Aufgabe D — Elektronenstrahlen zur Härtung von Lacken

Viele Lacke trocknen durch den Eintrag von Wärme. Es gibt jedoch auch Verfahren, bei denen Lacke durch Elektronenbeschuss aushärten. Die kinetische Energie der Elektronen wird auf die Moleküle im flüssigen Lack übertragen, sodass diese sich miteinander vernetzen und einen festen Lack bilden.

Zunächst soll der Elektronenstrahl näher betrachtet werden.

Erkläre mithilfe von Material 1 den Beschleunigungsvorgang von Elektronen innerhalb der Elektronenkanone.

4 BE

Erkläre mithilfe von Material 1 jeweils den Einfluss der Heiz- und Beschleunigungsspannung auf die Leistung des Elektronenstrahls.

4 BE

Die betriebswirtschaftliche Abteilung eines Lackierbetriebes kalkuliert die Betriebskosten der Anlage unter anderem in Abhängigkeit von der Bestrahlungszeit eines Bauteils, die sich nach der Dicke der Lackschicht und den Energiekosten richtet.

Begründe mithilfe von Abbildung 2 die optimale Beschleunigungsspannung für den in Material 2 beschriebenen Lackierprozess unter Berücksichtigung der Konsequenzen einer zu hohen bzw. zu niedrigen Beschleunigungsspannung.

3 BE

Bestimme die Bestrahlungszeit pro Fläche für den in Material 2 beschriebenen Lackierprozess, um eine vollständige Aushärtung zu erzielen.

4 BE

Erläutere den Mitarbeitenden der betriebswirtschaftlichen Abteilung die Kalkulation der Höhe der Energiekosten pro $Formula: \mathrm{m}^2$ $Formula: \mathrm{m}^2$ am Beispiel des in Material 2 beschriebenen Lackierprozesses.

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Vor Durchführung wurde das Bauteil nicht geerdet, sodass der Lackierprozess fehlerhaft ist (Material 3).

Beschreibe das sich ausbildende elektrische Feld zwischen der Lochanode und der Lackschicht und dessen Änderung bei zunehmender Aufladung der Oberfläche.

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Erkläre die mit Aufladung der Oberfläche zunehmende Aufweitung des Elektronenstrahls mithilfe einer Argumentationskette unter Berücksichtigung der Geschwindigkeiten in Formula: x - und Formula: y -Richtung.

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Material 1: Erzeugung eines Elektronenstrahls

Zur Erzeugung eines Elektronenstrahls wird eine sogenannte Elektronenkanone verwendet. Aus einem Glühdraht können Elektronen austreten, wenn dieser beheizt ist. Diese Elektronen befinden sich zwischen dem Glühdraht und einer Lochanode in einem elektrischen Feld, welches durch eine zwischen diesen Bauteilen angelegte Spannung entsteht. Die beiden Spannungen $Formula: U_{\mathrm{H}}$ $Formula: U_{\mathrm{H}}$ (Heizspannung) und $Formula: U_{\mathrm{B}}$ $Formula: U_{\mathrm{B}}$ (Beschleunigungsspannung) bestimmen die Leistung des Elektronenstrahls. Diese gibt die Summe der Energiebeträge aller je Zeitspanne emittierten Elektronen dividiert durch diese Zeitspanne an. Durch den Betrag der Heizspannung kann die Anzahl der freigesetzten Elektronen pro Sekunde gesteuert werden. Vereinfachend wird angenommen, dass der gesamte Lackierprozess im Vakuum stattfindet.

Diagramm: Elektronenröhre mit Glühdraht, Lochanode, Elektronenstrahl und Spannungsanschlüssen (UB, UH)

Abbildung 1: Bestrahlung der Lackschicht mit Elektronen aus einer Elektronenkanone

Material 2: Leistungsdaten des Lackierprozesses

Die Beschleunigungsspannung des Elektronenstrahls muss an die Dicke der Lackschicht angepasst werden. So wird sichergestellt, dass eine Aushärtung in der gesamten Schicht erfolgt, jedoch keine weitere unnötige Energieaufnahme des darunter liegenden Bauteils erfolgt.

