Aufgabe A — Überwachung von Windkraftanlagen

Windkraftanlagen sind für eine $Formula: \text{CO}_2\text{-}$ $Formula: \text{CO}_2\text{-}$ neutrale Bereitstellung elektrischer Energie sehr wichtig. Ihre Überwachung während des Betriebs erfolgt unter anderem durch die Messung von Vibrationen. Die Vibrationen können z. B. durch die Rotation der Flügel entstehen.

Bei der Analyse von Schwingungen spielt das Modell einer „harmonischen Schwingung“ eine große Rolle.

Erläutere das Modell der harmonischen Schwingung an einem selbst gewählten Beispiel. Gehe dabei auf die grafische Darstellung der Elongation in Abhängigkeit von der Schwingungszeit und auf die rücktreibende Kraft ein.

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Eine freie Schwingung ist in der Realität immer eine gedämpfte Schwingung. Die Veränderung der Amplitude $Formula: \hat{y}_0$ $Formula: \hat{y}_0$ einer gedämpften Schwingung kann mithilfe der Funktion $Formula: y(t)=\hat{y}_0 \cdot \text{e}^{-\delta \cdot t}$ $Formula: y(t)=\hat{y}_0 \cdot \text{e}^{-\delta \cdot t}$ mit der Dämpfungskonstante $Formula: \delta$ $Formula: \delta$ beschrieben werden. Leite die Beziehung $Formula: \delta=\tfrac{\ln (2)}{T_{1/2}}$ $Formula: \delta=\tfrac{\ln (2)}{T_{1/2}}$ zwischen der Dämpfungskonstante $Formula: \delta$ $Formula: \delta$ und der Halbwertszeit $Formula: T_{1/2}$ $Formula: T_{1/2}$ her.

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Schülerexperiment: Bestimmung der Dämpfungskonstanten $Formula: \delta$ $Formula: \delta$ bei gedämpften Schwingungen (Material 1)

Bestimme experimentell die Schwingungsdauer Formula: T eines Fadenpendels. Berechne den Mittelwert und die Standardabweichung und gib damit die Schwingungsdauer in der Form $Formula: T=\bar{T} \pm \Delta T$ $Formula: T=\bar{T} \pm \Delta T$ an.

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Ermittle aus der Halbwertszeit $Formula: T_{1/2}$ $Formula: T_{1/2}$ die Dämpfungskonstante $Formula: \delta$ $Formula: \delta$ des Fadenpendels. Beachte die Hinweise im Material 1.

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Eigenschwingungen einer Windenergieanlage

Stehende Wellen auf endlichen Wellenträgern werden als „Eigenschwingungen eines Systems“ bezeichnet. Eine Windenergieanlage als System führt solche Eigenschwingungen aus.

Beschreibe mithilfe von Material 2 die Grundschwingung und die erste Oberschwingung einer Windenergieanlage in einem einfachen Modell.

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Entnimm dem Material 3 die erforderlichen Daten, um das Verhältnis der Anregungsfrequenzen Formula: f_0 und Formula: f_1 mit dem Verhältnis gemäß dem Modell zu vergleichen.

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Analysiere Abweichungen des Verhältnisses der Anregungsfrequenzen zwischen Messung und Modell durch Verbesserungsvorschläge des Modells. Nutze Material 3.

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Turmtilger – Dämpfer im Turm

Beurteile anhand von mindestens zwei Aspekten die Notwendigkeit von Maßnahmen zur Schwingungsdämpfung in Windkraftanlagen.

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Material 1: Durchführung des Versuchs

Geräte und Hilfsmittel:

1 Faden, Länge ca. $Formula: 2 \;\text{m}$ $Formula: 2 \;\text{m}$
1 Massestück $Formula: m = 100\;\text{g}$ $Formula: m = 100\;\text{g}$
1 Lineal
1 Stoppuhr
Stativmaterial
Klebestreifen oder Büroklammern
1 A6-Blatt oder 1 A6-Karteikarte

Hinweise zur Durchführung:

Messe zur Bestimmung der Schwingungsdauer Formula: T Formula: 5 -mal die Schwingungszeit für Formula: 10 Perioden.

