Aufgabe D — Interferenz von Fullerenen

Fullerene, wie z. B. $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ Moleküle, bestehen aus Kohlenstoffatomen und sind relativ massereiche Quantenobjekte. Im Jahr 1999 gelang es einer Forschergruppe, Interferenzerscheinungen auch bei Fullerenen nachzuweisen.

Im Experiment aus dem Jahre 1999 trifft ein Strahl von $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ Molekülen auf eine Interferenzanordnung. In Material 1 ist unter anderem der prinzipielle Aufbau des Experiments dargestellt.

Berechne die mittlere de-Broglie-Wellenlänge der $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ Moleküle aus den Versuchsdaten in Material 1.

[Kontrollwert: $Formula: \lambda_{\text {deBroglie}}=2,51 \cdot 10^{-12}\; \mathrm{m}$ $Formula: \lambda_{\text {deBroglie}}=2,51 \cdot 10^{-12}\; \mathrm{m}$ ]

3 BE

Ermittle diese Wellenlänge mithilfe der Messdaten von Abbildung 3 (Material 2).

[Kontrollwert: $Formula: \lambda_{\mathrm{Abb} .3} \approx 2,4 \cdot 10^{-12} \;\mathrm{m}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{Abb} .3} \approx 2,4 \cdot 10^{-12} \;\mathrm{m}$ ]

6 BE

Berechne die prozentuale Abweichung deines Ergebnisses aus Teilaufgabe b) von dem aus Teilaufgabe a) und gib eine mögliche Ursache für Abweichungen an.

4 BE

Es befindet sich jeweils nur ein einzelnes Molekül zu jedem Zeitpunkt in der Messapparatur.

Begründe rechnerisch, dass der mittlere Abstand zweier aufeinanderfolgender Moleküle theoretisch ca. Formula: 10 Meter beträgt (Material 1).

3 BE

In der Apparatur trifft jeweils nur ein Molekül zur gleichen Zeit auf das Gitter. Erläutere einen grundlegenden Aspekt der Quantentheorie, der hiermit experimentell bestätigt wurde.

3 BE

Im Jahr 2003 wurde das Experiment bei prinzipiell gleichem Versuchsaufbau wiederholt. Neben weiteren Verbesserungen des Aufbaus konnte auch die Ofentemperatur variiert werden. Die Größe der Öffnung des Ofens wurde nicht verändert. Die Einflüsse der Ofentemperatur auf den Strahl von $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ Molekülen sind in Material 1 aufgeführt.

Erkläre anhand zweier Eigenschaften des Diagramms in Abbildung 4, dass bei der Messung von 2003 eine geringere Ofentemperatur als 1999 (Abbildung 3) verwendet wurde.

6 BE

Nimm begründet Stellung dazu, ob weitere Experimente zur Grundlagenforschung zu Quantenobjekten, wie in Material 3 diskutiert, finanziert werden sollten. Beziehe dich dabei auf mehrere Aussagen aus Material 3.

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Material 1: Experiment von 1999

Abbildung 1: Vereinfachter schematischer Versuchsaufbau, wobei das Gitter wie ein Doppelspalt betrachtet werden kann

Informationen zum Versuchsaufbau von 1999 mit $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{\text{C}_{60}\text{-}}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{\text{C}_{60}\text{-}}}$ Molekülen:

Der Ausgangsstoff Graphit zur Erzeugung der Fullerene liegt bei Raumtemperatur als Feststoff vor. Vereinfacht betrachtet wird diesem Feststoff im Ofen Energie zugeführt, wodurch Atome aus dem Atomgitter herausgelöst werden, die sich in Folgeprozessen zu $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ Molekülen verbinden. Die $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ Moleküle besitzen eine breite Geschwindigkeitsverteilung. Die mittlere Geschwindigkeit der $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ Moleküle steigt mit zunehmender Ofentemperatur. Durch die Öffnung an der Stirnseite des Ofens treten $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ Moleküle aus. Mithilfe der Blende entsteht ein Strahl, dessen Intensität ebenfalls mit zunehmender Ofentemperatur steigt. Ein Gitter besteht aus vielen nebeneinander angeordneten Einzelspalten. Das Gitter kann hier wie ein Doppelspalt behandelt werden. Die Maxima und Minima liegen an denselben Stellen. Durch die Verschiebung des Detektors ist eine ortsaufgelöste Messung der $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ Moleküle hinter dem Gitter möglich.

