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Teil 1

Aufgaben
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Aufgabe 1

Ordne die Zahlen nach ihrer Größe. Beginne mit der kleinsten Zahl.
$0,44$$-3$$0,5$$\dfrac{4}{10}$$-2,5$

Aufgabe 2

Notiere in der angegebenen Maßeinheit.
$20\,\text{m}=$_________$\text{cm}$
$2,2\,\text{m}=$_________$\text{cm}$
$0,021\,\text{km}=$_________$\text{m}$

Aufgabe 3

Löse die Gleichung: $2x+1,8=3,6-x$

Aufgabe 4

Hendrik, Jan und Ole erhalten von ihren Eltern insgesamt $31\,$€ Taschengeld. Hendrik erhält doppelt so viel wie Jan, Ole bekommt $3\,$€ mehr als Jan.
Bestimme, wie viel Taschengeld jedes Kind erhält.

Aufgabe 5

a)  Zeige, dass die zylinderförmige Regentonne ein Volumen von ungefähr $472,5$ Litern hat.
b)  Wie viele Liter Wasser sind ungefähr in der Tonne, wenn sie zu einem Drittel mit Wasser gefüllt ist?
Teil 1
Abbildung 1: Regentonne
Teil 1
Abbildung 1: Regentonne

Aufgabe 6

Auf der Abbildung siehst du einen Bohrkopf für den Gotthard-Tunnel in der Schweiz.
Schätze den Durchmesser des Bohrkopfes. Beschreibe, wie du vorgegangen bist.
Teil 1
Teil 1
Abbildung „Bohrkopf“    Bildnachweis

Aufgabe 7

Aus einem Behälter mit $2$ blauen, $4$ gelben und $3$ roten Kugeln wird einmal gezogen.
a)  Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen?
b)  Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, keine gelbe Kugel zu ziehen?
Bildnachweis [nach oben]
Abbildung „Bohrkopf“
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Tipps
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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Die Zahlen ordnen
Du sollst die gegebenen Zahlen ihrer Größe nach ordnen. Beginnen sollst du mit der kleinsten Zahl.
Stelle die Zahlen zunächst alle in Dezimal-Darstellung dar. Trage sie dann in einem Zahlenstrahl ein. Links steht dann die kleinste Zahl. Nach rechts werden die Zahlen immer größer.

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Die Maßeinheiten umrechnen
Hier sollst du die gegebenen Längen in den angegebenen Maßeinheiten schreiben. Überlege dir zunächst, wie viele Zentimeter (cm) ein Meter (m) hat und wie viele Meter (m) ein Kilometer (km) hat. Anschließend kannst du umrechnen.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Die Gleichung lösen
Hier ist eine Gleichung mit $x$ gegeben, die du lösen sollst. Forme die Gleichung zunächst so um, dass alle Terme mit $x$ auf der linken Seite und alle Terme ohne $x$ auf der rechten Seite stehen. Teile die Gleichung dann durch die Zahl, die vor dem $x$ steht.

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Das Taschengeld bestimmen
Hier ist eine Textaufgabe gegeben. Aus den Angaben kannst du Gleichungen aufstellen, um die Aufgabe zu lösen. Zunächst ordnest du jedem Kind einen Buchstaben zu. Hendrik wird in den Gleichungen durch $H$ abgekürzt, Jan durch $J$ und Ole durch $O$. Anschließend kannst du Teile einer Gleichung durch eine andere Gleichung ersetzen.

Aufgabe 5

a) $\blacktriangleright$ Das Volumen berechnen
Hier musst du das Volumen einer zylinderförmigen Regentonne berechenen. Dazu brauchst du zunächst die Formel für das Volumen eines Zylinders. Anschließend kannst du aus der Abbildung die nötigen Größen ablesen. Als Letztes musst du noch dein Ergebnis mit dem gegebenen Ergebnis von $V=472,5\,\text{l}$ vergleichen. Dazu musst du dein Ergebnis noch in die Maßeinheit Liter (l) bzw. Kubikdezimeter ($\text{dm}^3$) umrechnen.
Formel für das Volumen eines Zylinders:
$V_{\text{Zylinder}} = \pi \cdot r^2 \cdot h$
$r$ ist der Radius, also der halbe Durchmesser der Tonne. $h$ ist die Höhe der Tonne.
Teil 1
Teil 1
b) $\blacktriangleright$ Die Wassermenge berechnen
Berechne, wie viel Liter Wasser in der Tonne sind, wenn sie zu einem Drittel mit Wasser gefüllt ist. Dazu musst du das Volumen durch drei teilen:

