Punktes bestimmen
Der höchste Punkt der Funktion $p$ entspricht auch dem Scheitelpunkt der Funktion. Der Scheitelpunkt $S$ besitzt die Koordinaten:
$S\left(-\dfrac{b}{2a}\mid \dfrac{4ac-b^2}{4a} \right)$
Gegeben ist, dass sich das Flugzeug an der Stelle $x_1=-\dfrac{b}{2a}$, bei der maximalen Höhe von $72\,\text{km}$ befindet. Deshalb gilt für die $x$-Koordinate des Hochpunktes:
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -\dfrac{b}{2a} \\[5pt] x_1&=& -\dfrac{2,1}{2\cdot (-0,0075) } \\[5pt] x_1&=& 140 \end{array}$
Somit lauten die Koordinaten des höchsten Punktes $(140 \mid 72)$.
$\blacktriangleright$  Zeichne den Graphen von $\boldsymbol{p}$ ein
Die Funktion $p$ ist eine Näherung im Bereich $100\leq x\leq 200$. Zeichne deshalb $p$ nur in diesem Bereich ein. Du weißt außerdem, dass $p$ den Scheitelpunkt mit den Koordinaten $(140 \mid 72)$ besitzt und durch den Punkt $(100 \mid 60)$ verläuft. Zusätzlich kannst du noch den Funktionswert bei $x=200$ berechnen, um den Graphen besser einzeichnen zu können.
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=& -0,0075x^2 +2,1x-75 \\[5pt] p(200)&=& -0,0075\cdot 200^2 + 2,1 \cdot 200 -75 \\[5pt] &=& 45\\[5pt] \end{array}$
$ p(200)=45 $
Nun kannst du den Graphen mit Hilfe der Punkte wie folgt einzeichnen:
Analysis 2
Abb. 1: Graph der Funktion $p$
Analysis 2
Abb. 1: Graph der Funktion $p$
g)
$\blacktriangleright$  Einfluss des Parameters $\boldsymbol{b}$ beschreiben
In dieser Teilaufgabe sollst du die Modellierung der Funktion $h$ mit $h_{a,b}(x)=a \cdot x^2 \cdot \mathrm e^{-0,00005 \cdot b \cdot x^2}$ betrachten. Zudem sollst du zuerst den Einfluss des Parameters $b$ mit $b>0$ auf den Verlauf der Flugbahn beschreiben. Überlege also welchen Einfluss $b$ in der $\mathrm e$-Funktion nimmt. Da der Parameter $b$ nur in der $\mathrm e$-Funktion enthalten ist und stets $> 0$ ist, überlege wie sich die Funktion für $0 < b < 1$ und für $b > 1$ verhält.
1. $0 < b < 1$:
In dem Fall wird $\mathrm e^{-0,00005 \cdot b \cdot x^2}$ größer, dadurch vergrößert sich die die $y$-Koordinate des Hochpunktes und somit ist auch die maximale Flughöhe des Flugzeugs höher. Außerdem legt das Flugzeug hierbei auch eine größere Strecke zurück.
2. $b > 1$:
Hierbei wird $\mathrm e^{-0,00005 \cdot b \cdot x^2}$ kleiner, dadurch wird die $y$-Koordinate des Hochpunktes kleiner und somit verringert sich auch die maximale Flughöhe des Flugzeugs. Das Flugzeug legt zudem auch eine kleinere Flugsrecke zurück.
$\blacktriangleright$  Untersuche die Lage der wesentlichen Punkte
In dieser Teilaufgabe sollst du untersuchen, wie sich die Lage der wesentlichen Punkte (Gipfelpunkt, mögliche Lage des Zielflughafens) verrändern würde, wenn sich der Parameter $a$ verdoppelte. Betrachte hierbei den Graph der Funktion $h$ und überlege, welchen Einfluss der Parameter $a$ hätte. Der Parameter $a$ gibt eine Streckung in $\boldsymbol{y}$-Richtung an. Wenn man $a$ nun verdoppelt, würde sich die Höhe des Gipfelpunktes auch verdoppeln. Dessen horizontale Entfernung würde sich aber nicht verändern. Auch die Lage eines möglichen Zielflughafens würde sich nicht verändern, da der Parameter $a$ die Flugbahn nur in $y$-Richtung streckt.
h)
$\blacktriangleright$  Länge der Flugstrecke in den letzten $\boldsymbol{60}$ Sekunden des Fluges bestimmen
Die Geschwindigkeit in den letzten $60$ Sekunden des Fluges ist mit der Funktion $v(t)=\dfrac{1}{200} \cdot t^2 -2t +210$ gegeben. Nun sollst du die Flugstrecke in den letzten $60$ Sekunden angeben. Die Flugstrecke ergibt sich aus der Integration der Geschwindigkeitsfunktion. Um also die Flugstrecke in den ersten $60$ Sekunden zu berechnen kannst du die Fläche unter der Geschwindigkeitsfunktion in den ersten $60$ Sekunden berechnen. Um das Integral zu berechnen, benötigst du eine Stammfunktion der Funktion $v$ mit $v(t) = \dfrac{1}{200} \cdot t^2 -2t +210$. Die Stammfunktion gibt die Strecke $s$ an, die das Flugzeug in den letzten $60$ Sekunden zurück gelegt hat.
Gehe hierbei wie folgt vor:
  1. Stammfunktion bestimmen
  2. Integral berechnen
1. Schritt: Stammfunktion
$\begin{array}{rll} v(t)&=&\dfrac{1}{200} \cdot t^2 -2t +210\\[5pt] s(t)&=&\dfrac{1}{200} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot t^3 -\dfrac{2}{2} t^2 +210t\\[5pt] &=&\dfrac{1}{600} \cdot t^3 - t^2 +210t\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Integral berechnen
Beachte mittels Hauptsatz der Integralrechnung.
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{0}^{60} \left(\dfrac{1}{200} \cdot t^2 -2t +210 \right)\mathrm dx&=& \left[s(t)\right]_0^{60}\\[5pt] &=&\left(\dfrac{1}{600} - 60^2 +210\cdot 60 \right)- \left(\dfrac{1}{600} \cdot 0^3 - 0^2 +210\cdot 0\right)\\[5pt] &=&\dfrac{216.000}{600} - 3.600 +12.600\\[5pt] &=&9.360 \\[5pt] \end{array}$
$\displaystyle\int_{0}^{60} \left(\dfrac{1}{200} t^2 -2t +210 \right)\mathrm dx = …$
Somit beträgt die bereits zurückgelegte Strecke des Flugzeuges $9.360$ m.
Bildnachweise [nach oben]
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