Die Leistung des Elektronenstrahls beträgt $Formula: 1,0\;\mathrm{kW}.$ $Formula: 1,0\;\mathrm{kW}.$ Pro Gramm des aufgetragenen Lacks muss insgesamt eine Energie von $Formula: 5,0\;\mathrm{kJ}$ $Formula: 5,0\;\mathrm{kJ}$ zugeführt werden. Pro $Formula: 1\;\mathrm{kWh}$ $Formula: 1\;\mathrm{kWh}$ zugeführte Energie ist mit Energiekosten von $Formula: 20\;\mathrm{Cent}$ $Formula: 20\;\mathrm{Cent}$ zu rechnen.

Bei dem hier betrachteten Lackierprozess wird eine Schicht mit $Formula: 80\;\tfrac{\mathrm{g}}{\mathrm{m}^2}$ $Formula: 80\;\tfrac{\mathrm{g}}{\mathrm{m}^2}$ Lack aufgetragen.

Abbildung 2 zeigt den Zusammenhang zwischen der kinetischen Energie der einzelnen Elektronen im Strahl und der damit erreichten prozentualen Aushärtung dieser Lackschicht bei ausreichender Bestrahlungszeit.

Diagramm: Aushärtung der Lackschicht vs. Ekin in keV, steigt linear von 20% bei 100 keV auf 100% bei 150 keV, dann flach.

Abbildung 2: Aushärtung einer Schicht mit $Formula: \small{80\;\tfrac{\mathrm{g}}{\mathrm{m}^2}}$ $Formula: \small{80\;\tfrac{\mathrm{g}}{\mathrm{m}^2}}$ Lack in Abhängigkeit von der Energie der Elektronen bei ausreichender Bestrahlungszeit.

Material 3: Aufweitung des Elektronenstrahls

Damit der Elektronenstrahl nicht nur punktuell die Lackschicht bestrahlt, wird dieser aufgeweitet. Dabei erhalten die Elektronen jeweils eine konstante Geschwindigkeit in Formula: x -Richtung. Wechselwirkungen der Elektronen im Elektronenstrahl untereinander werden vernachlässigt. Die Elektronen müssen durch eine Erdung des Bauteils nach Auftreffen abgeführt werden.

Die Erdung des Bauteils wurde in der Vorbereitung des Lackierprozesses vergessen. Dadurch werden die Elektronen beim Lackierprozess nicht abgeführt und es bildet sich ein homogenes elektrisches Feld im Bereich zwischen der Lochanode und der Lackschicht aus. Dadurch wird der Elektronenstrahl noch weiter aufgeweitet.

Diagramm mit Lochanode, aufgeweitetem Elektronenstrahl über Lackschicht, e⁻-Symbole

Abbildung 3: Ansammlung von Elektronen auf der Oberfläche der Lackschicht

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Zwischen dem Glühdraht und der Lochanode ist eine Beschleunigungsspannung $Formula: U_{\mathrm{B}}$ $Formula: U_{\mathrm{B}}$ angelegt. Dadurch entsteht in dem Bereich zwischen dem Glühdraht und der Lochanode ein elektrisches Feld. Auf die aus dem Glühdraht ausgetretenen Elektronen wirkt in diesem elektrischen Feld eine elektrische Kraft. Diese Kraft zeigt direkt in Richtung der Lochanode, sodass die Elektronen in diese Richtung beschleunigt werden.

Einfluss der Heizspannung $Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{H}}}$ $Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{H}}}$

Die Höhe der angelegten Heizspannung bestimmt die Anzahl der freigesetzten Elektronen pro Sekunde. Mithilfe der Beschleunigungsspannung wird anschließend auf diese Elektronen Energie übertragen. Werden durch eine höhere Heizspannung mehr Elektronen pro Zeitspanne freigesetzt, steigt dadurch die insgesamt übertragene Energie an. Somit bewirkt eine Erhöhung der Heizspannung eine Zunahme der Gesamtleistung des Elektronenstrahls.

Einfluss der Beschleunigungsspannung $Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{B}}}$ $Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{B}}}$

Die freigesetzten Elektronen durchlaufen das elektrische Feld zwischen dem Glühdraht und der Lochanode, wodurch sie beschleunigt werden. Je höher die angelegte Beschleunigungsspannung ausfällt, desto höher ist auch die Energie, die jedes einzelne Elektron auf dem Weg zur Lochanode aufnimmt. Somit führt eine Erhöhung der Beschleunigungsspannung ebenfalls dazu, dass die Leistung des Elektronenstrahls erhöht wird.

