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Wahlteil

Aufgaben
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Aufgabe 1

Ein Straßentunnel soll geradlinig von $A$ nach $B$ durch einen Berg gebaut werden (s. Abbildung).
$a$ und $b$ bezeichnen die Abstände der Tunneleingänge $A$ und $B$ zum Gipfel $C$. Sie bilden den Winkel $\gamma$.
Abb. 1: Skizze nicht maßstäblich
Abb. 1: Skizze nicht maßstäblich
a)
Bestimme einen Näherungswert für die Länge des Tunnels mithilfe einer maßstäblichen Zeichnung.
(2 P.)
b)
Berechne die exakte Länge des Tunnels.
(2 P.)
c)
In der nebenstehenden Abbildung ist der Querschnitt des Tunnels dargestellt. Der Querschnitt setzt sich aus einem Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis zusammen.
Abb. 2: Skizze nicht maßstäblich
Abb. 2: Skizze nicht maßstäblich
Wie viele Tonnen Gestein müssen für den gesamten Tunnel abtransportiert werden?
Beachte dabei, dass $1\;\text{m}^3$ Gestein eine Masse von $2,3$ Tonnen hat. Notiere deine Rechnungen und/oder Überlegungen.
(4 P.)
#kreis#flächeninhalt#rechteck

Aufgabe 2

a)
Löse das folgende Gleichungssystem rechnerisch mit einem Verfahren deiner Wahl. Mache zusätzlich die Probe.
(3 P.)
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&2x&+&5y&=& 9 &\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&2x&+&4y&=& 5 &\quad \\ \end{array}$
b)
i) Zeichne in dem folgenden Schaubild eine Gerade so ein, dass ein lineares Gleichungssystem mit der Lösung $L=\{(4\;|\;1,5)\}$ dargestellt wird.
ii) Gib eine Gleichung für die von dir eingezeichneten Gerade an.
(1 P.)
Gleichung der Geraden:
c)
Die beiden im folgenden Koordinatensystem eingezeichneten Geraden bilden ein lineares Gleichungssystem.
i) Beschrifte die Teilstriche der Achsen des Koordinatensystems, so dass das dargestellte lineare Gleichungssystem die Lösung $L=\{(2,5\;|\;1,5)\}$ hat.
(1 P.)
ii) Kreuze die beiden Gleichungen an, die das in Aufgabenteil c) i) dargestellte lineare Gleichungssystem bilden.
(2 P.)
$y=0,4x+1\;\;$
$y=0,4x+0,5\;\;$
$y=2,5x+0,5$
$y=-1,2x-1,5\;\;$
$y=-1,5x+1,2\;\;$
$-1,5+1,2x=y$
#geradengleichung#funktionsgleichung

Aufgabe 3

Ein Schaf ist mit einem Seil auf einer Wiese festgebunden. Die quadratische Wiese hat eine Seitenlänge von $12\,\text{m}$.
a)
Das Schaf wird in der Mitte der Wiese festgebunden.
i) Berechne den Flächeninhalt der Wiesenfläche, die das Schaf abgrasen kann, wenn die Länge des Seils $5\;\text{m}$ beträgt.
(1 P.)
Abb. 5: Skizze nicht maßstäblich
Abb. 5: Skizze nicht maßstäblich
ii) Berechne, wie lang das Seil mindestens sein müsste, damit das Schaf die gesamte Wiesenfläche abgrasen kann.
(1,5 P.)
b)
Berechne den Flächeninhalt der Wiesenfläche, die das Schaf abgrasen kann, wenn es mit einem $8\;\text{m}$ langen Seil, wie in der unteren Abbildung gezeigt, $4\;\text{m}$ von der Ecke entfernt am Rand der Wiese angebunden wird.
Abb. 6: Skizze nicht maßstäblich
Abb. 6: Skizze nicht maßstäblich
(5,5 P.)
#kreisbogen#kreis

