Aufgabe A — Vertikaler Federschwinger

Ein Hängesessel, der mit einer Schraubenfeder an einem festen Punkt angebracht ist, kann in Schwingungen versetzt werden. In dieser Aufgabe werden die Eigenschaften dieses schwingungsfähigen Systems näher untersucht.

Fachpraktischer Teil

Ein schwingender Hängesessel (siehe Material 1) wird im Folgenden als vertikaler Federschwinger betrachtet. Die Periodendauer hängt von mehreren physikalischen Größen ab.

Untersuche experimentell den Zusammenhang zwischen der Periodendauer Formula: T und der Masse Formula: m eines vertikalen Federschwingers. Weise hierzu nach, dass der Zusammenhang $Formula: T \sim \sqrt{m}$ $Formula: T \sim \sqrt{m}$ gilt. Beachte Material 2.

Hinweis:

Falls der Aufbau nicht selbstständig durchgeführt werden kann, kann Hilfe bei der Aufsicht führenden Fachlehrkraft angefordert werden. Entsprechend der nicht erbrachten Leistungen werden bis zu zwei Bewertungseinheiten nicht gegeben.

Falls keine Ergebnisse aus der experimentellen Untersuchung gewonnen werden konnten, können Ersatzmesswerte bei der Fachlehrkraft angefordert werden. Entsprechend der nicht erbrachten Leistungen werden bis zu vier Bewertungseinheiten nicht gegeben.

12 BE

Begründe, dass in der Aufgabe 1a die gemessene Zeit eine Messunsicherheit aufweist. Gib eine Möglichkeit an, die Messunsicherheit der Zeit in Aufgabe 1a zu verkleinern.

3 BE

Üblicherweise werden Hängesessel an einer Feder befestigt (siehe Material 1). Diese soll durch eine Federkombination ersetzt werden.

Die ursprüngliche Feder des Hängesessels wird durch eine zweite baugleiche Feder zu einer Federkombination gemäß Material 3a ergänzt.

Erläutere die Auswirkung eines solchen Austausches auf die Periodendauer Formula: T und gib eine Bedingung an, unter der deine Aussage gilt.

4 BE

Leite unter Verwendung der Informationen und den Beziehungen in Material 4 die Gleichung $Formula: D_{\mathrm{Gesamt}} = 2D$ $Formula: D_{\mathrm{Gesamt}} = 2D$ aus einem Kraftansatz her.

4 BE

Ein Onlineshop weist auf die Möglichkeit der Verwendung von Federkombinationen für diesen Hängesessel hin und veröffentlicht das Material 3b zu diesen Angeboten.

Bestimme mittels Rechnung die auszuwählende Variante der Federkombination für eine Periodendauer von $Formula: 1,0\;\mathrm{s}$ $Formula: 1,0\;\mathrm{s}$ bei einer Masse von $Formula: 85\;\mathrm{kg}.$ $Formula: 85\;\mathrm{kg}.$

4 BE

In der Bedienungsanleitung des Hängesessels wird darauf hingewiesen, dass der Hängesessel so aufzuhängen ist, dass sich seine Sitzfläche in einer Höhe von Formula: 40 bis $Formula: 50\;\mathrm{cm}$ $Formula: 50\;\mathrm{cm}$ über dem Erdboden befindet.

Beurteile anhand eines Aspektes, ob dieser Hinweis sicherheitsrelevant ist.

3 BE

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Material 1: Modellexperiment zum schwingenden Hängesessel als vertikaler Federschwinger

Ein vertikal schwingender Hängesessel besteht aus einer Schraubenfeder, an deren unterem Ende der Hängesessel befestigt ist, siehe Abbildung 1. Die Periodendauer solcher Hängesessel ist entscheidend für ein angenehmes Schaukeln, wobei subjektive Unterschiede bezüglich eines angenehmen Schaukelns zu beachten sind.

