Aufgabe D — Temperaturmessung mit einem elektromagnetischen Schwingkreis

Kapazitive Sensoren werden für verschiedenste Messzwecke, z. B. zur Druck- oder Abstandsmessung eingesetzt. Auch Temperaturen können mit geeigneten Kondensatoren gemessen werden. Als Modell eines kapazitiven Sensors wird ein Kondensator im elektromagnetischen Schwingkreis betrachtet.

Im ungedämpften elektromagnetischen Schwingkreis (siehe Material 1) wird, nachdem der Kondensator vollständig aufgeladen ist, der Schalter S von Position 1 nach 2 bewegt.

Beschreibe die Energieumwandlungen innerhalb der ersten viertel Schwingungsperiode.

4 BE

Leite nachstehende Beziehung für die maximale Stromstärke $Formula: I_{\max}$ $Formula: I_{\max}$ im Schwingkreis her: $Formula: I_{\max}=\sqrt{\tfrac{C \cdot U_{\max}^2}{L}}$ $Formula: I_{\max}=\sqrt{\tfrac{C \cdot U_{\max}^2}{L}}$

4 BE

Bei konstanter Spannung $Formula: U_{\max}$ $Formula: U_{\max}$ ändert sich die gespeicherte Energie des Kondensators, wenn zwischen die Kondensatorplatten ein Dielektrikum gebracht wird. Begründe dies, ohne auf die Prozesse im Dielektrikum einzugehen.

3 BE

Es wird nun im ungedämpften Schwingkreis Wasser als Dielektrikum untersucht. Gemessen wird der zeitliche Verlauf der Stromstärke Formula: I(t) für vier verschiedene Temperaturen (siehe Material 2).

Ermittle die Periodendauer Formula: T sowie die Kapazität Formula: C für die Messungen 1 und 4 mithilfe von Material 2. Ergänze die Werte in Tabelle 1. Nutze auch die in Abbildung 4 dargestellte Abhängigkeit der relativen Dielektrizitätszahl von der Temperatur.

5 BE

Begründe die Veränderung der Periodendauer Formula: T und der Stromstärke $Formula: I_{\max}.$ $Formula: I_{\max}.$

4 BE

Der Versuchsaufbau aus Aufgabe 2 wird für die Temperaturmessung im Bereich von $Formula: 15^{\circ} \; \mathrm{C}$ $Formula: 15^{\circ} \; \mathrm{C}$ bis $Formula: 26^{\circ} \; \mathrm{C}$ $Formula: 26^{\circ} \; \mathrm{C}$ genutzt. Eine Auswerteelektronik soll über die Frequenzänderung im zeitlichen Verlauf der Stromstärke die aktuelle Temperatur auf ein Grad Celsius genau bestimmen.

Für eine Beurteilung, ob die geforderte Messgenauigkeit erreicht wird, muss zunächst die Induktivität Formula: L der Spule bestimmt werden (Material 2).

Stelle in einem Diagramm Formula: T^2 in Abhängigkeit von Formula: C für die Messwerte aus Tabelle 1 dar. Bestimme aus der Darstellung die Induktivität Formula: L der Spule.

[Kontrollwert: $Formula: L=5,3 \; \mathrm{mH}$ $Formula: L=5,3 \; \mathrm{mH}$ ]

9 BE

Beurteile, ob der Aufbau für diesen Messbereich geeignet ist, wenn die Frequenzbestimmung mit einer Genauigkeit von $Formula: \Delta f=1,0 \; \mathrm{kHz}$ $Formula: \Delta f=1,0 \; \mathrm{kHz}$ erfolgt.

6 BE

In Material 3 ist die Abhängigkeit der Kapazität von der Temperatur in $Formula: \text{K}$ $Formula: \text{K}$ für einen industriellen kapazitiven Sensor dargestellt.

Beurteile die Eignung des Sensors für die Temperaturmessung unter Berücksichtigung von drei verschiedenen Temperaturbereichen.

5 BE

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Zu Beginn des Schwingungsvorgangs, zum Zeitpunkt $Formula: t=0 \; \mathrm{s},$ $Formula: t=0 \; \mathrm{s},$ ist der Kondensator vollständig aufgeladen und die gesamte Energie ist im elektrischen Feld des Kondensators gespeichert. Sobald der Kondensator über die Spule entladen wird, entsteht durch den Stromfluss in der Spule ein Magnetfeld, was bedeutet, dass ein Teil der zuvor elektrischen Energie in magnetische Energie umgewandelt wird. Die Lenz'sche Regel verhindert dabei den sofortigen Anstieg des Stroms durch die Spule, indem eine Gegenspannung induziert wird, die den Anstieg der Stromstärke hemmt.

