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Aufgabe 1 - Analysis

Aufgaben
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1.
Gegeben ist die Funktion $f: D_{\text{max}} \rightarrow \mathbb{R}; \,x \rightarrow 5 \cdot (1-x) \cdot \mathrm{e}^{-x}.$
1.1
Gib für die Funktion $f$ die maximale Definitionsmenge sowie den $y$-Achsenabschnitt an.
#y-achsenschnittpunkt#definitionsbereich
1.2
Bestimme die Nullstelle der Funktion $f$ und gib ihre Vielfachheit an.
#nullstelle
1.3
Gib mit Begründung die Grenzwerte $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$ und $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$ an.
#grenzwert
1.4
Untersuche die Funktion $f$ auf Symmetrie zur $y$-Achse bzw. zum Ursprung.
#symmetrie
1.5
Zeige, dass für die Ableitung der Funktion $f$ gilt: $f'(x)=5 \cdot (x-2) \cdot \mathrm{e}^{-x}.$
#ableitung
1.6
Untersuche die Funktion $f$ auf Extrempunkte. Gib die Monotomieintervalle an.
#monotonie#extrempunkt
1.7
Zeichne unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse den Graphen von $f.$
1.8
Jemand behauptet:
„Der Mittelwert von $f'$ über dem Intervall $[1; 2]$ ist kleiner als $-1.$“
Prüfe durch Rechnung, ob diese Aussage zutrifft.
#mittelwert
2.
Für jedes $k \in \mathbb{R}^+$ ist eine Funktion $f_k: x \rightarrow k^2x^3-6kx^2+9x$ mit $x \in \mathbb{R}$ gegeben. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.
2.1
Gib das Verhalten von $f_k$ für $x \rightarrow -\infty$ und $x \rightarrow +\infty$ an.
2.2
Berechne die Nullstellen von $f_k.$
#nullstelle
2.3
Begründe, dass $G_k$ weder zum Koordinatenursprung noch zur $y$-Achse symmetrisch ist.
#symmetrie
2.4
Weise nach, dass $f_k'(x)=3 \cdot (kx-1) \cdot (kx-3)$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $f_k$ ist.
#ableitung
2.5
Berechne denjenigen Wert von $k$, für den sich die $x$-Koordinaten der beiden Extrempunkte von $G_k$ um $6$ unterscheiden.
#extrempunkt
2.6
Für jeden Wert von $k$ wird die Tangente an $G_k$ im Wendepunkt $\left(\dfrac{2}{k} \Big| \dfrac{2}{k} \right)$ betrachtet. Zeige, dass die Tangenten für unterschiedliche Werte von $k$ parallel zueinander sind.
#tangente
2.7
2.8
Für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt $f_2(x)=\dfrac{1}{2} \cdot f_1(2x).$
Beschreibe, wie der Graph von $f_2$ aus dem Graphen von $f_1$ hervorgeht.
2.9
2.9.1
Begründe ohne Berechnung des Integrals, dass der Punkt $(0 \mid 0)$ Tiefpunkt des Graphen der Funktion $L$ ist.
2.9.2
Gib zwei besondere Eigenschaften des Graphen von $L$ bei $x=3$ an.
2.9.3
Begründe, dass der Graph der Funktion $M$ aus dem Graphen der Funktion $L$ durch eine Verschiebung in negative $y$-Richtung hervorgeht.
#integral#extrempunkt#verschiebung
3.
3.1
Interpretiere den Term $p(6)-q(6)$ im Sachzusammenhang.
3.2
In die aufrecht stehende Schale wird mit konstanter Zuflussrate Wasser gefüllt. Eintscheide, welcher der abgebildeten Graphen $\text{I}$, $\text{II}$ und $\text{III}$ die Füllhöhe in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Begründe deine Entscheidung.
