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Hilfsmittelfreier Prüfungsteil

Aufgaben
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I.1 Analysis

Gegeben sind die Funktionen $f_a$ mit $f_a(x)= -a\cdot x\cdot (x-a)$, wobei $x \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R_{>0}}$ gilt.
a)
Gib die Nullstellen der Funktionen $f_a$ an.
(1P)
b)
Bestimme denjenigen Wert von $a$, für den $\int_0^a f_a(x) \text{ dx} = \frac{8}{3}$ gilt.
(4P)
#integral#zentraleraufgabenpool#nullstelle

I.2 Analytische Geometrie

Betrachtet wird der abgebildete Würfel $ABCDEFGH$. Die Eckpunkte $D$, $E$, $F$ und $H$ dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten:
$D$ $(0\mid 0\mid -2)$, $E$ $(2\mid 0\mid 0)$, $F$ $(2\mid 2\mid 0)$ und $H$ $(0\mid 0\mid 0)$.
a)
Zeichne in die Abbildung 1 die Koordinatenachsen ein und bezeichne diese.
Gib die Koordinaten des Punktes $A$ an.
(2P)
b)
Der Punkt $P$ liegt auf der Kante $\overline{FB}$ des Würfels und hat vom Punkt $H$ den Abstand $3$.
Berechne die Koordinaten des Punktes $P$.
(3P)
#abstand#koordinaten#zentraleraufgabenpool#würfel#kartesischeskoordinatensystem

I.3 Stochastik

a)
Ermittle mithilfe der Abbildung 2 einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Basketballspieler mindestens $8$-mal trifft.
(2P)
b)
Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, keinen Treffer zu erzielen, kleiner als $\frac{1}{1.000.000}$ ist.
(3P)
#wahrscheinlichkeit#binomialverteilung#zentraleraufgabenpool

I.4 Analytische Geometrie

Gegeben sind die Punkte $A$ $(-2\mid 1\mid 4)$ und $B$ $(-4\mid 0\mid 6)$.
a)
Bestimme die Koordinaten des Punktes $C$ so, dass gilt: $\overrightarrow{CA} = 2\cdot \overrightarrow{AB}$.
(2P)
b)
Durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft die Gerade $g$.
Betrachtet werden die Geraden, für welche die Bedingungen $I$ und $II$ gelten:
I
Jede dieser Geraden schneidet die Gerade $g$ orthogonal.
II
Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt $A$ beträgt $3$.
Ermittle eine Gleichung für eine dieser Geraden.
(3P)
#zentraleraufgabenpool#abstand#vektoren#orthogonal#geradengleichung
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
#hilfsmittelfreieaufgaben
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I.1 Analysis

a)
$\blacktriangleright$ Nullstellen von $\boldsymbol{f_a}$ bestimmen
Um die Nullstellen der Funktion $f_a(x) = -a \cdot x \cdot (x -a)$ zu bestimmen, setzt du die Funktion zunächst gleich null.
Die Funktion $f_a$ ist ein Produkt aus den zwei Faktoren $-a \cdot x$ und $(x-a)$. Diese werden nach dem Satz des Nullprodukts genau dann null, wenn ein Faktor null wird.
Somit musst du bestimmen, für welche $x$ die beiden Faktoren $-a \cdot x$ und $(x-a)$ null werden.
b)
$\blacktriangleright$ Wert von $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Das Integral $\displaystyle\int_{0}^{a}\; f_a(x) ~ \mathrm dx$ soll $\dfrac{8}{3}$ sein. Im ersten Schritt berechnest du das Integral $\displaystyle\int_{0}^{a}\; f_a(x) ~ \mathrm dx$ in Abhänigigkeit von $a$, um anschließend das Ergebnis mit $\dfrac{8}{3}$ gleichzusetzen, um $a$ zu bestimmen.