Hängesessel mit schwarzem Gestell, beigem Polster und Metallfeder zur Aufhängung

Abbildung 1: Hängesessel mit Schraubenfeder, siehe vergrößerter Bildausschnitt

Material 2: Hinweise zum Experimentieren

Für das Experiment in Aufgabe 1 stehen folgende Geräte und Materialien bereit:
- Stoppuhr
- Stativmaterial
- Schraubenfeder

Es sind die Periodendauern für fünf verschiedene Massen zu bestimmen. Die Massen werden von der Lehrkraft vorgegeben.
Die Periodendauer ist jeweils aus fünf vollständigen Schwingungen zu ermitteln.
Die Messwerte und Berechnungen sind in einer aus dem Unterricht bekannten Art und Weise zu dokumentieren.

Material 3: Federkombinationen für Hängesessel

Material 3a

Für die Federhärte $Formula: D_{\mathrm{Gesamt}}$ $Formula: D_{\mathrm{Gesamt}}$ zweier parallel nebeneinander angeordneter baugleicher Schraubenfedern der Federhärte gilt:

$Formula: D_{\mathrm{Gesamt}} = 2 \cdot D.$ $Formula: D_{\mathrm{Gesamt}} = 2 \cdot D.$

Zwei nebeneinander angeordnete Federspulen zwischen oberen und mittleren Trägern, zentrale Last darunter.

Abbildung 2: Zwei parallel nebeneinander angeordnete Federn

Material 3b

Neben der standardmäßig mitgelieferten Feder des Hängesessels bietet ein Onlinehändler auch Federkombinationen an (siehe Abbildung 2), bei denen zwei baugleiche Schraubenfedern parallel nebeneinander angeordnet sind. Die folgende Tabelle zeigt eine Variantenauswahl.

Artikelbezeichnung	Variante 1	Variante 2	Variante 3
Federhärte einer Feder im Federsystem	$Formula: D = 0,87\;\tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}$ $Formula: D = 0,87\;\tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}$	$Formula: D = 1,7\;\tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}$ $Formula: D = 1,7\;\tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}$	$Formula: D = 2,6\;\tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}$ $Formula: D = 2,6\;\tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}$

Tabelle 1: Angebote eines Onlinehändlers

Material 4: Hängesessel mit zwei parallel nebeneinander angeordneten Federn

Für eine Federkombination gemäß Abbildung 2 in Material 3 gelten folgende Vereinfachungen und Zusammenhänge:

Die Massen beider Schraubenfedern sind zu vernachlässigen.
Für die Ausdehnung der Federn gilt:

$Formula: s_{1} = s_{2} = s\quad$ $Formula: s_{1} = s_{2} = s\quad$ (1)
Beide Schraubenfedern haben dieselbe Federhärte

$Formula: D_{1} = D_{2} = D$ $Formula: D_{1} = D_{2} = D$
Die Gewichtskraft, die nach unten wirkt, erzeugt in beiden Federn jeweils gleichgroße Rückstellkräfte $Formula: F_{1}$ $Formula: F_{1}$ und $Formula: F_{2}.$ $Formula: F_{2}.$ Sie sind beide nach oben gerichtet und entsprechen der Hälfte des Betrages der Gewichtskraft. Für beide Schraubenfedern gilt jeweils:

$Formula: F = D \cdot s\quad$ $Formula: F = D \cdot s\quad$ (2)

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Aufbau und Durchführung:

Das Stativmaterial wird selbstständig so aufgebaut, dass die daran befestigte Feder frei schwingen kann.
Die Feder wird nacheinander mit fünf unterschiedlichen Massen belastet.
Durch eine einmalige Auslenkung aus der Ruhelage wird das System zum Schwingen gebracht.
Für jede Masse wird die Zeit für genau fünf vollständige Schwingungen gemessen.

Messwerte und Auswertung:

Aus der gemessenen Zeit Formula: t für fünf Schwingungen lässt sich die Periodendauer berechnen, indem der Wert durch Formula: 5 geteilt wird.

Um den Zusammenhang $Formula: T \sim \sqrt{m}$ $Formula: T \sim \sqrt{m}$ nachzuweisen, wird der Quotient $Formula: \tfrac{T}{\sqrt{m}}$ $Formula: \tfrac{T}{\sqrt{m}}$ gebildet. Ist dieser Quotient für alle Massen annähernd konstant, gilt der Zusammenhang als bestätigt.