3.3
Weise nach, dass sich bei dem beschriebenen Füllvorgang der Flächeninhalt $A$ der Wasseroberfläche $($in $\text{dm}^2)$ in Abhängigkeit von der Füllhöhe $h$ $($in $dm)$ mithilfe der Gleichung $A(h)=4 \pi h$ berechnen lässt.
3.4
Interpretiere im Sachzusammenhang die Funktion $s$ mit $s(h) = \pi \cdot \displaystyle\int_{2}^{2+h}(q(x))^2 \;\mathrm dx$ und gib den größten Definitionsbereich von $s$ an, der im Sachzusammenhang sinnvoll ist.
#definitionsbereich
3.5
Berechne die Masse der Schale.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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[2]
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[3]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Maximale Definitionsmenge angeben
Die $\mathrm{e}$-Funktion ist für alle $x \in \mathbb{R}$ definiert. Somit folgt für die maximale Definitionsmenge:
$D_{\text{max}}=\mathbb{R}$
$\blacktriangleright$  Achsenabschnitt angeben
Mit $x=0$ folgt für den $y$-Achsenabschnitt:
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 5 \cdot (1-0) \cdot \mathrm{e}^{-0} \\[5pt] &=& 5 \cdot 1 \\[5pt] &=& 5 \\[5pt] \end{array}$
Der $y$-Achsenabschnitt beträgt somit $f(0)=5.$
1.2
$\blacktriangleright$  Nullstelle bestimmen
Für die Nullstelle der Funktion $f$ folgt mit $f(x)=0$:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] 5 \cdot (1-x) \cdot \mathrm{e}^{-x} &=& 0 \quad \scriptsize \mid \, \mathrm{e}^{-x} \neq 0 \text{ für alle }x \in \mathbb{R} \\[5pt] 1-x &=& 0 \quad \scriptsize \mid \, +x \\[5pt] 1 &=& x \\[5pt] \end{array}$
$x=1 $
Somit besitzt die Funktion $f$ die einfache Nullstelle $x=1.$
1.3
$\blacktriangleright$  Grenzwerte angeben
Für den Grenzwert mit $x \to - \infty$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)&=& \lim\limits_{x\to -\infty} \left(5 \cdot (1-x) \cdot e^{-x} \right) \\[5pt] \end{array}$
$ \lim\limits_{x\to -\infty}f(x) = \dotsc$
Hierbei gilt $\lim\limits_{x\to -\infty} \left(5 \cdot (1-x)\right)= + \infty$ und $\lim\limits_{x\to -\infty} \left(\mathrm{e}^{-x} \right)= + \infty$. Somit folgt für den oberen Grenzwert:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)&=& \lim\limits_{x\to -\infty} \left(5 \cdot (1-x) \cdot e^{-x} \right) \\[5pt] &=& + \infty\\[5pt] \end{array}$
$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x) = + \infty $
Für $x \to + \infty$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)&=& \lim\limits_{x\to +\infty} \left(5 \cdot (1-x) \cdot e^{-x} \right) \\[5pt] \end{array}$
$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\dotsc$
Hierbei gilt $\lim\limits_{x\to +\infty} \left(5 \cdot (1-x)\right)= - \infty$ und $\lim\limits_{x\to +\infty} \left(\mathrm{e}^{-x} \right)= 0$. Da die $\mathrm{e}$-Funktion in den Grenzwert stärker eingeht, als eine Polynomfunktion, folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)&=& \lim\limits_{x\to +\infty} \left(5 \cdot (1-x) \cdot e^{-x} \right) \\[5pt] &=& 0\\[5pt] \end{array}$
$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0 $
1.4
$\blacktriangleright$  Symmetrie bestimmen
Der Graph einer Funktion $f$ ist symmetrisch zum Koordinatenursprung, genau dann wenn $f(-x)= -f(x)$ gilt, bzw symmetrisch zur $y$-Achse, genau dann wenn $f(-x)=f(x)$ gilt.