Aufgabe 4

Im März $2011$ kam es in Fukushima/Japan zu einem schweren Reaktorunfall. Dabei wurden viele radioaktive Stoffe freigesetzt. Während das freigesetzte Jod-$131$ bereits nach wenigen Wochen praktisch zerfallen war, werden andere Stoffe wie $.B$ Cäsium-$137$ noch viele Jahre strahlen und die Gegend unbewohnbar machen.
a)
Die Halbwertszeit ist die Zeitspanne, nach der bei einem radioaktiven Stoff nur noch die Hälfte der ursprünglichen Atomkerne vorhanden sind. Nach einer weiteren Halbwertszeit halbiert sich dieser Wert erneut.
Vervollständige die Tabelle.
(1 P.)
Anzahl der Halbwertszeiten$0 $$1 $$ 2$$ 3$$ 4$$ 5$$ 6$
noch vorhandene Atomkerne [$\%$]$100 $$ 50$$ $$ $$ $$ $$ $
Anzahl der Halbwertszeitennoch vorhandene Atomkerne [$\%$]
$0 $$100 $
$1 $$ 50$
$2 $$ $
$ 3$$ $
$4 $$ $
$5 $$ $
$6 $$ $
b)
Der radioaktive Stoff Jod-$131$ zerfällt mit einer Halbwertszeit von $8$ Tagen.
i) Stelle den Zerfall der Kerne für das Isotob Jod-$131$ in einem Schaubild dar.
(1 P.)
ii) Gib an, nach wie vielen Tagen der Anteil der noch vorhandenen Kerne für das Isotop Jod-$131$ auf unter $12,5\;\%$ gefallen ist.
(1 P.)
c)
Das radioaktive Isotop Cäsium.$137$ zerfällt mit einer Halbwertszeit von $33$ Jahren.
i) Berechne die jährliche Zerfallsrate des Isotops Cäsium-$137$.
(2 P.)
ii) Berechne, nach welcher Zeit von den ursprünglich freigesetzten Cäsium-$137$-Kernen nur noch $1\,\%$ vorhanden sind.
(3 P.)
#halbwertszeit#wachstum