I.2 Analytische Geometrie

a)
$\blacktriangleright$ Koordinatenachsen zeichnen
Der Punkt $H$ hat die Koordinaten $(0 \mid 0 \mid 0)$, d.h. der Ursprung des Koordinatensystems liegt in $H$. Bestimme nun die $x$-, $y$- und $z$-Achse, indem du die Koordinaten der Punkte betrachtest. Wenn zwei Koordinaten eines Punkts gleich null sind und eine ungleich null, kannst du sofort daraus folgern, dass eine Koordinatenachse durch diesen Punkt geht. In welche Richtung diese Achse verläuft, siehst du am Vorzeichen des Eintrags ungleich null.
b)
$\blacktriangleright$ Punkt $\boldsymbol{P}$ bestimmen
Sind zwei Punkte $P_1(x_1 \mid y_1 \mid z_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2 \mid z_2)$ gegeben, so ist der Abstand $\boldsymbol{d}$ der beiden Punkte definiert als
$\boldsymbol{d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}}.$
$\boldsymbol{d = …}$

Der Punkt $P$ soll auf der Kante $\overline{FB}$ des Würfels liegen und soll zum Punkt $H$ (dem Ursprung des Koordinatensystems) den Abstand $3$ haben, d.h. $d=3$. Die Koordinaten des zweiten Punkts $H$ sind gegeben. Die Koordinaten des ersten Punkts $P$ kannst du mithilfe des Ortvektors von $F$ und dem Vektor $\overrightarrow{FB}$ umschreiben.
$P = \overrightarrow{OF} + \lambda \cdot \overrightarrow{FB} = \pmatrix{2 \\ 2 \\ 0} + \lambda \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ -2}$ mit $0 \leq \lambda \leq 1.$
$P = \overrightarrow{OF} + \lambda \cdot \overrightarrow{FB}$ mit $0 \leq \lambda \leq 1.$
Setze nun die Koordinaten der Punkte in die Formel für den Abstand mit $d=3$ ein und löse die Gleichung nach $\lambda$ auf.

I.3 Stochastik

a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für mindestens $\boldsymbol{8}$ Treffer bestimmen
Du sollst in diesem Aufgabenteil anhand der Abbildung die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass der Basketballer mindestens $8$-mal trifft, d.h. $P(X \geq 8)$ ist gesucht. Mit $X$ bezeichnet man die Anzahl der Treffer. Dafür addierst du einfach die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass der Basketballer $8$, $9$ oder $10$ Treffer landet. Die Wahrscheinlichkeiten dafür kannst du in der Abbildung ablesen.
b)
$\blacktriangleright$ Nachweis der Wahrscheinlichkeit für null Treffer
Um zu zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass kein Treffer erzielt wird unter $\dfrac{1}{1.000.000}$ liegt, musst du die Formel für die Binomialverteilung verwenden
$B_{n,p}(k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
$B_{n,p}(k) $=$ \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
Dabei ist $n$ die Anzahl der Versuche, $p$ die Wahrscheinlichkeit in einem einzelnen Versuch einen Erfolg zu erzielen und $k$ die Anzahl der Erfolge.
Setze also $k=0$, um die Wahrscheinlichkeit für null Treffer zu berechnen.

I.4 Analytische Geometrie

a)
$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{C}$ bestimmen
Gesucht ist ein Punkt $C$, der die Bedingung $\overrightarrow{CA} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}$ erfüllt. Du berechnest also zuerst den Vektor
$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 6} - \pmatrix{-2 \\ 1 \\ 4} = \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2}$,
um ihn anschließend in die Gleichung einzusetzen.
b)
$\blacktriangleright$ Gerade $\boldsymbol{h}$ bestimmen
Gesucht ist eine Gerade $h$, die die zwei Bedingungen $\text{I}$ und $\text{II}$ erfüllt. Bestimme also zuerst einen Vektor $\vec{t}$, der die Bedingung $\text{I}$ erfüllt, um anschließend einen Aufpunkt $P$ für die Gerade $h$ auf der Geraden $g$ zu finden, der zum Punkt $A$ den Abstand $3$ hat.
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Lösungen
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I.1 Analysis

