Aufgabe 1 —Untersuchungen an Feder-Masse-Pendeln

Für ein Feder-Masse-Pendel liefert die experimentelle Untersuchung der Periodendauer Formula: T einen Zusammenhang zur Federkonstanten Formula: D. Durch eine zusätzliche Messung am ruhenden Pendel lässt sich auch bei unbekannter Masse und unbekannter Federkonstante der Ortsfaktor Formula: g bestimmen.

1.1

Wird ein Massestück an eine Feder gehangen, nimmt die Länge $Formula: \ell$ $Formula: \ell$ der Feder zu, wie in Material 1 dargestellt. Wird das Massestück weiter nach unten gezogen und losgelassen, beginnt das Pendel zu schwingen.

Erläutere am Beispiel des Feder-Masse-Pendels die Begriffe Amplitude, Periodendauer, Frequenz und harmonische Schwingung.

5 BE

In Material 2 ist die Länge $Formula: \ell$ $Formula: \ell$ der Feder in Abhängigkeit von der Zeit Formula: t dargestellt.

Ermittle anhand von Material 2 die Amplitude der Schwingung sowie möglichst genau die Periodendauer Formula: T.

4 BE

1.2

In einem Experiment wird die Periodendauer Formula: T von verschiedenen Feder-Masse-Pendeln gemessen. Dabei werden Federn mit unterschiedlicher Federkonstante Formula: D verwendet, an die jeweils das gleiche Massestück der Masse Formula: m gehängt wird (Material 3).

Zeichne anhand der Messdaten aus Material 3 ein $Formula: D\text{-} T \text{-}$ $Formula: D\text{-} T \text{-}$ Diagramm.

5 BE

Bestätige anhand von Material 3 den funktionalen Zusammenhang $Formula: T=k \cdot \tfrac{1}{\sqrt{D}},$ $Formula: T=k \cdot \tfrac{1}{\sqrt{D}},$ wobei du auch die Konstante Formula: k angibst und dein Vorgehen wie vereinbart dokumentierst.

Hinweis: Der Zusammenhang lässt sich auch in der Form $Formula: T=k \cdot D^{-\tfrac{1}{2}}$ $Formula: T=k \cdot D^{-\tfrac{1}{2}}$ schreiben.

6 BE

Für die Konstante Formula: k gilt: $Formula: k=2\pi \cdot \sqrt{m}.$ $Formula: k=2\pi \cdot \sqrt{m}.$

Berechne die Masse Formula: m des Massestücks.

3 BE

1.3

Die Zunahme der Federlänge beim Anhängen eines Massestücks wird mit $Formula: \Delta \ell$ $Formula: \Delta \ell$ bezeichnet (Material 1). Es gilt:

$Formula: \left.\frac{m}{D}=\frac{\Delta \ell}{g} \quad \right\rvert\, g\text{: Ortsfaktor}$ $Formula: \left.\frac{m}{D}=\frac{\Delta \ell}{g} \quad \right\rvert\, g\text{: Ortsfaktor}$

Die angegebene Gleichung kann auch in der Form $Formula: m\cdot g = D\cdot \Delta\ell$ $Formula: m\cdot g = D\cdot \Delta\ell$ geschrieben werden.

Interpretiere diese Form der Gleichung anhand der Informationen in Material 4 als Kräftegleichgewicht.

3 BE

Für ein Feder-Masse-Pendel sind die Größen Formula: m und Formula: D unbekannt. Für dieses Pendel wird $Formula: \Delta \ell = 34,8 \; \mathrm{cm}$ $Formula: \Delta \ell = 34,8 \; \mathrm{cm}$ ermittelt. Wird es schwingen gelassen, wird $Formula: T=1,19 \; \mathrm{s}$ $Formula: T=1,19 \; \mathrm{s}$ gemessen.

Ermittle anhand dieser Angaben und der Gleichung für die Periodendauer Formula: T eines Feder-Masse-Pendels einen Wert für den Ortsfaktor Formula: g.

4 BE

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Material 1: Feder ohne Massestück und mit Massestück, jeweils in der Ruhelage

Gekennzeichnet sind die verschiedenen Längen der Feder ohne bzw. mit Massestück sowie die Verlängerung $Formula: \Delta\ell.$ $Formula: \Delta\ell.$

Material 2: Länge $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{\ell}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{\ell}}$ der Feder eines Feder-Masse-Pendels in Abhängigkeit von der Zeit $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{t}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{t}}$

Material 3: Periodendauer $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{T}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{T}}$ eines Feder-Masse-Pendels in Abhängigkeit von der Federkonstante $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{D}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{D}}$

$Formula: \boldsymbol{D}$ $Formula: \boldsymbol{D}$ in $Formula: \boldsymbol{\tfrac{\text{N}}{\text{m}}}$ $Formula: \boldsymbol{\tfrac{\text{N}}{\text{m}}}$	$Formula: \boldsymbol{T}$ $Formula: \boldsymbol{T}$ in $Formula: \boldsymbol{\text{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\text{s}}$

Bei den Messungen wurde stets das gleiche Massestück verwendet.

Material 4: Informationen zur Aufgabe 1.3 a)

Das hookesche Gesetz besagt:

Die von der Feder ausgeübte Kraft ist proportional zur Verlängerung der Feder.

Die dabei auftretende Proportionalitätskonstante ist die Federkonstante Formula: D mit der Einheit $Formula: 1 \; \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}.$ $Formula: 1 \; \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}.$

Feder-Masse-Pendel in der Ruhelage mit den auf das Massestück wirkenden Kräften

Zusammenhang von Kraft und Verlängerung der Feder

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1.1

Die Amplitude bezeichnet beim Feder-Masse-Pendel die maximale Auslenkung, die das Pendel aus seiner Ruhelage heraus erreicht.
Die Periodendauer hingegen beschreibt das Zeitintervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden gleichen Schwingungszuständen.
Eng damit verknüpft ist die Frequenz, welche angibt, wie viele solcher Perioden innerhalb einer Sekunde durchlaufen werden.
Wenn die Auslenkung des Pendels im zeitlichen Verlauf einem sinusförmigen Graphen folgt, wird von einer harmonischen Schwingung gesprochen.

Aus Material 2 lässt sich als größte Federlänge ca. $Formula: 63 \; \text{mm}$ $Formula: 63 \; \text{mm}$ und als kleinste Federlänge ca. $Formula: 32 \; \text{mm}$ $Formula: 32 \; \text{mm}$ ablesen. Die Amplitude ist die maximale Auslenkung des Pendels aus der Ruhelage, also die Hälfte der Differenz der größten und kleinsten Federlänge. Daraus folgt eine ungefähre Amplitude von:

$Formula: A=\dfrac{1}{2} \cdot (63 - 32) \; \mathrm{mm} = 15,5 \; \mathrm{mm}.$ $Formula: A=\dfrac{1}{2} \cdot (63 - 32) \; \mathrm{mm} = 15,5 \; \mathrm{mm}.$

Um die Periodendauer Formula: T zu bestimmen, ist es zur präzisen Bestimmung sinnvoll, mehrere Perioden zu betrachten. Daher wird die Dauer für beispielsweise Formula: 7,5 Perioden aus dem Diagramm in Material 2 abgelesen. Diese entspricht ca. $Formula: 4,7 \; \text{s}.$ $Formula: 4,7 \; \text{s}.$ Daraus folgt für die Dauer einer Periode (Periodendauer):

$Formula: T = \frac{4,7 \; \mathrm{s}}{7,5} \approx 0,63 \; \mathrm{s}.$ $Formula: T = \frac{4,7 \; \mathrm{s}}{7,5} \approx 0,63 \; \mathrm{s}.$

1.2

Anhand der Messdaten ergibt sich folgendes $Formula: D\text{-} T \text{-}$ $Formula: D\text{-} T \text{-}$ Diagramm:

Um den funktionalen Zusammenhang $Formula: T(D) = k \cdot \tfrac{1}{\sqrt{D}}$ $Formula: T(D) = k \cdot \tfrac{1}{\sqrt{D}}$ zu bestätigen, kann eine Potenzregression mit dem GTR durchgeführt werden. Mit Hilfe der Messwerte aus Material 3 ergibt sich damit:

$Formula: \begin{array}{rll} T(D) & \approx & 1,42 \; \mathrm{s} \cdot \left( \dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} \right)^{0,5} \cdot D^{-0,5} \\[5pt] & = & 1,42 \; \mathrm{s} \cdot \sqrt{\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{D}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} T(D) & \approx & 1,42 \; \mathrm{s} \cdot \left( \dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} \right)^{0,5} \cdot D^{-0,5} \\[5pt] & = & 1,42 \; \mathrm{s} \cdot \sqrt{\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{D}} \end{array}$

Daraus lässt sich die Konstante Formula: k zu etwa $Formula: 1,42 \; \text{ s} \cdot \sqrt{\tfrac{\text{N}}{\text{m}}}$ $Formula: 1,42 \; \text{ s} \cdot \sqrt{\tfrac{\text{N}}{\text{m}}}$ bestimmen.

Wichtig bei der Dokumentation des Vorgehens ist, dass die Federkonstante Formula: D als Argumentliste und die Periodendauer Formula: T als Funktionswertliste übergeben werden. Anschließend wird die entsprechende Potenzregression $Formula: T=k\cdot D^\text{e}$ $Formula: T=k\cdot D^\text{e}$ ausgewählt. Um den Zusammenhang nachzuweisen, muss $Formula: \text{e}\approx -0,5$ $Formula: \text{e}\approx -0,5$ sein. Zum Schluss muss das Ergebnis noch physikalisch eingeordnet werden, indem der Konstante Formula: k die richtigen Einheiten zugeordnet werden.

Mit Hilfe der in 1.2 b) hergeleiteten Konstanten Formula: k und der in der Aufgabenstellung gegebenen Gleichung berechnet sich die Masse Formula: m zu:

$Formula: \begin{array}{rll} k & = & 2\pi \cdot \sqrt{m} \\[5pt] m & = & \left( \dfrac{k}{2\pi} \right)^2 \\[5pt] m & \approx & \left( \dfrac{1,42}{2\pi} \right)^2 \approx 0,0510 \; \mathrm{kg} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} k & = & 2\pi \cdot \sqrt{m} \\[5pt] m & = & \left( \dfrac{k}{2\pi} \right)^2 \\[5pt] m & \approx & \left( \dfrac{1,42}{2\pi} \right)^2 \approx 0,0510 \; \mathrm{kg} \end{array}$

1.3

Die Gleichung $Formula: m \cdot g = D \cdot \Delta \ell$ $Formula: m \cdot g = D \cdot \Delta \ell$ beschreibt physikalisch ein Kräftegleichgewicht in der Ruhelage des Pendels.

Dabei repräsentiert der Term $Formula: m \cdot g$ $Formula: m \cdot g$ die nach unten wirkende Gewichtskraft des Massestücks, die der Kraft aus der Abbildung aus Material 4 entspricht.
$Formula: D \cdot \Delta \ell$ $Formula: D \cdot \Delta \ell$ entspricht hingegen der nach oben gerichteten Federkraft, die durch die Dehnung der Feder entsteht; diese entspricht der Kraft

In der Ruhelage sind beide Kräfte betragsgleich und entgegengesetzt gerichtet, wodurch das System im Gleichgewicht verharrt.

Für ein Pendel mit unbekannten Werten für Formula: m und Formula: D kann der Ortsfaktor Formula: g dennoch bestimmt werden, wenn die Zunahme der Federlänge $Formula: \Delta \ell$ $Formula: \Delta \ell$ und die Periodendauer Formula: T bekannt sind. Durch Einsetzen der Beziehung $Formula: \tfrac{m}{D} = \tfrac{\Delta \ell}{g}$ $Formula: \tfrac{m}{D} = \tfrac{\Delta \ell}{g}$ in die allgemeine Formel für die Periodendauer $Formula: T = 2\pi \cdot \sqrt{\tfrac{m}{D}}$ $Formula: T = 2\pi \cdot \sqrt{\tfrac{m}{D}}$ ergibt sich die folgende Gleichung, die nach Formula: g umgestellt werden kann:

$Formula: \begin{array}{rll} T & = & 2\pi \cdot \sqrt{\dfrac{\Delta \ell}{g}} \\[5pt] g & = & \dfrac{4\pi^2 \cdot \Delta \ell}{T^2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} T & = & 2\pi \cdot \sqrt{\dfrac{\Delta \ell}{g}} \\[5pt] g & = & \dfrac{4\pi^2 \cdot \Delta \ell}{T^2} \end{array}$

Hier können die gegebenen Messwerte $Formula: \Delta \ell = 34,8 \; \text{cm} = 0,348 \; \text{m}$ $Formula: \Delta \ell = 34,8 \; \text{cm} = 0,348 \; \text{m}$ und $Formula: T = 1,19 \; \text{s}$ $Formula: T = 1,19 \; \text{s}$ eingesetzt werden, daraus berechnet sich der Ortsfaktor Formula: g zu:

$Formula: g = \frac{4\pi^2 \cdot 0,348 \; \mathrm{m}}{(1,19 \; \mathrm{s})^2} \approx 9,702 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}.$ $Formula: g = \frac{4\pi^2 \cdot 0,348 \; \mathrm{m}}{(1,19 \; \mathrm{s})^2} \approx 9,702 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}.$

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Aufgabe 1 —Untersuchungen an Feder-Masse-Pendeln

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Material 1: Feder ohne Massestück und mit Massestück, jeweils in der Ruhelage

Material 2: Länge der Feder eines Feder-Masse-Pendels in Abhängigkeit von der Zeit

Material 3: Periodendauer eines Feder-Masse-Pendels in Abhängigkeit von der Federkonstante

Material 4: Informationen zur Aufgabe 1.3 a)

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Material 2: Länge $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{\ell}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{\ell}}$ der Feder eines Feder-Masse-Pendels in Abhängigkeit von der Zeit $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{t}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{t}}$

Material 3: Periodendauer $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{T}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{T}}$ eines Feder-Masse-Pendels in Abhängigkeit von der Federkonstante $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{D}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{D}}$