Aufgabe 3 — Elektroneninterferenz am Doppelspalt

Im Jahr 1923 postulierte Louis de Broglie, dass Materieteilchen auch Welleneigenschaften zugeordnet werden können. Im Jahr 1961 wurde von Claus Jönsson eine experimentelle Arbeit zur Beugung von Elektronen am Doppelspalt veröffentlicht.

3.1

Material 1 zeigt einen Ausschnitt aus der Originalveröffentlichung von C. Jönsson zur Beugung von Elektronen an einem Doppelspalt. In Material 2 ist eines der Messergebnisse abgebildet.

Erkläre, dass die Abbildung in Material 2 als Nachweis für die Welleneigenschaften von Elektronen gedeutet werden kann und gegen die Beschreibung von Elektronen als klassische Teilchen spricht.

6 BE

Für die Maxima bei der Interferenz am Doppelspalt gilt die Gleichung:

$Formula: n \cdot \lambda=g \cdot \sin \alpha_n$ $Formula: n \cdot \lambda=g \cdot \sin \alpha_n$

Dabei ist Formula: n die Ordnung des Maximums, $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ die Wellenlänge, Formula: g der Spaltmittenabstand und $Formula: \alpha_n$ $Formula: \alpha_n$ der Beugungswinkel des Maximums $Formula: n\text{-}$ $Formula: n\text{-}$ ter Ordnung.

$Formula: n \cdot \lambda=g \cdot \sin \alpha_n \quad \left| \, \begin{array}{ll} n \text{:} & \text{Ordnung des Maximums;} \\ \lambda \text{:} & \text{Wellenlänge;} \\ g \text{:} & \text{Spaltmittenabstand;} \\ \alpha_n \text{:} & \text{Beugungswinkel des Maximums } n\text{-ter Ordnung} \end{array} \right.$ $Formula: n \cdot \lambda=g \cdot \sin \alpha_n \quad \left| \, \begin{array}{ll} n \text{:} & \text{Ordnung des Maximums;} \\ \lambda \text{:} & \text{Wellenlänge;} \\ g \text{:} & \text{Spaltmittenabstand;} \\ \alpha_n \text{:} & \text{Beugungswinkel des Maximums } n\text{-ter Ordnung} \end{array} \right.$

Berechne den Beugungswinkel $Formula: \alpha_1$ $Formula: \alpha_1$ des Maximums 1. Ordnung, welcher unter den von C. Jönsson in Material 1 beschriebenen Versuchsbedingungen zu erwarten ist.

[Kontrollwert: $Formula: \alpha_1=0,00014 ^\circ$ $Formula: \alpha_1=0,00014 ^\circ$ ]

6 BE

3.2

C. Jönsson nennt in der Veröffentlichung einen Wert für die Beschleunigungsspannung, mit der die Elektronen auf eine einheitliche Geschwindigkeit Formula: v gebracht werden. Für die diesen Elektronen zugeordnete Wellenlänge $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ gilt die Gleichung:

$Formula: \lambda = \frac{h}{m \cdot v} \quad \left| \, \begin{array}{ll} h \text{:} & \text{plancksche Konstante;} \\ m \text{:} & \text{Elektronenmasse} \end{array} \right.$ $Formula: \lambda = \frac{h}{m \cdot v} \quad \left| \, \begin{array}{ll} h \text{:} & \text{plancksche Konstante;} \\ m \text{:} & \text{Elektronenmasse} \end{array} \right.$

Begründe schrittweise und kausal korrekt strukturiert, in welcher Weise sich das Interferenzmuster aus Material 2 verändert, wenn die Beschleunigungsspannung vergrößert wird.

6 BE

Begründe, dass das Interferenzmuster auf dem Leuchtschirm im Beugungsexperiment von C. Jönsson unscharf wird, wenn es mit einem Elektronenstrahl durchgeführt wird, in dem die Elektronen viele unterschiedliche Geschwindigkeiten haben.

4 BE

3.3

Das in Material 3 beschriebene Experiment von A. Tonomura ist eine Weiterentwicklung des Doppelspaltexperimentes mit Elektronen.

Interpretiere die in Material 3 gezeigten Messergebnisse hinsichtlich der Fragestellung, inwiefern diese Quanteneigenschaften der Elektronen zeigen.

4 BE

Erläutere Feynmans Aussage zur Quantentheorie, dass es unmöglich ist, Ereignisse genau vorherzusagen (Material 4), am Beispiel des Experimentes von Tonomura (Material 3).

4 BE

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Material 1: Ausschnitt aus „Elektroneninterferenzen an mehreren künstlich hergestellten Feinspalten“ von C. Jönsson

„Der aus solchen Überlegungen folgende naheliegende Versuch, Elektronenbeugung am künstlich hergestellten Spalt […] zu machen, stößt auf einige technische Schwierigkeiten, die seine Verwirklichung bisher verhindert haben. […] Hier wurden stets auf $Formula: 50 \; \text{kV}$ $Formula: 50 \; \text{kV}$ beschleunigte Elektronen verwendet, deren de Broglie-Wellenlänge etwa $Formula: 5 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{m}$ $Formula: 5 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{m}$ beträgt.“

(Die Rechtschreibung und die Verwendung von Fachbegriffen folgen dem Original.)