$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=& 5 \cdot (1-(-x)) \cdot \mathrm{e}^{-(-x)} \\[5pt] &=& 5 \cdot (1+x) \cdot \mathrm{e}^{x} \\[5pt] -f(x)&=& -5 \cdot (1-x) \cdot \mathrm{e}^{-x} \\[5pt] &=& 5 \cdot (-1+x) \cdot \mathrm{e}^{-x} \\[5pt] \end{array}$
$f(-x) =\dotsc$
Es ist aber $f(-x)\neq -f(x),$ weshalb der Graph der Funktion $f$ nicht symmetrisch zum Koordinatenursprung sein kann. Außerdem gilt $f(-x)\neq f(x)$, weshalb der Graph der Funktion $f$ auch nicht symmetrisch zur $y$-Achse sein kann.
1.5
$\blacktriangleright$  Gleichung der Ableitungsfunktion nachweisen
Mit der Produktregel folgt für die Gleichung der Ableitungsfunktion $f'$:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 5 \cdot (1-x) \cdot \mathrm{e}^{-x}\\[5pt] f'(x)&=& 5 \cdot (-1) \cdot \mathrm{e}^{-x} + 5 \cdot (1-x) \cdot (-1) \cdot \mathrm{e}^{-x} \\[5pt] &=& -5 \cdot \mathrm{e}^{-x} + 5 \cdot (-1+x) \cdot \mathrm{e}^{-x} \\[5pt] &=& 5 \cdot \mathrm{e}^{-x} \cdot (-1 - 1 +x ) \\[5pt] &=& 5 \cdot (x-2) \cdot \mathrm{e}^{-x}\\[5pt] \end{array}$
$f(x)=\dotsc $
Somit gilt für die Ableitung der Funktion $f$ die Gleichung $f'(x)=5 \cdot (x-2) \cdot \mathrm{e}^{-x}.$
#produktregel
1.6
$\blacktriangleright$  Extrempunkte untersuchen
Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen $f'(x_E)=0$ folgt für die möglichen Extremstellen von $f:$
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 0 \\[5pt] 5 \cdot (x-2) \cdot \mathrm{e}^{-x}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \mathrm{e}^x > 0 \text{ für alle } x \in \mathbb{R} \\[5pt] x-2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt] x&=& 2 \\[5pt] \end{array}$
$ x=2 $
Weiter folgt für $f'(1)$:
$\begin{array}[t]{rll} f'(1)&=& 5 \cdot (1-2) \cdot \mathrm{e}^{-1} \\[5pt] &=& -5 \cdot \mathrm{e}^{-1} \\[5pt] \end{array}$
Die $\mathrm{e}$-Funktion ist für alle $x \in \mathbb{R}$ größer als Null. Dadurch folgt $f'(1) < 0$.
Für $f'(3)$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(3)&=& 5 \cdot (3-2) \cdot \mathrm{e}^{-3} \\[5pt] &=& 5 \cdot \mathrm{e}^{-3} \\[5pt] \end{array}$
Damit gilt entsprechend $f'(3) > 0$ und somit findet an der Stelle $x=2$ ein Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus statt. Dadurch ist das hinreichende Kriterium für einen Tiefpunkt erfüllt.
Für den Funktionswert $f(2)$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(2)&=& 5 \cdot (1-2) \cdot \mathrm{e}^{-2} \\[5pt] &=& -5 \cdot \mathrm{e}^{-2} \\[5pt] \end{array}$
Somit besitzt der Tiefpunkt die Koordinaten $T\left(2 \mid -5 \cdot \mathrm{e}^{-2} \right).$
$\blacktriangleright$  Monotonieintervalle angeben
Die einzige Nullstelle der Funktion $f'$ ist $x=2.$ Außerdem besitzt der Graph der Ableitungsfunktion an der Stelle $x=2$ einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus.
Somit folgt, dass der Graph der Funktion $f$ in dem Intervall $]-\infty;2]$ streng monoton fallend ist und in dem Intervall $[2; +\infty]$ streng monoton wachsend ist.