Zum Zeitpunkt $Formula: t = \tfrac{1}{4} \; T$ $Formula: t = \tfrac{1}{4} \; T$ (mit als der Periodendauer der Schwingung) ist der Kondensator vollständig entladen und die maximale Stromstärke $Formula: I_{\mathrm{max}}$ $Formula: I_{\mathrm{max}}$ fließt durch die Spule. In dieser Phase ist die gesamte Energie im magnetischen Feld der Spule gespeichert.

In einem ungedämpften Schwingkreis bleibt die Gesamtenergie des Schwingkreises erhalten. Daher kann die maximale elektrische Energie mit der maximalen magnetischen Energie gleichgesetzt werden:

$Formula: \frac{1}{2} \cdot C \cdot U_{\mathrm{max}}^{2} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I_{\mathrm{max}}^{2}$ $Formula: \frac{1}{2} \cdot C \cdot U_{\mathrm{max}}^{2} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I_{\mathrm{max}}^{2}$

Diese Gleichung kann nun nach der maximalen Stromstärke $Formula: I_{\mathrm{max}}$ $Formula: I_{\mathrm{max}}$ umgestellt werden:

$Formula: \begin{array}{rll} \dfrac{1}{2} \cdot C \cdot U_{\mathrm{max}}^{2} & = & \dfrac{1}{2} \cdot L \cdot I_{\mathrm{max}}^{2} \\[5pt] I_{\mathrm{max}}^{2} & = & \dfrac{C \cdot U_{\mathrm{max}}^{2}}{L} \\[5pt] I_{\mathrm{max}} & = & \sqrt{\dfrac{C \cdot U_{\mathrm{max}}^{2}}{L}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} \dfrac{1}{2} \cdot C \cdot U_{\mathrm{max}}^{2} & = & \dfrac{1}{2} \cdot L \cdot I_{\mathrm{max}}^{2} \\[5pt] I_{\mathrm{max}}^{2} & = & \dfrac{C \cdot U_{\mathrm{max}}^{2}}{L} \\[5pt] I_{\mathrm{max}} & = & \sqrt{\dfrac{C \cdot U_{\mathrm{max}}^{2}}{L}} \end{array}$

Die Kapazität Formula: C wird durch die Formel $Formula: C = \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{r}} \cdot \tfrac{A}{d}$ $Formula: C = \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{r}} \cdot \tfrac{A}{d}$ beschrieben. Durch Einschieben eines Dielektrikums wird $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}}$ $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}}$ größer Formula: 1, wodurch die Kapazität ebenfalls steigt.

Die gespeicherte elektrische Energie Formula: E im Kondensator kann wiederum durch die Formel $Formula: E = \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot U_{\mathrm{max}}^{2}$ $Formula: E = \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot U_{\mathrm{max}}^{2}$ beschrieben werden. In der Aufgabenstellung ist angegeben, dass $Formula: U_{\mathrm{max}}$ $Formula: U_{\mathrm{max}}$ konstant ist, somit gilt $Formula: E\sim C.$ $Formula: E\sim C.$ Da sich die Kapazität Formula: C durch Einschieben eines Dielektrikums erhöht, erhöht sich folglich auch die Menge der gespeicherten Elektrischen Energie Formula: E.

Die Periodendauern der Schwingungen lassen sich durch das Abzählen der Perioden innerhalb eines definierten Zeitintervalls bestimmen.