Die im Versuch von C. Jönsson verwendeten Spalte hatten eine Breite von jeweils $Formula: 0,50 \; \mu \mathrm{m}$ $Formula: 0,50 \; \mu \mathrm{m}$ und einen Spaltmittenabstand von $Formula: 2,0 \; \mu \mathrm{m}.$ $Formula: 2,0 \; \mu \mathrm{m}.$ Der Leuchtschirm, auf dem das Interferenzmuster in Material 2 beobachtet wurde, hatte einen Abstand von $Formula: 350 \; \mathrm{mm}$ $Formula: 350 \; \mathrm{mm}$ von den Spalten.

Material 2: Aufnahme des Leuchtschirms hinter dem Doppelspalt von C. Jönsson

Mehrere helle vertikale Streifen auf dunklem, leicht körnigem Hintergrund.

Die Abbildung zeigt das Interferenzmuster auf einem Leuchtschirm hinter einem mit Elektronen beschossenen Doppelspalt. Je mehr Elektronen an einem Ort des Schirms auftreffen, desto heller leuchtet er dort.

Hinweis: Diese Abbildung wurde stark vergrößert dargestellt und entspricht nicht den in der Aufgabe angegebenen Abmessungen.

Material 3: Elektronenbeugung am Doppelspalt von A. Tonomura

Im American Journal of Physics 57, 117 (1989) berichtet A. Tonomura von einem Experiment, bei dem Elektronen mit einer Beschleunigungsspannung von $Formula: 50\; \mathrm{kV}$ $Formula: 50\; \mathrm{kV}$ beschleunigt und auf eine wie ein Doppelspalt wirkende Anordnung gesendet wurden.

Es handelt sich um eine Weiterentwicklung des Experimentes von C. Jönsson, in der die Anzahl der Elektronen im Elektronenstrahl so weit reduziert wurde, dass sich mit großer Wahrscheinlichkeit zu jedem Zeitpunkt nur noch ein einziges Elektron zwischen Quelle und Schirm befindet.

schematischer Versuchsaufbau von A. Tonomura

Fünf schwarz-weiße Felder (a–e) mit zunehmend mehr weißen Punkten, von fast leer bis dicht körnig und leicht gestreift

Abb. a bis e: Aufgenommene Schirmbilder mit a) Formula: 11 Elektronen, b) Formula: 200 Elektronen, c) Formula: 6000 Elektronen, d) Formula: 40000 Elektronen, e) Formula: 140000 Elektronen

Material 4: Zitat von Richard Feynman zum Doppelspaltexperiment

„Wir möchten einen sehr wichtigen Unterschied zwischen der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik hervorheben. [...] Wir haben dabei stillschweigend vorausgesetzt, dass es in unserem experimentellen Aufbau (und selbst in dem bestmöglichen) unmöglich sein würde, genau vorherzusagen, was passiert. Wir können nur die Wahrscheinlichkeit vorhersagen! [...]

Wir wissen nicht, wie man vorhersagen könnte, was unter vorgegebenen Umständen passieren würde, und wir glauben heute, dass es unmöglich ist und dass das Einzige, was vorhergesagt werden kann, die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ereignisse ist.“

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3.1

Die in Material 2 gezeigte Abbildung lässt sich eindeutig als Nachweis für die Welleneigenschaften von Elektronen deuten, da sie ein charakteristisches Interferenzmuster aufweist. Ein solches Muster entsteht durch die Überlagerung von Wellenfronten, die am Doppelspalt gebeugt werden, ähnlich wie es von Lichtwellen am Doppelspalt bekannt ist. Würden Elektronen hingegen rein als klassische Teilchen beschrieben werden, wäre eine völlig andere Verteilung zu erwarten: Anstelle der abwechselnden Maxima und Minima würden die Teilchen lediglich zwei diskrete Streifen direkt hinter den beiden Spaltöffnungen bilden. Das Auftreten von Interferenzstreifen widerlegt somit das klassische Teilchenmodell für diesen Kontext.

Um den Beugungswinkel $Formula: \alpha_{1}$ $Formula: \alpha_{1}$ des 1. Maximums unter den Bedingungen von C. Jönsson (Material 1) zu bestimmen, wird die in der Aufgabenstellung angegebene Gleichung $Formula: n \cdot \lambda = g \cdot \sin(\alpha_{n})$ $Formula: n \cdot \lambda = g \cdot \sin(\alpha_{n})$ verwendet.