Aus dem Diagramm (Material 2, Abbildung 2) lässt sich ablesen, dass die Elektronen eine kinetische Energie von etwa $Formula: 145\;\mathrm{keV}$ $Formula: 145\;\mathrm{keV}$ benötigen, um eine vollständige Aushärtung der Lackschicht zu erreichen.

Es gilt $Formula: E_{\mathrm{kin}}=U_{\mathrm{B}} \cdot e,$ $Formula: E_{\mathrm{kin}}=U_{\mathrm{B}} \cdot e,$ somit muss eine Beschleunigungsspannung von $Formula: U_{\mathrm{B}} = 145\;\mathrm{kV}$ $Formula: U_{\mathrm{B}} = 145\;\mathrm{kV}$ angelegt werden, damit die Elektronen exakt diese erforderliche Energie von etwa $Formula: 145\;\mathrm{keV}$ $Formula: 145\;\mathrm{keV}$ erreichen.

Fällt die gewählte Beschleunigungsspannung geringer aus, besitzen die Elektronen zu wenig Energie. Infolgedessen härtet die Lackschicht nicht vollständig aus.

Wird hingegen eine höhere Beschleunigungsspannung angelegt, ist die kinetische Energie der Elektronen größer als für den chemischen Prozess notwendig. Dies führt zu einem unnötig hohen Energieeintrag in das Bauteil, ohne das Ergebnis der Lackhärtung weiter zu verbessern.

Demzufolge stellt eine Beschleunigungsspannung von exakt $Formula: 145\;\mathrm{kV}$ $Formula: 145\;\mathrm{kV}$ das Optimum für den beschriebenen Lackierprozess dar.

Erforderliche Energie pro Gramm Lack: $Formula: 5,0\;\mathrm{kJ}$ $Formula: 5,0\;\mathrm{kJ}$
Leistung des Elektronenstrahls: $Formula: P = 1,0\;\mathrm{kW} = 1,0\;\tfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{s}}$ $Formula: P = 1,0\;\mathrm{kW} = 1,0\;\tfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{s}}$
Aufgetragene Lackmenge pro Fläche: $Formula: 80\;\tfrac{\mathrm{g}}{\mathrm{m^2}}$ $Formula: 80\;\tfrac{\mathrm{g}}{\mathrm{m^2}}$

Zunächst wird die benötigte Bestrahlungszeit für exakt ein Gramm Lack berechnet. Da der Strahl in jeder Sekunde $Formula: 1,0\;\mathrm{kJ}$ $Formula: 1,0\;\mathrm{kJ}$ Energie liefert, ergibt sich für die geforderten $Formula: 5,0\;\mathrm{kJ}\text{:}$ $Formula: 5,0\;\mathrm{kJ}\text{:}$

$Formula: t_{\mathrm{1g}} = \dfrac{5,0\;\mathrm{kJ}}{1,0\;\tfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{s}}} = 5,0\;\mathrm{s}$ $Formula: t_{\mathrm{1g}} = \dfrac{5,0\;\mathrm{kJ}}{1,0\;\tfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{s}}} = 5,0\;\mathrm{s}$

Anschließend wird diese Zeitspanne mit der aufgetragenen Lackmenge pro Quadratmeter multipliziert, um die erforderliche Bestrahlungszeit pro Fläche zu erhalten:

$Formula: t_{\mathrm{Gesamt}} = 5,0\;\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{g}} \cdot 80\;\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{m^2}} = 400\;\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m^2}}$ $Formula: t_{\mathrm{Gesamt}} = 5,0\;\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{g}} \cdot 80\;\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{m^2}} = 400\;\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m^2}}$

Um eine vollständige Aushärtung zu erzielen, muss das Bauteil somit mit einer Bestrahlungszeit von Formula: 400 Sekunden pro Quadratmeter behandelt werden.

