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Analytische Geometrie

Aufgaben
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Kunstmuseum

$A(-8 \mid -4\mid 0)$, $B(8 \mid 2\mid 0)$, $C(12 \mid 12\mid 0)$, $D(-5 \mid 14\mid 0)$, $E(8 \mid 12\mid 8)$, $F(-10 \mid 14\mid 10)$, $G(4 \mid 0\mid 12)$.
Die Längeneinheit beträgt für alle drei Koordinatenachsen $1\,\text{m}$.
a)
  • Vervollständige die Abbildung 2 in der Anlage mit den gegebenen Punkten $B$, $C$ und $D$ und zeichne die fehlenden Kanten ein.
  • Bestätige, dass das Viereck $ABCD$, das den Boden des Raumes bildet, kein Tapez ist.
(7P)
#kartesischeskoordinatensystem#trapez#viereck
Es ist geplant, in den Raum temperaturempfindliche Kunstwerke auszustellen. Daher soll der Eingang $BCEG$ geschlossen werden. Eine Idee ist, den Eingang durch eine Glaswand mit Durchgangsmöglichkeit zu schließen. Dies wäre aber nur möglich, wenn es sich um eine ebene Fläche handeln würde.
b)
Entscheide durch Rechnung, ob der Eingang $BCEG$ durch eine ebene Glaswand geschlossen werden kann.
(7P)
#gleichungssystem#ebenengleichung
Eine andere Möglichkeit besteht darin, empfindliche Kunstobjekte einzeln zu schützen. So soll ein Kunstwerk in einem $3\,\text{m}$ hohen Glasquader auf dem Boden $ABCD$ aufgestellt werden. Eine Kante des Quaders soll parallel zur Kante $\overline{CD}$ möglichst dicht an diese gerückt werden. Da die Wand $CDFE$ etwas in den Raum hineingeneigt ist, kann der Glasquader nicht direkt an die Kante $\overline{CD}$ gerückt werden.
Die Ebene, in der die Wand $CDFE$ liegt, kann durch die Gleichung $E_{CDFE}$$: 2x_1 + 17x_2 + x_3 = 228$ beschrieben werden.
c)
  • Bestimme die Größe des Winkels $\alpha$ zwischen dem Boden des Raumes und der Wand $CDFE$.
    (Ersatzlösung: $\alpha_{Ersatz} = 85^{\circ}$)
  • Ermittle, welcher horizontale Abstand zwischen der Kante des Glasquaders und der Kante $\overline{CD}$ auf dem Fußboden mindestens eingehalten werden muss.
(7P)
#koordinatenform#abstand#winkel#normalenvektor
Bei der Gestaltung des Raumes mit weiteren Kunstwerken spielt die Wand $ADF$ eine besondere Rolle.
d)
  • Bestätige, dass $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}12\\[2pt]-2\\[2pt]6\end{pmatrix}$ ein Normalenvektor der Ebene $E_{ADF}$ ist, in der die Wand $ADF$ liegt.
  • Leite die Koordinatengleichung
    $E_{ADF}: -6x_1 + x_2 - 3x_3 = 44$
    $E_{ADF}$
    her.
(5P)
#kreuzprodukt#normalenvektor#koordinatenform
Ein kugelförmiges Kunstwerk wurde so positioniert, dass es sich durch die Kugelgleichung
$K: \left(\overrightarrow{x}-\begin{pmatrix}-4,4\\[2pt]0,5\\[2pt]1\end{pmatrix}\right)^2 = 1$ oder
$K: (x_1 + 4,4)^2 + (x_2 - 0,5)^2 + (x_3 - 1)^2 =1$ beschreiben lässt.
$K = 1$
beschreiben lässt.
Damit man das Kunstwerk von allen Seiten betrachten kann, soll der Abstand der Kugel zu den Wänden groß genug sein.
e)
  • Gib an, welchen Radius die Kugel $K$ hat und in welchem Punkt sie den Boden berührt.
  • Zeige, dass der minimale Abstand $d$ der Kugel $K$ zur Ebene $E_{ADF}$ ungefähr $1,96\,\text{m}$ beträgt.
  • Begründe, dass die tatsächliche Entfernung der Kugel zur Wand $ADF$, die in der Ebene $E_{ADF}$ liegt, größer als $d$ ist.
