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Wahlteil

Aufgaben
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Aufgabe 1

In einem Laborversuch untersuchten Biologen das Wachstum von Schimmelpilzen auf Fassadenplatten der Marke „Isoflott“ und „Thermotop“. Je eine Platte der beiden Marken wurde in einer Klimakammer beobachtet. Beide Platten waren zu Versuchsbeginn jeweils auf einer Fläche von $100~\text{cm}^2$ von Schimmelpilz befallen.
a)
Bei Platten der Marke „Isoflott“ wurde festgestellt, dass sich die von Schimmelpilz befallene Fläche nach jedem Versuchstag um $27~\%$ vergrößert hatte.
i)
Vervollständige die Tabelle für eine Platte der Marke „Isoflott“.
Versuchsdauer in Tagen$0 $$1 $$2 $$3 $$4 $$5 $
Flächeninhalt der von Schimmelpilz befallenen Fläche in $\text{cm}^2$$100 $$ $$ $$204,84 $$260,14 $$ $
Versuchsdauer in TagenFlächeninhalt der von Schimmelpilz befallenen Fläche in $\text{cm}^2$
$0 $$100 $
$1 $$ $
$2 $$ $
$3 $$204,84 $
$4 $$260,14 $
$5 $$ $
(1,5 P.)
ii)
Ermittle rechnerisch den Flächeninhalt er von Schimmelpilz befallenen fläche bei Platten der Marke „Isoflott“ am Ende des $10.$ Versuchstages.
Runde auf zwei Nachkommastellen.
(1 P.)
iii)
Stelle das Schaubild des Schimmelpilzwachstums für die Platte der Marke „Isoflott“ in einem geeigneten Koordinatensystem dar.
(2 P.)
iv)
Bei Platten der Marke „Isoflott“ wurde der Versuch beendet, als der Flächeninhalt der von Schimmelpilz befallenen Fläche einen Quadratmeter erreciht hatte.
Berechne, am wievielten Versuchstag dies der Fall war.
(3 P.)
b)
Auch bei Platten der Marke „Thermotop“ hatte sich der Flächeninhalt der von Schimmelpilz befallenen Fläche täglich um einen festen Prozentsatz vergrößert. Ein Quadratmeter wurde nach $13$ Versuchstagen erreicht.
Berechne, um wie viel Prozent sich der Flächeninhalt der von Schimmelpilz befallenen Fläche auf Platten der Marke „Thermotop“ täglich vergrößert hat.
(2,5 P.)
#prozent#wachstum

Aufgabe 2

Ein Künstler bereitet eine Lichtinstalation in einem Bergdorf vor. Dazu möchte er den Abstand von zwei schwer zugänglichen Nischen in einer Felswand herausfinden. Um die Arbeit zu erleichtern, wird der Abstand über Winkelmessungen vom Boden aus bestimmt.
Von den Endpunkten $A$ und $B$ einer $105~\text{m}$ langen Standlinie werden die Punkte $P$ und $Q$ angepeilt. Die Punkte $A$, $B$, $P$ und $Q$ liegen dabei in einer Ebene. Man erhält folgende Winkel:
Wahlteil
Abb. 2: Skizze nicht maßstäblich
Wahlteil
Abb. 2: Skizze nicht maßstäblich
$|\overline{AB}|=105~\text{m}$; $\alpha=70^{\circ}$; $\beta=16^{\circ}$; $\gamma=115^{\circ}$; $\delta=50^{\circ}$
a)
Zeige rechnerisch, dass der Abstand der Punkte $P$ und $Q$ $103,71~\text{m}$ beträgt.
(6 P.)
b)
Der Künstler wünscht sich einen $25~\text{m}$ kleineren abstand der Lichteffekte. An Nische $Q$ will er festhalten, deahlab soll der Standort das linken Effekts entlang der Verbindungslinie von $P$ und $Q$ verschoben werden.
Gib an, unter welchem Winkel $\alpha_2$ ein neuer Standort für den linken Effekt gefunden werden muss. Ermittle den Winkel durch eine maßgetreue Zeichnung.
(4 P.)
#dreieck