Befestige zur Bestimmung der Dämpfungskonstanten das A6-Blatt mittig dicht über der Pendelmasse.

Messe zur Bestimmung der Halbwertszeit $Formula: T_{1/2}$ $Formula: T_{1/2}$ die Veränderung der Amplitude von Anfangsamplitude $Formula: \hat{y}_0$ $Formula: \hat{y}_0$ auf $Formula: \tfrac{1}{2} \cdot \hat{y}_0.$ $Formula: \tfrac{1}{2} \cdot \hat{y}_0.$

Material 2: Stehende Wellen, Eigenschwingungen

Stehende Wellen auf endlichen Wellenträgern werden häufig als Eigenschwingungen des Systems bezeichnet, da der Eindruck einer Schwingung des gesamten Trägers vorherrscht.

Stabile stationäre Schwingungszustände auf endlichen Wellenträgern stellen sich nur bei bestimmten Erregerfrequenzen ein, wenn sich am festen Ende des Wellenträgers ein Knoten und am freien ein Schwingungsbauch bildet (Abbildung 1). Sie zeigen ein typisches Resonanzverhalten.

Die einfachste Form der Eigenschwingung, die Grundschwingung, entsteht, wenn bei einem freien und einem festen Ende $Formula: \ell=\tfrac{\lambda_0}{4}$ $Formula: \ell=\tfrac{\lambda_0}{4}$ gilt.

Bilden sich auf dem System zusätzlich noch weitere Halbwellen aus, ergibt sich das Bild der Formula: n -ten Oberschwingung mit der Wellenlänge $Formula: \lambda_n.$ $Formula: \lambda_n.$ Für sie gilt $Formula: \ell=(2 \cdot n+1) \cdot \tfrac{\lambda_n}{4}, n=0,1,2, \ldots$ $Formula: \ell=(2 \cdot n+1) \cdot \tfrac{\lambda_n}{4}, n=0,1,2, \ldots$

Die zugehörige Anregungsfrequenz Formula: f_n der Formula: n -ten Oberschwingung ( $Formula: n = 0\text{:}$ $Formula: n = 0\text{:}$ Grundschwingung) lässt sich nach der Beziehung $Formula: v_\text{Ph}=\lambda_n \cdot f_n$ $Formula: v_\text{Ph}=\lambda_n \cdot f_n$ ( $Formula: v_\text{Ph}\text{:}$ $Formula: v_\text{Ph}\text{:}$ Ausbreitungsgeschwindigkeit) bestimmen.

Drei stehende Wellen an einer Wand mit Grundfrequenz und höheren Harmonischen f=f0, f=3·f0, f=5·f0

Abbildung 1: Eigenschwingungen eines Wellenträgers

Material 3: Eigenschwingverhalten von Windenergieanlagen

Zur korrekten Erfassung der Ermüdungsbeanspruchung einer Windenergieanlage ist es erforderlich, das Schwingungsverhalten des Turms beurteilen zu können. Insbesondere die Eigenfrequenzen und die Dämpfungseigenschaften sind dabei von Bedeutung.

Wesentliche dynamische Strukturparameter einer Windenergieanlage sind Eigenfrequenz und Dämpfung des Turms einschließlich des Fundaments. Die Berechnung der Eigenfrequenzen erfolgt dabei meist am Stabmodell, wobei der Einfluss aus dem Fundament über linear elastische Federn einfließt. Die Dämpfung des Systems setzt sich aus verschiedenen Anteilen zusammen:

Strukturdämpfung des Stahlturms,
Bodendämpfung,
aerodynamische Dämpfung.

Der wesentliche Dämpfungsanteil im Betrieb der Anlage stammt dabei aus der aerodynamischen Dämpfung.