(11P)
#koordinatenform#kugel#abstand
Es soll ein weiteres Kunstwerk aufgestellt werden, das die Form einer dünnen Säule hat. Das Kunstwerk wird als Strecke modelliert. Der Säulenfußpunkt ist im Punkt $S(4 \mid 4 \mid 0)$ geplant und die Säulenspitze im Punkt $T(4 \mid 4 \mid 1,5)$. Diese Säule soll durch eine punktförmige Lichtquelle vom Punkt $B$ aus angestrahlt werden. Dadurch entsteht eine Schattenfigur auf der dreieckigen Wand $ADF$. Der Schatten von $S$ auf der Wand $ADF$ liegt ungefähr bei $S'(-5,85 \mid 8,92 \mid 0)$.
f)
  • $T'$ sei der Schatten von $T$ auf der Wand $ADF$.
  • Ermittle die Koordinaten des Punktes $T'$ auf zwei Nachkommastellen genau.
    (Ersatzlösung: $T'(-8,70 \mid 10,40 \mid 6,32)$)
  • Ermittle, um welchen Faktor der Schatten auf der Wand $ADF$ im Vergleich zur Säule verlängert ist.
(8P)
#schnittpunkt#koordinaten
Bei sonst unveränderter Anordnung möchte die Künstlerin, die die Säule geschaffen hat, ihre Säule gerne verlängern, um eine noch größere Wirkung zu erzielen. Der erzeugte Schatten soll aber oben nicht über die dreieckige Wand $ADF$ hinausragen. Für die Säulenspitze wird nun der Punkt $T_z(4 \mid 4 \mid z)$ angesetzt. Wenn der Schatten von $T_z(4 \mid 4 \mid z)$ auf der Wand $ADF$ liegt, lässt er sich durch
$T_z'(8 + \frac{360}{3z-26} \mid 2 - \frac{180}{3z-26} \mid -\frac{90z}{3z-26})$
$T_z'$
darstellen.
g)
Ermittle die maximal mögliche Säulenhöhe, die den Vorstellungen der Künstlerin entspricht.
(5P)
#gleichungssystem#koordinaten

Anlage zur Aufgabe „Kunstmuseum“

Bildnachweise [nach oben]
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Tipps
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a)
$\blacktriangleright$Abbildung vervollständigen
In dieser Aufgabe sollst du die fehlenden Ecken $B(8\;|\;2\;|\;0)$, $C(12\;|\;12\;|\;0)$ und $D(-5\;|\;14\;|\;0)$ und die fehlenden Kanten in die Abbildung 2 einzeichnen.
$\blacktriangleright$Bestätigen, dass das Viereck ABCD kein Trapez ist
In dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass der Boden des Kunstmuseums der durch die Ecken $A(-8\;|\;-4\;|\;0), \,$ $B(8\;|\;2\;|\;0)$, $C(12\;|\;12\;|\;0)$ und $D(-5\;|\;14\;|\;0)$ festgelegt ist, kein Trapez ist.
Bei einem Viereck handelt es sich um ein Trapez, wenn zwei der vier Seiten parallel sind. Das bedeutet, dass zwei Verbindungsvektoren zwischen den Eckpunkten linear abhängig sind. Da nur die gegenüberliegenden Seiten parallel sein können, musst du nur überprüfen, ob die Seiten $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{CD}$ und die Seiten $\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{AD}$ linear abhängig oder unabhängig sind.
b)
$\blacktriangleright$Entscheiden, ob der Eingang durch eine ebene Glaswand geschlossen werden kann
Um zu überprüfen, ob es sich beim Eingang $\text{BCFG}$ um eine ebene Fläche handelt, musst du überprüfen, ob die vier Eckpunkte eine Ebene aufspannen. Dazu bildest du mit Hilfe von drei Punkten eine Ebene H und überprüfst mit der Punktprobe ob der vierte Punkt in der Ebene H liegt.
c)
$\blacktriangleright$Winkel berechnen
In dieser Aufgabe sollst du den Winkel $\alpha$ zwischen dem Boden des Raumes und der Wand CDEF berechnen. Da es sich bei der Wand und dem Boden um zwei Ebenen handelt, kannst du den Schnittwinkel berechnen:
$\cos(\alpha)=\dfrac{|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|} $
$\cos(\alpha)=\dfrac{\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|} $
Den Normalenvektor der Wand kannst du aus der Aufgabestellung ablesen. Den Normalenvektor des Bodens musst du noch berechnen. Dazu kannst du das Kreuzprodukt zweier Vektoren bilden, die in der Ebene liegen:
$\overrightarrow{n}=\pmatrix{a_2b_3-a_3b_2\\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1}$
$\overrightarrow{n}=\pmatrix{a_2b_3-a_3b_2\\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1}$
Berechne also als erstes den Normalenvektor des Bodens und setze die beiden Normalenvektoren anschließend in die Formel, mit dem du den Schnittwinkel berechnest, ein.