Aufgabe 5

„Es lebte zu einer Zeit ein König, der hatte Töchter, die allesamt sehr schön waren. Doch sah man seine jüngste Tochter, wusste man, dass sie die Schönste von allen war. Und so war es, dass sie regelmäßig hinunter in den Wald ging, sich an den Brunnen setzte und mit ihrer goldenen Kugel spielte. Dabei warf sie die Kugel immer am liebsten in die Höhe und fing sie dann wieder voller Freude auf. So geschah es eines Tages, als sie wieder am Brunnen spielte, dass die goldene Kugel diesmal nicht in die Hände der Prinzessin zurückfiel, sondern in den Brunnen plumste und versank…“
(Auszug aus „Der Froschkönig“)
a)
Die Goldkugel hat einen Durchmesser, der ungefähr der Breite einer Handfläche entspricht. Berechne, wie schwer die massive Goldkugel der Prinzessin unter dieser Voraussetzung wäre. Die Dichte von Gold beträgt $19,3\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$.
(2 P.)
b)
Berechne den Durchmesser einer massiven Goldkugel, die nur $1\;\text{kg}$ wiegt.
(2 P.)
c)
Da die massive Goldkugel aus Aufgabenteil a) zu schwer für die Prinzessin ist, lässt der König eine neue Goldkugel herstellen. Diese soll innen hohl sein und ein Gewicht von $1\;\text{kg}$ haben. Der Außendurchmesser soll nur noch $5\;\text{cm}$ betragen. Berechne die Wanddicke dieser goldenen Hohlkugel.
(4 P.)
#volumen#dichte
Bildnachweise [nach oben]
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Näherungswert für die Länge des Tunnels angeben
Wählt man einen Maßstab von $1\;\text{cm}\mathrel{\widehat{=}1\;\text{km}}$, ergibt sich für die Strecke $c\approx 3,5\;\text{cm}$.
Abb. 1: Maßstab: $1\;\text{cm}\mathrel{\widehat{=}1\;\text{km}}$
Abb. 1: Maßstab: $1\;\text{cm}\mathrel{\widehat{=}1\;\text{km}}$
Der Tunnel ist ca. $3,5\,\text{km}$ lang.
b)
$\blacktriangleright$ Länge des Tunnels angeben
Mit dem Kosinussatz lässt sich die Strecke $c$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=&a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma) &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] c&=&\sqrt{a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma)} &\quad \scriptsize \\[5pt] c&=&\sqrt{(2,85\;\text{km})^2+(4,43\;\text{km})^2-2\cdot (2,85\;\text{km}) \cdot (4,43\;\text{km})\cdot \cos(52,3°)} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&3,51\;\text{km} \end{array}$
Der Tunnel ist ca. $3,51\;\text{km}$ lang.
c)
$\blacktriangleright$ Masse des abzutransportierenden Materials angeben
Aus der Abbildung lässt sich ablesen, dass gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 2r&=&a&=&9\;\text{m} &\quad \scriptsize \\[5pt] r&=&b&=&4,5\;\text{m} \end{array}$
Mit diesen Angaben lässt sich die Querschnittsfläche des Tunnels berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&A_{Rechteck}+A_{Halbkreis} &\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&a \cdot b+\frac{1}{2} \pi r^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&9\;\text{m} \cdot 4,5\;\text{m}+\frac{1}{2} \pi (4,5\;\text{m})^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&72,31\;\text{m}^2 \end{array}$
Durch Multiplikation mit der Länge $c$ des Tunnels, ergibt sich für das Volumen des Tunnels:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&A \cdot c &\quad \scriptsize \\[5pt] V&=&72,31\;\text{m}^2 \cdot 3,51\;\text{m}&\quad \scriptsize \\[5pt] V&=&253,81\;\text{m}^3&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Masse an Gestein, die abgetragen werden muss, lässt sich mit dem Dreisatz berechnen.
$\cdot 253,81$
$\begin{array}{rrcll} &1\;\text{m}^3&\mathrel{\widehat{=}}&2,3\;\text{t}\\[5pt] &253,81\;\text{m}^3&\mathrel{\widehat{=}}&583,76\;\text{t}\\[5pt] \end{array}$
$\cdot 253,81$
Es müssen ca. $583,76\;\text{t}$ Gestein abtransportiert werden.
#satzdespythagoras#flächeninhalt#volumen

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Gleichungssystem lösen
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&2x&+5y&=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; -5y \mid\; :2\\ \text{II}\quad&2x&+4y&=&5 &\quad \\ \hline \text{I'}\quad&x&&=&\frac{9-5y}{2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{I}\; \text{in}\; \text{II} \\ \text{II}\quad&2 \cdot \frac{9-5y}{2}&+4y&=&5 &\quad \scriptsize \mid\; -5 \mid\;+5y \mid\;-4y \\ \text{II}\quad&y&&=&4 &\quad \scriptsize \mid\; y\; \text{in}\; \text{I'}\\ \text{I'}\quad&x&&=&\frac{9-5\cdot 4}{2} &\quad \scriptsize \\ \text{I'}\quad&x&&=&-5,5 &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
Das Gleichungssystem ist für $y=4$ und $x=-5,5$ gelöst. Zur Bestätigung der Ergebnisse kann durch Einsetzen der $x$ und $y$ Werte eine Kontrolle durchgeführt werden.
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad&2 \cdot (-5,5) &+5\cdot 4&=& 9 &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Gerade einzeichnen
$\blacktriangleright$ Geradengleichung angeben
Die Gleichung der Geraden lautet:
$g(x)=1,5$
Es sind auch andere Lösungen möglich.
c)
$\blacktriangleright$ Teilstriche einzeichnen
$\blacktriangleright$ Geradengleichung angeben
Der Graph der flacher verlaufenden Geraden ist um $0,5$ Einheiten in positive $y$-Richtung verschoben. Die Steigung der Geraden beträgt $m=0,4$. Der Graph der steiler verlaufenden Geraden ist um $1,5$ Einheiten in negative $y$-Richtung verschoben und hat eine Steigung von $m=1,2$. Die Graphen lassen sich durch die Gleichungen $y=0,4x+0,5$ und $y=-1,5+1,2x$ beschreiben.
#geradengleichung#funktionsgleichung

