Aufgabe C — Sonnenobservatorium Aditya-L1

Die indische Weltraumorganisation ISRO (Indian Space Research Organisation) startete am 02.09.2023 ihr Sonnenobservatorium „Aditya-L1“, das seinen Zielorbit um den Punkt L1 zwischen Erde und Sonne am 06.01.2024 erreicht hat. Aditya-L1 soll umfangreiche Untersuchungen zur Sonne durchführen.

Die Sonne erzeugt ein Gravitationsfeld, in dem sich die Erde und Aditya-L1 um die Sonne herum bewegen.

Erläutere den Unterschied der physikalischen Größen „Gravitationskraft“ und „Gravitationsfeldstärke“.

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Zeichne die auf Aditya-L1 wirkenden Gravitationskräfte in die Abbildung in Material 1 ein.

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Erkläre, dass sich Aditya-L1 nahezu auf einer kreisförmigen Bahn um die Sonne bewegt.

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Berechne mit Hilfe der Daten aus Material 1, mit welcher Geschwindigkeit sich der Punkt L1 um die Sonne bewegt.

[Kontrollergebnis: $Formula: 29,5 \; \tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$ $Formula: 29,5 \; \tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$ ]

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Berechne die Kreisbahngeschwindigkeit der Erde mit Hilfe der in Material 1 gegebenen Daten unter Verwendung eines Kraftansatzes. Vergleiche das Ergebnis mit der Geschwindigkeit von Punkt L1.

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Das Sonnenobservatorium Aditya-L1 hat sich nahe der direkten Verbindungslinie zwischen Erde und Sonne von der Erde aus nach L1 bewegt.

Fülle die dritte Tabellenzeile in Material 2 aus. Weise anhand eines $Formula: g(\tfrac{1}{r^2})\text{-}$ $Formula: g(\tfrac{1}{r^2})\text{-}$ Diagramms nach, dass $Formula: g \sim \tfrac{1}{r^2}$ $Formula: g \sim \tfrac{1}{r^2}$ gilt.

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Erkläre den Verlauf des Diagramms in Material 3. Gehe insbesondere auf die Nullstelle und deren Bedeutung für die Treibstoffversorgung von Aditya-L1 ein.

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Aditya-L1 befindet sich nicht direkt im Punkt L1, sondern bewegt sich dauerhaft um diesen Punkt herum. Begründe mit Hilfe von Material 4, warum das Sonnenobservatorium nach Ende seiner Mission in eine Umlaufbahn um die Sonne gebracht wird.

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Material 1: Aditya-L1 im Sonne-Erde-System

Das Sonnenobservatorium Aditya-L1 befindet sich nahezu am Punkt L1. Aufgrund der Rotation der Erde um die Sonne bewegt sich auch der Punkt L1 auf der Kreisbahn K um die Sonne. L1 befindet sich dabei auf der gestrichelt dargestellten Verbindungslinie zwischen Erde und Sonne. (Abbildung nicht maßstabsgerecht)

Schematische Grafik: Sonne links, Erde rechts, Satellit am Lagrange-Punkt L1 dazwischen.

Abbildung 1: Aditya-L1 im Sonne-Erde-System

Daten:

Erdradius: $Formula: r_{\mathrm{E}} = 6370 \; \mathrm{km}$ $Formula: r_{\mathrm{E}} = 6370 \; \mathrm{km}$
Abstand Sonne - Erde: $Formula: r_{\mathrm{SE}} = 149,6 \cdot 10^6 \; \mathrm{km}$ $Formula: r_{\mathrm{SE}} = 149,6 \cdot 10^6 \; \mathrm{km}$
Abstand Erde - Aditya-L1: $Formula: r_{\mathrm{EA}} = 1,5 \cdot 10^6 \; \mathrm{km}$ $Formula: r_{\mathrm{EA}} = 1,5 \cdot 10^6 \; \mathrm{km}$
Masse der Sonne: $Formula: M_{\mathrm{S}} = 1,99 \cdot 10^{30} \; \mathrm{kg}$ $Formula: M_{\mathrm{S}} = 1,99 \cdot 10^{30} \; \mathrm{kg}$
Masse der Erde: $Formula: M_{\mathrm{E}} = 5,97 \cdot 10^{24} \; \mathrm{kg}$ $Formula: M_{\mathrm{E}} = 5,97 \cdot 10^{24} \; \mathrm{kg}$
Umlaufzeit von Aditya-L1 um die Sonne: $Formula: T= 1 \;\text{a}$ $Formula: T= 1 \;\text{a}$

