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Teil 2

Aufgaben
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Aufgabe 1

Teil 2
Abb. 1: Sandkasten
Teil 2
Abb. 1: Sandkasten
Für die Bestellung werden zwei verschiedene Angebote verglichen:
Angebot der Firma „Bauschnell“
bis zu $5~\text{m}^3$ Sand kosten $400~€$
Lieferung kostenlos
Preis für große Mengen auf Anfrage
Angebot der Firma „Bauschnell“
bis zu $5~\text{m}^3$ Sand kosten $400~€$
Lieferung kostenlos
Preis für große Mengen auf Anfrage
Teil 2
Abb. 2: Angebot der Firma „Bauschnell“
Teil 2
Abb. 2: Angebot der Firma „Bauschnell“
#graph

Aufgabe 2

Die Karte zeigt die nördlichen Bundesländer von Deutschland. In der Tabelle sind die Flächen dieser Bundesländer und deren Einwphnerzahlen dargestellt.
Teil 2
Abb. 3: nördliche Bundesländer Deutschlands (Karte links),
Flächen und Einwohnerzahlen dieser Bundesländer (Tabelle rechts)
Teil 2
Abb. 3: nördliche Bundesländer Deutschlands (Karte links),
Flächen und Einwohnerzahlen dieser Bundesländer (Tabelle unten)
a)
Bestimme mithilfe der Karte den abstand (Luftlinie) zwischen den stadtzentren von Hamburg und Berlin in Wirklichkeit.
b)
Welches der nörlichen Bundesländer hat die größte Fläche?
c)
Runde die Zahl der Einwohner von Nordrhein-Westfalen auf die Hunderttausenderstelle.
Gib die Anzahl als Zehnerpotenz an.
Teil 2
Abb. 4: Kreisdiagramm
Teil 2
Abb. 4: Kreisdiagramm

Aufgabe 3

Ein Billardtisch hat die Maße $2,48~\text{m} ~\times~1,36~\text{m}$ (Abbildung $1$).
Teil 2
Abb. 5: Billardtisch mit Maßangaben, ansicht von oben
Teil 2
Abb. 5: Billardtisch mit Maßangaben, ansicht von oben
a)
Um an dem Billardtisch spielen zu können, benötigt man an jeder Außenkante des Tisches zusätzich ca. $1,50~\text{m}$ Platz.
Welche Maße muss ein rechteckiger Raum mindestens haben? Notiere deinen Lösungsweg.
b)
Berechne die Diagonale des Billardtisches (siehe Abbildung $1$).
c)
Beim Spiel bewegt sich die Kugel mit einer Geschwindigkeit von $3$ Metern pro Sekunde.
Juri behauptet: „Die Geschwindigkeit der Kugel beträgt mehr als $10~\text{km/h}$“.
Ist die Behauptung richtig? Überprüfe mit einer Rechnung.
Teil 2
Abb. 6: dreieckiger Rahmen mit Kugeln
Teil 2
Abb. 6: dreieckiger Rahmen mit Kugeln
e)
Bei einem Stoß prallt die Kugel an den Rand und prallt im gleichen Winkel wieder ab. Trifft die Kugel das Loch in der unteren rechten Ecke (Abbildung $3$)?
Löse zeichnerisch.
Teil 2
Abb. 7: Bahn einer Kugel auf einem Billardtisch
Teil 2
Abb. 7: Bahn einer Kugel auf einem Billardtisch
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Inneren Umfang berechnen
Der innere Durchmesser ist in der Abbildung mit $d=3,60~\text{m}$ gegeben. Mit der Formel für den Kreisumfang erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} U&=&\pi \cdot d &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\pi \cdot 3,60~\text{m} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 11,31 ~\text{m} \end{array}$
Der innere Umfang ist also $11,31~\text{m}$.
b)
$\blacktriangleright$  Füllhöhe des Sandkastens bestimmen
Der Sandkasten hat die Form eines Zylinders. Dessen Volumen lässt sich über
$V=Grundfläche \cdot Höhe$
berechnen. Die Grundfläche ist ein Kreis, dessen Fläche du mithilfe des Durchmessers berechnen kannst:
$A=\pi \cdot \left( \dfrac{d}{2}\right)^2=\pi \cdot \left( \dfrac{3,60~\text{m}}{2}\right)^2=10,18~\text{m}^2$
$ A=\pi \cdot \left( \dfrac{d}{2}\right)^2=10,18~\text{m}^2 $
Setze nun alles in die Volumenformel ein und löse nach der $Höhe$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 5~\text{m}^3&=& 10,18~\text{m}^2 \cdot h &\quad \scriptsize \mid\; :10,18~\text{m}^2 \\[5pt] 0,49~\text{m}&\approx&h \end{array}$
$ h\approx 0,49~\text{m} $
Somit ist der Sandkasten sogar mehr als nur $0,45~\text{m}$ hoch gefüllt.
c)
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Variablen angeben
$y$ gibt den Preis in $€$ für $x$ Kubikmeter Sand an. Setze du also für $x$ eine belibige Zahl ein, z.B. $5$, dann erhältst du für $y$ die Kosten für $5~\text{m}^3$ Sand.
d)
$\blacktriangleright$  Begründe warum der Graph endet
Das Angebot der Firma Bauschnell gilt nur für die ersten $5~\text{m}^3$. Für größere Mengen kann der Preis erfragt werden, ist in der Aufgabe aber unbekannt. Somit sind die Kosten nur zwischen $0$ und $5~\text{m}^3$ definiert, weshalb der Graph im Punkt $P(5|400)$ endet.
Teil 2
Abb. 1: Angebot der Firma Schüttgut
Teil 2
Abb. 1: Angebot der Firma Schüttgut
#variable#gerade

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Abstand bestimmen
Da du den Abstand mihilfe der Karte bestimmen sollst, kannst du den Abstand und den Maßstab in der Karte ausmessen und mit einem Dreisatz dann auf den Abstand in Wirklichkeit schließen. Für die Messungen solltest du in etwa
$\begin{array}[t]{rll} Abstand&=&3~\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] 100~\text{km}&=&1,2~\text{cm} \end{array}$
erhalten. Mit dem Dreisatz gilt damit:
$:1,2$
Teil 2
$\begin{array}{rrcll} & 1,2~\text{cm}&\mathrel{\widehat{=}}& 100~\text{km} \\[5pt] & 1~\text{cm} &\mathrel{\widehat{=}}& 83,33~\text{km}\\[5pt] & 3 ~\text{cm} &\mathrel{\widehat{=}}& 250 ~\text{km}& \end{array}$ Teil 2
$:1,2$
$\cdot 3$
Teil 2
Teil 2
$\cdot 3$
$ 3~text{cm}=250~\text{km} $
Berlin und Hamburg liegen also ca. $250~\text{km}$ weit auseinander.
b)
$\blacktriangleright$  Bundesland mit größter Fläche bestimmen
Vergleichst du die Flächen in der Tabelle, kannst du feststellen, dass $\text{Niedersachsen}$ mit $47~592~\text{km}^2$ die größte Fläche besitzt.
c)
$\blacktriangleright$  Einwohnerzahl runden
Nordrhein-Westfalen hat $17~865~516$ Einwohner. Die Hunderttausenderstelle ist die $6.$ Stelle von rechts:
Teil 2
Abb. 2: Hunderttausenderstelle veranschaulicht
Teil 2
Abb. 2: Hunderttausenderstelle veranschaulicht
Gerundet auf diese Stelle ergibt das für die Einwohnerzahl von Nordrhein-Westfalen:
$17~865~516\approx 17~900~000$
Du kannst dies nun als Zehnerpotenz schreiben. Verschiebe das Komma dazu um $5$ Stellen nach links:
$17~900~000,0=179,0\cdot 10^{5}$
Die Einwohnerzahl von Nordrhein -Westfalen lässt sich also in etwa durch $179\cdot 10^5$ ausdrücken.
d)
$\blacktriangleright$  Einwohner pro $~\text{km}^2$ berechnen
Nordrhein-Westfalen hat $17~865~516$ Einwohner auf $34~112~\text{km}^2$ verteilt. Für die Einwohnerzahl pro $\text{km}^2$ ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{Einwohner}{Fläche}&=&\dfrac{17~865~516 ~\text{Einwohner}}{34~112~\text{km}^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 524 ~\dfrac{\text{Einwohner}}{\text{km}^2} \end{array}$
$ \approx 524 ~\dfrac{\text{Einwohner}}{\text{km}^2} $
Damit hat Nordrhein-Westfalen ca. $524$ Einwohner pro $\text{km}^2$.
e)
$\blacktriangleright$  Formel für Zelle D4 aufstellen
Die Zelle $D4$ gibt die Einwohner pro $\text{km}^2$ in Hamburg an. Dies lässt sich wie in Aufgabenteil $c)$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{Einwohner}{Fläche}&=&\dfrac{1~787~408 ~\text{Einwohner}}{755~\text{km}^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 2~367~\dfrac{\text{Einwohner}}{\text{km}^2} \end{array}$
$ \dfrac{1~787~408 ~\text{Einwohner}}{755~\text{km}^2} $
Dies entspricht der gesuchten Formel.
3)
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen und einzeichnen
Da $22~\%$ aller Einwohner Deutschlands in Nordrhein-Westfalen wohnen, muss der Winkel ebenso $22~\%$ des ganzen Kreises entsprechen. Da ein Kreis insgesamt $360^{\circ}$ hat, kannst du den gesuchten Winkel mit einem Dreisatz bestimmen:
$:100$
Teil 2
$\begin{array}{rrcll} & 100~\% &\mathrel{\widehat{=}}& 360^{\circ} \\[5pt] & 1~\% &\mathrel{\widehat{=}}& 3,6 ^{\circ} \\[5pt] & 22~\% &\mathrel{\widehat{=}}& 79,2^{\circ} & \end{array}$ Teil 2
$:100$
$\cdot 22$
Teil 2
Teil 2
$\cdot 22$
$ 22~\%=79,2^{\circ} $
Zeichne diesen Winkel von $79,2^{\circ}$ in das Kreisdiagramm ein und markiere das entstandene Kreissegment:
Teil 2
Abb. 3: Kreisdiagramm mit eingezeichnetem Winkel
Teil 2
Abb. 3: Kreisdiagramm mit eingezeichnetem Winkel
#abstand#dreisatz#winkel

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Maße des Raums berechnen
Teil 2
Abb. 4: Skizze des Billardtisches im Raum
Teil 2
Abb. 4: Skizze des Billardtisches im Raum
Wie du in der Skizze sehen kannst, werden an jeder Seite $1,50~\text{m}$ hinzugefügt, um die Mindestmaße des Raums zu erhalten. Für die lange Seite ergibt sich also:
$1,50~\text{m}+2,48~\text{m}+1,50~\text{m}=5,48~\text{m}$
$ 5,48~\text{m} $
Und für die Kurze:
$1,50~\text{m}+1,36~\text{m}+1,50~\text{m}=4,36~\text{m}$
$ 4,36~\text{m} $
Der rechteckige Raum muss also mindestens die Maße von $5,48 ~\text{m} \times 4,36~\text{m}$ haben.
b)
$\blacktriangleright$  Diagonale des Tisches berechnen
Teil 2
Abb. 5: Skizze zur Diagonalen
Teil 2
Abb. 5: Skizze zur Diagonalen
c)
$\blacktriangleright$  Geschwindigkeit in km/h umrechnen
Da $1~\text{h}=60~\text{min}=60\cdot 60~\text{s}$ und $1~\text{km}=1000~\text{m}$ gilt. Kannst du die Geschwindigkeit umrechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 3~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}&=& 60 \cdot 60 \cdot 3~\dfrac{\text{m}}{\text{h}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 10~800 ~\dfrac{\text{m}}{\text{h}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{10~800}{1000} ~\dfrac{\text{km}}{\text{h}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 10,8~\dfrac{\text{km}}{\text{h}} \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Behauptung begründen
Wie du in der Abbildung erkennen kannst, liegen an jeder Seite des Rahmens genau $5$ Kugeln. Jede dieser Kugeln hat einen Durchmesser von $5,72~\text{cm}$. Also kannst du die Mindestlänge des Rahmens berechnen:
$5\cdot 5,72~\text{cm}=28,6~\text{cm}$
Der Rahmen muss also mindestens $26,8~\text{cm}$ lang sein. Damit stimmt die Behauptung.
e)
$\blacktriangleright$  Kugelbahn einzeichnen
Die Kugel prallt im gleichen Winkel an der Wand ab. Messe also den Winkel $\alpha=60^{\circ}$ aus, und zeichne einen Winkel mit gleichem Wert auf die andere Seite ein (siehe Skizze). Verlängerst du nun deine Linie, stellst du fest, dass die Kugel genau in das Loch in die untere rechte Ecke trifft.
Teil 2
Abb. 6: Bahn der Kugel
Teil 2
Abb. 6: Bahn der Kugel
#winkel#satzdespythagoras
Bildnachweise [nach oben]
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