#notwendigeskriteriumfürextrema#hinreichendeskriteriumfürextrema
1.7
$\blacktriangleright$  Graph zeichnen
Für den Graph der Funktion $f$ folgt:
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Graph
Aufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Graph
1.8
$\blacktriangleright$  Behauptung kontrollieren
Für den Mittelwert $\overline{x}$ von $f'$ über dem Intervall $[1; 2]$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}&=& \dfrac{1}{2-1} \cdot \displaystyle\int_{1}^{2}f'(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{1}{1} \cdot [f(x)]^2_1 \\[5pt] &=& f(2) -f(1) \\[5pt] &=& -5 \cdot \mathrm{e}^{-2} \\[5pt] &\approx& -0,68 \\[5pt] \end{array}$
Somit ist der Mittelwert von $f'$ über dem Intervall $[1; 2]$ größer als $-1$ und damit ist die Behauptung falsch.
2.1
$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktion angeben
Da es sich bei $f_k$ mit $f_k(x)=k^2x^3-6kx^2+9x$ um eine ganzrationale Funktion dritten Grades ohne negatives Vorzeichen vor der höchsten Potenz $x^3$ handelt gilt:
$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty $
$\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = -\infty$
2.2
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f_k(x)&=&0 \\[5pt] k^2x^3-6kx^2+9x&=& 0 \\[5pt] x\cdot \left(k^2x^2-6kx+9 \right)&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; x_1 =0 \\[5pt] k^2x^2-6kx+9 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :k^2\neq 0\\[5pt] x^2-\frac{6}{k}x+\frac{9}{k^2}&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_k(x)&=&0 \\[5pt] x_1 &=&0 \\[5pt] … \\[5pt] x^2-\frac{6}{k}x+\frac{9}{k^2}&=&0 \end{array}$
Mit der $pq$-Formel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x_{2/3}&=& - \dfrac{-\frac{6}{k}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-\frac{6}{k}}{2}\right)^2- \frac{9}{k^2}} \\[5pt] &=& \frac{3}{k}\pm \sqrt{\left(\frac{3}{k}\right)^2- \frac{9}{k^2}} \\[5pt] &=& \frac{3}{k}\pm \sqrt{\frac{9}{k^2}- \frac{9}{k^2}} \\[5pt] &=&\frac{3}{k} \\[5pt] \end{array}$
$ x_{2/3} = \frac{3}{k} $
Die Funktionen $f_k$ besitzen die beiden Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=\frac{3}{k}.$
#pq-formel
2.3
$\blacktriangleright$  Symmetrie widerlegen
Der Graph einer Funktion $f$ ist symmetrisch zum Koordinatenursprung, genau dann wenn $f(-x)= -f(x)$ gilt, bzw symmetrisch zur $y$-Achse, genau dann wenn $f(-x)=f(x)$ gilt.
$\begin{array}[t]{rll} f_k(-x)&=& k^2(-x)^3-6k\cdot (-x)^2 +9 \cdot(-x) \\[5pt] &=& -k^2x^3-6k\cdot x^2 -9x \\[10pt] -f_k(x)&=& -\left(k^2x^3-6k\cdot x^2 +9x\right) \\[5pt] &=& -k^2x^3+6k\cdot x^2 -9x \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &f_k(-x)\\[5pt] =& -k^2x^3-6k\cdot x^2 -9x \\[10pt] &-f_k(x)\\[5pt] =& -k^2x^3+6k\cdot x^2 -9x \\[5pt] \end{array}$
Es ist aber $f_k(-x)\neq -f_k(x),$ weshalb $G_k$ nicht symmetrisch zum Koordinatenursprung sein kann, und $f_k(-x)\neq f_k(x)$, weshalb $G_k$ auch nicht symmetrisch zur $y$-Achse sein kann.