Material 2: Gravitationsfeldstärke in der Nähe der Erde

Aditya-L1 passiert auf ihrem Weg nach L1 Punkte, die auf der direkten Verbindungslinie zwischen Erde und Sonne liegen. Die folgende Tabelle zeigt die Gravitationsfeldstärke an diesen Punkten, wobei Formula: r der Abstand zum Massenmittelpunkt der Erde und Formula: g die Gravitationsfeldstärke ist.

$Formula: \boldsymbol{r}$ $Formula: \boldsymbol{r}$ in $Formula: \boldsymbol{10^3\;\text{km}}$ $Formula: \boldsymbol{10^3\;\text{km}}$	$Formula: \boldsymbol{g}$ $Formula: \boldsymbol{g}$ in $Formula: \boldsymbol{\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}$ $Formula: \boldsymbol{\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}$	$Formula: \boldsymbol{\tfrac{1}{r^2}}$ $Formula: \boldsymbol{\tfrac{1}{r^2}}$ in $Formula: \boldsymbol{10^{-9} \; \tfrac{1}{\text{km}^2}}$ $Formula: \boldsymbol{10^{-9} \; \tfrac{1}{\text{km}^2}}$

Material 3: Gravitationsfeldstärke zwischen Erde und L1

Das Diagramm zeigt ergänzend zur Tabelle aus Material 2 die Gravitationsfeldstärke zwischen Erde und L1, der Aditya-L1 auf dem Weg nach L1 in etwa ausgesetzt war. Formula: r ist der Abstand von L1 zur Erde.

Diagramm: Fallende Kurve der Beschleunigung g (m/s²) in Abhängigkeit vom Abstand r (in 10^6 km)

Abbildung 2: Gravitationsfeldstärke zwischen Erde und L1

Material 4: Beschreibung der Flugbahn von Aditya-L1

Am 02.09.2023 startete das Sonnenobservatorium Aditya-L1 und wurde auf eine Umlaufbahn um die Erde gebracht. Nach mehreren Erdumrundungen begab es sich am 19.09.2023 auf den Weg in die Umlaufbahn um den Punkt L1, die am 06.01.2024 erreicht wurde.

Der Punkt L1 ist ein besonderer Punkt. Ein Objekt in L1 kann sich antriebslos um die Sonne bewegen. Der Punkt ist aber instabil, so dass eine kleine Abweichung von diesem Punkt dafür sorgt, dass ein Objekt zu genau dem Himmelskörper abdriftet, dem das Objekt näher ist. Um das unkontrollierbare Abdriften zu verhindern, muss sich Aditya-L1 dauerhaft auf einer Umlaufbahn um den Punkt L1 herum bewegen.

Aditya-L1 wird in der Umlaufbahn über Solarzellen mit Energie versorgt. Eine Batterie versorgt das Observatorium mit Strom, falls die Solarzellen aus irgendeinem Grund nicht zur Sonne ausgerichtet sind.

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Die Gravitationsfeldstärke ist eine ortsabhängige Größe, die angibt, wie groß die Kraftwirkung auf eine Probemasse von $Formula: 1\;\mathrm{kg}$ $Formula: 1\;\mathrm{kg}$ ist. Im Unterschied dazu beschreibt die Gravitationskraft die tatsächliche Kraft, die auf einen spezifischen Körper mit einer bestimmten Masse wirkt, wenn sich dieser innerhalb des Gravitationsfeldes befindet.