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Der Flächeninhalt lässt sich mit der Formel für eine Kreisfläche berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\pi \cdot r^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&\pi \cdot (5\;\text{m})^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&78,54 \;\text{m}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt beträgt ca. $78,54\;\text{m}^2$.
$\blacktriangleright$ Seillänge berechnen
Um die Seillänge zu bestimmen, kann die Diagonale des Quadrats ermittelt werden. Diese Strecke entspricht dem Durchmesser des Kreises.
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=&a^2+b^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] c&=&\sqrt{a^2+b^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] c&=&\sqrt{(12\;\text{m})^2+(12\;\text{m})^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] c&\approx&16,97\;\text{m} \end{array}$
Der Radius ist genau halb so groß wie der Durchmesser. Die Länge des Seiles muss mindestens $16,97\;\text{m} :2 \approx 8,5\;\text{m}$ lang sein.
b)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Die gesamte Fläche lässt sich in zwei Teilflächen unterteilen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&A_1+A_2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Winkel $\alpha$ und $\beta$ lassen sich über die Kosinusbeziehung bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\frac{4}{8} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\cos(\frac{1}{2})^{-1} &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&=&60° &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Somit gilt für $\beta$:
$\begin{array}[t]{rll} \beta&=&180°-90°-60° &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&30° \end{array}$
Mit den Winkelangaben lässt sich die Fläche eines Kreisabschnittes berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=&\pi\cdot r^2 \cdot \frac{120°}{360°} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&67,02\;\text{m}^2 \end{array}$
Für die Fläche $A_2$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} A_2&=& \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&8\sqrt{3}\;\text{m}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A&=&A_1+A_2 &\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&67,02\;\text{m}^2+8\sqrt{3}\;\text{m}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] A&\approx&80,88\;\text{m}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Flächeninhalt beträgt ca. $80,88\;\text{m}^2$.
#kreisbogen#flächeninhalt

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Tabelle vervollständigen
Halbiert man die Werte aus dem vorherigen Intervall, ergibt sich:
Anzahl der Halbwertszeiten$0 $$1 $$ 2$$ 3$$ 4$$ 5$$ 6$
noch vorhandene Atomkerne [$\%$]$100 $$ 50$$ 25$$12,5 $$ 6,25$$3,125 $$1,563 $
Anzahl der Halbwertszeitennoch vorhandene Atomkerne [$\%$]
$0 $$100 $
$1 $$ 50$
$2 $$25 $
$ 3$$12,5 $
$4 $$6,25 $
$5 $$3,125 $
$6 $$ 1,563$
b)
$\blacktriangleright$ Zerfall in einem Schaubild darstellen
$\blacktriangleright$ Tag angeben, an dem der Wert unter $\boldsymbol{12,5\;\%}$ gefallen ist
Der exponentielle Zerfall kann mit der Formel $C(t)=100\cdot 0,5^{\frac{t}{8}}$ beschrieben werden. Durch Einsetzen von $C(t)=0,125 \cdot C_0$ und Umstellen nach $t$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} C(t)&=&100 \cdot 0,5^{\frac{t}{8}} &\quad \scriptsize \\[5pt] 100 \cdot 0,125&=&100 \cdot 0,5^{\frac{t}{8}} &\quad \scriptsize \mid\; \log \\[5pt] \log(0,125) &=&\log(0,5) \cdot \frac{t}{8} &\quad \scriptsize \mid\; :\log(0,5) \cdot 8 \\[5pt] \frac{\log(0,125)}{\log(0,5)}\cdot 8 &=& t&\quad \scriptsize \mid\; :\log(0,5) \cdot 8 \\[5pt] 24&\approx&t \end{array}$
Nach ca. $24$ Jahren ist der Anteil auf unter $12,5\;\%$ gefallen.
c)
$\blacktriangleright$ Zerfallsrate berechnen
Das Isotop hat eine Halbwertszeit von $33$ Jahren. Somit ergibt sich für den Wachstumsfaktor:
$0,5^{\frac{t}{33}}=\left(0,5^{\frac{1}{33}}\right)^t\approx 0,98^t$
Der jährliche Wachstumsfaktor beträgt ca. $0,98$.
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt angeben, an dem der Wert unter $\boldsymbol{1\;\%}$ gefallen ist
$\begin{array}[t]{rll} C(t)&=&C_0 \cdot 0,98^t &\quad \scriptsize \\[5pt] C_0 \cdot 0,01&=&C_0 \cdot 0,98^t &\quad \scriptsize \mid\; \log\\[5pt] \log(0,01)&=&\log(0,98) \cdot t &\quad \scriptsize \mid\; :\log(0,98)\\[5pt] \frac{\log(0,01)}{\log(0,98)}&=& t &\quad \scriptsize \\[5pt] 228&\approx&t &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Nach ca. $228$ Jahren ist nur noch $1\;\%$ des Isotops vorhanden.
#halbwertszeit#wachstum