Versuchsdaten von 1999:

Masse eines $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ Moleküls: $Formula: m = 1,20 \cdot 10^{-24} \; \mathrm{kg}$ $Formula: m = 1,20 \cdot 10^{-24} \; \mathrm{kg}$
Durchmesser eines $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ Moleküls: $Formula: D = 0,7 \;\text{nm}$ $Formula: D = 0,7 \;\text{nm}$
Ofentemperatur: $Formula: \vartheta = 627 \; ^\circ\mathrm{C}$ $Formula: \vartheta = 627 \; ^\circ\mathrm{C}$
mittlere Geschwindigkeit der $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ Moleküle: $Formula: v = 220 \; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: v = 220 \; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$
mittlerer Zeitabstand zweier hintereinander aus dem Ofen austretender $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ Moleküle: $Formula: \Delta t = 45 \; \mathrm{ms}$ $Formula: \Delta t = 45 \; \mathrm{ms}$
Spaltmittenabstand benachbarter Spalte des Doppelspalts (vereinfacht statt eines Gitters): $Formula: g = 100 \;\text{nm}$ $Formula: g = 100 \;\text{nm}$
Abstand Gitter–Detektor: $Formula: a = 1,25\;\text{m}$ $Formula: a = 1,25\;\text{m}$

Abbildung 2: $Formula: \small\text{C}_{60}\text{-}$ $Formula: \small\text{C}_{60}\text{-}$ Molekül

Material 2: Interferenzbilder der Experimente von 1999 und 2003

Beide Diagramme geben jeweils die Anzahl der Zählerereignisse des Detektors an einer bestimmten Position während einer festgelegten Zeit an. Die Position des Detektors variiert parallel zur Gitterebene wie in Material 1, Abbildung 1 dargestellt.

Interferenzbild der Messung von 1999	Abbildung 3: Interferenzbild der Messung von 1999
Interferenzbild der Messung von 2003	Abbildung 4: Interferenzbild der Messung von 2003 mit geringerer Ofentemperatur als 1999

Material 3: Diskussion im Internetforum „Grenzen der Quantenphysik“

Person 1: „Es wurden in den letzten Jahrzehnten Interferenzversuche mit immer größeren Quantenobjekten durchgeführt, um die Grenzen der Gesetze der Quantenphysik auszuloten. Ich finde, das ganze Geld dafür sollte man sparen oder z. B. in den Ausbau von Schulen stecken.“

Person 2: „Grundlagenforschung stellt eine Investition in die Zukunft dar und führt langfristig häufig zu großen Weiterentwicklungen. Zum Beispiel entwickelte ein australischer Astronom bei der Optimierung seines Radiotelekops zur Untersuchung schwarzer Löcher die heute wichtige Wi-Fi-Technologie.“

Person 1: „Schön. Aber ich kann doch nicht sicher sein, dass diese Erkenntnis später jemandem nützt. In meinem Alltag hilft es mir auf jeden Fall nicht, dass ich weiß, dass Interferenzversuche auch mit größeren Quantenobjekten möglich sind. Ich würde keine Grundlagenforschung finanzieren.“

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Gesucht ist die de-Broglie-Wellenlänge $Formula: \lambda_{\mathrm{deBroglie}}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{deBroglie}}$ der Teilchen. Diese lässt sich aus dem Quotienten des Planckschen Wirkungsquantums Formula: h und dem Impuls Formula: p der Teilchen berechnen. Da der Impuls das Produkt aus Masse Formula: m und Geschwindigkeit Formula: v ist, ergibt sich durch Einsetzen der gegebenen Werte folgende Berechnung:

$Formula: \begin{array}{rll} \lambda_{\text{deBroglie}} & = & \dfrac{h}{p} \\[5pt] & = & \dfrac{h}{m \cdot v} \\[5pt] & = & \dfrac{h}{1,20 \cdot 10^{-24} \; \mathrm{kg} \cdot 220 \; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} \\[5pt] & = & 2,51 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} \lambda_{\text{deBroglie}} & = & \dfrac{h}{p} \\[5pt] & = & \dfrac{h}{m \cdot v} \\[5pt] & = & \dfrac{h}{1,20 \cdot 10^{-24} \; \mathrm{kg} \cdot 220 \; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} \\[5pt] & = & 2,51 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{m} \end{array}$

Zur Ermittlung der de-Broglie-Wellenlänge der $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ Moleküle aus dem Experiment muss zunächst aus Abbildung 3 der Abstand Formula: d des ersten Maximums (1. Ordnung) vom zentralen Maximum (0. Ordnung) mit beispielsweise $Formula: d \approx 30\;\mathrm{\mu m}$ $Formula: d \approx 30\;\mathrm{\mu m}$ abgelesen werden. Daraus lässt sich der Beugungswinkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ bestimmen:

$Formula: \tan(\alpha) = \frac{d}{a} = \frac{30 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}}{1,25\;\mathrm{m}}$ $Formula: \tan(\alpha) = \frac{d}{a} = \frac{30 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}}{1,25\;\mathrm{m}}$

$Formula: \Rightarrow \alpha = \tan^{-1}\left( \frac{30 \cdot 10^{-6} \; \mathrm{m}}{1,25 \; \mathrm{m}} \right)$ $Formula: \Rightarrow \alpha = \tan^{-1}\left( \frac{30 \cdot 10^{-6} \; \mathrm{m}}{1,25 \; \mathrm{m}} \right)$

Unter Verwendung der Gittergleichung $Formula: \Delta s=g \cdot \sin \alpha_k=k \cdot \lambda$ $Formula: \Delta s=g \cdot \sin \alpha_k=k \cdot \lambda$ für das Maximum erster Ordnung ( Formula: k=1 ) und dem Spaltmittenabstand $Formula: g = 100\;\mathrm{nm}$ $Formula: g = 100\;\mathrm{nm}$ ergibt sich die Wellenlänge $Formula: \lambda\text{:}$ $Formula: \lambda\text{:}$

$Formula: \begin{array}{rll} \lambda & = & g \cdot \sin(\alpha_k) \\[5pt] & = & g \cdot \sin\left(\tan^{-1}\left(\dfrac{d}{a}\right)\right) \\[5pt] & = & 100 \; \mathrm{nm} \cdot \sin\left(\tan^{-1}\left(\dfrac{30 \cdot 10^{-6} \; \mathrm{m}}{1,25 \; \mathrm{m}}\right)\right) \\[5pt] & \approx & 2,40 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} \lambda & = & g \cdot \sin(\alpha_k) \\[5pt] & = & g \cdot \sin\left(\tan^{-1}\left(\dfrac{d}{a}\right)\right) \\[5pt] & = & 100 \; \mathrm{nm} \cdot \sin\left(\tan^{-1}\left(\dfrac{30 \cdot 10^{-6} \; \mathrm{m}}{1,25 \; \mathrm{m}}\right)\right) \\[5pt] & \approx & 2,40 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{m} \end{array}$

Hinweis: Aufgrund der sehr kleinen Winkel ist eine Berechnung über die Kleinwinkelnäherung ebenfalls zulässig.

Die theoretisch berechneten de-Broglie-Wellenlänge aus Teilaufgabe a) und der experimentell ermittelte Wert aus Teilaufgabe b) weichen voneinander ab. Die relative Abweichung $Formula: \delta$ $Formula: \delta$ berechnet sich wie folgt:

$Formula: \begin{array}{rll} \delta & = & \dfrac{|\lambda_{\mathrm{Interferenz}} - \lambda_{\mathrm{deBroglie}}|}{\lambda_{\mathrm{deBroglie}}} \\[5pt] & = & \dfrac{|2,40 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{m} - 2,51 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{m}|}{2,51 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{m}} \\[5pt] & = & 0,0438 \\[5pt] & \approx & 4 \% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} \delta & = & \dfrac{|\lambda_{\mathrm{Interferenz}} - \lambda_{\mathrm{deBroglie}}|}{\lambda_{\mathrm{deBroglie}}} \\[5pt] & = & \dfrac{|2,40 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{m} - 2,51 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{m}|}{2,51 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{m}} \\[5pt] & = & 0,0438 \\[5pt] & \approx & 4 \% \end{array}$

Diese Diskrepanz lässt sich primär auf die Ungenauigkeit beim Ablesen des Abstands Formula: d aus der graphischen Darstellung in Abbildung 3 zurückführen.

Der mittlere räumliche Abstand $Formula: \Delta s$ $Formula: \Delta s$ zwischen zwei aufeinanderfolgenden Molekülen im Strahl lässt sich aus der mittleren Geschwindigkeit Formula: v der Teilchen und dem zeitlichen Abstand $Formula: \Delta t$ $Formula: \Delta t$ berechnen. Beide Werte lassen sich aus Material 1 ablesen und in die Bewegungsgleichung einsetzen:

$Formula: \begin{array}{rll} \Delta s & = & v \cdot \Delta t \\[5pt] & = & 220 \; \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \cdot 45 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{s} \\[5pt] & = & 9,9 \; \mathrm{m} \\[5pt] & \approx & 10 \; \mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} \Delta s & = & v \cdot \Delta t \\[5pt] & = & 220 \; \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \cdot 45 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{s} \\[5pt] & = & 9,9 \; \mathrm{m} \\[5pt] & \approx & 10 \; \mathrm{m} \end{array}$

Obwohl nie mehrere Moleküle gleichzeitig auf das Gitter treffen, lässt sich ein Interferenzmuster beobachten. Somit zeigt das Experiment, dass für das Entstehen von Interferenzerscheinungen nicht die gleichzeitige Anwesenheit zweier Quantenobjekte erforderlich ist. Vielmehr genügt bereits ein einzelnes Molekül, um Interferenz zu ermöglichen, was ein zentraler Grundsatz der Quantenphysik ist.

