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Wahlaufgabe 3

Aufgaben
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3.1
Im Koordinatensystem sind die Graphen $g(x)$ und $h(x)$ dargestellt.
3.1.1
Bestimme die Funktionsgleichung der beiden Funktionen.
3.1.2
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $A$ der Graphen der beiden Funktionen.
3.1.3
Die Graphen der beiden Funktionen schneiden die $y$-Achse in den Punkten $B$ und $C$.
Die Punkte $A,B$ und $C$ bilden ein Dreieck.
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.
3.1.4
Der Graph einer Funktion $k(x)$ verläuft parallel zum Graphen der Funktion $g(x)$ und durch den Punkt $P(-5\;|\;0)$.
Gib eine Funktionsgleichung für den Graphen der Funktion $k(x)$ an.
3.2
Der Produktionsplan eines Betriebes sah vor, dass $10$ Werkstücke in einer bestimmten Zeit hergestellt werden sollten. Durch Rationalisierungsmaßnahmen gelang es jedoch, in der gleichen Zeit $12$ Werkstücke zu produzieren. Dadurch wurde die ursprünglich für die Herstellung eines dieser Werkstücke vorgesehene Zeit um zwei Minuten unterboten.
Ermittle die Zeit, die für die Fertigung eines solchen Werkstückes ursprünglich geplant war.
#dreieck#schnittpunkt#funktionsgleichung#parallel
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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3.1.1
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Bei den angegebenen Funktionsgraphen, handelt es sich um Geraden. Die Steigung und Verschiebung lässt sich in der Abbildung ablesen.
Die Gerade $g$ hat eine Steigung von $m=0,4$ und schneidet die $y$-Achse bei $y=7$. Somit lautet die Funktionsgleichung $g(x)=0,4\cdot x +7$.
Die Gerade $h$ hat eine Steigung von $m=2$ und schneidet die $y$-Achse bei $y=-3$, somit ergibt sich die Funktionsgleichung $h(x)=2\cdot x -3$.
3.1.2
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt bestimmen
Durch Gleichsetzen von $g(x)$ und $h(x)$ lässt sich der Schnittpunkt der beiden Graphen ermitteln.
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&f(x) &\quad \scriptsize \\[5pt] 0,4\cdot x+7&=&2 \cdot x-3&\quad \scriptsize \mid\;+3 \\[5pt] 0,4\cdot x+10&=&2 \cdot x&\quad \scriptsize \mid\;-0,4x \\[5pt] 10&=&1,6 \cdot x&\quad \scriptsize \mid\;:1,6 \\[5pt] 6,25&=&x&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der zugehörige Funktionswert kann durch Einsetzen von $x=6,25$ in $g(x)$ bestimmt werden.
$\begin{array}[t]{rll} g(6,25)&=&0,4 \cdot 6,25 +7&\quad \scriptsize \\[5pt] g(6,25)&=&9,5&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Schnittpunkt $A$ der Graphen ist $A(6,25\;|\;9,5)$.
3.1.3
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt bestimmen
Durch Verbinden der Punkte zu einem Dreieck kann die Länge der Grundseite $\overline{BC}=10\;\text{LE}$ und die zugehörige Höhe $h=6,25\;\text{LE}$ abgelesen werden. Für den Flächeninhalt ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\frac{1}{2}\cdot g \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&\frac{1}{2}\cdot 10\;\text{LE} \cdot 6,25\;\text{LE} &\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&31,25\;\text{FE} \end{array}$
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $31,25\;\text{FE}$.
3.1.4
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung angeben
Der Graph von $k(x)$ verläuft parallel zum Graphen von $g(x)$ und hat somit die gleiche Steigung. An der Stelle $x=-5$ hat $g(x)$ den zugehörigen $y$-Wert $y=5$. Der $y$- Wert von $k(x)$ ist an dieser Stelle $y=0$. Somit liegt $k(x)$ $5$ Einheiten unter dem Graphen von $g(x)$. Die Funktionsgleichung lautet $k(x)=0,4\cdot x +2$.
3.2
$\blacktriangleright$ Ursprüngliche Zeit berechnen
Zur Berechnung der Gesamtzeit $t$ lässt sich folgende Gleichung aufstellen:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{t}{12}&=&\frac{t}{10}-2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 12 \mid\; \cdot 10 \\[5pt] t \cdot 10&=&12\cdot t-2\cdot 10 \cdot 12 &\quad \scriptsize \\[5pt] t \cdot 10&=&12\cdot t-240 &\quad \scriptsize \mid\;-12t \\[5pt] t \cdot 10-12\cdot t&=&-240 &\quad \scriptsize \\[5pt] t \cdot (-2)&=&-240 &\quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] t &=&\frac{-240}{-2} &\quad \scriptsize \\[5pt] t &=&120 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Für alle Werkstücke wurden ursprünglich $120$ Minuten gebraucht. Für ein Werkstück wurden ursprünglich $120:10=12$ Minuten gebraucht.
#flächeninhalt#dreieck#funktionsgleichung#steigung
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