Aufgabe 3

Es gibt verschiedenen Temperaturskalen. Die folgende Tabelle vergleicht beispielhaft Temperaturen in verschiedenen Maßeinheiten.
$ $FahrenheitReaumurCelsiusKelvin
mittlere Oberflächentemperatur der Sonne$ 9941~^{\circ}\text{F}$$4404~^{\circ}\text{R} $$5505~^{\circ}\text{C} $$5778~\text{K} $
Schmelztemperatur von Eisen$2795~^{\circ}\text{F} $$1228~^{\circ}\text{R} $$1535~^{\circ}\text{C} $$1808~\text{K} $
mittlere Oberflächen-temperatur der SonneSchmelz-temperatur von Eisen
$ 9941~^{\circ}\text{F} $$ 2795~^{\circ}\text{F}$
$4404~^{\circ}\text{R} $$1228~^{\circ}\text{R} $
$5505~^{\circ}\text{C} $$1535~^{\circ}\text{C} $
$ 5778~\text{K} $$ 1808~\text{K} $
a)
In den Vereinigten Staaten von Amerika wird die Temperatur in Grad Fahrenheit gemessen. Bei der Umrechnung von Grad Celsius in Grad Fahrenheit gilt folgende Umrechnungsformel:
$T_F=m\cdot T_C+k$
($T_F$: Temperatur in Grad Fahrenheit, $T_C$: Temperatur in Grad Celsius
i)
Bestimme die Parameter $m$ und $k$ in der Umrechnungsformel.
Benutze dazu Werte aus der obigen Tabelle.
(4 P.)
ii)
Der Schmelzpunkt von Eis liegt bei $32~^{\circ}\text{F}$.
Erläutere, warum man diesen Wert direkt aus der Umrechnungsformel ablesen kann.
(1 P.)
iii)
Zeige mithilfe der Umrechnungsformel, dass eine mit $37~^{\circ}\text{C}$ angegebene Körpertemperatur eines gesunden Menschen $98,6~^{\circ}\text{F}$ entspricht.
(1 P.)
b)
Zur Umrechnung von Grad Celsius in Grad Reaumur muss die jeweilige Temperatur lediglich mit einer Konstanten multipliziert werden.
i)
Bestimme diese Konstante.
(1 P.)
ii)
Gib an, bei welcher Reaumur-Temperatur der Sidepunkt von Wasser liegt.
(1 P.)
iii)
Stelle den Zusammenhang der Temperatur nach Celsius und Reaumur in einem geeigneten Diagramm von $-10~^{\circ}\text{C}$ bis $110~^{\circ}\text{C}$ dar, so dass man die jewilige Temperatur einfach ablesen kann, ohne rechnen zu müssen.
(1 P.)
Wahlteil
Abb. 3: Koordinatensystem
Wahlteil
Abb. 3: Koordinatensystem
iv)
Die Körpertemperatur des Menschen liegt bei $37~^{\circ}\text{C}$.
Bestimme die Körpertemperatur des Menschen in $^{\circ}\text{R}$.
(1 P.)

Aufgabe 4

Der Dachstuhl eines Lagerraums ist aus zwei Hälften einer quadratischen Pyramide und einem Dreiecksprisma zusammengesetzt.
In Abbildung 4 siehst du ein Schrägbild des Dachstuhls, in Abbildung 5 die Ansicht einer der trapezförmigen Seitenflächen.
Wahlteil
Abb. 5: Skizze nicht maßstäblich
Wahlteil
Abb. 5: Skizze nicht maßstäblich
a)
Begründe, dass die Breite $a$ des Lagerraums $6~\text{m}$ beträgt.
(2 P.)
b)
Berechne das Volumen des gesamten Dachstuhls.
(4 P.)
c)
Berechne die Größe der gesamten Dachfläche.
(4 P.)
#prisma#pyramide