Als Messwerte ergeben sich beispielsweise:

Masse $Formula: \boldsymbol{m}$ $Formula: \boldsymbol{m}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{g}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{g}}$	Zeit $Formula: \boldsymbol{t}$ $Formula: \boldsymbol{t}$ für fünf Schwingungsvorgänge in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$	Berechnete Periodendauer $Formula: \boldsymbol{T}$ $Formula: \boldsymbol{T}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$

Bestätigung des Zusammenhangs $Formula: T \sim \sqrt{m}\text{:}$ $Formula: T \sim \sqrt{m}\text{:}$

Masse $Formula: \boldsymbol{m}$ $Formula: \boldsymbol{m}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{kg}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{kg}}$	Periodendauer $Formula: \boldsymbol{T}$ $Formula: \boldsymbol{T}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$	$Formula: \tfrac{\boldsymbol{T}}{\sqrt{\boldsymbol{m}}}$ $Formula: \tfrac{\boldsymbol{T}}{\sqrt{\boldsymbol{m}}}$ in $Formula: \tfrac{\boldsymbol{\mathrm{s}}}{\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{kg}}}}$ $Formula: \tfrac{\boldsymbol{\mathrm{s}}}{\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{kg}}}}$

Die berechneten Werte für den Quotienten $Formula: \tfrac{T}{\sqrt{m}}$ $Formula: \tfrac{T}{\sqrt{m}}$ sind annähernd konstant. Die durchgeführten experimentellen Untersuchungen bestätigen folglich den Zusammenhang $Formula: T \sim \sqrt{m}.$ $Formula: T \sim \sqrt{m}.$

Begründung der Messunsicherheit

Die Messunsicherheit der Zeit Formula: t kommt hauptsächlich dadurch zustande, dass sich der exakte Beginn und das genaue Ende einer Periodendauer bei manueller Messung nicht vollkommen exakt bestimmen lassen (beispielsweise durch die menschliche Reaktionszeit).

Möglichkeit zur Verkleinerung der Messunsicherheit

Um diese Messunsicherheit bei der Zeitmessung deutlich zu verkleinern, kann beispielsweise eine Lichtschranke für eine automatisierte Messung verwendet werden.

Durch die Verwendung einer Federkombination aus zwei parallel nebeneinander angeordneten, baugleichen Federn verdoppelt sich die Federhärte auf $Formula: D_{\mathrm{Gesamt}} = 2 \cdot D$ $Formula: D_{\mathrm{Gesamt}} = 2 \cdot D$ (siehe Material 3a).

Für die Periodendauer eines Federschwingers gilt allgemein folgender Zusammenhang:

$Formula: T = 2 \cdot \pi \sqrt{\frac{m}{D}}$ $Formula: T = 2 \cdot \pi \sqrt{\frac{m}{D}}$
Wird die neue Federkombination eingesetzt, ergibt sich für die Periodendauer:

$Formula: T = 2 \cdot \pi \sqrt{\frac{m}{2 \cdot D}}$ $Formula: T = 2 \cdot \pi \sqrt{\frac{m}{2 \cdot D}}$

Durch die Verdopplung der Federhärte im Nenner folgt, dass sich die Periodendauer gegenüber der Verwendung einer einzelnen Feder mit der ursprünglichen Federhärte verkleinert.

Diese getroffene Aussage gilt zum Beispiel unter der Bedingung, dass die Masse konstant bleibt ( $Formula: m = \text{konstant}$ $Formula: m = \text{konstant}$ ).