a)
$\blacktriangleright$ Nullstellen von $\boldsymbol{f_a}$ bestimmen
Um die Nullstellen der Funktion $f_a(x) = -a \cdot x \cdot (x -a)$ zu bestimmen, setzt du die Funktion zunächst gleich null.
Die Funktion $f_a$ ist ein Produkt aus den zwei Faktoren $-a \cdot x$ und $(x-a)$. Diese werden nach dem Satz des Nullprodukts genau dann null, wenn ein Faktor null wird.
Somit musst du bestimmen, für welche $x$ die beiden Faktoren $-a \cdot x$ und $(x-a)$ null werden.
Da $a$ laut Voraussetzung größer null ist, ist der erste Faktor genau dann null, wenn $x=0$ ist.
Der zweite Faktor ist genau dann null, wenn $x=a$ ist.
Somit hat die Funktion $f_a$ die Nullstellen $x_1 = 0$ und $x_2 = a$.
b)
$\blacktriangleright$ Wert von $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Das Integral $\displaystyle\int_{0}^{a}\; f_a(x) ~ \mathrm dx$ soll $\dfrac{8}{3}$ sein. Im ersten Schritt berechnest du das Integral $\displaystyle\int_{0}^{a}\; f_a(x) ~ \mathrm dx$ in Abhänigigkeit von $a$, um anschließend das Ergebnis mit $\dfrac{8}{3}$ gleichzusetzen, um $a$ zu bestimmen.
1.Schritt: Integral berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{a}\; f_a(x) ~ \mathrm dx &=& \displaystyle\int_{0}^{a} (-a \cdot x \cdot (x-a)) \text{ dx} \\[5pt] &=& -a \cdot \displaystyle\int_{0}^{a}\; (x^2 -ax) \text{ dx} \\[5pt] &=& -a \cdot \left[\dfrac{1}{3} x^3 - \dfrac{1}{2} ax^2 \right]_0^a \\[5pt] &=& -a \cdot \left(\dfrac{1}{3} a^3 - \dfrac{1}{2} a^3 \right) + a\cdot 0 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{6} a^4. \end{array}$
$\displaystyle\int_{0}^{a}\; f_a(x)\mathrm dx = \dfrac{1}{6} a^4 $
Das Integral $\displaystyle\int_{0}^{a} f_a(x)\;\mathrm dx$ entspricht also $\dfrac{1}{6}a^4$.
2.Schritt: Gleichsetzen
Um nun ein konkretes $a$ zu berechnen, musst du das Ergebnis $\dfrac{1}{6}a^4$ mit den gegebenen $\dfrac{8}{3}$ gleichsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{6} a^4 &=& \dfrac{8}{3} &\quad \scriptsize \mid\ \cdot 6 \\[5pt] a^4 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\ \sqrt{ \,} \\[5pt] a^2 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\ \sqrt{ \,} \\[5pt] a &=& \pm 2. \end{array}$
Für $a$ kommen also die Werte $2$ und $-2$ infrage. Da aber laut Voraussetzung $a$ eine positive Zahl ist, muss $a$ gleich $2$ sein.
#nullstelle#integral

I.2 Analytische Geometrie

a)
$\blacktriangleright$ Koordinatenachsen zeichnen
Der Punkt $H$ hat die Koordinaten $(0 \mid 0 \mid 0)$, d.h. der Ursprung des Koordinatensystems liegt in $H$. Da der Punkt $E$ als erste Koordinate eine positive Zahl hat und die restlichen Koordinaten gleich null sind, ist die $x$-Achse die Gerade $EH$. Die Richtung der $x$-Achse ist dabei die Richtung des Vektors $\overrightarrow{HE}$. Das Vorgehen bei der $y$-Achse ist analog. Da der Punkt $G$ als zweite Koordinate eine positive Zahl hat und die restlichen Koordinaten gleich null sind, ist die $y$-Achse die Gerade $GH$. Die Richtung der $y$-Achse ist dabei die Richtung des Vektors $\overrightarrow{HG}$. Der Punkt $D$ hat als letzte Koordinate eine negative Zahl (die restlichen Koordinaten sind gleich null), das bedeutet, dass die $z$-Achse die Gerade $DH$ ist. Die Richtung ist dieses Mal allerdings die Richtung des Vektors $\overrightarrow{DH}$.
Somit ergibt sich folgendes Koordinatensystem:
Hilfsmittelfreier Prüfungsteil
Abb. 1: Würfel im Koordinatensystem
Hilfsmittelfreier Prüfungsteil
Abb. 1: Würfel im Koordinatensystem
Der Punkt $A$ hat demnach die Koordinaten $(2 \mid 0 \mid -2).$
b)
$\blacktriangleright$ Punkt $\boldsymbol{P}$ bestimmen
Sind zwei Punkte $P_1(x_1 \mid y_1 \mid z_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2 \mid z_2)$ gegeben, so ist der Abstand $\boldsymbol{d}$ der beiden Punkte definiert als
$\boldsymbol{d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}}.$
$\boldsymbol{d = …}$