Aufagbe 5

Schwingungen können durch trigonometrische Funktionen beschrieben werden.
Gegeben sind die Funktionen mit den Gleichungen $f(x)=\sin(x)+1$ und $g(x)=2\cdot \sin(x)-1$.
a)
Ergänze die fehlenden Werte in der folgenden Wertetabelle.
$x$ in $^{\circ}$$0 $$30 $$60 $$90 $$120 $$150 $$180 $$210 $$240 $$270 $
$f(x)$$ $$1,5 $$1,87 $$2 $$1,87 $$1,5 $$1 $$ $$ 0,13$$0 $
$g(x)$$-1 $$ 0$$ $$1 $$0,73 $$0 $$-1 $$ -2$$ $$-3 $
$x$$y$
$x$ in $^{\circ}$$f(x) $$g(x) $
$0 $$ $$-1 $
$ 30$$1,5 $$0$
$60 $$1,87 $$ $
$90 $$2 $$1 $
$120 $$1,87 $$0,73 $
$150 $$1,5 $$0 $
$180 $$1 $$-1 $
$ 210$$ $$-2 $
$240 $$0,13 $$ $
$ 270$$0 $$-3 $
(2 P.)
b)
Zeichne den Graphen der Funktion $f$.
(1 P.)
c)
Erläutere, wie sich der Graph der Funktin $g$ vom Graph der Funktion $f$ unterschiedet.
(2 P.)
d)
Überlagern sich zwei Schwingungen, so entsteht eine neue Schwingung. Dabei addieren sich an jeder stelle die Funktionswerte der beiden sich überlagernden Schwingungen.
i)
Berechne die Funktionswerte der durch die Überlagerung der beiden Schwingungen $f$ und $g$ entstehenden Funktion $h$ in der Wertetabelle.
$x$ in $^{\circ}$$0 $$30 $$60 $$90 $$120 $$150 $$180 $$ 210$$ 240$$270 $
$h(x)=f(x)+g(x)$$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $
$x$ in $^{\circ}$$h(x)=f(x)+g(x)$
$0 $$ $
$30 $$ $
$ 60$$ $
$ 90$$ $
$120 $$ $
$150 $$ $
$180 $$ $
$210 $$ $
$240 $$ $
$270 $$ $
(2 P.)
ii)
Zeichne den zugehörigen Graphen der Funktion $h$ in dem Koordinatensystem von Aufgabenteil b).
(1 P.)
iii)
Kreuze an, welche der folgenden Funktionsgleichungen den Graphen der Funkzion $h$ beschreibt. Begründe deine Auswahl.
$h(x)=\sin(2x)$
$h(x)=3\cdot \sin(x)$
$h(x)=\sin(x)+3$
(2 P.)
#sinusfunktion
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Lösungen
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Aufgabe 1