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$ Den Durchmesser schätzen
Hier ist ein Bild gegeben, auf dem ein Bohrkopf und ein Mann zu sehen sind. Du sollst den Durchmesser des Bohrkopfs abschätzen.
Teil 1
Teil 1
Der Durchmesser entspricht auf dem Bild der Höhe des Bohrkopfs. Am Bild kannst du jetzt abmessen wie oft du den Mann übereinander stapeln kannst, bis er so hoch wie der Bohrkopf ist. Multipliziert du die Größe des Mannes mit der Anzahl, kommst du auf deinen Schätzwert.

Aufgabe 7

a) $\blacktriangleright$ Die Wahrscheinlichkeit bestimmen
Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass bei einmaligem Ziehen eine rote Kugel gezogen wird. Berechne dazu, wie viele Kugeln insgesamt $A_{\text{alle}}$ im Behälter sind und wie viele rote Kugeln $A_{\text{rot}}$ im Behälter sind. Teilst du die Anzahl von roten Kugeln durch die Anzahl aller Kugeln erhältst du die Wahrscheinlichkeit $P_1$.
b) $\blacktriangleright$ Die Wahrscheinlichkeit bestimmen
Hier gehst du genau so vor wie im anderen Aufgabenteil. Die Summe aller Kugeln hast du bereits bestimmt. Jetzt du musst du noch die Summe der nicht gelben Kugeln $A_{\text{nicht gelb}}$ bestimmen, das sind die blauen und roten Kugeln. Für die Wahrscheinlichkeit $P_2$ teilst du die Anzahl der nicht gelben Kugeln durch die gesamte Anzahl an Kugeln.
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Lösungen
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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Die Zahlen ordnen
Du sollst die gegebenen Zahlen ihrer Größe nach ordnen. Beginnen sollst du mit der kleinsten Zahl.
Stelle die Zahlen zunächst alle in Dezimal-Darstellung dar. Trage sie dann in einem Zahlenstrahl ein. Links steht die kleinste Zahl. Nach rechts werden die Zahlen immer größer.
Die einzige Zahl, die du umschreiben musst, ist $\dfrac{4}{10}$:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4}{10}&=& 4\cdot \dfrac{1}{10} = 4 \cdot 0,1 = 0,4\\[5pt] \end{array}$
Trage jetzt die Zahlen in einen Zahlenstrahl ein. Negative Zahlen, gekennzeichnet durch ein Minus, stehen links von der Null, positive Zahlen, ohne Vorzeichen oder mit einem Plus, sind rechts der Null.
Teil 1
Teil 1
Die geordneten Zahlen sind demnach:
$\begin{array}[t]{rll} -3\; , \; -2,5\; , \; \dfrac{4}{10}\; , \; 0,44\; , \; 0,5 \end{array}$

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Maßeinheiten umrechnen
Hier sollst du die gegebenen Längen in den angegebenen Maßeinheiten schreiben. Überlege dir zunächst, wie viele Zentimeter (cm) ein Meter (m) hat und wie viele Meter (m) ein Kilometer (km) hat. Anschließend kannst du umrechnen.
$\begin{array}[t]{rll} 1\,\text{m} &\hat{=}& 100\,\text{cm}\\[5pt] 1\, \text{km} &\hat{=}& 1.000\,\text{m}\\[5pt] \end{array}$
Jetzt kannst du umrechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 1\,\text{m} &=& 100\,\text{cm}\quad& \scriptsize \mid\; \cdot 20\\[5pt] 20 \cdot 1\,\text{m} &=& 20\cdot 100\,\text{cm}\\[5pt] 20\,\text{m} &=& 2.000\,\text{cm}\\[5pt] \\[5pt] 1\,\text{m} &=& 100\,\text{cm}\quad& \scriptsize \mid\; \cdot 2,2\\[5pt] 2,2 \cdot 1\,\text{m} &=& 2,2\cdot 100\,\text{cm}\\[5pt] 2,2\,\text{m} &=& 220\,\text{cm}\\[5pt] \\[5pt] 1\,\text{km} &=& 1.000\,\text{m}\quad& \scriptsize \mid\; \cdot 0,021\\[5pt] 0,021 \cdot 1\,\text{km} &=& 0,021 \cdot 1.000\,\text{m}\\[5pt] 0,021\,\text{km} &=& 21\,\text{m}\\[5pt] \end{array}$