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Die Erde bewegt sich auf einer Kreisbahn um die Sonne, da die von der Sonne ausgeübte Gravitationskraft als Radialkraft (Zentripetalkraft) wirkt und die Erde somit auf ihre Kreisbahn zwingt. Auch der Lagrange-Punkt L1 (und damit die Sonde Aditya-L1) führt eine Umlaufbewegung um die Sonne aus. Diese Bewegung resultiert aus dem kombinierten Einfluss der Gravitationskräfte von Sonne und Erde.

Zunächst muss der Bahnradius Formula: r von Aditya-L1 bestimmt werden. Dieser ergibt sich aus der Differenz des Abstands Sonne-Erde ( $Formula: r_{\mathrm{SE}}$ $Formula: r_{\mathrm{SE}}$ ) und des Abstands Erde-Aditya ( $Formula: r_{\mathrm{EA}}$ $Formula: r_{\mathrm{EA}}$ ):

$Formula: r = r_{\mathrm{SE}} - r_{\mathrm{EA}} = 148,1 \cdot 10^{6}\;\mathrm{km}$ $Formula: r = r_{\mathrm{SE}} - r_{\mathrm{EA}} = 148,1 \cdot 10^{6}\;\mathrm{km}$

Die Umlaufdauer Formula: T entspricht gemäß Material 1 einem Jahr:

$Formula: T = 1\;\mathrm{a} = 31536000\;\mathrm{s}$ $Formula: T = 1\;\mathrm{a} = 31536000\;\mathrm{s}$

Daraus lässt sich die Bahngeschwindigkeit $Formula: v_{\mathrm{L1}}$ $Formula: v_{\mathrm{L1}}$ berechnen:

$Formula: \begin{array}{rll} v_{\mathrm{L1}} & = & \dfrac{2\pi \cdot r}{T} \\[5pt] & = & \dfrac{2\pi \cdot 148,1 \cdot 10^{6} \; \mathrm{km}}{31536000 \; \mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 29,5 \; \dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} v_{\mathrm{L1}} & = & \dfrac{2\pi \cdot r}{T} \\[5pt] & = & \dfrac{2\pi \cdot 148,1 \cdot 10^{6} \; \mathrm{km}}{31536000 \; \mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 29,5 \; \dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}} \end{array}$

Um die Kreisbahngeschwindigkeit der Erde um die Sonne zu bestimmen, wird zunächst die Radialkraft $Formula: F_{\mathrm{R}}$ $Formula: F_{\mathrm{R}}$ und die Gravitationskraft $Formula: F_{\mathrm{G}}$ $Formula: F_{\mathrm{G}}$ gleichgesetzt:

$Formula: \begin{array}{rll} F_{\mathrm{R}} & = & F_{\mathrm{G}} \\[5pt] \dfrac{M_{\mathrm{E}} \cdot v_{\mathrm{E}}^{2}}{r_{\mathrm{SE}}} & = & G \cdot \dfrac{M_{\mathrm{E}} \cdot M_{\mathrm{S}}}{r_{\mathrm{SE}}^{2}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} F_{\mathrm{R}} & = & F_{\mathrm{G}} \\[5pt] \dfrac{M_{\mathrm{E}} \cdot v_{\mathrm{E}}^{2}}{r_{\mathrm{SE}}} & = & G \cdot \dfrac{M_{\mathrm{E}} \cdot M_{\mathrm{S}}}{r_{\mathrm{SE}}^{2}} \end{array}$

Das kann nach der Geschwindigkeit der Erde $Formula: v_{\mathrm{E}}$ $Formula: v_{\mathrm{E}}$ umgestellt werden. Mit den Werten aus Material 1 für die Masse der Sonne $Formula: M_{\mathrm{S}} = 1,99 \cdot 10^{30} \; \mathrm{kg}$ $Formula: M_{\mathrm{S}} = 1,99 \cdot 10^{30} \; \mathrm{kg}$ und den mittleren Abstand Sonne - Erde $Formula: r_{\mathrm{SE}} = 149,6 \cdot 10^6 \; \mathrm{km}$ $Formula: r_{\mathrm{SE}} = 149,6 \cdot 10^6 \; \mathrm{km}$ ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}{rll} v_{\mathrm{E}}^{2} & = & G \cdot \dfrac{M_{\mathrm{S}}}{r_{\mathrm{SE}}} \\[5pt] v_{\mathrm{E}}& = & \sqrt{G \cdot \dfrac{M_{\mathrm{S}}}{r_{\mathrm{SE}}}} \\[5pt] & \approx & 29,8 \; \dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} v_{\mathrm{E}}^{2} & = & G \cdot \dfrac{M_{\mathrm{S}}}{r_{\mathrm{SE}}} \\[5pt] v_{\mathrm{E}}& = & \sqrt{G \cdot \dfrac{M_{\mathrm{S}}}{r_{\mathrm{SE}}}} \\[5pt] & \approx & 29,8 \; \dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}} \end{array}$