Wahlteil
a)
i)
$\blacktriangleright$  Tabelle vervollständigen
Versuchsdauer in Tagen$0 $$1 $$2 $$3 $$4 $$5 $
Flächeninhalt der von Schimmelpilz befallenen Fläche in $\text{cm}^2$$100 $$100\cdot 1,27\\=127 $$127\cdot 1,27\\=161,29 $$204,84 $$260,14 $$260,14*1,27\\=330,38 $
Versuchsdauer in TagenFlächeninhalt der von Schimmelpilz befallenen Fläche in $\text{cm}^2$
$0 $$100 $
$1 $$ $
$2 $$ $
$3 $$204,84 $
$4 $$260,14 $
$5 $$ $
ii)
$\blacktriangleright$  Befallene Fläche nach 10 Tagen berechnen
Nach $10$ Tagen gilt:
$\begin{array}[t]{rll} B(t)&=&100~\text{cm}^2\cdot\left(1+\dfrac{27}{100}\right)^t \\[5pt] &=&100~\text{cm}^2\cdot1,27^t &\quad \scriptsize \mid\; t=10 \\[5pt] B(10)&=&1091,53~\text{cm}^2 \end{array}$
$ B(10)=1091,53~\text{cm}^2$
Der Flächeninhalt nach $10$ Tagen beträgt $1091,91~\text{cm}^2$
iii)
$\blacktriangleright$  Schaubild darstellen
Wahlteil
Abb. 1: Schaubild des Schimmelbefalls
Wahlteil
Abb. 1: Schaubild des Schimmelbefalls
iv)
$\blacktriangleright$  Versuchsende berechnen
Rechne zuerst ein Quadratmeter in Quadratzentimeter um. Es gilt:
$1~\text{m}^2=10~000~\text{cm}$
Du musst also berechnen, wann eine Fläche von $10~000~\text{cm}^2$ befallen sind. Führst du die Wertetabelle fort erhältst du die folgenden Werte:
$\begin{array}[t]{rll} B(19)&=&100~\text{cm}^2\cdot 1,27^{19}&\approx&9~381~\text{cm}^2 \\[5pt] B(20)&=&100~\text{cm}^2\cdot 1,27^{20}&\approx&11~914~\text{cm}^2 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} B(19)&\approx&9~381~\text{cm}^2 \\[5pt] B(20)&\approx&11~914~\text{cm}^2 \end{array} $
Am $20.$ Versuchstag wurde eine Fläche von $1~\text{m}^2$ erreicht.
b)
$\blacktriangleright$  Vergrößerung in Prozent berechnen
Setze die gegebenen Werte $B_0=100~\text{cm}^2$, $t=13$ und $B(13)=10~000~\text{cm}^2$ in die Wachstumsgleichung ein und löse nach $p\%$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} B(t)&=&B_0\cdot \left(1+\dfrac{p\%}{100}\right)^t \\[5pt] 10~000~\text{cm}^2&=&100~\text{cm}^2\cdot \left(1+\dfrac{p\%}{100}\right)^{13} &\quad \scriptsize \mid\; :100~\text{cm}^2 \\[5pt] 100&=&\left(1+\dfrac{p\%}{100}\right)^{13} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[13]{\color{#ffffff}{x}} \\[5pt] 1,4251&\approx& 1+\dfrac{p\%}{100} &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] 0,4251&\approx& \dfrac{p\%}{100} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 100\\[5pt] 42,51 &\approx& p\% \end{array}$
$ p\%=42,51~\% $
Die Fläche auf der Platte der Marke Thermotop hat sich täglich um $42,51~\%$ vergrößert.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Abstand der Punkte P und Q zeigen
Wahlteil
Abb. 2: Skizze
Wahlteil
Abb. 2: Skizze
Gehe genauso für die Seite $\overline{BP}$ im Dreieck $ABP$ vor:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{BP}}{\sin(\alpha)}&=&\dfrac{\overline{AB}} {\sin(\phi)} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin(\alpha)\\[5pt] \overline{BP}&=&\dfrac{\overline{AB}\cdot \sin(\alpha)}{\sin(\phi)} \\[5pt] &=&\dfrac{105~\text{m}\cdot \sin(70^{\circ})}{\sin(60^{\circ})} \\[5pt] &\approx& 113,93~\text{m} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{BP}}{\sin(\alpha)}&=&\dfrac{\overline{AB}} {\sin(\phi)} \\[5pt] \overline{BP}&\approx& 113,93~\text{m} \end{array} $
Jetzt kannst du im Dreieck $BQP$ (hier orange markiert) mithilfe des Kosinussatzes die Strecke $\overline{PQ}$ berechnen. Dazu benötigst du den Winkel $\delta_2$ für welchen gilt:
$\delta_2=\gamma-\delta=115^{\circ}-50^{\circ}=65^{\circ}$
Damit erhältst du für den Abstand der Punkte $P$ und $Q$:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{PQ}^2&=&\overline{BQ}^2+\overline{BP}^2-2\cdot \overline{BQ}\cdot \overline{BP} \cdot \cos(\delta_2) &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{}\\[5pt] \overline{PQ}&=&\sqrt{\overline{BQ}^2+\overline{BP}^2-2\cdot \overline{BQ}\cdot \overline{BP} \cdot \cos(\delta_2)} \\[5pt] &=& \sqrt{(38,35~\text{m})^2+(113,93~\text{m})^2-2\cdot 38,35~\text{m}\cdot 113,93~\text{m} \cdot \cos(65^{\circ})} \\[5pt] &=&103,71~\text{m}^2 \end{array}$
$\overline{PQ}=103,71~\text{m}^2 $
Damit hast du den Abstand von $103,71~\text{m}$ gezeigt.
b)
$\blacktriangleright$  Winkel ermitteln
Wahlteil
Abb. 3: maßstabsgetreue Skizze
Wahlteil
Abb. 3: maßstabsgetreue Skizze
#kosinussatz#sinussatz

