Aufgabe B — Untersuchung eines grünen Laserpointers

Laserpointer werden häufig bei Präsentationen genutzt. Während qualitativ hochwertige Laserpointer in der Regel ungefährlich sind, gibt es leider auch minderwertige Laserpointer, von denen Gefahren ausgehen können.

Der Strahl eines Laserpointers wird senkrecht auf einen Doppelspalt gerichtet. Hinter dem Doppelspalt befindet sich ein Schirm.

Beschreibe das Muster auf dem Schirm in Material 1 und erläutere die Entstehung des Musters mit einer geeigneten Modellvorstellung von Licht.

5 BE

Erläutere die Gleichung $Formula: k \cdot \lambda=g \cdot \sin \left(\alpha_k\right)$ $Formula: k \cdot \lambda=g \cdot \sin \left(\alpha_k\right)$ zur mathematischen Beschreibung des Maximums -ter Ordnung. Ergänze dazu die Skizze in Material 2 und stelle die Zusammenhänge in einem Text dar.

6 BE

Auf dem Typenschild des Lasers ist die Wellenlänge $Formula: \lambda = 532 \; \mathrm{nm}$ $Formula: \lambda = 532 \; \mathrm{nm}$ angegeben. Es wird nun getestet, ob die Angabe der Wellenlänge auf dem Typenschild korrekt angegeben ist.

Untersuche anhand von Material 1, ob der in dem Versuch verwendete Laser Licht der auf dem Typenschild angegebenen Wellenlänge emittiert.

5 BE

Begründe anhand von Material 3, dass eine präzisere Messung der Wellenlänge ermöglicht wird, wenn der Doppelspalt durch ein optisches Gitter ersetzt wird.

3 BE

Viele Laserpointer, die bei Präsentationen genutzt werden, emittieren grünes Licht.

Erläutere anhand der Kurve für die Hellempfindlichkeit in Material 4 einen wesentlichen Vorteil eines grünen Laserpointers gegenüber einem roten Laserpointer.

3 BE

Hochwertige grüne Laserpointer emittieren nur grünes Licht der Wellenlänge $Formula: \lambda_{\mathrm{g}} = 532 \; \mathrm{nm}.$ $Formula: \lambda_{\mathrm{g}} = 532 \; \mathrm{nm}.$ Das Bundesamt für Strahlenschutz warnt davor, dass bei minderwertigen Laserpointern auch nicht sichtbare Infrarot-Laserstrahlung der Wellenlänge $Formula: \lambda_{\mathrm{IR}}=1064 \; \mathrm{nm}=2 \cdot \lambda_{\mathrm{g}}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{IR}}=1064 \; \mathrm{nm}=2 \cdot \lambda_{\mathrm{g}}$ emittiert wird.

Interpretiere das Interferenzmuster in Material 5 im Hinblick auf die Qualität des Laserpointers.

4 BE

Ein Hersteller für Laserpointer wirbt mit folgender Aussage: „Der Laserpointer erzeugt einen gut sichtbaren grünen Laserpunkt. Durch die geringe Strahlungsleistung im sichtbaren Bereich besteht für Ihr Publikum keine Gefahr.“

Bewerte den Einsatz dieses Laserpointers bei einer Präsentation anhand der Informationen aus Material 6.

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Material 1: Interferenzmuster des grünen Laserpointers

Die folgende Abbildung zeigt das auf dem Schirm sichtbare Lichtmuster sowie einen Zentimetermaßstab. Der Abstand zwischen Doppelspalt und Schirm beträgt $Formula: a = 7,5 \;\text{m}.$ $Formula: a = 7,5 \;\text{m}.$ Der Abstand der Spaltmitten beträgt $Formula: g = 0,40 \;\text{mm}.$ $Formula: g = 0,40 \;\text{mm}.$

Fünf unscharfe schwarze Punkte über einem Lineal (Skala 10–14) als Größenvergleich

Abbildung 1: Interferenzmuster am Doppelspalt

Material 2: Beschreibung der konstruktiven Interferenz von Wellen

In der folgenden Skizze bezeichnen Formula: g den Abstand der beiden Spaltmitten, Formula: a den Abstand zwischen Doppelspalt und einer Projektionsfläche, Formula: d_k den Abstand des Formula: k -ten Maximums vom Maximum 0. Ordnung und Formula: a_k den Winkel, unter dem das Maximum -ter Ordnung erscheint.