2.4
$\blacktriangleright$  Gleichung der Ableitungsfunktion nachweisen
$\begin{array}[t]{rll} f_k(x)&=&k^2x^3-6kx^2+9x \\[10pt] f_k'(x)&=& 3\cdot k^2x^2-2\cdot 6kx+9 \\[5pt] &=& 3\cdot \left(k^2x^2-4kx+3\right)\\[5pt] &=& 3\cdot \left(k^2x^2-4kx+3\right) \\[5pt] &=& 3\cdot \left(kx-1 \right)\cdot \left(kx-3\right) \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &f_k(x)\\[5pt] =&k^2x^3-6kx^2+9x \\[10pt] &f_k'(x)\\[5pt] =&… \\[5pt] =& 3\cdot k^2x^2-2\cdot 6kx+9 \\[5pt] =& 3\cdot \left(kx-1 \right)\cdot \left(kx-3\right) \\[5pt] \end{array}$
2.5
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{k}$ berechnen
Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen $f'(x_E)=0$ ergeben sich mögliche Extremstellen von $f_k:$
$\begin{array}[t]{rll} f_k'(x)&=& 0 \\[5pt] 3\cdot (kx-1)\cdot (kx-3)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] (kx-1)\cdot (kx-3)&=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_k'(x)&=& 0 \\[5pt] … \\[5pt] (kx-1)\cdot (kx-3)&=& 0 \end{array}$
Mit dem Satz vom Nullprodukt, ist das Produkt Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Für die beiden Faktoren gilt:
$\begin{array}[t]{rll} kx-1&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] kx&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; :k\neq 0 \\[5pt] x_1&=& \frac{1}{k} \\[10pt] kx-3&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+3 \\[5pt] kx&=&3 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] x_2&=& \frac{3}{k} \end{array}$
Der Graph von $f_k$ besitzt mögliche Extrempunkte bei $x_1 = \frac{1}{k}$ und $x_2 = \frac{3}{k}.$ Mit dem hinreichenden Kriterium für Extremstellen $f''(x_E)\neq 0$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} f_k''(x)&=& 6\cdot k^2x -12k \\[10pt] f_k''\left(\frac{1}{k}\right) &=& 6\cdot k^2\cdot\frac{1}{k} -12k \\[5pt] &=&-6k \neq 0 \\[10pt] f_k''\left(\frac{3}{k}\right)&=&6\cdot k^2\cdot\frac{3}{k} -12k \\[5pt] &=&6k \neq 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &f_k''(x)\\[5pt] =& 6\cdot k^2x -12k \\[15pt] &f_k''\left(\frac{1}{k}\right) \\[5pt] =& 6\cdot k^2\cdot\frac{1}{k} -12k \\[5pt] =&-6k \neq 0 \\[15pt] &f_k''\left(\frac{3}{k}\right)\\[5pt] =&6\cdot k^2\cdot\frac{3}{k} -12k \\[5pt] =&6k \neq 0 \\[5pt] \end{array}$
Da laut Aufgabenstellung $k > 0$ vorgegeben ist, ist das hinreichende Kriterium für beide Stellen $x_1$ und $x_2$ erfüllt. Die Graphen von $f_k$ besitzen also an den Stellen $x_1 = \frac{1}{k}$ und $x_2= \frac{3}{k}$ Extrempunkte.
Gesucht ist das $k$ mit $x_2- x_1 = 6:$
$\begin{array}[t]{rll} x_2-x_1&=& 6 \\[5pt] \frac{3}{k}- \frac{1}{k}&=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot k \\[5pt] 3- 1&=& 6k \\[5pt] 2&=& 6k &\quad \scriptsize \mid\;: 6 \\[5pt] \frac{1}{3}&=& k \end{array}$
Für $k = \frac{1}{3}$ unterscheiden sich die $x$-Koordinaten der beiden Extrempunkte um $6$.