Aufgabe 3

a)
i)
$\blacktriangleright$  Parameter bestimmen
Setze die beiden Temperaturen $T_F$ und $T_C$ der Oberflächentemperatur und der Schmelztemperatur in die Formel ein und löse das Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&9941&=& m\cdot 5505 + k &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}-\text{II}\\ \text{II}\quad&2795&=&m\cdot 1535 +k &\quad \\[10pt] \hline \text{I}_2\quad&7146&=& m\cdot 3970 &\quad \scriptsize\mid\; :3970 \\[5pt] &1,8&=& m \end{array}$
$ m=1,8 $
Setze $m$ in eine der Gleichungen ein, um $k$ zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} 2795&=&1,8\cdot 1535 +k &\quad \scriptsize \mid\;-1,8\cdot 1535 \\[5pt] 32&=&k \end{array}$
$ k=32 $
Damit erhältst du die Gleichung:
$T_F=1,8\cdot T_C+32$
ii)
$\blacktriangleright$  Schmelzpunkt von Eis erläutern
Eis schmilzt bekanntlich bei $0~^{\circ}\text{C}$. Setzt du $T_C=0$ in die Formel ein, fällt der erste Teil weg und du erhältst $T_F=32$.
iii)
$\blacktriangleright$  Körpertemperatur umrechnen
Setze $T_C=37$ in die Formel ein:
$T_F=1,8\cdot 37+32=98,6$
Die Körpertemperatur entspricht also $98,6~^{\circ}\text{F}$.
b)
i)
$\blacktriangleright$  Konstante bestimmen
Setze die Temperatur eines der beiden Ereignisse in die Formel:
$\begin{array}[t]{rll} T_R&=&a \cdot T_C & \\[5pt] 4404&=&a \cdot 5505 &\quad \scriptsize \mid\; :5505 \\[5pt] 0,8&=&a \end{array}$
Die Konstante ist $a=0,8$.
ii)
$\blacktriangleright$  Reaumur-Temparatur berechnen
Wasser siedet bei $100~^{\circ}\text{C}$. Setze also $T_C=100$ in die Gleichung ein:
$T_R=0,8\cdot 100=80$
Wasser sidet bei $80~^{\circ}\text{R}$.
iii)
$\blacktriangleright$  Diagramm zeichnen
Für das Diagramm ist $T_C=x$ und $T_R=y$. Du musst also die Gerade $y=0,8x$ einzeichnen:
Wahlteil
Abb. 4: Diagramm für den Zusammenhang der Temperaturen
Wahlteil
Abb. 4: Diagramm für den Zusammenhang der Temperaturen
iv)
$\blacktriangleright$  Körpertemperatur bestimmen
Setze $T_C=37$ in die Gleichung ein:
$T_R=0,8\cdot 37=29,6$
Die Körpertemperatur eines Menschen beträgt $29,6~^{\circ}\text{R}$.
#gleichungssystem#gerade

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Breite des Lagerraums begründen
Die Breite $a$ des Lagerraums entspricht einer Seitenlänge der Grundseite der Pyramide. Du weißt, dass sich die Länge des Lagerraums aus zwei halben Pyramidengrundseiten und $2~\text{m}$ zusammensetzt. Die gesamte Länge emtspricht $8~\text{m}$. Die Seitenlänge der Pyramide ist deshalb $8~\text{m}-2~\text{m}=6~\text{m}$. Weil es sich um eine quadratische Pyramide handelt ist $a=6~\text{m}$.
b)
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Das Volumen setzt sich aus einer Pyramide und einem Prisma zusammen.
Wahlteil
Abb. 5: Querschitt des Dachstuhls
Wahlteil
Abb. 5: Querschitt des Dachstuhls
Für das Prisma gilt damit $V=G\cdot d$, wobei $d=2~\text{m}$ die Dicke des Prismas ist und $G$ die Grundfläche ist.
$\begin{array}[t]{rll} V_{Pr}&=&\dfrac{1}{2}\cdot 6~\text{cm}\cdot 2,5~\text{m}\cdot 2~\text{m}\\[5pt] &=&15~\text{m}^3 \end{array}$
Die beiden halben Pyramiden ergebn zusammen eine ganze Pyramide. Diese hat ebenso die Höhe $h=2,5~\text{m}$. Damit gilt für das Volumen:
$\begin{array}[t]{rll} V_{Py}&=&\dfrac{1}{3}\cdot (6~\text{m})^2 \cdot 2,5~\text{m}\\[5pt] &=&30~\text{m}^3 \end{array}$
Damit gilt für das Gesamtvolumen:
$V=15~\text{m}^3+30~\text{m}^3=45~\text{m}^3$
c)
$\blacktriangleright$ 
Die Dachfläche besteht aus $2$ Rechtecken und aus $2$ ganzen und $4$ halben Dreiecken, welche die Pyramide bilden. Insgesamt also $4$ Dreiecke der Pyramide und $2$ rechtecke.
Für die Rechtecke, musst du zuerst die fehlende Seitenlänge $a$ berechnen. Diese entspricht der Länge der Katheten des Dreiecks in Abbildung 5. Mithilfe des Kosinus gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(39,8^{\circ})&=&\dfrac{3~\text{m}}{a} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a \\[5pt] \cos(39,8^{\circ})\cdot a&=&3~\text{m} &\quad \scriptsize \mid\; :\cos(39,8^{\circ})\\[5pt] a&=&\dfrac{3~\text{m}}{\cos(39,8^{\circ})} \\[5pt] &=&3,905~\text{m} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \cos(39,8^{\circ})&=&\dfrac{3~\text{m}}{a} \\[5pt] a&=&3,905~\text{m} \end{array} $
Jetzt kannst du den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen:
$A_R=3,905~\text{m}\cdot 2~\text{m}=7,81~\text{m}^2$
Die Länge $a$ beschreibt außerdem die Höhe der Dreiecke der Pyramide, da diese das seitliche Dreiecke genau mittig teilt. Somit gilt für die Fläche eines der Dreiecke:
$A_D=\dfrac{1}{2}\cdot 6~\text{m}\cdot 3,905~\text{m}=11,715~\text{m}^2$
$ A_D=11,715~\text{m}^2 $
Jetzt kannst du die gesamte Oberfläche berechnen:
$A=4\cdot 11,715~\text{m}^2+2\cdot 7,81~\text{m}^2=62,48~\text{m}^2$
$ A=62,48~\text{m}^2 $
#kosinus#tangens