Abbildung 2: Skizze des Doppelspaltversuchs

Der Abstand Formula: g der beiden Spaltmitten ist bei einem Doppelspaltversuch mit sichtbarem Licht üblicherweise deutlich kleiner als der Abstand Formula: a zwischen Doppelspalt und Schirm.

Material 3: Intensitätsverteilungen bei Mehrfachspalten

Bei einem Doppelspalt befinden sich zwei Spalte in einem bestimmten Abstand nebeneinander. Die folgende Abbildung zeigt die Intensitätsverteilungen für Mehrfachspalte mit unterschiedlich vielen Spalten, aber jeweils gleichen Spaltabständen Formula: g auf dem Schirm.

Grafik: Intensitätskurven bei Doppel-, Drei-, Vier- und Fünffachspalt; mit steigender Spaltenzahl erscheinen mehr und schmalere Interferenzpeaks.

Abbildung 3: Intensitätsverteilungen bei Mehrfachspalten

Ein optisches Gitter ist eine Aneinanderreihung von einer sehr großen Anzahl an nebeneinanderliegenden Spalten.

Material 4: Hellempfindlichkeit

Die folgende Abbildung zeigt die vom menschlichen Auge empfundene Helligkeit (Hellempfindlichkeit) in Abhängigkeit von der Wellenlänge des Lichts bei konstanter Strahlungsleistung.

Hellempfindlichkeit in Abh. der Wellenlänge

Abbildung 4: Hellempfindlichkeit in Abhängigkeit von der Wellenlänge

Die Hellempfindlichkeit ist eine einheitenlose Größe, deren Wert zwischen Formula: 0 und Formula: 1 liegt.

Material 5: Aufnahme des Interferenzbildes mit einer Smartphonekamera

Die folgende Abbildung zeigt das mit einer Smartphonekamera aufgenommene Interferenzmuster bei Verwendung eines optischen Gitters. Die Smartphonekamera kann Licht mit einer Wellenlänge im Bereich $Formula: 400\;\mathrm{nm} \leq \lambda \leq 1200\;\mathrm{nm}$ $Formula: 400\;\mathrm{nm} \leq \lambda \leq 1200\;\mathrm{nm}$ erfassen.

Abbildung 5: Interferenzbild am Gitter

Das Maximum 0. Ordnung befindet sich auf dem Zentimetermaßstab bei $Formula: 12 \;\text{cm}.$ $Formula: 12 \;\text{cm}.$ Die benachbarten Maxima des grünen Lichts ( $Formula: \lambda_{\mathrm{g}} = 532\; \mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{g}} = 532\; \mathrm{nm}$ ) haben hier jeweils etwa einen Abstand von $Formula: 1 \;\text{cm}.$ $Formula: 1 \;\text{cm}.$

Material 6: Spektrum des verwendeten Laserpointers und Informationen vom Bundesamt für Strahlenschutz

Das folgende Diagramm zeigt das gemessene Spektrum des verwendeten Laserpointers im Wellenlängenbereich $Formula: 400\;\mathrm{nm} \leq \lambda \leq 1200\;\mathrm{nm}.$ $Formula: 400\;\mathrm{nm} \leq \lambda \leq 1200\;\mathrm{nm}.$

Abbildung 6: Spektrum des Laserpointers

Informationen vom Bundesamt für Strahlenschutz:

Der Grenzwert für die Strahlungsleistung eines frei verkäuflichen Laserpointers beträgt in Deutschland $Formula: 1 \;\text{mW}.$ $Formula: 1 \;\text{mW}.$
Besondere Aufmerksamkeit beim Auge verdient der kurzwellige Infrarot-Anteil ( $Formula: 780\;\mathrm{nm} - 1400\;\mathrm{nm}$ $Formula: 780\;\mathrm{nm} - 1400\;\mathrm{nm}$ ). Für diesen Bereich ist der vordere Teil des Auges durchlässig, so dass die Netzhaut erreicht wird und Netzhautschädigungen möglich sind.

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Beschreiben des Musters auf dem Schirm

Auf dem Schirm ist eine Reihe von Lichtflecken, die durch dunkle Zonen voneinander getrennt sind, zu sehen. Die Abstände zwischen benachbarten Lichtflecken sind dabei näherungsweise konstant. Diese Beobachtungen deuten eindeutig auf ein Interferenzmuster hin.