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Die Gleichung lösen
Hier ist eine Gleichung mit $x$ gegeben, die du lösen sollst. Forme die Gleichung zunächst so um, dass alle Terme mit $x$ auf der linken Seite und alle Terme ohne $x$ auf der rechten Seite stehen. Teile die Gleichung dann durch die Zahl, die vor dem $x$ steht:
$\begin{array}[t]{rll} 2x+1,8 &=& 3,6 -x &\quad \scriptsize \mid\; +x \\[5pt] 3x+1,8 &=& 3,6 &\quad \scriptsize \mid \; -1,8 \\[5pt] 3x &=& 1,8 &\quad \scriptsize \mid \; :3 \\[5pt] x &=& 0,6 \\[5pt] \end{array}$
Die Lösung der Gleichung ist somit $x=0,6$.

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Bestimme das Taschengeld
Hier ist eine Textaufgabe gegeben. Aus den Angaben kannst du Gleichungen aufstellen, um die Aufgabe zu lösen. Zunächst ordnest du jedem Kind einen Buchstaben zu. Hendrik wird in den Gleichungen durch $H$ abgekürzt, Jan durch $J$ und Ole durch $O$.
"Hendrik, Jan und Ole erhalten von ihren Eltern insgesamt $31$ € Taschengeld." Aus dieser Angabe kannst du jetzt eine Gleichung aufstellen. Das Wort „insgesamt“ zeigt dir, dass eine Summe vorliegt:
$\begin{array}[t]{rll} H+J+O = 31\\[5pt] \end{array}$
„Hendrik erhält doppelt so viel wie Jan“, das „doppelt“ gibt an, dass du mal zwei rechnen musst:
$\begin{array}[t]{rll} H = 2\cdot J \\[5pt] \end{array}$
„Ole bekommt $3$ € mehr als Jan.“ Das Wort „mehr“ heißt, dass du addieren musst:
$\begin{array}[t]{rll} O = 3+J \\[5pt] \end{array}$
Um die Lösung zu finden, ersetze in der ersten Gleichung $H$ und $O$ durch die in der zweiten und dritten Gleichung gegebenen Terme:
$\begin{array}[t]{rll} H+J+O &=& 31 &\quad\; \scriptsize \text{Ersetze: } H= 2\cdot J\\[5pt] 2 \cdot J + J + O &=& 31 \\[5pt] 3 \cdot J + O &=& 31 &\quad\; \scriptsize \text{Ersetze: } O = 3+J \\[5pt] 3\cdot J +3+J &=& 31 \\[5pt] 4\cdot J +3 &=& 31 &\quad \scriptsize \mid\; -3 \\[5pt] 4\cdot J &=& 28 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] J&=& 7\\[5pt] \end{array}$
Jetzt hast du die Lösungen für Jan gefunden. Er erhält $7$ €. Setzt du die Lösung in die zweite und dritte Gleichung ein, erhältst du auch die Lösungen für die anderen Kinder:
$\begin{array}[t]{rll} H &=& 2\cdot J &\quad\; \scriptsize \text{Ersetze: } J=7 \\[5pt] H &=& 2\cdot 7 \\[5pt] H &=& 14 \\[5pt] \\[5pt] O &=& 3+J &\quad\; \scriptsize \text{Ersetze: } J=7 \\[5pt] O &=& 3+7\\[5pt] O&=& 10\\[5pt] \end{array}$
Die Lösung ist demnach: Jan erhält $7$ €, Hendrik bekommt $14$ € und Jan kriegt $10$ €.