Der Punkt $P$ soll auf der Kante $\overline{FB}$ des Würfels liegen und soll zum Punkt $H$ (dem Ursprung des Koordinatensystems) den Abstand $3$ haben, d.h. $d=3$. Die Koordinaten des zweiten Punkts $H$ sind gegeben. Die Koordinaten des ersten Punkts $P$ kannst du mithilfe des Ortvektors von $F$ und dem Vektor $\overrightarrow{FB}$ umschreiben.
$P = \overrightarrow{OF} + \lambda \cdot \overrightarrow{FB} = \pmatrix{2 \\ 2 \\ 0} + \lambda \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ -2}$ mit $0 \leq \lambda \leq 1.$
$P = \overrightarrow{OF} + \lambda \cdot \overrightarrow{FB}$ mit $0 \leq \lambda \leq 1.$
Setze nun die Koordinaten der Punkte in die Formel für den Abstand mit $d=3$ ein und löse die Gleichung nach $\lambda$ auf
$\begin{array}[t]{rll} 3 &=& \sqrt{(2 + 0 \cdot \lambda - 0)^2 + (2 + 0 \cdot \lambda - 0)^2 + (0 - 2 \lambda - 0)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{4 + 4 + 4 \lambda^2} &\quad \scriptsize \mid\ ^2 \\[5pt] 9 &=& 4 + 4 + 4 \lambda^2 &\quad \scriptsize \mid\ -8 \\[5pt] 1 &=& 4 \lambda^2 &\quad \scriptsize \mid\ :4 \\[5pt] \lambda^2 &=& \dfrac{1}{4} &\quad \scriptsize \mid\ \sqrt{\,} \\[5pt] \lambda &=& \pm \dfrac{1}{2}. \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \lambda^2 &=& \dfrac{1}{4} &\quad \scriptsize \mid\ \sqrt{\,} \\[5pt] \lambda &=& \pm \dfrac{1}{2}. \end{array}$
Da für $\lambda = -\dfrac{1}{2}$ der Punkt $P$ nicht auf der Kante $\overline{FB}$ liegen würde, muss $\lambda = \dfrac{1}{2}$ sein. Für $\overrightarrow{OP}$ gilt somit
$\overrightarrow{OP} = \pmatrix{2 \\ 2 \\ 0} + \dfrac{1}{2} \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ -2} = \pmatrix{2 \\ 2 \\ -1}.$
$\overrightarrow{OP} = \pmatrix{2 \\ 2 \\ -1}.$
Somit sind die Koordinaten von $P(2 \mid 2 \mid -1).$
#abstand#koordinaten#vektoren#kartesischeskoordinatensystem

I.3 Stochastik

a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für mindestens $\boldsymbol{8}$ Treffer bestimmen
Du sollst in diesem Aufgabenteil anhand der Abbildung die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass der Basketballer mindestens $8$-mal trifft, d.h. $P(X \geq 8)$ ist gesucht. Mit $X$ bezeichnet man die Anzahl der Treffer. Dafür addierst du einfach die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass der Basketballer $8$, $9$ oder $10$ Treffer landet. Die Wahrscheinlichkeiten dafür kannst du in der Abbildung ablesen.
$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq 8)&=& P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) \\[5pt] &\approx& 0,3 + 0,27 + 0,11 \\[5pt] &=& 0,68 \\[5pt] &=& 68 \%. \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq 8)&=& 68 \%. \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Basketballer mindestens $8$-mal trifft, liegt also bei ca. $68 \%$.
b)
$\blacktriangleright$ Nachweis der Wahrscheinlichkeit für null Treffer
Um zu zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass kein Treffer erzielt wird unter $\dfrac{1}{1.000.000}$ liegt, musst du die Formel für die Binomialverteilung verwenden
$B_{n,p}(k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
$B_{n,p}(k) $=$ \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
Dabei ist $n$ die Anzahl der Versuche, $p$ die Wahrscheinlichkeit in einem einzelnen Versuch einen Erfolg zu erzielen und $k$ die Anzahl der Erfolge.
Setze also $k=0$, um die Wahrscheinlichkeit für null Treffer zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} P(X = 0) &=& B_{10,0,8}(0) \\[5pt] &=& \binom{10}{0}\cdot 0,8^0 \cdot (1-0,8)^{10-0} \\[5pt] &=& 0,2^{10} \\[5pt] &=& 0,0000001024 \\[5pt] &<& 0,000001. \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X = 0) &<& 0,000001. \end{array}$
Folglich liegt die Wahrscheinlichkeit null Treffer zu erzielen unter $\dfrac{1}{1.000.000}.$
#wahrscheinlichkeit#binomialverteilung