Da die beiden Federn parallel nebeneinander hängen und dieselbe Federhärte aufweisen, werden beide um die exakt gleiche Strecke ausgelenkt. Es gelten gemäß Material 4 folgende Zusammenhänge:

$Formula: s = s_{\mathrm{1}} = s_{\mathrm{2}}$ $Formula: s = s_{\mathrm{1}} = s_{\mathrm{2}}$
$Formula: D = D_{\mathrm{1}} = D_{\mathrm{2}}$ $Formula: D = D_{\mathrm{1}} = D_{\mathrm{2}}$

Die aufzubringende Gesamtkraft Formula: F zur Dehnung der Federkombination teilt sich als Summe auf die beiden Einzelfedern auf:

$Formula: F = F_{\mathrm{1}} + F_{\mathrm{2}}$ $Formula: F = F_{\mathrm{1}} + F_{\mathrm{2}}$

Mit Gleichung (2) aus Material 4 folgt:

$Formula: F = D \cdot s + D \cdot s$ $Formula: F = D \cdot s + D \cdot s$

Es gilt $Formula: D_{\mathrm{Gesamt}} = \tfrac{F}{s},$ $Formula: D_{\mathrm{Gesamt}} = \tfrac{F}{s},$ daraus folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} D_{\mathrm{gesamt}} & = & \dfrac{F}{s} \\[5pt] & = & \dfrac{D \cdot s + D \cdot s}{s} \\[5pt] & = & \dfrac{(D + D) \cdot s}{s} &\quad\scriptsize\mid\, \text{Kürzen mit } s \\[5pt] D_{\mathrm{gesamt}} & = & 2 \cdot D \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} D_{\mathrm{gesamt}} & = & \dfrac{F}{s} \\[5pt] & = & \dfrac{D \cdot s + D \cdot s}{s} \\[5pt] & = & \dfrac{(D + D) \cdot s}{s} &\quad\scriptsize\mid\, \text{Kürzen mit } s \\[5pt] D_{\mathrm{gesamt}} & = & 2 \cdot D \end{array}$

Ausgangspunkt ist die Formel für die Periodendauer, die nach der benötigten Gesamtfederhärte Formula: D umgestellt wird:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} T & = & 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{D}} &\quad\scriptsize\mid\, ^{2} \\[5pt] T^2 & = & 4 \cdot \pi^2 \cdot \dfrac{m}{D} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{D}{T^2} \\[5pt] D & = & \dfrac{4 \cdot \pi^2 \cdot m}{T^2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} T & = & 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{D}} &\quad\scriptsize\mid\, ^{2} \\[5pt] T^2 & = & 4 \cdot \pi^2 \cdot \dfrac{m}{D} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{D}{T^2} \\[5pt] D & = & \dfrac{4 \cdot \pi^2 \cdot m}{T^2} \end{array}$

Das Einsetzen der gewünschten Werte liefert die erforderliche Gesamtfederhärte für das System:

$Formula: D = \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot 85\;\mathrm{kg}}{(1,0\;\mathrm{s})^2} \approx 3,4\;\frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}$ $Formula: D = \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot 85\;\mathrm{kg}}{(1,0\;\mathrm{s})^2} \approx 3,4\;\frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}$

Da das System laut Material 3 aus zwei baugleichen Federn besteht, muss dieser Wert halbiert werden, um die Federhärte einer einzelnen Feder zu bestimmen:

$Formula: D_{\mathrm{Einzel}} = \dfrac{3,4\;\tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}}{2} = 1,7\;\frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}$ $Formula: D_{\mathrm{Einzel}} = \dfrac{3,4\;\tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}}{2} = 1,7\;\frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}$

Ein Abgleich mit den Tabellenwerten des Onlinehändlers zeigt, dass die Variante 2 die korrekte Wahl ist.

Ja, der Hinweis in der Bedienungsanleitung auf eine Aufhängehöhe der Sitzfläche von Formula: 40 bis $Formula: 50 \; \text{cm}$ $Formula: 50 \; \text{cm}$ ist definitiv sicherheitsrelevant.

Befindet sich eine große Masse in dem Hängesessel, führt das zu einer starken Vordehnung der Schraubenfeder. Dadurch verlagert sich die Ruhelage des Systems bereits im Stillstand deutlich nach unten. Kommt es während des Schaukelns zusätzlich zu großen vertikalen Auslenkungen um diese nach unten verlagerte Ruhelage, besteht das unmittelbare Risiko, dass der Abstand zwischen Hängesessel und Erdboden zu gering oder Null wird.

Dies birgt eine direkte Verletzungsgefahr, da die im Sessel sitzende Person oder deren Füße unsanft auf dem Erdboden aufschlagen könnten.

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