Aufgabe 2 — Aufladung von Kondensatoren in Blitzgeräten

Beim Fotografieren werden Blitzgeräte verwendet, um kurzzeitig für die Dauer der Aufnahme Licht zu erzeugen. Dabei wird ein Kondensator zunächst aufgeladen und dann als elektrische Quelle für die Blitzlampe eingesetzt. Der Aufladevorgang eines Kondensators wird in dieser Aufgabe untersucht.

2.1

In einem Experiment soll die Stromstärke Formula: I in Abhängigkeit von der Zeit Formula: t während der Aufladung eines Kondensators ermittelt werden. Die Messergebnisse eines solchen Experiments sind in Material 1 dargestellt.

Skizziere einen dafür geeigneten Schaltplan.

3 BE

Zeichne anhand der Messergebnisse in Material 1 ein $Formula: t \text{-} I \text{-}$ $Formula: t \text{-} I \text{-}$ Diagramm.

5 BE

Wird während des Aufladevorgangs die Spannung Formula: U_C am Kondensator gemessen, ergibt sich das $Formula: t \text{-} U_C\text{-}$ $Formula: t \text{-} U_C\text{-}$ Diagramm in Material 2.

Erläutere den physikalischen Zusammenhang zwischen diesem $Formula: t \text{-} U_C\text{-}$ $Formula: t \text{-} U_C\text{-}$ Diagramm und deinem $Formula: t \text{-} I \text{-}$ $Formula: t \text{-} I \text{-}$ Diagramm.

5 BE

2.2

Anhand einer quantitativen Betrachtung des Aufladevorgangs lässt sich die angegebene Kapazität Formula: C des Kondensators überprüfen.

Ermittle anhand von Material 1 den funktionalen Zusammenhang Formula: I=f(t) und dokumentiere dein Vorgehen in der vereinbarten Form.

6 BE

Berechne die Zeit Formula: t, an der die Stromstärke Formula: I nur noch $Formula: 10 \; \mu \mathrm{A}$ $Formula: 10 \; \mu \mathrm{A}$ beträgt.

5 BE

Der Hersteller des Kondensators gibt an, dass dessen tatsächliche Kapazität um bis zu $Formula: 20 \%$ $Formula: 20 \%$ vom aufgedruckten Wert abweichen kann.

Beurteile, ob diese Angabe mit den Ergebnissen des Experiments vereinbar ist.

6 BE

Erläutere, wie sich eine Halbierung des Widerstands Formula: R beim Aufladen eines Kondensators auf den Verlauf des Graphen im $Formula: t \text{-} I \text{-}$ $Formula: t \text{-} I \text{-}$ Diagramm auswirkt.

Hinweis: Die Ladespannung soll dabei unverändert bleiben.

5 BE

2.3

In Material 3 findest du Informationen zum mobilen Einsatz von Blitzgeräten und den dabei verwendeten Spannungsquellen.

Beurteile die Eignung der verschiedenen Spannungsquellen in einem mobilen Blitzgerät zur Verwendung in der Sportfotografie.

5 BE

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Material 1: Stromstärke $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{I}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{I}}$ in Abhängigkeit von der Zeit $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{t}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{t}}$ beim Aufladevorgang

$Formula: \boldsymbol{t}$ $Formula: \boldsymbol{t}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$	$Formula: \boldsymbol{I}$ $Formula: \boldsymbol{I}$ in $Formula: \boldsymbol{\mu \mathrm{A}}$ $Formula: \boldsymbol{\mu \mathrm{A}}$

Im Experiment werden ein Kondensator mit der Kapazität $Formula: C=3300\; \mu \mathrm{F}$ $Formula: C=3300\; \mu \mathrm{F}$ und ein Widerstand mit $Formula: R=20 \; \mathrm{k} \Omega$ $Formula: R=20 \; \mathrm{k} \Omega$ verwendet. Die Spannungsquelle liefert eine Gleichspannung von ca. $Formula: 2,0 \; \text{V}.$ $Formula: 2,0 \; \text{V}.$