$\blacktriangleright$Mindestabstand zwischen Quader und Kante $\boldsymbol{\overline{CD}}$ berechnen
Analytische Geometrie
Abb. 1: Skizze Glasquader und Wand.
Analytische Geometrie
Abb. 1: Skizze Glasquader und Wand.
$\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} $
Tipp
$\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} $
Gesucht ist also die Länge der Ankathete. Der Winkel $\alpha$ und die Länge der Gegenkathete sind gegeben.
d)
$\blacktriangleright$Normalenvektor der Ebene ADF berechnen
In dieser Aufgabe sollst du bestätigen, dass der Vektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{12 \\ -2 \\ 6}$ der Normalenvektor der Ebene ADF ist. Berechne dazu als erstes die Ebenengleichung in Parameterform und berechne mit dem Vektor-(Kreuz-)Produkt den Normalenvektor der Ebene.
$\blacktriangleright$Koordinatengleichung $\boldsymbol{E_{ADF}}$ herleiten
In dem vorherigen Aufgabenteil hast du bereits den Normalenvektor der Ebene berechnet. Wenn du diesen nun noch mit -2 kürzt, erhälst du
$\overrightarrow{n}=\pmatrix{-6 \\1\\ -3}$
Die Ebenengleichung lautet dann:
$E_{ADF}:\;-6x_1+x_2-3x_3 = c $
c kannst du nun berechnen, indem du die Koordinaten des Punktes A in die Ebenengleichung einsetzt.
e)
$\blacktriangleright$Radius der Kugel K berechnen
In dieser Aufgabe hast du die Vektorielle- und die Koordinatengleichung der Kugel K gegeben. Bei den Gleichungen steht auf der rechten Seite immer der Radius ins quadrat ($r^2$). Wenn du also die Wurzel ziehst, erhältst du den Radius der Kugel.
$\blacktriangleright$Berechnen, in welchem Punkt die Kugel den Boden berührt
Diesen Punkt berechnest du am besten mit der Koordinatengleichung der Kugel. Damit die Kugel den Boden berührt, muss die Koordinate $x_3=0$ sein. Setze dies in die Koordinatengleichung ein und stelle die Gleichung um.
$\blacktriangleright$Abstand zwischen der Kugel K und der Ebene $\boldsymbol{E_{ADF}}$ berechnen
Den Abstand zwischen einer Kugel und einer Ebene kannst du mit der Hesseschen Normalenform berechnen.
$\dfrac{\left|n_1\cdot x_1+ n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3-c\right|}{\left|\vec{n}\right|}=d$
$\dfrac{\left|n_1\cdot x_1+ n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3-c\right|}{\left|\vec{n}\right|}=d$
$\dfrac{\left|n_1\cdot x_1+ …}$
Die Koordinatenform der Ebene $E_{ADF}$ hast du in der Aufgabe d) schon berechnet. In die Hessesche Normalenform setzt du dann den Mittelpunkt der Kugel K ein. Diesen Punkt kannst du aus der Koordinatengleichung der Kugel ablesen.
$\blacktriangleright$Begründen, dass der Abstand der Kugel zur Wand ADF größer als $\boldsymbol{1,96\;\text{m}}$ ist
Mit der Hesseschen-Normalenform berechnest du immer den kürzesten Abstand zwischen einer Ebene und einem Punkt.
f)
$\blacktriangleright$Koordinaten des Punktes T' berechnen
Um die Koordinaten des Punktes T' zu berechnen musst du als erstes eine Gerade bilden, die den Punkt B als Stützvektor hat und durch den Punkt T geht. Anschließend kannst du den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene $E_{ADF}$ berechnen. Dieser Schnittpunkt ist dann gerade der gesuchte Punkt T'.
$\blacktriangleright$Ermitteln, um welchen Faktor der Schatten verlängert wurde
Um zu ermittel, um welchen Faktor der Schatten verlängert wurde, musst du als erstes die Längen des Vektors $\overrightarrow{ST}$ und die Länge des Vektors $\overrightarrow{S'T'}$ berechnen und anschließend die beiden Längen vergleichen.
g)
$\blacktriangleright$Berechnen, wie hoch die Säule maximal sein darf
In dieser Aufgabe sollst du die maximale Höhe der Säule berechnen. Dazu musst du als erstes zwei Gerade bilden. Eine Gerade geht durch die Punkte B und $T_z$ die andere durch die Punkte A und F.