Die Messung der ersten und zweiten Eigenfrequenz Formula: f_0 und Formula: f_1 an den untersuchten Anlagen zeigte einen Einfluss von Nabenhöhe (NH) und Leistungsklasse:

Anlage	$Formula: 500\; \text{kW},$ $Formula: 500\; \text{kW},$ NH $Formula: 65\; \text{m}$ $Formula: 65\; \text{m}$	$Formula: 1,5\; \text{MW},$ $Formula: 1,5\; \text{MW},$ NH $Formula: 67\; \text{m}$ $Formula: 67\; \text{m}$	$Formula: 1,5\; \text{MW},$ $Formula: 1,5\; \text{MW},$ NH $Formula: 60\; \text{m}$ $Formula: 60\; \text{m}$	$Formula: 1,0\; \text{MW},$ $Formula: 1,0\; \text{MW},$ NH $Formula: 60\; \text{m}$ $Formula: 60\; \text{m}$
erste Eigenfrequenz $Formula: \boldsymbol{f_0}$ $Formula: \boldsymbol{f_0}$ in $Formula: \boldsymbol{\text{Hz}}$ $Formula: \boldsymbol{\text{Hz}}$
zweite Eigenfrequenz $Formula: \boldsymbol{f_1}$ $Formula: \boldsymbol{f_1}$ in $Formula: \boldsymbol{\text{Hz}}$ $Formula: \boldsymbol{\text{Hz}}$

Die Untersuchungen haben gezeigt, dass die Ermittlung der Eigenfrequenzen eines Windenergieanlagen-Turmes mit einfachen statischen Modellen gut gelingt. Die größte Schwierigkeit liegt in der Abschätzung der Bodenkennwerte. Es konnte gezeigt werden, dass die Elastizität des Fundaments des Turmes die Eigenfrequenzen durchaus bis zu $Formula: 20\%$ $Formula: 20\%$ abmindern kann und daher nicht vernachlässigt werden darf.

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Ein klassisches Beispiel für eine harmonische Schwingung stellt das vertikale Federpendel dar. Bei diesem System besteht eine direkte Proportionalität zwischen der Rückstellkraft $Formula: \vec{F}$ $Formula: \vec{F}$ und der Auslenkung $Formula: \vec{y}$ $Formula: \vec{y}$ (Elongation) aus der Ruhelage. Dabei sind Kraft und Elongation stets entgegengesetzt gerichtet, was mathematisch durch das Hookesche Gesetz $Formula: \vec{F} = -D \cdot \vec{y}$ $Formula: \vec{F} = -D \cdot \vec{y}$ ausgedrückt wird.

Der zeitliche Verlauf der Elongation Formula: y in Abhängigkeit von der Zeit Formula: t lässt sich bei einer solchen harmonischen Schwingung durch eine Sinus-Funktion beschreiben.

Um den Zusammenhang zwischen der Dämpfungskonstanten $Formula: \delta$ $Formula: \delta$ und der Halbwertszeit $Formula: T_{1/2}$ $Formula: T_{1/2}$ herzuleiten, wird der zeitliche Verlauf der Amplitude $Formula: \hat{y}(t)$ $Formula: \hat{y}(t)$ einer gedämpften Schwingung betrachtet.

In der Aufgabenstellung ist der Ansatz $Formula: \hat{y}(t) = \hat{y}_{0} \cdot \text{e}^{-\delta \cdot t}$ $Formula: \hat{y}(t) = \hat{y}_{0} \cdot \text{e}^{-\delta \cdot t}$ für die einhüllende Funktion gegeben.