#notwendigeskriteriumfürextrema#hinreichendeskriteriumfürextrema
2.6
$\blacktriangleright$  Parallelität zeigen
Die Tangenten an $G_k$ im Wendepunkt sind für unterschiedliche Werte von $k$ parallel, wenn sie unabhängig von $k$ die selbe Steigung besitzen. Diese Steigung wird durch den Funktionswert der ersten Ableitung $f_k'$ an der Wendestelle $x_W= \frac{2}{k}$ beschrieben.
$\begin{array}[t]{rll} f_k'\left(x_W\right)&=& f_k'\left(\frac{2}{k}\right) \\[5pt] &=& 3\cdot \left(k\cdot \frac{2}{k}-1 \right)\cdot \left(k\cdot\frac{2}{k}-3 \right) \\[5pt] &=& 3\cdot 1\cdot (-1) \\[5pt] &=& -3 \end{array}$
$ f_k'\left(x_W\right)=-3 $
Die Steigung der Tangenten an $G_k$ im Wendepunkt $\left(\frac{2}{k}\mid \frac{2}{k}\right)$ besitzt für alle $k$ den Wert $-3.$ Dies ist unabhängig von $k$ und damit für unterschiedliche Werte von $k$ identisch. Damit sind die Tangenten für unterschiedliche Werte von $k$ parallel zueinander.
#parallel
2.7
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen und Zuordnung begründen
Nach Aufgabenteil 2.2 sind die Nullstellen von $f_k$ $x_1 =0$ und $x_2 = \frac{3}{k}.$ Die Graphen von $f_k$ müssen also für alle Werte von $k$ durch den Koordinatenursprung verlaufen. Abbildung 1 ist zu entnehmen, dass nur Graph $\text{II}$ durch den Koordinatenursprung verläuft. Da laut Aufgabenstellung einer der beiden Graphen zu einer der Funktionen $f_k$ gehören muss, gehört daher Graph $\text{II}$ zu einer Funktion $f_k$, da Graph $\text{I}$ nicht infrage kommt. Damit gehört Graph $\text{I}$ zur Funktion $h.$
$\blacktriangleright$  Werte berechnen
Graph $\text{II}$ schneidet die $x$-Achse in den Punkten $(0\mid 0)$ und $(9\mid 0).$ Die Funktion $f_k$ besitzt die Nullstellen $x_1 =0$ und $x_2 = \frac{3}{k}.$ Für den zugehörigen Wert von $k$ muss also gelten:
$\begin{array}[t]{rll} 9&=& \frac{3}{k} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot k \\[5pt] 9k&=& 3 &\quad \scriptsize \mid\;:9 \\[5pt] k&=&\frac{1}{3} \end{array}$
Graph $\text{II}$ gehört also zur Funktion $f_k$ mit $k = \frac{1}{3}.$
Für $h$ gilt $h(x)= f_k(x) +d.$ Der Abbildung kann man entnehmen, dass Graph $\text{I}$ aus Graph $\text{II}$ durch Verschiebung um $4$ Einheiten in positive $y$-Richtung hervorgeht.
Daher ist $d=4.$
2.8
$\blacktriangleright$  Graph beschreiben
Die Funktion $f_2$ ist mit $f_2(x)= \dfrac{1}{2} \cdot f_1(2x)$ gegeben. Der Graph von $f_2$ geht aus dem Graphen von $f_1$ hervor, indem der Graph der Funktion $f_1$ mit dem Faktor $\dfrac{1}{2}$ in $y$-Richtung und in $x$-Richtung gestreckt wird.
2.9.1
$\blacktriangleright$  Tiefpunkt begründen
Die Ableitung der Funktion $L$ ist durch die Funktion $f_1$ gegeben. Für die Stelle $x=0$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f_1(0)&=& 0^3 -6 \cdot 0^2 +9 \cdot 0\\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Somit ist das notwendige Kriterium für eine Extremstelle erfüllt.
An dem Graphen $G_1$ von $f_1$ wird ersichtlich, dass der Graph $G_1$ an der Stelle $x=0$ einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus besitzt. Somit ist das hinreichende Kriterium für einen Tiefpunkt erfüllt.