Somit bewegt sich die Erde schneller um die Sonne als der Punkt L1.

Ausfüllen der Tabelle

in $Formula: 10^3\;\text{km}$ $Formula: 10^3\;\text{km}$	in $Formula: \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ $Formula: \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$	$Formula: \tfrac{1}{r^2}$ $Formula: \tfrac{1}{r^2}$ in $Formula: 10^{-9} \; \tfrac{1}{\text{km}^2}$ $Formula: 10^{-9} \; \tfrac{1}{\text{km}^2}$

Nachweisen der Proportionalität

Mit Hilfe der Werte aus der Tabelle kann ein $Formula: g(\tfrac{1}{r^2})\text{-}$ $Formula: g(\tfrac{1}{r^2})\text{-}$ Diagramm erstellt werden:

Im Diagramm lässt sich erkennen, dass die Messwerte nahezu auf der Ausgleichsgeraden durch den Koordinatenursprung liegen, was den proportionalen Zusammenhang $Formula: g \sim \tfrac{1}{r^2}$ $Formula: g \sim \tfrac{1}{r^2}$ nachweist.

Das Vorzeichen der resultierenden Gravitationsfeldstärke gibt Auskunft darüber, ob die Gravitationskraft der Sonne oder der Erde dominiert. Dabei gilt, dass die Gravitationsfeldstärke positiv ist, solange die Anziehungskraft der Erde überwiegt. Mit zunehmendem Abstand zur Erde gewinnt die Gravitationskraft der Sonne an Einfluss, bis es an einem bestimmten Punkt zu einem Kräftegleichgewicht kommt, dieser Punkt ist im Diagramm die Nullstelle. Jenseits dieses Punktes überwiegt die Anziehung der Sonne, und das Vorzeichen im Diagramm wird negativ.

Dass die Raumsonde Aditya-L1 hinter diesem Gleichgewichtspunkt von der Sonne angezogen wird, kann sich zu Nutzen gemacht werden, indem die Sonnengravitation genutzt wird, um zum Punkt L1 zu gelangen. Die Raumsonde „fällt“ somit in Richtung L1, dadurch kann Treibstoff eingespart werden, wodurch weniger Treibstoff für die Mission benötigt wird.

Die Positionierung der Sonde am Punkt L1 bringt Herausforderungen mit sich, die das Missionsdesign bestimmen:

Der Punkt L1 stellt ein instabiles gravitatives Gleichgewicht dar. Bereits minimale Störungen der Position würden ohne Gegenmaßnahmen dazu führen, dass die Sonde entweder zur Sonne hin beschleunigt wird oder unkontrolliert in Richtung Erde zurückfällt.
Aufgrund der Instabilität verharrt Aditya-L1 nicht statisch an diesem Punkt, sondern umkreist ihn. Um diese Position zu halten, sind ständige Korrekturmanöver notwendig. Falls die Solarzellen zu wenig Sonnenstrahlung erhalten, wird dafür die Energie der Batterie verbraucht, was zur Entladung und irgendwann zum Ausfall der Batterie führt.

Damit die Sonde nicht Gefahr läuft nach Ende der Mission, wenn die Batterie leer ist, unkontrolliert in die Erdumlaufbahn zu geraten, wird die Sonde gezielt in eine stabile Umlaufbahn um die Sonne gebracht.

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