Die anfallenden Energiekosten richten sich nach der Menge des aufgetragenen Lackes. Laut Vorgabe erfordert jedes Gramm Lack zwingend einen Energieeintrag von $Formula: 5,0\;\mathrm{kJ}.$ $Formula: 5,0\;\mathrm{kJ}.$ Bei einer Auftragsmenge von beispielsweise Formula: 80 Gramm pro Quadratmeter ergibt sich somit ein Gesamtenergiebedarf pro Flächeneinheit von:

$Formula: E_{\mathrm{Gesamt}} = 80\;\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{m^2}} \cdot 5,0\;\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{g}} = 400\;\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{m^2}}$ $Formula: E_{\mathrm{Gesamt}} = 80\;\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{m^2}} \cdot 5,0\;\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{g}} = 400\;\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{m^2}}$

Da Strompreise pro Kilowattstunde ( $Formula: \mathrm{kWh}$ $Formula: \mathrm{kWh}$ ) abgerechnet werden, muss der berechnete Wert zwingend von Kilojoule ( $Formula: \mathrm{kJ}$ $Formula: \mathrm{kJ}$ ) in $Formula: \mathrm{kWh}$ $Formula: \mathrm{kWh}$ umgerechnet werden.

Da $Formula: 1\;\mathrm{kWh}$ $Formula: 1\;\mathrm{kWh}$ exakt $Formula: 3600\;\mathrm{kJ}$ $Formula: 3600\;\mathrm{kJ}$ entspricht, wird der Wert durch den Faktor dividiert:

$Formula: E_{\mathrm{Gesamt}} = \frac{400}{3600}\;\frac{\mathrm{kWh}}{\mathrm{m^2}} \approx 0,111\;\frac{\mathrm{kWh}}{\mathrm{m^2}}$ $Formula: E_{\mathrm{Gesamt}} = \frac{400}{3600}\;\frac{\mathrm{kWh}}{\mathrm{m^2}} \approx 0,111\;\frac{\mathrm{kWh}}{\mathrm{m^2}}$

Im letzten Schritt wird dieser Energiebedarf pro Fläche mit dem Strompreis von $Formula: 20\;\mathrm{Cent}$ $Formula: 20\;\mathrm{Cent}$ pro $Formula: \mathrm{kWh}$ $Formula: \mathrm{kWh}$ multipliziert:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \text{Kosten} & = & 0,111\;\dfrac{\mathrm{kWh}}{\mathrm{m^2}} \cdot 20\;\dfrac{\mathrm{Cent}}{\mathrm{kWh}} \\[5pt] & = & 2,22\;\dfrac{\mathrm{Cent}}{\mathrm{m^2}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \text{Kosten} & = & 0,111\;\dfrac{\mathrm{kWh}}{\mathrm{m^2}} \cdot 20\;\dfrac{\mathrm{Cent}}{\mathrm{kWh}} \\[5pt] & = & 2,22\;\dfrac{\mathrm{Cent}}{\mathrm{m^2}} \end{array}$

Nach der Umrechnung in abrechenbare Kilowattstunden zeigt sich, dass die reinen Energiekosten für diesen Lackierprozess bei $Formula: 2,22\;\mathrm{Cent}$ $Formula: 2,22\;\mathrm{Cent}$ pro Quadratmeter liegen.

Da das Bauteil nicht geerdet ist, sammeln sich die Elektronen auf der Oberfläche an, wodurch es dort immer mehr zu einem Elektronenüberschuss kommt. Die Feldlinien des sich dadurch ausbildenden elektrischen Feldes verlaufen exakt senkrecht zur Oberfläche der Lackschicht. Die Richtung dieser Feldlinien zeigt dabei direkt zur Oberfläche hin.

Durch die zunehmende Aufladung der Oberfläche erhöht sich die Feldliniendichte des elektrischen Feldes kontinuierlich.

In dem entstandenen elektrischen Feld zwischen der Lochanode und der Lackschicht wirkt eine elektrische Kraft auf die ankommenden Elektronen des Elektronenstrahls. Diese Kraft wirkt ausschließlich in -Richtung und ist zur Lochanode hin orientiert.
Dadurch werden die Elektronen in -Richtung abgebremst, wodurch sich ihre Geschwindigkeit in -Richtung verringert.
Parallel dazu wirken in dem elektrischen Feld zwischen der Lochanode und der Lackschicht in -Richtung keinerlei Kräfte auf die Elektronen. Die Geschwindigkeit der Elektronen in -Richtung bleibt demzufolge konstant.
Da sich der Geschwindigkeitsanteil in -Richtung im Vergleich zum konstanten Geschwindigkeitsanteil in -Richtung verkleinert, verändert sich die Flugbahn der Elektronen.
Die resultierende Bewegungsrichtung der Elektronen zeigt dadurch zunehmend weiter nach außen. Das erklärt, warum sich der Elektronenstrahl bei einer nicht vorhandenen Erdung des Bauteils fehlerhaft aufweitet.

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