Für $L(0)$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} L(0)&=& \displaystyle\int_{0}^{0} f_1(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Somit besitzt der Graph der Funktion $L$ an dem Punkt $(0 \mid 0)$ einen Tiefpunkt.
2.9.2
$\blacktriangleright$  Eigenschaften angeben
Für $f_1(3)$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f_1(3)&=& 3^3 -6 \cdot 3^2 +9 \cdot 3\\[5pt] &=& 27 - 54 +27 \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Damit besitzt der Graph von $L$ an der Stelle $x=3$ eine waagrechte Tangente.
Außerdem besitzt der Graph von $f_1$ an der Stelle $x=3$ eine Extremstelle. Somit ist die Stelle $x=3$ auch eine Extremstelle des Graphen von $L'$ und deshalb besitzt der Graph von $L$ an der Stelle $x=3$ einen Wendepunkt.
2.9.3
$\blacktriangleright$  Graph begründen
Für die Gleichung der Funktion $L$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} L(x)&=&\displaystyle\int_{0}^{x} f_1(x)\;\mathrm dx\\[5pt] &=&\displaystyle\int_{0}^{3} f_1(x)\;\mathrm dx + \displaystyle\int_{3}^{x} f_1(x)\;\mathrm dx\\[5pt] \end{array}$
Hierbei kann das Integral $\displaystyle\int_{0}^{3} f_1(x)\;\mathrm dx$ exakt berechnet werden. Mit $d =\displaystyle\int_{0}^{3} f_1(x)\;\mathrm dx$ folgt für die Funktionsgleichung von $M$:
$\begin{array}[t]{rll} L(x)&=& d + \displaystyle\int_{3}^{x} f_1(x)\;\mathrm dx\\[5pt] L(x)&=& d + M(x) & \quad \scriptsize \mid \, -d\\[5pt] L(x)-d&=& M(x) & \\[5pt] \end{array}$
Es gilt $d \in \mathbb{R}$ und $d > 0$, da der Flächeninhalt unter dem Graphen der Funktion $f_1$ positiv ist. Somit entsteht der Graph von $M$ aus dem Graphen von $L$ durch eine Verschiebung in negative $y$-Richtung.
#tangente#wendepunkt
3.1
$\blacktriangleright$  Wert im Sachzusammenhang interpretieren
In Abbildung 2 ist ein Querschnitt der Schale zu sehen. Es ist zu erkennen, dass der Graph von $p$ den äußeren Rand der Schale und der Graph von $q$ den inneren Rand der Schale beschreibt. Die Differenz $p(6)-q(6)$ beschreibt demnach die Dicke der Schale am obersten Rand in $\,\text{dm}.$
3.2
$\blacktriangleright$  Graph zuordnen und begründen
Beschreibt der gesuchte Graph die Füllhöhe in Abhängigkeit von der Zeit $t$, so beschreibt die Steigung des Graphen die Änderungsrate der Füllhöhe in Abhängigkeit von der Zeit $t$. Die Steigung des gesuchten Graphen muss also abnehmen, da der Durchmesser der Schale mit steigender Höhe zunimmt und das Wasser mit konstanter Zuflussrate eingefüllt wird.
Der Graph $\text{II}$ beschreibt demnach die Füllhöhe in Abhängigkeit von der Zeit $t.$
3.3
$\blacktriangleright$  Gleichung nachweisen
Für den Radius $r$ in Abhängigkeit von der Füllhöhe $h$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} r&=& q(2+h) \\[5pt] &=& \sqrt{4 \cdot (2+h)-8} \\[5pt] &=& \sqrt{8+4h-8} \\[5pt] &=& \sqrt{4h} \\[5pt] \end{array}$
Damit folgt für den Flächeninhalt der Wasseroberfläche in Abhängigkeit von der Füllhöhe $h$:
$\begin{array}[t]{rll} A(h)&=& \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(\sqrt{4h}\right)^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot 4h \\[5pt] &=& 4 \cdot \pi \cdot h \\[5pt] \end{array}$
Somit lässt sich der Flächeninhalt der Wasseroberfläche in Abhängigkeit von der Füllhöhe $h$ mit der Gleichung $A(h)=4 \cdot \pi \cdot h$ berechnen.