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a)
$\blacktriangleright$Abbildung vervollständigen
In dieser Aufgabe sollst du die fehlenden Ecken $B(8\;|\;2\;|\;0)$, $C(12\;|\;12\;|\;0)$ und $D(-5\;|\;14\;|\;0)$ und die fehlenden Kanten in die Abbildung 2 einzeichnen.
$\blacktriangleright$Bestätigen, dass das Viereck ABCD kein Trapez ist
In dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass der Boden des Kunstmuseums der durch die Ecken $A(-8\;|\;-4\;|\;0)$, $B(8\;|\;2\;|\;0)$, $C(12\;|\;12\;|\;0)$ und $D(-5\;|\;14\;|\;0)$ festgelegt ist, kein Trapez ist.
Bei einem Viereck handelt es sich um ein Trapez, wenn zwei der vier Seiten parallel sind. Das bedeutet, dass zwei Verbindungsvektoren zwischen den Eckpunkten linear abhängig sind. Da nur die gegenüberliegenden Seiten parallel sein können, musst du nur überprüfen, ob die Seiten $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{CD}$ und die Seiten $\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{AD}$ linear abhängig oder unabhängig sind.
Bestimmt als erstes die Verbindungvektoren.
$\overrightarrow{AB}=\pmatrix{8 \\ 2 \\ 0}-\pmatrix{-8 \\ -4 \\ 0}=\pmatrix{16 \\6\\ 0}$
$\overrightarrow{BC}=\pmatrix{12 \\ 12 \\ 0}-\pmatrix{-5 \\ 14 \\ 0}=\pmatrix{17 \\2\\ 0}$
$\overrightarrow{CD}=\pmatrix{-5 \\ 14 \\ 0}-\pmatrix{12 \\ 12 \\ 0}=\pmatrix{-17 \\2\\ 0}$
$\overrightarrow{DA}=\pmatrix{-8 \\ -4 \\ 0}-\pmatrix{-5 \\ 14 \\ 0}=\pmatrix{-3 \\-18\\ 0}$
$\overrightarrow{AB}=\pmatrix{16 \\6\\ 0}$
$\overrightarrow{BC}=\pmatrix{17 \\2\\ 0}$
$\overrightarrow{CD}=\pmatrix{-17 \\2\\ 0}$
$\overrightarrow{DA}=\pmatrix{-3 \\-18\\ 0}$
Überprüfe nun ob die Vektoren linear abhängig oder unabhäng sind. Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie ein Vielfaches voneinander sind.
$\pmatrix{16 \\ 6 \\ 0} \stackrel{!}{=} k\cdot \pmatrix{-17 \\ 2 \\ 0} \;\;\;\;\;$ und $\;\;\;\;\;\pmatrix{17 \\ 2 \\ 0} \stackrel{!}{=} l\cdot \pmatrix{-3 \\ -18 \\ 0} $
In der zweiten Zeile siehst du, dass $k=3$ sein muss, da $3\cdot 2=6$. Wenn du dies nun in die erste Zeile einsetzt folgt $16=3\cdot (-17)$. Da diese Gleichung nicht erfüllt ist, sind die beiden Vektoren linear unabhängig.
Wenn du in der zweiten Gleichung in die zweite Zeile für $k=-9$ einsetzt, ist diese Gleichung erfüllt. Setzt du $k=-9$ in die erste Zeile ein ist die Gleichung nicht erfüllt, somit sind auch diese Vektoren linear unabhängig.
Somit hast du gezeigt, dass der Boden des Kunstmusemus kein Trapez ist.
#trapez#kartesischeskoordinatensystem#lineareabhängigkeit
b)
$\blacktriangleright$Entscheiden, ob der Eingang durch eine ebene Glaswand geschlossen werden kann
Um zu überprüfen, ob es sich beim Eingang $\text{BCFG}$ um eine ebene Fläche handelt, musst du überprüfen, ob die vier Eckpunkte eine Ebene aufspannen. Dazu bildest du mit Hilfe von drei Punkten eine Ebene H und überprüfst mit der Punktprobe ob der vierte Punkt in der Ebene H liegt.