Mit Abbildung 2 ergibt sich somit für die Temperatur $Formula: {\vartheta = 0 \; ^\circ\mathrm{C:}}$ $Formula: {\vartheta = 0 \; ^\circ\mathrm{C:}}$

$Formula: T_{\mathrm{1}} = \frac{43 \; \mu\mathrm{s}}{6} = 7,2 \; \mu\mathrm{s}$ $Formula: T_{\mathrm{1}} = \frac{43 \; \mu\mathrm{s}}{6} = 7,2 \; \mu\mathrm{s}$

Mit Abbildung 3 ergibt sich für die Temperatur $Formula: {\vartheta = 84 \; ^\circ\mathrm{C:}}$ $Formula: {\vartheta = 84 \; ^\circ\mathrm{C:}}$

$Formula: T_{\mathrm{4}} = \frac{30 \; \mu\mathrm{s}}{5} = 6,0 \; \mu\mathrm{s}$ $Formula: T_{\mathrm{4}} = \frac{30 \; \mu\mathrm{s}}{5} = 6,0 \; \mu\mathrm{s}$

Die Berechnung der Kapazitäten Formula: C erfolgt über die Formel $Formula: C = \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{r}} \cdot \tfrac{A}{d}.$ $Formula: C = \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{r}} \cdot \tfrac{A}{d}.$ Aus Abbildung 4 lassen sich für $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}}$ $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}}$ folgende Werte herauslesen:

$Formula: \varepsilon_{r 1}=88$ $Formula: \varepsilon_{r 1}=88$ und $Formula: \varepsilon_{r 4}=59,5$ $Formula: \varepsilon_{r 4}=59,5$

Daraus folgt für die Kapazitäten:

$Formula: C_1 = \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{r1}} \cdot \tfrac{A}{d}=249\;\text{pF}$ $Formula: C_1 = \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{r1}} \cdot \tfrac{A}{d}=249\;\text{pF}$

$Formula: C_4 = \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{r4}} \cdot \tfrac{A}{d}=169\;\text{pF}$ $Formula: C_4 = \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{r4}} \cdot \tfrac{A}{d}=169\;\text{pF}$

Somit sieht die ausgefüllte Tabelle wie folgt aus:

Nummer der Messung	1	2	3	4
Temperatur $Formula: \vartheta$ $Formula: \vartheta$ in $Formula: ^\circ\text{C}$ $Formula: ^\circ\text{C}$
Kapazität in $Formula: \text{pF}$ $Formula: \text{pF}$
Periodendauer in $Formula: \mu\text{s}$ $Formula: \mu\text{s}$
in $Formula: (\mu\text{s})^2$ $Formula: (\mu\text{s})^2$

Wie aus dem Material 2 hervorgeht, verringert sich die Dielektrizitätszahl bei steigender Temperatur, was gemäß Aufgabe 1 c) eine direkte Abnahme der Kapazität des Kondensators zur Folge hat. Dies beeinflusst die Schwingungseigenschaften wie folgt:

Da die maximale Stromstärke gemäß Aufgabe 1 b) proportional zur Wurzel der Kapazität ist ( $Formula: I_{\mathrm{max}} \sim \sqrt{C}$ $Formula: I_{\mathrm{max}} \sim \sqrt{C}$ ), führt eine sinkende Kapazität zwangsläufig zu einer geringeren Amplitude der Schwingung.
Gemäß der Thomson’schen Schwingungsgleichung gilt die Beziehung:

$Formula: T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}$ $Formula: T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}$

$Formula: \Rightarrow T \sim \sqrt{C}$ $Formula: \Rightarrow T \sim \sqrt{C}$

Somit wird die Periodendauer für höhere Temperaturen kleiner.

Erstellen des Diagramms mit Ausgleichsgerade

Bestimmen der Induktivität der Spule

Da zwischen der Periodendauer und der Kapazität das Verhältnis $Formula: T \sim \sqrt{C}$ $Formula: T \sim \sqrt{C}$ besteht (wie in Aufgabe 2 gezeigt), muss auch die Proportionalität $Formula: T^{2} \sim C$ $Formula: T^{2} \sim C$ gelten. In einer grafischen Darstellung dieser Größen wie in obigem Diagramm ist daher eine Ursprungsgerade zu erwarten.

Die Proportionalitätskonstante bzw. Steigung Formula: k dieser Ausgleichsgeraden lässt sich aus der Thomson’schen Schwingungsgleichung ableiten:

$Formula: T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}$ $Formula: T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}$

$Formula: \Rightarrow T^{2} = 4 \cdot \pi^{2} \cdot L \cdot C$ $Formula: \Rightarrow T^{2} = 4 \cdot \pi^{2} \cdot L \cdot C$

$Formula: \Rightarrow \dfrac{T^{2}}{C} = 4 \cdot \pi^{2} \cdot L =k$ $Formula: \Rightarrow \dfrac{T^{2}}{C} = 4 \cdot \pi^{2} \cdot L =k$

