Aufgabe B — Spektroskopische Untersuchungen auf dem Mars

2012 landete der Rover „Curiosity“ auf dem Mars. Mithilfe verschiedener Instrumente, die unter anderem Lichtspektren aufnehmen können, untersucht er seitdem die Oberfläche des Planeten und liefert wissenschaftliche Daten.

Die Zusammensetzung von Mars-Gestein kann mithilfe eines Instruments mit dem Namen LIBS durch spektroskopische Untersuchungen bestimmt werden (Material 1).

Erkläre allgemein die Entstehung der in Material 1 dargestellten Linienspektren bei angeregten Atomen in einem Gas mithilfe der Betrachtung von Energieniveaus.

4 BE

Nenne eine der in Material 2 gegebenen Fragestellungen, die auf Basis spektraler Aufnahmen, wie in Material 1 abgebildet, untersucht werden könnte.

Begründe deine Wahl.

Hinweis: Du musst dazu die identifizierte Fragestellung nicht beantworten.

4 BE

Ein Schüler betrachtet die Spektren in Material 1 und behauptet: „Aufgrund der Spektren kann ich schlussfolgern, dass sich in dem untersuchten Mars-Gestein vermutlich Natrium und auch Helium befinden“.
Analysiere die Aussage hinsichtlich ihrer Korrektheit. Berücksichtige dazu Wellenlängen und Intensitäten der Spektrallinien.

5 BE

Das Instrument LIBS verfügt über einen starken Laser (Material 3). Dieser Laser regt die Atome im untersuchten Mars-Gestein zum Aussenden von Licht an, kann aber auch störende Staubschichten entfernen.

Die Anzahl der bei einem einzigen Einschalten ausgesendeten Photonen des in Material 3 geschilderten Lasers soll berechnet werden.
Gib drei dafür notwendige Annahmen aus dem Zitat in Material 4 wieder.

3 BE

Berechne mithilfe von Material 3 die Anzahl der bei einem einzigen Einschalten ausgesendeten Photonen.

[Kontrollwert: $Formula: 5,37 \cdot 10^{16}$ $Formula: 5,37 \cdot 10^{16}$ ]

4 BE

Schätze mithilfe der modellhaften Betrachtung in Material 5 unter Berücksichtigung von Material 3 durch eine Rechnung ab, ob durch die Photonen des Lasers des LIBS-Instruments ein Staubteilchen in Bewegung gesetzt werden kann.

5 BE

In Aufgabenteil 2c diente die modellhafte Betrachtung dem Zweck, durch die Abschätzung eine begründete Vorhersage zu treffen. Derartige Modellbetrachtungen werden vor dem Start von Forschungsmissionen unternommen.
Begründe, dass zusätzlich zu der gemachten theoretischen Modellbetrachtung (Material 5) vor einer Marsmission auch in einem Experiment untersucht werden sollte, ob durch den Laser des LIBS-Instruments ein Staubteilchen auf dem Marsgestein in Bewegung gesetzt werden kann.

5 BE

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Material 1: Spektroskopie mit dem LIBS-Instrument

Das LIBS-Instrument des Marsrovers „Curiosity“ ist mit einem Laser sowie einem Spektroskop ausgestattet. Der Laser wird auf das zu untersuchende Mars-Gestein gerichtet. Die Photonen des Lasers sorgen zum einen für ein Verdampfen des untersuchten Mars-Gesteins, sodass das Material im Anschluss gasförmig vorliegt. Des Weiteren regen die Photonen des Lasers auch die Atome des gasförmigen Materials an, so dass diese mit dem Spektroskop des LIBS-Instruments spektroskopisch untersucht werden können. Es ergeben sich die beiden Spektren in Abbildung 1.

Spektraldiagramm: Wellenlänge in nm und relative Intensität mit ausgeprägten Peaks bei ~395 nm und kleineren bei 420–440 nm

Diagramm: relative Intensität gegen Wellenlänge (nm) mit schmalen Peaks bei etwa 600 nm und 770-780 nm.

Abbildung 1: Spektren gasförmigen Mars-Gesteins für zwei verschiedene Spektralbereiche. Die relativen Intensitäten der beiden Spektren sind hier so normiert, dass die Spektrallinie höchster Intensität eine Intensität von $Formula: \small{1,0}$ $Formula: \small{1,0}$ hat.

Hinweis für Aufgabe 1c: Die Wellenlängen und Intensitäten ausgewählter Spektrallinien von Helium, Natrium, Quecksilber und Wasserstoff sind ganz unten in der Ergänzung zum Formeldokument zu finden.

Material 2: Mögliche Fragestellungen

Gibt es für die Industrie interessante Rohstoffe auf der Marsoberfläche?
Gab es früher einmal Wasser auf der Marsoberfläche?
Gibt es auf der Marsoberfläche radioaktive Stoffe?

Material 3: Laser des LIBS-Instruments

Ein Laser weist als Lichtquelle eine sehr scharfe Bündelung des emittierten Lichts auf, wie es etwa auch von Laser-Pointern aus dem Alltag bekannt ist.

Der Laser des LIBS-Instruments arbeitet bei einer Wellenlänge von $Formula: 1067\;\mathrm{nm}.$ $Formula: 1067\;\mathrm{nm}.$ Der Laser wird immer nur für eine Dauer von $Formula: 4,5\;\mathrm{ns}$ $Formula: 4,5\;\mathrm{ns}$ eingeschaltet. In dieser Zeit emittiert der Laser Photonen mit einer Gesamtenergie von $Formula: 10,0\;\mathrm{mJ}.$ $Formula: 10,0\;\mathrm{mJ}.$

Material 4: Aussage nach Albert Einstein

„Nach der hier ins Auge zu fassenden Annahme ist bei Ausbreitung eines von einem Punkte ausgehenden Lichtstrahles die Energie nicht kontinuierlich auf größer und größer werdende Räume verteilt, sondern es besteht dieselbe aus einer endlichen Zahl von in Raumpunkten lokalisierten Energiequanten, welche sich bewegen, ohne sich zu teilen und nur als Ganze absorbiert und erzeugt werden können. […] Licht einer Wellenlänge […] verhält sich [...] so, wie wenn es aus voneinander unabhängigen Energiequanten von der Größe $Formula: h \cdot f$ $Formula: h \cdot f$ bestünde.“

Hinweis: In dieser Aussage von Albert Einstein aus dem Jahre 1905 wurden historische Begriffe und Formelzeichen zum Teil durch heute übliche ersetzt.

Material 5: Modellhafter Lasereinsatz zur Staubentfernung

Vor dem Start der Marsmission wurde untersucht, ob mit dem Laser des LIBS-Instruments auch Staubrückstände von dem zu untersuchenden Mars-Gestein entfernt werden können. Hierzu wird in der Aufgabe die folgende modellhafte Betrachtung durchgeführt:

Treffen die Photonen des Lasers auf das Staubteilchen, so werden diese von dem Staubteilchen absorbiert und übertragen ihren Gesamtimpuls Formula: p vollständig. Dieser Impulsübertrag erfolgt in der Zeitspanne $Formula: \Delta t,$ $Formula: \Delta t,$ die vereinfacht als die Einschaltdauer des Lasers angenommen wird. Die Photonen üben modellhaft betrachtet während dieser Zeitspanne $Formula: \Delta t$ $Formula: \Delta t$ eine konstante Kraft Formula: F auf das Staubteilchen aus, die wie folgt von dem Gesamtimpuls der Photonen abhängig ist: $Formula: F = \tfrac{\Delta p}{\Delta t}.$ $Formula: F = \tfrac{\Delta p}{\Delta t}.$

Zusätzlich ist bei dieser modellhaften Betrachtung zu berücksichtigen, dass das Staubteilchen mit einer Kraft $Formula: F_{\mathrm{Haftung}}$ $Formula: F_{\mathrm{Haftung}}$ auf dem Mars-Gestein haftet. Gehe bei der modellhaften Betrachtung von $Formula: F_{\mathrm{Haftung}} = 5,0\;\mathrm{mN}$ $Formula: F_{\mathrm{Haftung}} = 5,0\;\mathrm{mN}$ aus. Die Kräfte sind modellhaft auch in Abbildung 2 veranschaulicht.

Diagramm: Impulsübertrag von Photonen auf ein Staubteilchen in vier zeitlich geordneten Schritten.

Schematische Zeichnung: Staubteilchen auf Untergrund mit zwei entgegengesetzten Kräften F und F_Haftung

Abbildung 2: In der linken Bildhälfte ist der zeitliche Verlauf des Impulsübertrags auf das Staubteilchen modellhaft dargestellt. In der rechten Bildhälfte sind die Kräfte während der Wechselwirkung modellhaft dargestellt. Die Länge der Kraftpfeile ist hier nicht maßstabsgerecht gewählt.

Ergänzung zum Formeldokument

Wellenlängen ausgewählter Spektrallinien

Element	Wellenlänge $Formula: \boldsymbol{\lambda}$ $Formula: \boldsymbol{\lambda}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{nm}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{nm}}$	relative Intensität
Helium
Natrium
Quecksilber
Wasserstoff (Balmer-Serie)	$Formula: 410,17\;(\mathrm{H}_{\delta})$ $Formula: 410,17\;(\mathrm{H}_{\delta})$ $Formula: 434,05\;(\mathrm{H}_{\gamma})$ $Formula: 434,05\;(\mathrm{H}_{\gamma})$ $Formula: 486,13\;(\mathrm{H}_{\beta})$ $Formula: 486,13\;(\mathrm{H}_{\beta})$ $Formula: 656,27\;(\mathrm{H}_{\alpha})$ $Formula: 656,27\;(\mathrm{H}_{\alpha})$

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Jedes Atom verfügt im Modell über diskrete Energieniveaus.

Die Atome des durch den Laser angeregten Gases befinden sich in höheren energetischen Zuständen. Bei einem Übergang aus einem solchen höheren Zustand in einen niedrigeren energetischen Zustand (beispielsweise in den Grundzustand) gibt das Atom die dabei frei werdende Energie in Form eines Photons ab.

Dabei entspricht die Energie dieses Photons exakt der Energiedifferenz der beiden beteiligten Energieniveaus. Diese emittierten Photonen bestimmter Energie und somit bestimmter Wellenlänge sind im Spektrum als einzelne Spektrallinien zu beobachten, die den einzelnen Übergängen im Energieniveauschema zugeordnet werden können.

Unter anderem könnte die Fragestellung (1) mit dem LIBS-Instrument untersucht werden. (Alternativ ist auch Fragestellung (3) zu radioaktiven Stoffen möglich.)

Begründung der Wahl

Das LIBS-Instrument analysiert die von dem gasförmigen Mars-Gestein ausgehende Lichtemission spektroskopisch. Dadurch ergeben sich in den erzeugten Spektren Intensitätsmaxima. Diese Maxima entsprechen den Wellenlängen, bei denen die Probe verstärkt Photonen aussendet.

Da für jedes chemische Element sowohl diese spezifischen Wellenlängen als auch deren relative Intensitäten bekannt sind (siehe z.B. Formelsammlung), lassen sich durch den Abgleich sichere Aussagen über die im Gestein enthaltenen Elemente treffen.

Auf diese Weise können potenziell für die Industrie interessante Rohstoffe im Mars-Gestein identifiziert werden.

Prüfung auf Natrium

Laut der Ergänzung zum Formeldokument besitzt Natrium zwei charakteristische Spektrallinien bei den Wellenlängen $Formula: 589,00\;\mathrm{nm}$ $Formula: 589,00\;\mathrm{nm}$ und $Formula: 589,59\;\mathrm{nm}$ $Formula: 589,59\;\mathrm{nm}$ mit sehr hohen relativen Intensitäten.

Im rechten Spektrum des Mars-Gesteins liegt eine Linie hoher Intensität bei etwa $Formula: 590\;\mathrm{nm}$ $Formula: 590\;\mathrm{nm}$ vor. Aufgrund der Breite des Maximums von mehreren Nanometern könnte es sich hierbei um die beiden genannten Natrium-Spektrallinien handeln.

Die Schlussfolgerung, dass sich Natrium in der Probe befindet, ist demzufolge plausibel.

Prüfung auf Helium

Helium weist laut der Ergänzung zum Formeldokument ebenfalls eine Spektrallinie bei $Formula: 587,56\;\mathrm{nm}$ $Formula: 587,56\;\mathrm{nm}$ auf.

Da sich die Wellenlängen im dargestellten Spektrum nur auf etwa Formula: 5 bis $Formula: 10\;\mathrm{nm}$ $Formula: 10\;\mathrm{nm}$ genau ablesen lassen, könnte die Linie bei $Formula: 590\;\mathrm{nm}$ $Formula: 590\;\mathrm{nm}$ theoretisch auch von Helium stammen.

Allerdings müssten die Spektren in Abbildung 1 dann zwingend auch weitere Spektrallinien von Helium bei $Formula: 447,15\;\mathrm{nm}$ $Formula: 447,15\;\mathrm{nm}$ und $Formula: 706,52\;\mathrm{nm}$ $Formula: 706,52\;\mathrm{nm}$ aufweisen, welche etwa $Formula: 40\,\%$ $Formula: 40\,\%$ der Intensität der Linie bei $Formula: 587,56\;\mathrm{nm}$ $Formula: 587,56\;\mathrm{nm}$ besitzen. Diese zusätzlichen Linien in der entsprechenden Intensität sind in den abgebildeten Spektren nicht vorhanden.

Ein Vorkommen von Helium ist aus diesem Grund eher auszuschließen.
Die Aussage des Schülers ist somit nur teilweise korrekt.

Dem Zitat lassen sich folgende drei Annahmen entnehmen, welche für die spätere Berechnung der Photonenanzahl zwingend erforderlich sind:

Die Energie des Lichtes breitet sich nicht kontinuierlich aus, sondern wird von einer endlichen Zahl an Lichtquanten getragen.
Diese Lichtquanten können nur als Ganzes erzeugt oder absorbiert werden.
Licht einer bestimmten Wellenlänge besteht aus Energiequanten der festen Größe $Formula: h \cdot f.$ $Formula: h \cdot f.$

Zunächst wird die Energie $Formula: E_{\mathrm{Photon}}$ $Formula: E_{\mathrm{Photon}}$ eines einzelnen Photons über die Wellenlänge bestimmt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{Photon}} & = & h \cdot f = h \cdot \dfrac{c}{\lambda} \\[5pt] E_{\mathrm{Photon}} & = & h \cdot \dfrac{c}{1067 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 1,862 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{J} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{Photon}} & = & h \cdot f = h \cdot \dfrac{c}{\lambda} \\[5pt] E_{\mathrm{Photon}} & = & h \cdot \dfrac{c}{1067 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 1,862 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{J} \end{array}$

Anschließend wird die Anzahl Formula: n der Photonen pro Einschaltvorgang berechnet, indem die Gesamtenergie des Lasers durch die Energie eines einzelnen Photons dividiert wird:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} n & = & \dfrac{E_{\mathrm{Laser}}}{E_{\mathrm{Photon}}} \\[5pt] n & = & \dfrac{10,0 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{J}}{1,862 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{J}} \approx 5,37 \cdot 10^{16} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} n & = & \dfrac{E_{\mathrm{Laser}}}{E_{\mathrm{Photon}}} \\[5pt] n & = & \dfrac{10,0 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{J}}{1,862 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{J}} \approx 5,37 \cdot 10^{16} \end{array}$

Bei einem einzigen Einschalten des Lasers werden somit etwa $Formula: 5,37 \cdot 10^{16}$ $Formula: 5,37 \cdot 10^{16}$ Photonen ausgesendet.

Ein Staubteilchen setzt sich nur dann in Bewegung, wenn die durch die Photonen übertragene Gesamtkraft $Formula: F_{\mathrm{Ph,gesamt}}$ $Formula: F_{\mathrm{Ph,gesamt}}$ größer oder gleich der bestehenden Haftkraft ist ( $Formula: F_{\mathrm{Ph,gesamt}} \ge F_{\mathrm{Haftung}}$ $Formula: F_{\mathrm{Ph,gesamt}} \ge F_{\mathrm{Haftung}}$ ).

Der Impuls eines einzelnen Photons lässt sich nach de Broglie wie folgt berechnen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} p_{\mathrm{Ph}} & = & \dfrac{h}{\lambda} \\[5pt] & = & \dfrac{h}{1067 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 6,210 \cdot 10^{-28}\;\dfrac{\mathrm{kg \cdot m}}{\mathrm{s}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} p_{\mathrm{Ph}} & = & \dfrac{h}{\lambda} \\[5pt] & = & \dfrac{h}{1067 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 6,210 \cdot 10^{-28}\;\dfrac{\mathrm{kg \cdot m}}{\mathrm{s}} \end{array}$

Der Gesamtimpuls Formula: p aller beteiligten Photonen bei einem Einschaltvorgang ist das Produkt aus der Photonenanzahl und dem Einzelimpuls:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} p & = & n \cdot p_{\mathrm{Ph}} \\[5pt] & = & 5,37 \cdot 10^{16} \cdot 6,210 \cdot 10^{-28}\;\dfrac{\mathrm{kg \cdot m}}{\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 3,33 \cdot 10^{-11}\;\dfrac{\mathrm{kg \cdot m}}{\mathrm{s}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} p & = & n \cdot p_{\mathrm{Ph}} \\[5pt] & = & 5,37 \cdot 10^{16} \cdot 6,210 \cdot 10^{-28}\;\dfrac{\mathrm{kg \cdot m}}{\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 3,33 \cdot 10^{-11}\;\dfrac{\mathrm{kg \cdot m}}{\mathrm{s}} \end{array}$

Gemäß Material 5 wird dieser Impuls in der Zeitspanne $Formula: \Delta t$ $Formula: \Delta t$ (die der Einschaltdauer des Lasers entspricht) vollständig übertragen. Die auf das Staubkorn wirkende Kraft ergibt sich somit als:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} F_{\mathrm{Ph,gesamt}} & = & \dfrac{p}{\Delta t} \\[5pt] & = & \dfrac{3,33 \cdot 10^{-11}\;\tfrac{\mathrm{kg \cdot m}}{\mathrm{s}}}{4,5 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 0,0074\;\mathrm{N} = 7,4\;\mathrm{mN} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} F_{\mathrm{Ph,gesamt}} & = & \dfrac{p}{\Delta t} \\[5pt] & = & \dfrac{3,33 \cdot 10^{-11}\;\tfrac{\mathrm{kg \cdot m}}{\mathrm{s}}}{4,5 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 0,0074\;\mathrm{N} = 7,4\;\mathrm{mN} \end{array}$

Die durch die Photonen auf das Staubteilchen ausgeübte Kraft beträgt somit $Formula: 7,4\;\mathrm{mN}.$ $Formula: 7,4\;\mathrm{mN}.$ Da dieser Wert größer als die angenommene Haftkraft von $Formula: 5,0\;\mathrm{mN}$ $Formula: 5,0\;\mathrm{mN}$ ist, setzt sich das Staubteilchen unter den Annahmen dieser modellhaften Betrachtung in Bewegung.

Einer rein theoretischen Modellbetrachtung wie in Aufgabenteil 2c liegen stets gewisse vereinfachende Annahmen zugrunde.

Vor einer realen Marsmission müssen diese theoretisch ermittelten Ergebnisse somit zwingend durch ein Experiment validiert werden, um zu prüfen, ob sich ein typisches Staubteilchen unter realen Bedingungen tatsächlich entfernen lässt.

Sollten sich die Annahmen des Modells im Experiment als unzutreffend erweisen, lassen sich diese auf der Erde noch anpassen, korrigieren oder in ihrem Gültigkeitsbereich eingrenzen.

Wenn auf ein vorheriges Experiment verzichtet würde, müssten eventuelle Fehlerkorrekturen extrem aufwändig von der Erde aus vorgenommen werden. Im schlimmsten Fall schlagen solche nachträglichen Korrekturversuche fehl, was bedeuten könnte, dass das Gestein nicht untersucht werden kann und somit ein elementarer Teil der Forschungsmission scheitert.

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