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Pflichtaufgaben

Aufgaben
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2.
Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck $ABC$ mit
$\overline{AC}=\overline{AB}=7,1\;\text{cm}$ und $\overline{BC}=6,4\;\text{cm}$.
2.1
Zeichne das Dreieck $ABC$ und zeichne die Höhe $h_a$ ein. Miss die Länge der Höhe $h_a$ und gib den Messwert an.
2.2
Berechne die Länge der Höhe $h_a$.
2.3
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.
#flächeninhalt#dreieck
3.
Eine Funktion $f(x)$ ist durch die Gleichung $f(x)=x^2+2x-3$ $(x\in \mathbb{R})$ gegeben.
3.1
Zeichne den Graphen der Funktion in ein rechtwinkliges Koordinatensystem $(1\;\text{LE}=1\;\text{cm})$ und gib die Nullstellen der Funktion $f(x)$ an.
3.2
Spiegle den Graphen von $f(x)$ an der $y$-Achse. Es entsteht der Graph der Funktion $g(x)$.
Gib eine Gleichung der Funktion $g(x)$ an.
#funktionsgleichung
4
Jan hat sich eine Packung mit Fruchtbonbons gekauft. Sie enthält sechs Bonbons mit Erdbeerfüllung, vier mit Kirschfüllung und zwei haben eine Apfelfüllung. Alle Bonbons haben die gleiche Form, Größe und Verpackung.
4.1
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Mal ein Bonbon mit Kirschfüllung zu ziehen.
4.2
Jan nimmt aus der vollen Packung nacheinander zwei Bonbons.
Ermittle, mit welcher Wahrscheinlichkeit er nun zwei Bonbons mit gleicher Füllung hat.
4.3
Kurt hat eine kleinere Packung erworben. In ihr befinden sich von jeder Sorte nur halb so viele Bonbons wie bei Jan. Kurt nimmt ebenfalls nacheinander zwei Bonbons aus der vollen Packung. Er behauptet: „Die Wahrscheinlichkeit, zwei Bonbons mit gleicher Füllung zu ziehen, bleibt gleich.“
Hat Kurt Recht? Begründe deine Entscheidung.
#wahrscheinlichkeit
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Lösungen
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2
2.1
$\blacktriangleright$ Dreieck zeichnen und Länge der Höhe abmessen
Die Höhe $h_a$ ist die Höhe, die senkrecht auf der Seite $a$ des Dreiecks steht. Durch Abmessen der Höhe $h_a$ ergibt sich ein Wert von $h_a\approx 6,4\;\text{cm}$.
2.2
$\blacktriangleright$ Länge der Höhe berechnen
Die Länge $h_a$ lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Dabei ist $b$ die Hypotenuse, die Höhe $h_a$ und $\frac{a}{2}$ sind die Katheten.
$\begin{array}[t]{rll} \left(\frac{a}{2}\right)^2+h_a^2&=&b^2 &\quad \scriptsize \mid\;-\left(\frac{a}{2}\right)^2 \\[5pt] h_a^2&=&b^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] h_a&=&\sqrt{(7,1\;\text{cm})^2-(3,2\;\text{cm})^2}&\quad \scriptsize\\[5pt] h_a&=&6,34\;\text{cm} \end{array}$
Die Höhe ist ca. $6,39\;\text{cm}$ lang.
2.3
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Der Flächeninhalt des Dreiecks lässt sich mit folgender Rechnung bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\frac{1}{2}\cdot g \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&\frac{1}{2}\cdot 6,4\;\text{cm} \cdot 6,34\;\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&20,61\;\text{cm}^2&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $20,61\;\text{cm}^2$.
#flächeninhalt#satzdespythagoras
3.
3.1
$\blacktriangleright$Graphen einzeichnen
Es ist zu erkennen, dass der Graph die $x$-Achse bei $x_1=-3$ und $x_2=1$ schneidet.
3.2
$\blacktriangleright$Graphen spiegeln
Durh Spiegelung an der $y$-Achse, ergibt sich:
Für den Graphen von $g(x)$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&f(-x) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&(-x)^2+2\cdot (-x)-3&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&x^2-2x-3&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung des Graphen lautet $g(x)=x^2-2x-3$.
#symmetrie#spiegelung
4.1
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass beim ersten Mal ein Kirschbonbon gezogen wird
Es gibt insgesamt $12$ Bonbons, von denen $4$ einen Kirschgeschmack haben.
$\begin{array}[t]{rll} P&=&\frac{4}{12} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\frac{1}{3} \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim ersten Mal ein Kirschbonbon gezogen wird, beträgt $\frac{1}{3}$.
4.2
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass zwei Bonbons gleich sind
Die Ereignisse $\Omega=\{EE; KK; AA \}$ sind möglich, damit zwei gleiche Bonbons gezogen werden. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lässt sich mit den Pfadregeln bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} P&=& P(EE)+P(KK)+P(AA)&\quad \scriptsize \\[5pt] P&=&\frac{6}{12} \cdot \frac{5}{11}+ \frac{4}{12} \cdot \frac{3}{11}+ \frac{2}{12} \cdot \frac{1}{11}&\quad \scriptsize \\[5pt] P&=&\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{11}+ \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{11}+ \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{11}&\quad \scriptsize \\[5pt] P&=& \frac{15}{66}+ \frac{6}{66}+ \frac{1}{66} \cdot \frac{1}{11}&\quad \scriptsize \\[5pt] P&=& \frac{22}{66}&\quad \scriptsize \\[5pt] P&=& \frac{1}{3}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, zweimal ein gleiches Bonbon zu ziehen, beträgt $\frac{1}{3}$.
4.3
$\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass zwei Bonbons gleich sind
Die Aussage ist falsch, denn wenn die Anzahl der Apfelbonbons halbiert wird, befindet sich nur noch eins davon in der Tüte. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei nacheinander gezogen werden, ist somit Null.
#wahrscheinlichkeit#pfadregeln
Bildnachweise [nach oben]
[1-3]
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