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$ Masse der Kugel berechnen
Der Radius der Goldkugel beträgt ca. $5\;\text{cm}$. Es sind auch andere Ergebnisse möglich.
Das Volumen lässt sich mit der Volumenformel für eine Kugel bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] V&=&\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (5\;\text{cm})^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] & \approx &523,6\;\text{cm}^3 \end{array}$
Durch Multiplikation mit der Dichte ergibt sich die Masse der Goldkugel:
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\rho \cdot V &\quad \scriptsize \\[5pt] m&=&19,3\;\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 523,6\;\text{cm}^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] m&\approx&10.1059\;\text{g} &\quad \scriptsize \\[5pt] m&\approx&10\;\text{kg} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Goldkugel wiegt ca. $10\;\text{kg}$.
b)
$\blacktriangleright$ Durchmesser berechnen
Das Volumen einer Kugel mit einer Masse von $1\;\text{kg}$ lässt sich mit folgender Rechnung bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\rho \cdot V &\quad \scriptsize \mid\;: \rho \\[5pt] \frac{m}{\rho}&=&V &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{1.000\;\text{g}}{19,3\;\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}}&=&V &\quad \scriptsize \\[5pt] 51,81\;\text{cm}^3&\approx&V &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Mit der Volumenformel lässt sich der Radius und damit der Durchmesser berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \frac{3}{4} \mid\;: \pi \\[5pt] V\cdot \frac{3}{4\cdot \pi}&=& r^3 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\;} \\[5pt] \sqrt[3]{(51,81\;\text{cm}^3)\cdot \frac{3}{4\cdot \pi}}&=& r &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\;} \\[5pt] 2,31\;\text{cm}& \approx &r \end{array}$
Der Radius der Kugel beträgt ca. $2,31\;\text{cm}$. Der Durchmesser beträgt ca. $4,62\;\text{cm}$.
c)
$\blacktriangleright$ Wanddicke berechnen
Das Volumen einer $1\;\text{kg}$ schweren Goldkugel wurde bereits berechnen. Es beträgt ca. $51,81\;\text{cm}^3$.
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{4}{3} \pi (r_a^3-r_i^3) &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \frac{3}{4} \mid\; : \pi\\[5pt] V \cdot \frac{3}{4\cdot \pi}&=& r_a^3-r_i^3 &\quad \scriptsize \mid\;-r_a^3 \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] -V \cdot \frac{3}{4\cdot \pi}+r_a^3&=& r_i^3 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\;}\\[5pt] \sqrt[3]{-V \cdot \frac{3}{4\cdot \pi}+r_a^3}&=& r_i &\quad \scriptsize \\[5pt] \sqrt[3]{-(51,81\;\text{cm}^3) \cdot \frac{3}{4\cdot \pi}+(2,5\;\text{cm})^3}&=& r_i &\quad \scriptsize \\[5pt] 1,48\;\text{cm}&\approx&r_i \end{array}$
Die Dicke der Wand beträgt ca. $2,5\;\text{cm}-1,48\;\text{cm}=1,02\;\text{cm}$.
#volumen#dichte
Bildnachweise [nach oben]
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