Material 2: Spannung $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{U_C}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{U_C}}$ am Kondensator in Abhängigkeit von der Zeit während des Aufladevorgangs

Material 3: Informationen zum Einsatz von Batterien und Akkumulatoren in mobilen Blitzgeräten

Für jede Aufnahme mit einem Blitzgerät ist eine bestimmte Energiemenge notwendig. Eine erfolgreiche Aufnahme mit maximaler Helligkeit ist dann möglich, wenn der im Blitzgerät enthaltene Kondensator nahezu vollständig aufgeladen ist. Daher kommt es zwischen zwei Aufnahmen zu einer unvermeidlichen Wartezeit. Insbesondere professionelle Sportfotografen müssen Bilder in sehr schneller Zeitabfolge aufnehmen. Dabei wird häufig die maximale Helligkeit des Blitzes benötigt.

Um Blitzgeräte auch mobil einsetzen zu können, werden Batterien oder wiederaufladbare Akkumulatoren als Spannungsquellen verwendet.

Diese können als Kombination aus einer Spannungsquelle und einem Innenwiderstand Formula: R_i betrachtet werden. Die maximale Stromstärke, die eine Batterie bzw. ein Akkumulator liefern kann, wird durch diesen Innenwiderstand bestimmt.

Alkali-Mangan-Batterien sind preisgünstig, speichern eine große Energiemenge und sind lange haltbar. Sie haben einen relativ großen Innenwiderstand.

Wiederaufladbare Nickel-Metallhydrid-Akkumulatoren dagegen haben einen geringeren Innenwiderstand und sind teuer. Sie speichern eine geringere Energiemenge und neigen innerhalb von einigen Monaten zur Selbstentladung.

Lithium-Batterien sind vergleichsweise teuer, zeichnen sich durch eine lange Haltbarkeit aus und speichern viel Energie. Ihr Innenwiderstand ist ähnlich klein wie der von Nickel-Metallhydrid-Akkumulatoren.

Hinweis: Gehe davon aus, dass alle genannten Energiespeicher zu Beginn die gleiche Spannung aufweisen.

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2.1

Der physikalische Zusammenhang lässt sich dadurch herleiten, dass mit zunehmender Zeit Formula: t die Ladungsmenge auf dem Kondensator anwächst, was zu einer steigenden Gegenspannung Formula: U_C am Kondensator führt. Diese Spannung wirkt der äußeren Ladespannung entgegen, wodurch die resultierende Stromstärke Formula: I im Stromkreis kontinuierlich abnimmt. Infolge der abnehmenden Stromstärke verlangsamt sich wiederum der Ladungstransport, sodass die Ladungsmenge und damit auch die Kondensatorspannung immer langsamer ansteigen.

2.2

Um den funktionalen Zusammenhang der Stromstärke zu finden, wird eine Regressionsanalyse mit dem GTR durchgeführt. Der Verlauf der Stromstärke deutet auf ein exponentielles Verhalten hin, somit wird eine exponentielle Regression gewählt. Daraus kann folgender Zusammenhang gefunden werden:

$Formula: I(t) \approx 97,3\;\mu\text{A} \cdot \text{e}^{-0,0128\;\tfrac{1}{\text{s}}\cdot t}.$ $Formula: I(t) \approx 97,3\;\mu\text{A} \cdot \text{e}^{-0,0128\;\tfrac{1}{\text{s}}\cdot t}.$

Bei der Dokumentation des Vorgehens ist wichtig, dass die Zeitwerte als Argumentliste und die gemessenen Stromstärken als Funktionswerteliste an den GTR übergeben werden. Anschließend wird die entsprechende Regression ausgewählt und das Ergebnis physikalisch eingeordnet, indem den Koeffizienten die passenden Einheiten zugeordnet werden.