3.4
$\blacktriangleright$  Funktion im Sachzusammenhang interpretieren
Der Funktionsterm von $s$ ergibt sich aus der Formel für das Rotationsvolumen des Graphen von $q$ im Intervall $[2; 2+h].$ Da der Graph von $q$ den inneren Rand der Schale beschreibt, beschreibt $s(h)$ daher das Volumen einer möglichen eingefüllten Flüssigkeit in $\text{dm}^3$ in Abhängigkeit von der Füllhöhe $h.$
$\blacktriangleright$  Größten Definitionsbereich angeben
Da $q$ den inneren Rand der Schale laut Aufgabenstellung für $2\leq x \leq 6$ beschreibt, sollte die obere Grenze des Integrals mindestens $2$ aber höchstens $6$ betragen. Der größtmögliche Definitionsbereich im Sachzusammenhang ist daher $D_{\text{max}} = [0;4].$
3.5
$\blacktriangleright$  Masse berechnen
Das Volumen der Schale ergibt sich aus der Differenz des Volumens $V_p$ des Rotationskörpers, der entsteht, wenn der Graph von $p$ für $0\leq x\leq 6$ um die $x$-Achse rotiert und dem Volumen $V_q$ des Rotationskörpers, der entsteht, wenn der Graph von $q$ für $2\leq x \leq 6$ um die $x$-Achse rotiert.
$V_p$ kann mit Hilfe der Formel für das Rotationsvolumen berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} V_p&=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{6}\left(p(x)\right)^2\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{6}\left(\sqrt{6x}\right)^2\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{6}6x\;\mathrm dx \\[5pt] &=&\pi \cdot \left[\frac{1}{2}\cdot 6x^2\right]_0^6 \\[5pt] &=&\pi \cdot \left[3x^2\right]_0^6 \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(3\cdot 6^2 - 3\cdot 0^2\right) \\[5pt] &=& 108\pi \end{array}$
$ V_p =108\pi $
$V_q$ kann mit der Funktion $s$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} V_q&=& s(4) \\[5pt] &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{2}^{6}\left(q(t)\right)^2\;\mathrm dt \\[5pt] &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{2}^{6}\left(\sqrt{4t-8}\right)^2\;\mathrm dt \\[5pt] &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{2}^{6}\left(4t-8\right)\;\mathrm dt \\[5pt] &=& \pi \cdot \left[\frac{1}{2}\cdot 4t^2-8t\right]_2^6 \\[5pt] &=& \pi \cdot \left[2t^2-8t\right]_2^6 \\[5pt] &=& \pi \left(2\cdot 6^2-8\cdot 6 -\left(2\cdot 2^2-8\cdot 2\right) \right)\\[5pt] &=& \pi \left(24+8\right)\\[5pt] &=& 32\pi\\[5pt] \end{array}$
$ V_q = 32\pi $
$\begin{array}[t]{rll} V&=& V_p - V_q \\[5pt] &=& 108\pi -32\pi\\[5pt] &=& 76\pi \end{array}$
Das Volumen der Schale beträgt $76\pi \,\text{dm}^3.$ Ein Kubikmeter besitzt laut Aufgabenstellung eine Masse von $2.700\,\text{kg}.$ Somit besitzt ein Kubikdezimeter eine Masse von $2,7\,\text{kg}.$ Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& V\cdot 2,7\,\text{kg} \\[5pt] &=& 76\pi\cdot 2,7\,\text{kg}\\[5pt] &\approx & 644,65 \,\text{kg} \\[5pt] \end{array}$
Die Schale besitzt eine Masse von ca. $644,65\,\text{kg}.$
Bildnachweise [nach oben]
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