Erläutern der Entstehung des Musters

Das Phänomen lässt sich mithilfe des Huygensschen Prinzips erklären: Jede der beiden Spaltmitten kann als Ausgangspunkt für eine neue kreisförmige Elementarwelle aufgefasst werden. Diese Wellen breiten sich hinter dem Spalt kreisförmig in der Ebene aus.

Auf dem Schirm überlagern sich diese beiden Wellen. An den Stellen auf dem Schirm, an denen die Wellenberge beider kreisförmigen Elementarwellen zusammentreffen, findet konstruktive Interferenz statt, was zu maximaler Helligkeit (Lichtflecken) führt. In den Bereichen dazwischen, wo Wellenberg auf Wellental trifft, löschen sich die Wellen gegenseitig aus (destruktive Interferenz), wodurch Orte minimaler Helligkeit entstehen.

Um die Positionen der Helligkeitsmaxima herzuleiten, wird der Gangunterschied $Formula: \Delta s$ $Formula: \Delta s$ der beiden Wellen betrachtet, die von den Spaltmitten S₁ und S₂ ausgehen und sich in einem Punkt Formula: P auf dem Schirm treffen.

Für das Auftreten eines Maximums Formula: k -ter Ordnung muss die Bedingung für konstruktive Interferenz erfüllt sein. Das bedeutet, der Gangunterschied muss einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge entsprechen:

$Formula: \Delta s = k \cdot \lambda$ $Formula: \Delta s = k \cdot \lambda$

Da der Abstand zum Schirm Formula: a im Vergleich zum Spaltabstand Formula: g sehr groß ist ( $Formula: a \gg g$ $Formula: a \gg g$ ), verlaufen die Lichtstrahlen von S₁ und S₂ zum Punkt auf dem Schirm nahezu parallel. Daher kann ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert werden (in der Skizze grau unterlegt), welches durch den Spaltabstand (als Hypotenuse) und den Gangunterschied $Formula: \Delta s$ $Formula: \Delta s$ (als Gegenkathete zum Winkel $Formula: \alpha_{\mathrm{k}}$ $Formula: \alpha_{\mathrm{k}}$ bei $Formula: S_{\mathrm{1}}$ $Formula: S_{\mathrm{1}}$ ) gebildet wird.

In diesem Dreieck gilt die trigonometrische Beziehung:

$Formula: \sin(\alpha_{k}) = \dfrac{\Delta s}{g}$ $Formula: \sin(\alpha_{k}) = \dfrac{\Delta s}{g}$

Daraus folgt für den Gangunterschied:

$Formula: \Delta s = g \cdot \sin(\alpha_{k})$ $Formula: \Delta s = g \cdot \sin(\alpha_{k})$

Das kann mit der Gleichung für die konstruktive Interferenz gleichgesetzt werden. Daraus ergibt sich die Gleichung für die Maxima:

$Formula: k \cdot \lambda = g \cdot \sin(\alpha_{k})$ $Formula: k \cdot \lambda = g \cdot \sin(\alpha_{k})$

Mit Hilfe der Abbildung in Material 1 ergibt sich für den Abstand zwischen zwei benachbarten Maxima ein Wert von etwa $Formula: d = 0{,}010 \; \mathrm{m}.$ $Formula: d = 0{,}010 \; \mathrm{m}.$

Für die Berechnung der Wellenlänge wird das Maximum erster Ordnung ( Formula: k = 1 ) betrachtet. Der zugehörige Winkel $Formula: \alpha_{\mathrm{1}}$ $Formula: \alpha_{\mathrm{1}}$ ergibt sich über die trigonometrische Beziehung:

$Formula: \alpha_{\mathrm{1}} = \tan^{-1} \left( \dfrac{d_{\mathrm{1}}}{a} \right)$ $Formula: \alpha_{\mathrm{1}} = \tan^{-1} \left( \dfrac{d_{\mathrm{1}}}{a} \right)$

Die Gleichung aus Aufgabe 1 b) ergibt für Formula: k=1 außerdem:

$Formula: \lambda = \sin \left( \alpha_{\mathrm{1}} \right) \cdot g$ $Formula: \lambda = \sin \left( \alpha_{\mathrm{1}} \right) \cdot g$

Durch Einsetzen der Gleichung für den Winkel $Formula: \alpha_{\mathrm{1}}$ $Formula: \alpha_{\mathrm{1}}$ ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}{rll} \lambda & = & \sin \left( \tan^{-1} \left( \dfrac{d_{1}}{a} \right) \right) \cdot g \\[5pt] & = & 5,3 \cdot 10^{-7} \; \mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} \lambda & = & \sin \left( \tan^{-1} \left( \dfrac{d_{1}}{a} \right) \right) \cdot g \\[5pt] & = & 5,3 \cdot 10^{-7} \; \mathrm{m} \end{array}$

Im Rahmen der Messgenauigkeit ist somit davon auszugehen, dass der Laser Licht der auf dem Typenschild angegebenen Wellenlänge emittiert.