Mithilfe eines Steigungsdreiecks kann die Steigung Formula: k ermittelt werden. Dafür wird beispielsweise das Wertepaar $Formula: 50 \; (\mu\mathrm{s})^{2}$ $Formula: 50 \; (\mu\mathrm{s})^{2}$ bei $Formula: 240 \;\mathrm{pF}$ $Formula: 240 \;\mathrm{pF}$ verwendet:

$Formula: k = \frac{\Delta T^{2}}{\Delta C} = \frac{50 \; (\mu\mathrm{s})^{2}}{240 \; \mathrm{pF}} \approx 0,208 \; \mathrm{H}$ $Formula: k = \frac{\Delta T^{2}}{\Delta C} = \frac{50 \; (\mu\mathrm{s})^{2}}{240 \; \mathrm{pF}} \approx 0,208 \; \mathrm{H}$

Durch das Umstellen der Formel nach der Induktivität ergibt sich folgender Wert:

$Formula: \begin{array}{rll} k & = & 4 \cdot \pi^{2} \cdot L \\[5pt] L & = & \dfrac{k}{4 \cdot \pi^{2}} \\[5pt] L & = & 5,3 \; \mathrm{mH} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} k & = & 4 \cdot \pi^{2} \cdot L \\[5pt] L & = & \dfrac{k}{4 \cdot \pi^{2}} \\[5pt] L & = & 5,3 \; \mathrm{mH} \end{array}$

Zur Überprüfung, ob mit dem gewählten Verfahren eine gradgenaue Temperaturmessung möglich ist, werden die Kapazitäts- und Frequenzwerte für ausgewählte Temperaturen berechnet.

Die Kapazität Formula: C wird über die Gleichung $Formula: C = \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{r}} \cdot \tfrac{A}{d}$ $Formula: C = \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{r}} \cdot \tfrac{A}{d}$ bestimmt. Diese ist auf Grund der Dielektritätszahl $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}}$ $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}}$ temperaturabhängig.

Mit Hilfe der Abbildung 4 können für die Temperaturen für $Formula: 15 \; ^{\circ}\mathrm{C}$ $Formula: 15 \; ^{\circ}\mathrm{C}$ und $Formula: 26 \; ^{\circ}\mathrm{C}$ $Formula: 26 \; ^{\circ}\mathrm{C}$ folgende Werte für die Dielektritätszahl ermittelt werden:

$Formula: \varepsilon_{\mathrm{r,15 \; ^{\circ}\mathrm{C}}} = 82,0$ $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r,15 \; ^{\circ}\mathrm{C}}} = 82,0$ und $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r,26 \; ^{\circ}\mathrm{C}}} = 78,0$ $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r,26 \; ^{\circ}\mathrm{C}}} = 78,0$

Daraus folgt für die zwei temperaturabhängigen Kapazitäten:

$Formula: \begin{array}{rll} C_{15^{\circ}\mathrm{C}} & = & \varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{\mathrm{r,15 \; ^{\circ}\mathrm{C}}} \cdot \dfrac{A}{d} \\[5pt] & = & \varepsilon_{0} \cdot 82 \cdot \dfrac{16,0 \cdot 10^{-4} \; \mathrm{m}^{2}}{5,00 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 232 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{F} \\[5pt] & = & 232 \; \mathrm{pF} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} C_{15^{\circ}\mathrm{C}} & = & \varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{\mathrm{r,15 \; ^{\circ}\mathrm{C}}} \cdot \dfrac{A}{d} \\[5pt] & = & \varepsilon_{0} \cdot 82 \cdot \dfrac{16,0 \cdot 10^{-4} \; \mathrm{m}^{2}}{5,00 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 232 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{F} \\[5pt] & = & 232 \; \mathrm{pF} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rll} C_{26^{\circ}\mathrm{C}} & = & \varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{\mathrm{r,26 \; ^{\circ}\mathrm{C}}} \cdot \dfrac{A}{d} \\[5pt] & = & \varepsilon_{0} \cdot 78 \cdot \dfrac{16,0 \cdot 10^{-4} \; \mathrm{m}^{2}}{5,00 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 221 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{F} \\[5pt] & = & 221 \; \mathrm{pF} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} C_{26^{\circ}\mathrm{C}} & = & \varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{\mathrm{r,26 \; ^{\circ}\mathrm{C}}} \cdot \dfrac{A}{d} \\[5pt] & = & \varepsilon_{0} \cdot 78 \cdot \dfrac{16,0 \cdot 10^{-4} \; \mathrm{m}^{2}}{5,00 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 221 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{F} \\[5pt] & = & 221 \; \mathrm{pF} \end{array}$