Aus Material 1 sind die Wellenlänge $Formula: \lambda = 5 \cdot 10^{-12}\;\text{m}$ $Formula: \lambda = 5 \cdot 10^{-12}\;\text{m}$ und der Spaltmittenabstand $Formula: g = 2,0 \cdot 10^{-6}\;\text{m}$ $Formula: g = 2,0 \cdot 10^{-6}\;\text{m}$ gegeben. Für das 1. Maximum ( Formula: n = 1 ) ergibt sich somit durch Umstellen der Formel nach $Formula: \alpha_1\text{:}$ $Formula: \alpha_1\text{:}$

$Formula: \begin{array}{rll} 1 \cdot \lambda & = & g \cdot \sin(\alpha_1) \\[5pt] \sin(\alpha_1) & = & \dfrac{1 \cdot 5 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{m}}{2,0 \cdot 10^{-6} \; \mathrm{m}} \\[5pt] \sin(\alpha_1) & = & 2,5 \cdot 10^{-6} \\[5pt] \alpha_1 & = & \arcsin(2,5 \cdot 10^{-6}) \\[5pt] \alpha_1 & \approx & 0,00014^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} 1 \cdot \lambda & = & g \cdot \sin(\alpha_1) \\[5pt] \sin(\alpha_1) & = & \dfrac{1 \cdot 5 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{m}}{2,0 \cdot 10^{-6} \; \mathrm{m}} \\[5pt] \sin(\alpha_1) & = & 2,5 \cdot 10^{-6} \\[5pt] \alpha_1 & = & \arcsin(2,5 \cdot 10^{-6}) \\[5pt] \alpha_1 & \approx & 0,00014^{\circ} \end{array}$

3.2

Eine Erhöhung der Beschleunigungsspannung führt dazu, dass die Elektronen eine größere kinetische Energie und damit eine höhere Geschwindigkeit erhalten. Gemäß der De-Broglie-Beziehung ( $Formula: \lambda = \tfrac{h}{m\cdot v}$ $Formula: \lambda = \tfrac{h}{m\cdot v}$ ) aus der Aufgabenstellung führt eine höhere Geschwindigkeit Formula: v zu einer kleineren Wellenlänge $Formula: \lambda.$ $Formula: \lambda.$

Für den Beugungswinkel $Formula: \alpha_{n}$ $Formula: \alpha_{n}$ gilt nach 3.1 b) $Formula: \sin (\alpha_n)=\tfrac{n \cdot \lambda}{g},$ $Formula: \sin (\alpha_n)=\tfrac{n \cdot \lambda}{g},$ somit führt eine kleinere Wellenlänge $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ auch zu kleineren Winkeln $Formula: \alpha_{n}.$ $Formula: \alpha_{n}.$ In der Folge rücken die Maxima auf dem Schirm enger zusammen, was bedeutet, dass das Interferenzbild horizontal gestaucht wird.

Verfügen die Elektronen im Elektronenstrahl über unterschiedliche Geschwindigkeiten, so besitzen sie nach De Broglie auch unterschiedliche Wellenlängen. Da jede Wellenlänge ihr eigenes Interferenzmuster erzeugt, überlagern sich diese Muster auf dem Schirm, wobei die Maxima der jeweiligen Interferenzmuster gegeneinander verschoben sind. Dadurch wirkt das zu beobachtende Gesamtbild bei vielen verschiedenen Geschwindigkeiten unscharf.

3.3

Die Messergebnisse von Akira Tonomura zeigen einzelne, punktförmige Auftreffpunkte der Elektronen, was zunächst für ein Teilchenverhalten spricht. Mit zunehmender Anzahl registrierter Elektronen wird jedoch immer mehr ein Interferenzmuster sichtbar. Das Ausbilden dieses Musters ist jedoch keine Teilchen-, sondern eine Welleneigenschaft. Dieses gemeinsame Auftreten von Teilcheneigenschaften und Welleneigenschaften ist ein fundamentales Merkmal von Quantenobjekten.

Richard Feynmans Aussage über die Unmöglichkeit, den genauen Auftreffort eines einzelnen Elektrons vorherzusagen, lässt sich an Tonomuras Experiment bestätigen. In der frühen Phase des Experiments (Abb. a) erscheinen die Treffer zufällig verteilt, was die Unvorhersehbarkeit des Einzelereignisses unterstreicht.

Dennoch lässt sich laut Feynman anhand des Versuchsaufbaus eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ermitteln. Bei einer sehr großen Anzahl von Treffern (Abb. e) stimmt die Häufigkeitsverteilung dieser Treffer mit der theoretischen Wahrscheinlichkeitsverteilung überein, wodurch sich auch diese Aussage Feynmans am Experiment Tonomuras bestätigen lässt. Zusammenfassend lässt sich nie der genaue Auftreffort bestimmen, sondern lediglich Wahrscheinlichkeiten für Auftrefforte, was Feynmans Aussage bestätigt.

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