I.4 Analytische Geometrie

a)
$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{C}$ bestimmen
Gesucht ist ein Punkt $C$, der die Bedingung $\overrightarrow{CA} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}$ erfüllt. Du berechnest also zuerst den Vektor
$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 6} - \pmatrix{-2 \\ 1 \\ 4} = \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2}$,
um ihn anschließend in die Gleichung einzusetzen.
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-2 - c_1 \\ 1 - c_2 \\ 4 - c_3} &=& 2 \cdot \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-4 \\ -2 \\ 4}. \end{array}$
Somit folgt $c_1 = 2$, $c_2 = 3$ und $c_3 = 0$. Der gesuchte Punkt $C$ hat also die Koordinaten $(2 \mid 3 \mid 0).$
b)
$\blacktriangleright$ Gerade $\boldsymbol{h}$ bestimmen
Gesucht ist eine Gerade $h$, die die zwei Bedingungen $\text{I}$ und $\text{II}$ erfüllt. Bestimme also zuerst einen Vektor $\vec{t}$, der die Bedingung $\text{I}$ erfüllt, um anschließend einen Aufpunkt $P$ für die Gerade $h$ auf der Geraden $g$ zu finden, der zum Punkt $A$ den Abstand $3$ hat.
1.Schritt: Vektor $\boldsymbol{\vec{t}}$ bestimmen
Der Vektor $\vec{t}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{AB}$ liegen, d.h. das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren muss null sein.
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& \overrightarrow{AB} \circ \vec{t} \\[5pt] &=& -2t_1 - t_2 + 2t_3 \end{array}$
Wähle $t_1 = 1$ und $t_2=0$, sodass für $t_3$ automatisch $t_3 = 1$ folgt.
Somit ist $\vec{t} = \pmatrix{1 \\ 0 \\ 1}$ und orthogonal zu $\overrightarrow{AB}$.
2.Schritt: Aufpunkt für die Gerade $\boldsymbol{h}$ finden
Der Aufpunkt $P$ der gesuchten Gerade $h$ muss auf der Geraden $g$ liegen und den Abstand $3$ zum Punkt $A$ haben. Somit gibt es zwei mögliche Kandidaten für den Punkt $P$, denn die Kugel mit dem Mittelpunkt $A$ und dem Radius $3$ schneidet $g$ in zwei Punkten.
Folglich muss der Richtungsvektor $\pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2}$ vom Punkt $A$ aus $3$ Einheiten lang sein.
$\begin{array}[t]{rll} 3 &=& \left| \lambda \cdot \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-2\lambda)^2 + (-\lambda)^2 + (2\lambda)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{9 \lambda^2} \\[5pt] &=& \pm 3 \lambda. \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 3 &=& \pm 3 \lambda. \end{array}$
Somit kann $\lambda$ entweder $1$ oder $-1$ sein.
Wähle $\lambda = 1$ und bestimme die Koordinaten von $P$.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP}&=& \overrightarrow{OA} + 1 \cdot \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-2 \\ 1 \\ 4} + 1 \cdot \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 6}. \end{array}$
Demnach hat $P$ die gleichen Koordinaten wie der Punkt $B$.
3.Schritt: Geradengleichung aufstellen
Nun hast du alle notwendigen Informationen berechnet, um die Geradengleichung von $h$ aufzustellen. Du benutzt als Aufpunkt den Punkt $P$ und als Richtungsvektor $\overrightarrow{t}$.
$h:$ $ \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 6}+ \lambda \cdot \pmatrix{1 \\ 0 \\ 1}.$
Bemerkung: Beachte, dass es hier unendlich viele Lösungen gibt. Du kannst den Richtungsvektor der Geraden $h$ auch anders wählen und für den Aufpunkt $P$ gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten.
#geradengleichung#vektoren#skalarprodukt
Bildnachweise [nach oben]
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