$H: \;\overrightarrow{x}= \overrightarrow{OB} + r\cdot\overrightarrow{BC} +s\cdot\overrightarrow{BG} $
$H:\;\overrightarrow{x}=\pmatrix{8 \\ 2 \\ 0}+ r\cdot\pmatrix{4 \\ 10 \\ 0} +s\cdot\pmatrix{-4 \\ -2 \\ 12} $
$H: \;\overrightarrow{x}= … $
$H:\;\overrightarrow{x}=… $
Setze nun den Ortsvektor der zum Punkt E zeigt in die Ebenengleichug ein. Du erhälst ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten. Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, liegt der Punkt E in der Ebene H.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&8&=&8+4r-4s\quad \\ \text{II}\quad&12&=&2+10r-2s\quad \\ \text{III}\quad&8&=&12s\quad& \\ \end{array}$
$ \begin{array}{} \text{I}\quad&8&=&8+… \\ \text{II}\quad&12&=&2+… \\ \text{III}\quad&8&=&12s \\ \end{array} $
Löse $\text{III}$ als erstes nach s auf und setze das Ergebnis in $\text{I}$ ein.
$s=\frac{8}{12}= \frac{2}{3}$
$\begin{array}[t]{rll} 8&=&8 +4r -4\cdot \frac{2}{3} &\quad \scriptsize \mid\;-8\; \;\mid\;+\frac{8}{3} \\[5pt] \frac{8}{3}&=&4r &\quad \scriptsize \mid\; : 4 \\[5pt] r&=&\frac{2}{3} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} r&=&\frac{2}{3} \end{array}$
Setze nun die Werte von r und s in $\text{II}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} 12&=&2+10\cdot \frac{2}{3}-2\cdot\frac{2}{3} \\[5pt] 12&=&\frac{22}{3} \end{array}$
Da das lineare Gleichungssystem nicht lösbar ist, kann der Eingang nicht durch eine ebene Glaswand geschlossen werden.
#ebenengleichung#punktprobe#gleichungssystem
c)
$\blacktriangleright$Winkel berechnen
In dieser Aufgabe sollst du den Winkel $\alpha$ zwischen dem Boden des Raumes und der Wand CDEF berechnen. Da es sich bei der Wand und dem Boden um zwei Ebenen handelt, kannst du den Schnittwinkel berechnen:
$\cos(\alpha)=\dfrac{|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|} $
$\cos(\alpha)=\dfrac{\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|} $
Den Normalenvektor der Wand kannst du aus der Aufgabestellung ablesen. Den Normalenvektor des Bodens musst du noch berechnen. Dazu kannst du das Kreuzprodukt zweier Vektoren bilden, die in der Ebene liegen:
$\overrightarrow{n}=\pmatrix{a_2b_3-a_3b_2\\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1}$
$\overrightarrow{n}=\pmatrix{a_2b_3-a_3b_2\\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1}$
Berechne also als erstes den Normalenvektor des Bodens und setze die beiden Normalenvektoren anschließend in die Formel, mit dem du den Schnittwinkel berechnest, ein.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}_{ABCD}&=& \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD} \\[5pt] &=& \pmatrix{16\\6\\0} \times \pmatrix{-17\\2\\0}\\[5pt] &=& \pmatrix{6\cdot 0 -0\cdot 2\\ 0\cdot (-17)-16\cdot 0\\ 16\cdot 2 -6\cdot (-17)}\\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\134}\\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{n}_{ABCD} = \pmatrix{0\\0\\134}$
Den Normalenvektor $\overrightarrow{n}_{ABCD}$ kannst du noch mit 134 kürzen.
$\overrightarrow{n}_{ABCD}= \pmatrix{0 \\ 0\\ 1}$
$\overrightarrow{n}_{CDEF}= \pmatrix{2 \\ 17\\ 1}$
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left|\overrightarrow{n}_{ABCD} \cdot\overrightarrow{n}_{CDEF}\right|} {\left|\overrightarrow{n}_{ABCD}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n}_{CDEF}\right|} \\[5pt] &=&\dfrac{\left|\pmatrix{0 \\0 \\ 1}\cdot\pmatrix{2 \\ 17 \\ 1}\right|}{\left|\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}\right|\cdot \left|\pmatrix{2 \\ 17 \\ 1} \right| } \\[5pt] &=&\dfrac{|1|}{1\cdot 7\sqrt{6}} &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{ 7\sqrt{6}}\right) \\[5pt] &\approx&86,66° \end{array}$
$\alpha\approx 86,66°$
Der Winkel zwischen dem Boden und der Wand CDEF beträgt $86,66°$.
$\blacktriangleright$Mindestabstand zwischen Quader und Kante $\boldsymbol{\overline{CD}}$ berechnen
Analytische Geometrie
Abb. 2: Skizze Glasquader und Wand.
Analytische Geometrie
Abb. 2: Skizze Glasquader und Wand.
$\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} $
Tipp
$\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} $
Gesucht ist also die Länge der Ankathete. Der Winkel $\alpha$ und die Länge der Gegenkathete sind gegeben.
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\frac{g}{a} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot a \\[5pt] a\cdot\tan(\alpha) &=& g &\quad \scriptsize \mid\; : \tan(\alpha)\\[5pt] a&=&\frac{g}{\tan(\alpha)} \\[5pt] a&=&\frac{3}{\tan(86,66°)}\\[5pt] a&\approx&0,18 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} a&\approx&0,18 \end{array}$
Der horizontale Abstand zwischen der Kante des Glasquaders und der Kante $\overline{CD}$ auf dem Fußboden muss mindestens $0,18\;\text{m}$ groß sein.
#koordinatenform#winkel#normalenvektor#abstand
d)
$\blacktriangleright$Normalenvektor der Ebene ADF berechnen
In dieser Aufgabe sollst du bestätigen, dass der Vektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{12 \\ -2 \\ 6}$ der Normalenvektor der Ebene ADF ist. Berechne dazu als erstes die Ebenengleichung in Parameterform und berechne mit dem Vektor-(Kreuz-)Produkt den Normalenvektor der Ebene.
$E_{ADF}:\;\overrightarrow{x}= \overrightarrow{OA}+u\cdot\overrightarrow{AD}+ v\cdot \overrightarrow{AF}$
$E_{ADF}:$
$E_{ADF}:\;\overrightarrow{x}= \pmatrix{-8 \\ -4 \\ 0}+u\cdot \pmatrix{3 \\ 18 \\ 0}+v\cdot\pmatrix{-2\\ 18 \\ 10}$
$E_{ADF}:$
$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{AF} = \pmatrix{18\cdot10-0\cdot18 \\ 0\cdot(-2)-3\cdot10 \\ 3\cdot 18-18\cdot(-2)} = \pmatrix{180 \\ -30 \\ 90}$
$\overrightarrow{n}= \pmatrix{180 \\ -30 \\ 90}$
Wenn du den berechneten Vektor mit 15 kürzt, erhälst du gerade $\overrightarrow{n}=\pmatrix{12 \\ -2 \\ 6}$. Somit hast du gezeigt, dass der Normalenvektor der Ebene $E_{ADF}$ der Vektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{12 \\ -2 \\ 6}$ ist.
$\blacktriangleright$Koordinatengleichung $\boldsymbol{E_{ADF}}$ herleiten
In dem vorherigen Aufgabenteil hast du bereits den Normalenvektor der Ebene berechnet. Wenn du diesen nun noch mit -2 kürzt, erhälst du
$\overrightarrow{n}=\pmatrix{-6 \\1\\ -3}$
Die Ebenengleichung lautet dann:
$E_{ADF}:\;-6x_1+x_2-3x_3 = c $
c kannst du nun berechnen, indem du die Koordinaten des Punktes A in die Ebenengleichung einsetzt.
$E_{ADF}:\;-6\cdot(-8)+1\cdot(-4)-3\cdot 0 = 44$
$ E_{ADF}:\;-6\cdot(-8)+ … $
Somit hast du die Koordinatengleichung der Ebene $E_{ADF}$ hergeleitet.
#normalenvektor#kreuzprodukt#koordinatenform
e)
$\blacktriangleright$Radius der Kugel K berechnen
In dieser Aufgabe hast du die Vektorielle- und die Koordinatengleichung der Kugel K gegeben. Bei den Gleichungen steht auf der rechten Seite immer der Radius ins quadrat ($r^2$). Wenn du also die Wurzel ziehst, erhältst du den Radius der Kugel.
$r=\sqrt{r^2}=\sqrt{1}=1$
Die Kugel hat den Radius $r=1$.
$\blacktriangleright$Berechnen, in welchem Punkt die Kugel den Boden berührt
Diesen Punkt berechnest du am besten mit der Koordinatengleichung der Kugel. Damit die Kugel den Boden berührt, muss die Koordinate $x_3=0$ sein. Setze dies in die Koordinatengleichung ein und stelle die Gleichung um.
$\begin{array}[t]{rll} K:\; (x_1+4,4)^2+(x_2-0,5)^2+(0-1)^2&=&1 \\[5pt] (x_1+4,4)^2+(x_2-0,5)^2+-1^2&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] (x_1+4,4)^2+(x_2-0,5)^2&=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} K: \end{array}$
Diese Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn $(x_1+4,4)^2=0$ und $(x_2-0,5)^2=0$. Somit muss $x_1=-4,4$ und $x_2=+0,5$ sein.
Die Kugel berüht den Boden in dem Punkt Q mit den Koordinaten $Q(-4,4\;|\;0,5\;|\;0)$.
$\blacktriangleright$Abstand zwischen der Kugel K und der Ebene $\boldsymbol{E_{ADF}}$ berechnen
Den Abstand zwischen einer Kugel und einer Ebene kannst du mit der Hesseschen Normalenform berechnen.
$\dfrac{\left|n_1\cdot x_1+ n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3-c\right|}{\left|\vec{n}\right|}=d$
$\dfrac{\left|n_1\cdot x_1+ n_2\cdot x_2+…\right|}{\left|\vec{n}\right|}=d$
Die Koordinatenform der Ebene $E_{ADF}$ hast du in der Aufgabe d) schon berechnet. In die Hessesche Normalenform setzt du dann den Mittelpunkt der Kugel K ein. Diesen Punkt kannst du aus der Koordinatengleichung der Kugel ablesen.
$M_{\text{Kugel}}(-4,4\;|\;0,5\;|\;1)$
Setze nun die Ebenengleichung und den Mittelpunkt in die Hessesche Normalenform ein.
$\begin{array}[t]{rll} d&=&\dfrac{\left|-6\cdot (-4,4)+ 1\cdot 0,5+(-3)\cdot 1-44\right| }{\left|\pmatrix{-6 \\ 1 \\ -3}\right|} \\[5pt] d&=&\dfrac{20,1}{6,79} \\[5pt] d&=&2,96 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} d&=&2,96 \end{array}$
Da du jetzt den Abstand zwischen dem Mittelpunkt der Kugel und der Ebene berechnet hast, musst du vom Abstand noch die Länge des Radius abziehen.
$d=2,96-r$$=2,96-1$$=1,96$
Somit hast du gezeigt, dass der Abstand d zwischen der Kugel K und der Ebene $E_{AFD}$ ungefähr $1,96\;\text{m}$ beträgt.
$\blacktriangleright$Begründen, dass der Abstand der Kugel zur Wand ADF größer als $\boldsymbol{1,96\;\text{m}}$ ist
Mit der Hesseschen-Normalenform berechnest du immer den kürzesten Abstand zwischen einer Ebene und einem Punkt. Daher kann es in dieser Aufgabe sein, dass der Punkt der Ebene, der den kürzesten Abstand hat, außerhalb der Fläche $AFD$ liegt. Somit ist der Abstand zwischen der Wand ADF und der Kugel K größer als $1,96\;\text{m}$.
#koordinatenform#kugel#abstand#hesseschenormalform
f)
$\blacktriangleright$Koordinaten des Punktes T' berechnen
Um die Koordinaten des Punktes T' zu berechnen musst du als erstes eine Gerade bilden, die den Punkt B als Stützvektor hat und durch den Punkt T geht. Anschließend kannst du den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene $E_{ADF}$ berechnen. Dieser Schnittpunkt ist dann gerade der gesuchte Punkt T'.
1. Schritt: Gerade h bilden
$h:\; \overrightarrow{x}=\pmatrix{8 \\ 2 \\ 0}+t\cdot\pmatrix{-4 \\ 2 \\ 1,5}$
2. Schritt: Schnittpunkt berechnen
Setze den allgemeinen Punkt der Geraden h in die Koordinatengleichung der Ebene $E_{AFD}$ ein.
$H(8-4t\;|\;2+2t\;|\;1,5t)$
$\begin{array}[t]{rll} -6\cdot(8-4t)+1\cdot(2+2t)-3\cdot(1,5t)&=&44 \\[5pt] -48+24t+2+2t-4,5t&=&44 \\[5pt] -46+21,5t&=&44 &\quad \scriptsize \mid\;+46 \\[5pt] 21,5t&=&90 &\quad \scriptsize \mid\;:21,5 \\[5pt] t&=&4,19 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t&=&4,19 \end{array}$
Setze nun für $t=4,19$ in den allgemeinen Punkt H der Geraden h ein.
$T'(8-4\cdot4,19\;|\;2+2\cdot4,19\;|\;1,5\cdot4,19)$
$T'(-8,76\;|\;10,38\;|\;6,29)$
$T'$
$T'(-8,76\;|\;10,38\;|\;6,29)$
Der Punkt T' hat die Koordinaten $T'(-8,76\;|\;10,38\;|\;6,29)$.
$\blacktriangleright$Ermitteln, um welchen Faktor der Schatten verlängert wurde
Um zu ermittel, um welchen Faktor der Schatten verlängert wurde, musst du als erstes die Längen des Vektors $\overrightarrow{ST}$ und die Länge des Vektors $\overrightarrow{S'T'}$ berechnen und anschließend die beiden Längen vergleichen.
$|\overrightarrow{ST}|=\left|\pmatrix{0 \\ 0 \\ -1,5}\right|=\sqrt{1,5^2}=1,5$
$|\overrightarrow{S'T'}|=\left|\pmatrix{-2,91 \\ 1,46\\ 6,29}\right|=\sqrt{-2,91)^2+1,46^2+6,29^2}=7,08$
$\frac{7,08}{1,5}=4,72$
$|\overrightarrow{ST}|=\sqrt{1,5^2}=1,5$
$|\overrightarrow{S'T'}|=7,08$
$\frac{7,08}{1,5}=4,72$
Der Schatten der Säule wurde um den Faktor $4,72$ im Vergleich zur Säule verlängert.
#schnittpunkt#koordinaten
g)
$\blacktriangleright$Berechnen, wie hoch die Säule maximal sein darf
In dieser Aufgabe sollst du die maximale Höhe der Säule berechnen. Dazu musst du als erstes zwei Gerade bilden. Eine Gerade geht durch die Punkte B und $T_z$ die andere durch die Punkte A und F.
$h_{BT_z}:\;\overrightarrow{x}=\pmatrix{8 \\ 2 \\ 0}+s\cdot\pmatrix{-4 \\ 2 \\ z}$
$g_{AF}:\;\overrightarrow{x}=\pmatrix{-8 \\ -4 \\ 0}+r\cdot\pmatrix{-2 \\ 18 \\ 10}$
Die beiden Geradengleichungen kannst du jetzt gleichsetzen und ihren Schnittpunkt bestimmen.
$\pmatrix{-8 \\ -4 \\ 0}+r\cdot\pmatrix{-2 \\ 18 \\ 10}=\pmatrix{8 \\ 2 \\ 0}+s\cdot\pmatrix{-4 \\ 2 \\ z}$
$\pmatrix{-8 \\ -4 \\ 0}+…$
$\begin{array}{} \text{I}\quad& -8-2r&=&8-4s\quad\\ \text{II}\quad& -4+18r&=&2+2s\quad\\ \text{III}\quad&10r&=&sz\quad \\ \end{array}$
$ \begin{array}{} \text{I}\quad& -8-2r&=&…\\ \text{II}\quad& -4+18r&=&…\\ \text{III}\quad&10r&=&… \\ \end{array} $
Löse die erste Gleichung nach der Variablen $r$ auf und setzt anschließend $r$ in die zweite Gleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} -8-2r&=&8-4s &\quad \scriptsize \mid\;+8 \mid\;:-2 \\[5pt] r&=&-8+2s \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} -8-2r&=&8-4s \\[5pt] r&=&-8+2s \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} -4+18\cdot(-8+2s)&=&2+2s &\quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] -144+36s&=&6+2s &\quad \scriptsize \mid\;+144 \mid\;-2s \\[5pt] 34s&=&150 &\quad \scriptsize \mid\;:34 \\[5pt] s&=&\frac{75}{17} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} s&=&\frac{75}{17} \end{array}$
Wenn du $s$ in die erste Gleichung einsetzt erhältst du $r=\frac{14}{17}$. Setze jetzt $r$ und $s$ in die dritte Gleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} 10r&=&sz &\quad \scriptsize \mid\;:s \\[5pt] \frac{10\cdot \frac{14}{17}}{\frac{75}{17}}&=&\frac{28}{15} \end{array}$
Der Punkt $T_{z}$ hat somit die Koordinaten $T_z(4\;|\;4\;|\frac{28}{15})$
Jetzt kannst du die Länge der Säule berechnen.
$|\overrightarrow{ST_z}|=\left|\pmatrix{4-4 \\ 4-4 \\ \frac{28}{15}-0}\right|=\sqrt{\left(\frac{28}{15}\right)^2}=1,867 $
$|\overrightarrow{ST_z}|=1,867 $
Die Säule darf höchstens $1,86\;\text{m}$ hoch sein.
#schnittpunkt#gleichungssystem#koordinaten
Bildnachweise [nach oben]
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