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Wahlaufgabe 1

Aufgaben
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1.1
Gegben sind die Gleichungen von zwei Funktionen $(x\in\mathbb{R})$.
  • $f(x)=x^2-5$
  • $g(x)=2 \sin x$
Zeichne die Graphen der beiden Funktionen im Intervall $-3,5\leq x \leq 3,5$.
Gebe die Nullstellen der Funktionen in diesem Interfall an.
#nullstelle#graph
1.2
Ein Viereck ist in einem Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(-2|-3)$, $B(6|1)$, $C(3|7)$ und $D(-1|8)$ bestimmt.
1.2.1
Die Diagonale dieses Vierecks sind die Graphen linearer Funktionen.
Bestimme die zugehörigen Funktionsgleichungen dieser Graphen.
1.2.2
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes der Diagonalen.
#gerade#schnittpunkt
1.3
Eine Vase wird mit gleichmäßig zulaufendem Wasser gefüllt. Der Tabelle ist zu entnehmen, wie hoch das Wasser zu den jeweiligen Füllzeiten steht.
Füllzeit in $\text{s}$$0 $$5 $$ 10$$15 $$20 $$25 $
Wasserhöhe in $\text{cm}$$ 0$$10 $$15 $$ 18$$28 $$33 $
Füllzeit in $\text{s}$Wasserhöhe in $\text{cm}$
$0 $$ 0$
$5 $$10 $
$10 $$15 $
$15 $$18 $
$20 $$ 28$
$25 $$33$
1.3.1
Übertrage die Werte in ein Koordinatensystem und verbinde die Punkte zu einem Graphen.
1.3.2
Begründe an Hand des Graphen, in welchem Zeitraum das Wasser am langsamsten steigt.
1.3.3
Wahlaufgabe 1
Abb. 1: Skizze nicht maßstäblich
Wahlaufgabe 1
Abb. 1: Skizze nicht maßstäblich
#koordinaten#graph
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.1
Wahlaufgabe 1
Abb. 1: Graph von $f(x)$
Wahlaufgabe 1
Abb. 1: Graph von $f(x)$
Wahlaufgabe 1
Abb. 2: Graph von $g(x)$
Wahlaufgabe 1
Abb. 2: Graph von $g(x)$
$\blacktriangleright$  Nullstellen angeben
Du kannst die Nullstellen von $g$ ablesen:
$N_1=(0|0)$, $N_2(\pi|0)$ und $N_3(-\pi|0)$
Setze $f(x)=0$, um die Nullstellen von $f$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} x^2-5 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +5 \\[5pt] x^2 &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{} \\[5pt] x&=& \pm \sqrt{5} \end{array}$
Die Nullstellen sind also:
$N_1(\sqrt{5}|0)$ und $N_2(-\sqrt{5}|0)$
#sinusfunktion#parabel
1.2
1.2.1
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichngen bestimmen
Wahlaufgabe 1
Abb. 3: Skizze des Vierecks $ABCD$
Wahlaufgabe 1
Abb. 3: Skizze des Vierecks $ABCD$
1.2.2
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt berechnen
Den Schnittpunkt der zwei Geraden kannst du durch gleichsetzen der beiden Funktionsgleichungen bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} 2x+1&=&-x+7 &\quad \scriptsize \mid\; +x \\[5pt] 3x+1&=&7 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] 3x&=&6 &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] x&=&2 \end{array}$
Bestimme jetzt noch den $y$-Wert des Schnittpunktes indem du den $x$-Wert in eine der Funktionsgleichungen einsetzt:
$y=2\cdot 2+1=4+1=5$
Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen ist $S(2|5)$.
#gleichsetzungsverfahren#steigung
1.3
1.3.1
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde die Punkte:
Wahlaufgabe 1
Abb. 4: Graph
Wahlaufgabe 1
Abb. 4: Graph
1.3.2
$\blacktriangleright$  Zeitraum begründen
Das Wasser steigt am langsamsten, wenn die Steigung des Graphen möglichst klein ist. Dies ist der Fall zwischen $10$ und $15$ Sekunden.
1.3.3
$\blacktriangleright$  Vasenform begründen
In der gezeigten Abbildung würde das Wasser erst schnell steigen dann langsamen, da die Vase breiter wird. Danach wieder schneller und dann nochmal langsamer. Insgesamt müsste es $4$ Stufen geben. Dies passt nicht mit dem gezwichneten Graphen überein, weshalb es sich nicht um die richtige Vase handeln kann.
#steigung
Bildnachweise [nach oben]
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