Außerdem gilt grundsätzlich für die Halbwertszeit $Formula: T_{1/2},$ $Formula: T_{1/2},$ dass sich nach dem Ablauf dieser die ursprüngliche Amplitude $Formula: \hat{y}_{0}$ $Formula: \hat{y}_{0}$ halbiert hat:

$Formula: \hat{y}(T_{1/2}) = \frac{1}{2} \cdot \hat{y}_{0}$ $Formula: \hat{y}(T_{1/2}) = \frac{1}{2} \cdot \hat{y}_{0}$

Durch Einsetzen dieser Bedingung in die Funktionsgleichung ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rll} \dfrac{1}{2} \cdot \hat{y}_{0} & = & \hat{y}_{0} \cdot \mathrm{e}^{-\delta \cdot T_{1/2}} \\[5pt] \ln(2) & = & \delta \cdot T_{1/2} \\[5pt] \delta & = & \dfrac{\ln(2)}{T_{1/2}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} \dfrac{1}{2} \cdot \hat{y}_{0} & = & \hat{y}_{0} \cdot \mathrm{e}^{-\delta \cdot T_{1/2}} \\[5pt] \ln(2) & = & \delta \cdot T_{1/2} \\[5pt] \delta & = & \dfrac{\ln(2)}{T_{1/2}} \end{array}$

Experimentelle Bestimmung der Schwingungsdauer

Nummer	$Formula: \boldsymbol{t}$ $Formula: \boldsymbol{t}$ in $Formula: \boldsymbol{\text{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\text{s}}$
1	$Formula: 19,2\;\mathrm{s}$ $Formula: 19,2\;\mathrm{s}$
2	$Formula: 19,4\;\mathrm{s}$ $Formula: 19,4\;\mathrm{s}$
3	$Formula: 19,3\;\mathrm{s}$ $Formula: 19,3\;\mathrm{s}$
4	$Formula: 19,1\;\mathrm{s}$ $Formula: 19,1\;\mathrm{s}$
5	$Formula: 19,2\;\mathrm{s}$ $Formula: 19,2\;\mathrm{s}$

Berechnen des Mittelwerts und der Standardabweichung

Aus den Messwerten wird der Mittelwert gebildet und durch die Anzahl der Schwingungen geteilt. Unter Berücksichtigung der Messunsicherheit ergibt sich für die Periodendauer $Formula: T\text{:}$ $Formula: T\text{:}$

$Formula: T = (1,92 \pm 0,01)\;\mathrm{s}$ $Formula: T = (1,92 \pm 0,01)\;\mathrm{s}$

Um das Dämpfungsverhalten zu untersuchen, wurde der Versuchsaufbau modifiziert, indem ein Dämpfungsblatt befestigt wurde.

Aus der Messung der abklingenden Schwingung wurde eine Halbwertszeit von $Formula: T_{1/2} = 8,7\;\mathrm{s}$ $Formula: T_{1/2} = 8,7\;\mathrm{s}$ ermittelt.

Mithilfe des Zusammenhangs $Formula: \delta = \tfrac{\ln(2)}{T_{1/2}}$ $Formula: \delta = \tfrac{\ln(2)}{T_{1/2}}$ (siehe Aufgabe 1 b)) lässt sich die Abklingkonstante berechnen:

$Formula: \begin{array}{rll} \delta & = & \dfrac{\ln(2)}{T_{1/2}} \\[5pt] \delta & \approx & 0,08 \; \mathrm{s}^{-1} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} \delta & = & \dfrac{\ln(2)}{T_{1/2}} \\[5pt] \delta & \approx & 0,08 \; \mathrm{s}^{-1} \end{array}$

Zur physikalischen Beschreibung einer Windkraftanlage wird im einfachen Modell ein einseitig eingespannter Stab verwendet. Wenn äußere Kräfte auf diesen Stab wirken, können sich bei spezifischen Anregungsfrequenzen eine Eigenschwingung ausbilden.

Erfolgt die Anregung mit der Frequenz $Formula: f_{0},$ $Formula: f_{0},$ so schwingt die gesamte Anlage mit der Grundschwingung (siehe Abbildung 1).

Wird das System hingegen mit der Frequenz $Formula: 3 \cdot f_{0}$ $Formula: 3 \cdot f_{0}$ angeregt, schwingt die Anlage mit der 1. Oberschwingung.