Mithilfe der ermittelten Gleichung aus 2.2 a) lässt sich der Zeitpunkt Formula: t bestimmen, an dem die Stromstärke Formula: I auf einen Wert von $Formula: 10\;\mu\text{A}$ $Formula: 10\;\mu\text{A}$ abgefallen ist. Dafür muss der ermittelte Zusammenhang nach aufgelöst werden und $Formula: I=10\;\mu\text{A}$ $Formula: I=10\;\mu\text{A}$ eingesetzt werden:

$Formula: \begin{array}{rll} I(t) & \approx & 97,3 \; \mu\mathrm{A} \cdot \text{e}^{-0,0128 \; \frac{1}{\mathrm{s}} \cdot t} \\[5pt] \dfrac{I(t)}{97,3 \; \mu\mathrm{A}} & = & \text{e}^{-0,0128 \; \frac{1}{\mathrm{s}} \cdot t} \\[5pt] \ln \left( \dfrac{I(t)}{97,3 \; \mu\mathrm{A}} \right) & = & -0,0128 \; \frac{1}{\mathrm{s}} \cdot t \\[5pt] t & = & \ln \left( \dfrac{I(t)}{97,3 \; \mu\mathrm{A}} \right) \cdot \dfrac{1}{-0,0128} \; \mathrm{s} \\[5pt] & = & \ln \left( \dfrac{10,0 \; \mu\mathrm{A}}{97,3 \; \mu\mathrm{A}} \right) \cdot \dfrac{1}{-0,0128} \; \mathrm{s} \\[5pt] &\approx& 178 \; \mathrm{s} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} I(t) & \approx & 97,3 \; \mu\mathrm{A} \cdot \text{e}^{-0,0128 \; \frac{1}{\mathrm{s}} \cdot t} \\[5pt] \dfrac{I(t)}{97,3 \; \mu\mathrm{A}} & = & \text{e}^{-0,0128 \; \frac{1}{\mathrm{s}} \cdot t} \\[5pt] \ln \left( \dfrac{I(t)}{97,3 \; \mu\mathrm{A}} \right) & = & -0,0128 \; \frac{1}{\mathrm{s}} \cdot t \\[5pt] t & = & \ln \left( \dfrac{I(t)}{97,3 \; \mu\mathrm{A}} \right) \cdot \dfrac{1}{-0,0128} \; \mathrm{s} \\[5pt] & = & \ln \left( \dfrac{10,0 \; \mu\mathrm{A}}{97,3 \; \mu\mathrm{A}} \right) \cdot \dfrac{1}{-0,0128} \; \mathrm{s} \\[5pt] &\approx& 178 \; \mathrm{s} \end{array}$

Zur Bestimmung der Kapazität des Kondensators wird die gesamte Ladungsmenge Formula: Q durch Integration der $Formula: t \text{-} I \text{-}$ $Formula: t \text{-} I \text{-}$ Funktion ermittelt, da $Formula: I(t) = \dot{Q}(t)$ $Formula: I(t) = \dot{Q}(t)$ gilt. Mit dem Ergebnis der Integration lässt sich die Kapazität über die Beziehung $Formula: C = \tfrac{Q}{U}$ $Formula: C = \tfrac{Q}{U}$ berechnen.

Mit Hilfe des GTRs kann die Ladungsmenge bestimmt werden, dafür kann als obere Grenze beispielsweise $Formula: T=1000 \; \text{s}$ $Formula: T=1000 \; \text{s}$ verwendet werden:

$Formula: Q = \int\limits_0^T I(t) \, dt \approx \int\limits_0^{1000 \; \text{s}} I(t) \, dt$ $Formula: Q = \int\limits_0^T I(t) \, dt \approx \int\limits_0^{1000 \; \text{s}} I(t) \, dt$

Der GTR liefert hierfür:

$Formula: Q\approx 7,60 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{C} = 7,60 \; \mathrm{mC}$ $Formula: Q\approx 7,60 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{C} = 7,60 \; \mathrm{mC}$

Daraus folgt für die Kapazität:

$Formula: \begin{array}{rll} C & = & \dfrac{Q}{U} \\[5pt] & = & \dfrac{7,60 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{C}}{2,0 \; \mathrm{V}} \\[5pt] & = & 3,8 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{F} = 3,8 \; \mathrm{mF} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} C & = & \dfrac{Q}{U} \\[5pt] & = & \dfrac{7,60 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{C}}{2,0 \; \mathrm{V}} \\[5pt] & = & 3,8 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{F} = 3,8 \; \mathrm{mF} \end{array}$