Mit der Thomsonschen Schwingungsgleichung $Formula: f = \tfrac{1}{2\pi\sqrt{L \cdot C}}$ $Formula: f = \tfrac{1}{2\pi\sqrt{L \cdot C}}$ und der Induktivität $Formula: L = 5,3 \; \mathrm{mH}$ $Formula: L = 5,3 \; \mathrm{mH}$ aus Teilaufgabe 3 a) folgen somit folgende temperaturabhängige Frequenzen:

$Formula: f_{\mathrm{15\;^{\circ}C}} = 144 \;\mathrm{kHz}$ $Formula: f_{\mathrm{15\;^{\circ}C}} = 144 \;\mathrm{kHz}$

$Formula: f_{\mathrm{26\;^{\circ}C}} = 147 \;\mathrm{kHz}$ $Formula: f_{\mathrm{26\;^{\circ}C}} = 147 \;\mathrm{kHz}$

Über eine Temperaturdifferenz von $Formula: 11 \;\mathrm{K}$ $Formula: 11 \;\mathrm{K}$ ergibt sich somit eine Frequenzänderung von lediglich $Formula: \Delta f = 3 \;\mathrm{kHz}.$ $Formula: \Delta f = 3 \;\mathrm{kHz}.$ Da die Messgenauigkeit auf $Formula: \pm 1 \;\mathrm{kHz}$ $Formula: \pm 1 \;\mathrm{kHz}$ begrenzt ist, können innerhalb dieses Bereichs keine 12 einzelnen Temperaturstufen sicher unterschieden werden.

Die Eignung des Sensors zur Temperaturmessung hängt entscheidend davon ab, ob jedem Kapazitätswert eine eindeutige Temperatur zugeordnet werden kann. Basierend auf dem vorliegenden Material lässt sich der Einsatzbereich wie folgt unterteilen:

Bereich 1: $Formula: 5 \;\mathrm{K}$ $Formula: 5 \;\mathrm{K}$ bis ca. $Formula: 265 \;\mathrm{K}$ $Formula: 265 \;\mathrm{K}$

In diesem Intervall ist der Sensor gut zur Temperaturmessung geeignet. Die Kapazität weist mit steigender Temperatur einen deutlichen und kontinuierlichen Anstieg auf. Aufgrund dieses eindeutigen Zusammenhangs kann die Auswerteelektronik jedem gemessenen Kapazitätswert präzise eine spezifische Temperatur zuordnen.
Bereich 2: $Formula: 265 \;\mathrm{K}$ $Formula: 265 \;\mathrm{K}$ bis $Formula: 270 \;\mathrm{K}$ $Formula: 270 \;\mathrm{K}$

In diesem Bereich ist der Sensor nicht geeignet. Hier erreicht die Kapazität ihren Maximalwert und kehrt danach ihre Verlaufsrichtung um. Dies führt dazu, dass der Zusammenhang nicht mehr eindeutig ist: Einem einzigen Kapazitätsmesswert könnten zwei unterschiedliche Temperaturen zugeordnet werden (eine kurz vor und eine kurz nach dem Maximum), was eine verlässliche Bestimmung ausschließt.
Bereich 3: Oberhalb von $Formula: 270 \;\mathrm{K}$ $Formula: 270 \;\mathrm{K}$

Für Temperaturen oberhalb von $Formula: 270 \;\mathrm{K}$ $Formula: 270 \;\mathrm{K}$ ist der Sensor wieder einsetzbar. Die Kapazität sinkt in diesem Bereich mit zunehmender Temperatur stetig ab. Da hier wieder eine eindeutige (monoton fallende) Zuordnung zwischen Kapazität und Temperatur vorliegt, ist eine korrekte Messung technisch wieder möglich.

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Aufgabe D — Temperaturmessung mit einem elektromagnetischen Schwingkreis

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Material 1: Modellversuch zum kapazitiven Sensor

Material 2: Messwerte für verschiedene Temperaturen des Dielektrikums

Material 3: Kapazitiver Temperatursensor CS-501

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Erstellen des Diagramms mit Ausgleichsgerade

Bestimmen der Induktivität der Spule

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