Der Vergleich zwischen dem einfachen Stabmodell und realen Windenergieanlagen zeigt deutliche Diskrepanzen im Schwingungsverhalten.

Das in Teilaufgabe a) beschriebene vereinfachte Modell prognostiziert für das Frequenzverhältnis von erster Oberschwingung zur Grundschwingung einen Wert von $Formula: \tfrac{f_{1}}{f_{0}} = 3.$ $Formula: \tfrac{f_{1}}{f_{0}} = 3.$ Material 3 hingegen liefert folgende Verhältnisse:

Anlage	Frequenzverhältnis $Formula: \boldsymbol{\tfrac{f_{1}}{f_{0}}}$ $Formula: \boldsymbol{\tfrac{f_{1}}{f_{0}}}$
$Formula: 500\; \text{kW},$ $Formula: 500\; \text{kW},$ NH $Formula: 65\; \text{m}$ $Formula: 65\; \text{m}$
$Formula: 1,5\; \text{MW},$ $Formula: 1,5\; \text{MW},$ NH $Formula: 67\; \text{m}$ $Formula: 67\; \text{m}$
$Formula: 1,5\; \text{MW},$ $Formula: 1,5\; \text{MW},$ NH $Formula: 60\; \text{m}$ $Formula: 60\; \text{m}$
$Formula: 1,0\; \text{MW},$ $Formula: 1,0\; \text{MW},$ NH $Formula: 60\; \text{m}$ $Formula: 60\; \text{m}$

Um die Realität besser abzubilden, muss das einfache Stabmodell modifiziert werden. Zwei wesentliche Anpassungen führen zu einer genaueren Beschreibung:

Berücksichtigung der Masse des Generators: Das Modell kann verbessert werden, indem am oberen Ende des Stabes eine zusätzliche Masse, die den Generator mit Rotor repräsentieren soll, angebracht wird.
Anpassung der Einspannung: Die Art der Verankerung im Boden hat einen gemäß Material 3 einen signifikanten Einfluss auf die Eigenfrequenzen, diese ist bei einem Windenergieanlagen-Turm etwas elastisch. Anstelle einer starren Einspannung sollte daher eine teilelastische Einspannung im Modell angenommen werden.

Der Einbau von Dämpfungssystemen in Windkraftanlagen ist aus mehreren Gründen unverzichtbar. Er dient primär der Gewährleistung von Sicherheit, Langlebigkeit und Effizienz der Anlagen. Im Folgenden werden die wesentlichen Aspekte erläutert (erwartet werden mindestens zwei dieser Punkte):

Reduzierung der Materialermüdung: Permanente Schwingungen belasten die gesamte Struktur der Anlage. Ohne entsprechende Dämpfungsmaßnahmen würde diese Dauerbelastung zu einer beschleunigten Ermüdung der Strukturbauteile der Anlage führen. Der Einsatz von Dämpfern reduziert diese Belastungen signifikant und verlängert somit die Lebensdauer der gesamten Anlage.
Vermeidung von Resonanzschäden: Ein kritischer Aspekt ist die Verhinderung von Resonanzschwingungen. Wenn die Anregungsfrequenz mit der Eigenfrequenz der Anlage übereinstimmt, können ohne Dämpfung extrem hohe Amplituden auftreten, die schwere strukturelle Schäden bis hin zum Totalausfall verursachen können.
Steigerung der Energieeffizienz: Durch die Dämpfung von unerwünschten Störschwingungen ist die Anlage stabiler. Ein stabilerer Betrieb ermöglicht eine gleichmäßigere Rotation, was wiederum die Effizienz der Energieumwandlung verbessert und somit die Energieausbeute erhöht.
Schutz empfindlicher Komponenten: In Windenergieanlagen befinden sich besonders anfällige Bauteile, wie Rotorlager oder Getriebe, die vor unnötigen Belastungen durch beispielsweise Schwingung geschützt werden müssen. Schwingungsdämpfer reduzieren diese Belastung durch Schwingung.

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