Aufgabe 5

a) $\blacktriangleright$ Das Volumen berechnen
Hier musst du das Volumen einer zylinderförmigen Regentonne berechenen. Dazu brauchst du zunächst die Formel für das Volumen eines Zylinders. Anschließend kannst du aus der Abbildung die nötigen Größen ablesen. Als Letztes musst du noch dein Ergebnis mit dem gegebenen Ergebnis von $V=472,5\,\text{l}$ vergleichen. Dazu musst du dein Ergebnis noch in die Maßeinheit Liter (l) bzw. Kubikdezimeter ($\text{dm}^3$) umrechnen.
Formel für das Volumen eines Zylinders:
$V_{\text{Zylinder}} = \pi \cdot r^2 \cdot h$
$r$ ist der Radius, also der halbe Durchmesser der Tonne. $h$ ist die Höhe der Tonne.
Teil 1
Teil 1
In der Skizze siehst du, dass der Durchmesser $d=80\,\text{cm}$ beträgt. Der Radius ist dementsprechend $r=40\,\text{cm}$. Damit du das Ergebnis gleich in der richtigen Maßeinheit hast, rechnest du in $\text{dm}$ um:
$\begin{array}[t]{rll} 1\,\text{dm} &=& 10\,\text{cm}\quad \scriptsize \mid\; \cdot 4\\[5pt] 4\,\text{dm} &=& 40\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
Der Radius ist also $4\,\text{dm}$. Die Höhe ist $94\,\text{cm}= 9,4 \,\text{dm}$. Jetzt kannst du die Werte in die Formel einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Zylinder}}&=&\pi\cdot r^2 \cdot h &\quad \; \scriptsize{ \text{Einsetzen: }} r=4\,\text{dm}\;\;h=9,4\,\text{dm}\\[5pt] &=&\pi \cdot (4\,\text{dm})^2 \cdot 9,4\,\text{dm}\\[5pt] &\approx& 472,5\,\text{dm}^3\\[5pt] \end{array}$
Das Volumen beträgt also $472,5\,\text{dm}^3$ bzw. $472,5$ Liter.
b) $\blacktriangleright$ Die Wassermenge berechnen
Berechne, wie viel Liter Wasser in der Tonne sind, wenn sie zu einem Drittel mit Wasser gefüllt ist. Dazu musst du das Volumen durch drei teilen:
$\begin{array}[t]{rll} 472,5\,\text{l}:3 &=& 157,5\,\text{l}\\[5pt] \end{array}$
Wenn die Tonne zu einem Drittel gefüllt ist, enthält sie ungefähr $157,5$ Liter Wasser.

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$ Den Durchmesser schätzen
Hier ist ein Bild gegeben, auf dem ein Bohrkopf und ein Mann zu sehen sind. Du sollst den Durchmesser des Bohrkopfs abschätzen.
Teil 1
Teil 1
Der Durchmesser entspricht auf dem Bild der Höhe des Bohrkopfs. Am Bild kannst du jetzt abmessen, wie oft du den Mann übereinander stapeln kannst, bis er so hoch wie der Bohrkopf ist. Multipliziert du die Größe des Mannes mit der Anzahl, kommst du auf deinen Schätzwert.
Der Mann passt in etwa $5$ Mal übereinander, damit er so hoch wie der Bohrkopf ist. Multipliziere jetzt die Größe des Mannes mit $5$. Der Mann ist schätzungsweise $1,80 \,\text{m}$ groß:
$\begin{array}[t]{rll} 5\cdot 1,80\,\text{m} &=& 9\,\text{m}\\[5pt] \end{array}$
Der Bohrkopf ist demnach etwa $9\,\text{m}$ hoch.

Aufgabe 7

a) $\blacktriangleright$Die Wahrscheinlichkeit bestimmen
Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass bei einmaligem Ziehen eine rote Kugel gezogen wird. Berechne dazu, wie viele Kugeln insgesamt $A_{\text{alle}}$ im Behälter sind und wie viele rote Kugeln $A_{\text{rot}}$ im Behälter sind. Teilst du die Anzahl von roten Kugeln durch die Anzahl aller Kugeln erhältst du die Wahrscheinlichkeit $P_1$:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{alle}}&=& 2+4+3 = 9\\[5pt] A_{\text{rot}} &=& 3\\[5pt] \\[5pt] P_1&=& \dfrac{A_{\text{rot}}}{A_{\text{alle}}}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit ist also $\dfrac{1}{3}$ bzw. $33,3\,\%$.
b) $\blacktriangleright$ Die Wahrscheinlichkeit bestimmen
Hier gehst du genau so vor wie im anderen Aufgabenteil. Die Summe aller Kugeln hast du bereits bestimmt. Jetzt du musst du noch die Summe der nicht gelben Kugeln $A_{\text{nicht gelb}}$ bestimmen, das sind die blauen und roten Kugeln. Für die Wahrscheinlichkeit $P_2$ teilst du die Anzahl der nicht gelben Kugeln durch die gesamte Anzahl an Kugeln:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{nicht gelb}} &=& 2+ 3 =5 \\[5pt] P_2 &=&\dfrac{A_{\text{nicht gelb}}}{A_{\text{alle}}}=\dfrac{5}{9}\\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, keine gelbe Kugel zu ziehen, ist $\dfrac{5}{9}$ bzw. $55,6\,\%$.
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