Der Vergleich der in Material 3 dargestellten Intensitätsverteilungen eines Doppel-, Dreifach-, Vierfach- und Fünffachspalts bei jeweils gleichem Spaltabstand zeigt, dass die Breite eines jeden Maximums mit zunehmender Anzahl der Spalte abnimmt. Gleichzeitig steigt die Intensität am Ort des Maximums an. Bei einem optischen Gitter sind die Maxima daher fokussierter und intensiver. Dadurch können die Orte der Maxima und damit auch die Wellenlänge präziser bestimmt werden.

Anhand des Diagramms in Material 4 wird ersichtlich, dass die empfundene Helligkeit (bei gleicher Intensität) bei grünem Licht ( $Formula: 500 \; \mathrm{nm} < \lambda < 560 \; \mathrm{nm}$ $Formula: 500 \; \mathrm{nm} < \lambda < 560 \; \mathrm{nm}$ ) wesentlich größer ist als bei rotem Licht ( $Formula: 605 \; \mathrm{nm} < \lambda < 780 \; \mathrm{nm}$ $Formula: 605 \; \mathrm{nm} < \lambda < 780 \; \mathrm{nm}$ ). Für dieselbe Helligkeitsempfindung kann zu Präsentationszwecken folglich ein grüner Laserpointer geringerer Strahlungsleistung herangezogen werden.

In der Abbildung in Material 5 ist ein Interferenzmuster erkennbar, welches für das grüne Licht bis zur 4. Ordnung sichtbar ist. Dabei fallen die Maxima der 2. und 4. Ordnung durch eine höhere Intensität auf.

Dieses Phänomen lässt sich auf im Laserstrahl zusätzlich enthaltene Infrarotstrahlung zurückführen. Da deren Wellenlänge genau doppelt so groß ist wie die des grünen Lichts ( $Formula: \lambda_{\mathrm{IR}} = 2 \cdot \lambda_{\mathrm{g}}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{IR}} = 2 \cdot \lambda_{\mathrm{g}}$ ), befinden sich an den Positionen der grünen Maxima 2. und 4. Ordnung exakt die Maxima 1. und 2. Ordnung der Infrarot-Laserstrahlung. Diese Überlagerung, erkennbar durch die höhere Intensität der Maxima 2. und 4. Ordnung, deutet auf eine unzureichende Filterung hin, weshalb der Laserpointer als minderwertig einzustufen ist.

Für die Verwendung des Laserpointers bei Präsentationen spricht zunächst die gute Sichtbarkeit des grünen Laserpunkts. Zudem zeigt das Spektrum in Material 6, dass die Strahlungsleistung im sichtbaren Bereich den Grenzwert von $Formula: 1 \; \mathrm{mW}$ $Formula: 1 \; \mathrm{mW}$ einhält.

Das Spektrum in Material 6 zeigt jedoch auch eine zusätzliche Strahlungsleistung im nicht sichtbaren Infrarotbereich. Diese überschreitet den Grenzwert von $Formula: 1 \; \mathrm{mW}$ $Formula: 1 \; \mathrm{mW}$ deutlich, somit ist das Gerät als gefährlich einzustufen.

Sollte eine Person während einer Präsentation versehentlich geblendet werden, wäre das Auge im ungünstigsten Fall einer Gesamtstrahlungsleistung von etwa $Formula: 5 \; \mathrm{mW}$ $Formula: 5 \; \mathrm{mW}$ ausgesetzt, was dem Fünffachen des Grenzwertes von $Formula: 1 \; \mathrm{mW}$ $Formula: 1 \; \mathrm{mW}$ entspricht. Nach Angaben des Bundesamts für Strahlenschutz (Material 6) stellt insbesondere die nicht sichtbare Infrarotstrahlung ein Risiko für Netzhautschädigungen dar.

Folglich ist vom Einsatz des Laserpointers für Präsentationen eindeutig abzuraten.

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