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Wertetabelle ergänzen
Setze die $x$-Werte in die Funktionsgleichungen ein, um den jeweiligen Wert zu erhalten.
$x$ in $^{\circ}$$0 $$30 $$60 $$90 $$120 $$150 $$180 $$210 $$240 $$270 $
$f(x)$$\color{#87c800}{1} $$1,5 $$1,87 $$2 $$1,87 $$1,5 $$1 $$\color{#87c800}{0,5}$$ 0,13$$0 $
$g(x)$$-1 $$ 0$$\color{#87c800}{0,73 }$$1 $$0,73 $$0 $$-1 $$ -2$$\color{#87c800}{-2,73} $$-3 $
$x$ in $^{\circ}$$f(x) $$g(x) $
$0 $$ \color{#87c800}{1}$$-1 $
$ 30$$1,5 $$0$
$60 $$1,87 $$\color{#87c800}{0,73} $
$90 $$2 $$1 $
$120 $$1,87 $$0,73 $
$150 $$1,5 $$0 $
$180 $$1 $$-1 $
$ 210$$\color{#87c800}{0,5 }$$-2 $
$240 $$0,13 $$\color{#87c800}{-2,73} $
$ 270$$0 $$-3 $
b)
$\blacktriangleright$  Graph zeichnen
Zeichne die Werte aus der Wertetabelle in ein Koordinatensystem und verbinde diese zu einem Graphen:
Wahlteil
Abb. 6: Graph der Funktion $f$
Wahlteil
Abb. 6: Graph der Funktion $f$
c)
$\blacktriangleright$  Unterschied erläutern
Die Funktion $g$ ist im Vergleich zur Funktion $f$…
  • … um $2$ nach unten verschoben.
  • … um den Faktor $2$ entlang der $y$-Achse gestreckt. Die Amplitude ist doppelt so groß wie die von $f$.
d)
i)
$\blacktriangleright$  Wertetabelle ausfüllen
Rechne die Werte von $f(x)$ und $g(x)$ in jeder Spalte zusammen und trage sie in die neue Tabelle ein:
$x$ in $^{\circ}$$0 $$30 $$60 $$90 $$120 $$150 $$180 $$ 210$$ 240$$270 $
$h(x)=f(x)+g(x)$$0 $$1,5 $$2,6 $$3 $$ 2,6$$ 1,5$$ 0$$-1,5 $$-2,6 $$-3 $
$x$ in $^{\circ}$$h(x)=f(x)+g(x)$
$0 $$0 $
$30 $$1,5 $
$ 60$$2,6 $
$ 90$$3 $
$120 $$2,6 $
$150 $$1,5 $
$180 $$0 $
$210 $$-1,5 $
$240 $$-2,6 $
$270 $$-3 $
ii)
$\blacktriangleright$  Graph zeichnen
Zeichne wieder die Punkte aus der Wertetabelle in dein Koordinatensystem und verbinde diese zu einem Graphen
Wahlteil
Abb. 7: Graphen f und h
Wahlteil
Abb. 7: Graphen f und h
iii)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung ankreuzen
Du kannst an deinem Graphen erkennen, dass es sich um einen normalen Sinus mit Amplitude $3$ handelt. Alternativ kannst du die Funktionsgleichung berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=&f(x)+g(x) &\quad \\[5pt] &=&\sin(x)+1+2\cdot \sin(x)-1 \\[5pt] &=&\sin(x)+2\cdot \sin(x) \\[5pt] &=&3\cdot \sin(x) \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} h(x)&=&f(x)+g(x) &\quad \\[5pt] &=&3\cdot \sin(x) \end{array} $
Kreuze zum Schluss die richtige Funktionsgleichung an:
$h(x)=\sin(2x)$
$h(x)=3\cdot \sin(x)$
$h(x)=\sin(x)+3$
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