Somit beträgt die relative Abweichung zur Herstellerangabe $Formula: C_H = 3300 \; \mu\mathrm{F}\text{:}$ $Formula: C_H = 3300 \; \mu\mathrm{F}\text{:}$

$Formula: \begin{array}{rll} \dfrac{\Delta C}{C_H} & = & \dfrac{C - C_H}{C_H} \\[5pt] & = & \dfrac{0,5 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{F}}{3,3 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{F}} \\[5pt] & \approx & 0,15 = 15 \% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} \dfrac{\Delta C}{C_H} & = & \dfrac{C - C_H}{C_H} \\[5pt] & = & \dfrac{0,5 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{F}}{3,3 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{F}} \\[5pt] & \approx & 0,15 = 15 \% \end{array}$

Die relative Abweichung vom Herstellerwert beträgt somit lediglich $Formula: 15 \%$ $Formula: 15 \%$ und liegt damit unter der vom Hersteller angegebenen Toleranzgrenze von $Formula: 20\%.$ $Formula: 20\%.$ Das Ergebnis kann also als vereinbar mit den Herstellerangaben beurteilt werden.

Falls der Widerstand Formula: R im Versuchsaufbau halbiert würde, hätte dies unmittelbare Auswirkungen auf den Ladevorgang. Da die Anfangsstromstärke Formula: I gemäß dem Ohm'schen Gesetz ( $Formula: I = \tfrac{U}{R}$ $Formula: I = \tfrac{U}{R}$ ) umgekehrt proportional zum Widerstand ist, würde sie sich bei gleichbleibender Ladespannung verdoppeln. Da die Kapazität des Kondensators und damit die gespeicherte Ladungsmenge gleich bleibt — was grafisch als Fläche unter dem $Formula: t \text{-} I \text{-}$ $Formula: t \text{-} I \text{-}$ Graphen interpretiert werden kann —, muss die Stromstärke in diesem Fall deutlich schneller abfallen.

2.3

Bei der Beurteilung geeigneter Spannungsquellen für die Blitzgeräte von Sportfotografen sind vor allem ein hoher Energiegehalt und ein geringer Innenwiderstand entscheidend. Ein hoher Energiegehalt gewährleistet eine große Anzahl an möglichen Blitzen bei maximaler Helligkeit, während ein geringer Innenwiderstand kurze Ladezeiten ermöglicht, was für eine hohe Blitzfrequenz in der Sportberichterstattung essenziell ist.

Material 3 liefert für diese beiden Kriterien folgende Daten:

Alkali-Mangan-Batterien haben einen hohen Energiegehalt, jedoch einen großen Innenwiderstand.
Nickel-Metallhydrid-Akkus haben einen kleinen Innenwiderstand, jedoch nur einen geringen Energiegehalt.
Lithium-Batterien haben sowohl einen hohen Energiegehalt als auch einen kleinen Innenwiderstand.

Somit erfüllt die Lithium-Batterie diese Kriterien am besten, wodurch diese beim Fokus auf Leistung als besonders geeignet zu bewerten ist.

Bei Berücksichtigung anderer Aspekte, wie beispielsweise wirtschaftlicher oder ökologischer Faktoren, kommen auch die anderen Batterien infrage; Lithium-Batterien bilden jedoch das Optimum.

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Aufgabe 2 — Aufladung von Kondensatoren in Blitzgeräten

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Material 1: Stromstärke in Abhängigkeit von der Zeit beim Aufladevorgang

Material 2: Spannung am Kondensator in Abhängigkeit von der Zeit während des Aufladevorgangs

Material 3: Informationen zum Einsatz von Batterien und Akkumulatoren in mobilen Blitzgeräten

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Material 1: Stromstärke $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{I}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{I}}$ in Abhängigkeit von der Zeit $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{t}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{t}}$ beim Aufladevorgang

Material 2: Spannung $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{U_C}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{U_C}}$ am Kondensator in Abhängigkeit von der Zeit während des Aufladevorgangs