Außerdem lässt sich eine eindeutige stochastische Vorhersage über das Verhalten treffen, selbst wenn sich zu einem bestimmten Zeitpunkt lediglich ein einziges Molekül in der Messapparatur befindet. Über einen längeren Zeitraum betrachtet wird durch diese Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmt, an welchen Positionen der Detektor eine höhere und an welchen eine geringere Anzahl an Molekülen registriert.

Der Vergleich der Messdaten aus den Jahren 1999 und 2003 zeigt deutliche Unterschiede, die sich auf die veränderte Ofentemperatur zurückführen lassen. Eine Absenkung der Ofentemperatur führt zu einer Verringerung der mittleren kinetischen Energie der $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ Moleküle. Dadurch sinkt ihre mittlere Geschwindigkeit. Da die de-Broglie-Wellenlänge $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ antiproportional zum Impuls ist ( $Formula: \lambda \sim \tfrac{1}{p}$ $Formula: \lambda \sim \tfrac{1}{p}$ ), resultiert die geringere Geschwindigkeit in einer größeren mittleren Wellenlänge. Eine größere Wellenlänge $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ führt gemäß $Formula: \lambda = g \cdot \sin(\alpha_k)$ $Formula: \lambda = g \cdot \sin(\alpha_k)$ bei der Beugung am Doppelspalt zu größeren Ablenkwinkeln. Dies erklärt, warum die Abstände zwischen den Interferenzmaxima bei der Messung von 2003 (kälter) größer sind als bei der von 1999.

Die niedrigere Ofentemperatur bewirkt zudem, dass weniger $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ Moleküle pro Zeiteinheit emittiert werden. Dies spiegelt sich direkt in der gemessenen Intensität wider: Die Zählrate der Detektoren war im Jahr 2003 signifikant niedriger als im Jahr 1999.

Beispiel für eine Stellungnahme:

Ein Argument gegen die Förderung von Grundlagenforschung ist die Unsicherheit des langfristigen Nutzens. Finanzielle Ressourcen könnten besser in Projekten mit klar definiertem, praktischem Mehrwert (z. B. medizinische Forschung oder Energietechnik) angelegt sein, anstatt in Experimente zu fließen, deren technische Anwendbarkeit in der Zukunft völlig offen ist.

Allerdings ist ja genau ein zentrales Ziel der Wissenschaft, die Naturgesetze fundamental zu verstehen. Der Nachweis, dass auch große, komplexere Systeme wie $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ $Formula: \text{C}_{60}\text{-}$ Moleküle Welleneigenschaften zeigen, bestätigt und erweitert unser Verständnis der Quantenmechanik massiv. Außerdem zeigt die Geschichte der Wissenschaft, dass wissenschaftlicher Fortschritt oft auf zufälligen Entdeckungen in der Grundlagenforschung basiert. Viele Technologien, die heute unseren Alltag bestimmen, entstanden aus reiner Neugierforschung ohne ursprüngliche Anwendungsabsicht.

Daher würde ich mich dafür aussprechen, solche Grundlagenforschung weiterhin zu finanzieren. Auch ohne direkte technische Anwendung stellt der Nachweis, dass komplexe Systeme wie große Moleküle quantenphysikalisch beschreibbar sind, für mich einen ausreichenden wissenschaftlichen Mehrwert dar.

Wichtig bei der Stellungnahme ist, dass verschiedene Argumente gegeneinander abgewogen und nicht nur ein Argument berücksichtigt werden. Dabei sind mögliche Aspekte bei der Argumentation:

Wissenschaftlicher Erkenntnisgewinn
Wissenschaftlicher Fortschritt / zufällige Entdeckungen
Finanzierung anderer sinnvoller Projekte
Unsicherheit des langfristigen Nutzens

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Aufgabe D — Interferenz von Fullerenen

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Material 1: Experiment von 1999

Informationen zum Versuchsaufbau von 1999 mit Molekülen:

Versuchsdaten von 1999:

Material 2: Interferenzbilder der Experimente von 1999 und 2003

Material 3: Diskussion im Internetforum „Grenzen der Quantenphysik“

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Informationen zum Versuchsaufbau von 1999 mit $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{\text{C}_{60}\text{-}}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{\text{C}_{60}\text{-}}}$ Molekülen: