Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion Formula: h sowie den Graphen ihrer ersten Ableitungsfunktion Formula: h'.

Koordinatensystem mit zwei Kurven: eine durchgezogene und eine gestrichelte, die sich bei x = 2 auf der x-Achse treffen.

Abbildung 1

(1)

Begründe, dass Graph $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ der Graph von Formula: h ist.

(2)

Es gilt:

$Formula: \displaystyle\int_{-2}^{2}\bigl(h(x)-h'(x)\bigr)\,\mathrm{d}x\lt12.$ $Formula: \displaystyle\int_{-2}^{2}\bigl(h(x)-h'(x)\bigr)\,\mathrm{d}x\lt12.$

Veranschauliche diese Aussage grafisch durch geeignete Eintragungen in Abbildung 1.

(2 + 3 Punkte)

Der Graph der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion Formula: g mit Formula: g(x)=x^3-3x wird mit bezeichnet.

(1)

Weise nach, dass Formula: G einen Hochpunkt mit der Formula: x -Koordinate Formula: -1 hat.

(2)

Formula: G ist symmetrisch zum Koordinatenursprung.

Berechne den Abstand zwischen dem Hoch- und dem Tiefpunkt von Formula: G.

(2 + 3 Punkte)

Gegeben ist das gleichschenklige Dreieck Formula: OAB mit den Eckpunkten $Formula: O(0\mid0\mid0),$ $Formula: O(0\mid0\mid0),$ $Formula: A(8\mid6\mid0)$ $Formula: A(8\mid6\mid0)$ und $Formula: B(0\mid0\mid10).$ $Formula: B(0\mid0\mid10).$

(1)

Zeige, dass Formula: OAB im Punkt rechtwinklig ist und die Länge der Katheten $Formula: 10\;\mathrm{LE}$ $Formula: 10\;\mathrm{LE}$ beträgt.

(2)

Betrachtet wird die Pyramide Formula: OABS mit der Spitze Formula: S. Die Pyramide hat das Volumen $Formula: 100\;\mathrm{VE}$ $Formula: 100\;\mathrm{VE}$ und erfüllt folgende Eigenschaft: $Formula: \overrightarrow{OS}\circ\overrightarrow{OA}=0$ $Formula: \overrightarrow{OS}\circ\overrightarrow{OA}=0$ und $Formula: \overrightarrow{OS}\circ\overrightarrow{OB}=0.$ $Formula: \overrightarrow{OS}\circ\overrightarrow{OB}=0.$

Bestimme $Formula: \left|\overrightarrow{OS}\right|.$ $Formula: \left|\overrightarrow{OS}\right|.$

(3 + 2 Punkte)

Betrachtet wird das Dreieck Formula: ABC mit den Eckpunkten $Formula: A(0\mid0\mid0),$ $Formula: A(0\mid0\mid0),$ $Formula: B(6\mid2\mid3)$ $Formula: B(6\mid2\mid3)$ und $Formula: C(t\mid-3t\mid0),$ $Formula: C(t\mid-3t\mid0),$ wobei Formula: t eine positive reelle Zahl ist.

(1)

Zeige, dass das Dreieck Formula: ABC in einen rechten Winkel hat.

(2)

Das Dreieck Formula: ABC ist gleichschenklig.

Berechne Formula: t.

(2 + 3 Punkte)

Die Sendungen eines Onlinehändlers werden zu $Formula: 40 \, \%$ $Formula: 40 \, \%$ mit dem Versandunternehmen Formula: A verschickt. $Formula: 8 \, \%$ $Formula: 8 \, \%$ der Sendungen werden mit dem Versandunternehmen verschickt und verspätet zugestellt.

$Formula: 30 \, \%$ $Formula: 30 \, \%$ der Sendungen, die nicht mit dem Versandunternehmen Formula: A verschickt werden, werden verspätet zugestellt.

Das abgebildete Baumdiagramm stellt den Sachverhalt dar.

Wahrscheinlichkeitsbaum: A (40%) und Ā mit Verzweigungen zu V und V̄; Angaben 8% und 30%.

(1)

Betrachtet werden die im Baumdiagramm mit Formula: x und Formula: y bezeichneten Anteile.

Ermittle den Anteil Formula: x und weise nach, dass $Formula: y = 18 \, \%$ $Formula: y = 18 \, \%$ gilt.

(2)

Eine zufällig ausgewählte Sendung des Onlinehändlers wird verspätet zugestellt.

Untersuche, ob die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Sendung nicht mit dem Versandunternehmen Formula: A verschickt wurde, größer als $Formula: 50 \, \%$ $Formula: 50 \, \%$ ist.

(3 + 2 Punkte)

Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße Formula: X mit dem Erwartungswert $Formula: \mu=20$ $Formula: \mu=20$ und der Standardabweichung $Formula: \sigma=2.$ $Formula: \sigma=2.$

Bestimme einen parameterfreien Term, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Formula: X=21 berechnet werden kann.

(5 Punkte)

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(1)

Es gibt Stellen, an denen einerseits Graph $Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$ Punkte mit negativer Steigung besitzt, andererseits Graph $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ keine Punkte unterhalb der Formula: x -Achse hat.

(2)

Koordinatensystem mit zwei Kurven und schraffierter Fläche zwischen ihnen.

(1)

Für die ersten beiden Ableitungen von Formula: f gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(x)&=&3x^2-3 \\[5pt] f''(x)&=&6x \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(x)&=&3x^2-3 \\[5pt] f''(x)&=&6x \end{array}$

Anwendung der notwendigen Bedingungen Formula: f'(x)=0 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(x)&=&0 \\[5pt] 3x^2-3&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+3 \\[5pt] 3x^2&=&3 &\quad\scriptsize\mid\;:3 \\[5pt] x^2&=&1 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] x_1&=&-1 \\[5pt] x_2&=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(x)&=&0 \\[5pt] 3x^2-3&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+3 \\[5pt] 3x^2&=&3 &\quad\scriptsize\mid\;:3 \\[5pt] x^2&=&1 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] x_1&=&-1 \\[5pt] x_2&=&1 \end{array}$

Überprüfen der hinreichenden Bedingung für Formula: x=-1 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f''(-1)&=&6\cdot(-1)\\[5pt] &=&-6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f''(-1)&=&6\cdot(-1)\\[5pt] &=&-6 \end{array}$

Da $Formula: f''(-1)\lt0$ $Formula: f''(-1)\lt0$ gilt, hat Formula: G an dieser Stelle einen Hochpunkt.

(2)

Für die $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Koordinate des Hochpunkts gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(-1)&=&(-1)^3-3\cdot(-1)\\[5pt] &=&-1+3 \\[5pt]&=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(-1)&=&(-1)^3-3\cdot(-1)\\[5pt] &=&-1+3 \\[5pt]&=&2 \end{array}$

Der Abstand von $Formula: H(-1\mid2)$ $Formula: H(-1\mid2)$ zum Koordinatenursprung ist somit die Hälfte der Strecke zwischen den Extrempunkten, da der Graph von Formula: f punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left\vert\overline{HT}\right\vert&=&2\cdot\sqrt{(-1)^2+2^2} \\[5pt] &=&2\sqrt{5} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left\vert\overline{HT}\right\vert&=&2\cdot\sqrt{(-1)^2+2^2} \\[5pt] &=&2\sqrt{5} \end{array}$

(1)

$Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{OA}\circ\overrightarrow{OB}&=&\pmatrix{8\\6\\0}\circ\pmatrix{0\\0\\10} \\[5pt] &=&0+0+0 \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{OA}\circ\overrightarrow{OB}&=&\pmatrix{8\\6\\0}\circ\pmatrix{0\\0\\10} \\[5pt] &=&0+0+0 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Somit ist Formula: OAB im Punkt rechtwinklig. Da ein Dreieck wegen der Innenwinkelsumme von $Formula: 180^\circ$ $Formula: 180^\circ$ nur maximal einen rechten Winkel besitzen kann, bedeutet das, dass die beiden Katheten in aufeinandertreffen. Für deren Länge gilt somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} \left\vert\overrightarrow{OB}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{0\\0\\10}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{10^2} \\[5pt] &=&10\;[\text{LE}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \left\vert\overrightarrow{OB}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{0\\0\\10}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{10^2} \\[5pt] &=&10\;[\text{LE}] \end{array}$

(2)

Der Betrag $Formula: \left|\overrightarrow{OS}\right|$ $Formula: \left|\overrightarrow{OS}\right|$ gibt die Höhe der Pyramide an. Somit folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot\left\vert\overrightarrow{O S}\right\vert&=&100 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\dfrac{6}{100} \\[5pt] \left\vert\overrightarrow{O S}\right\vert&=&6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot\left\vert\overrightarrow{O S}\right\vert&=&100 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\dfrac{6}{100} \\[5pt] \left\vert\overrightarrow{O S}\right\vert&=&6 \end{array}$

(1)

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC}&=&\pmatrix{6\\2\\3} \circ\pmatrix{t\\-3t\\0} \\[5pt]&=&6t-6t \\[5pt]&=&0\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC}&=&\pmatrix{6\\2\\3} \circ\pmatrix{t\\-3t\\0} \\[5pt]&=&6t-6t \\[5pt]&=&0\end{array}$

Somit liegt in Formula: A ein rechter Winkel vor.

(2)

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \Bigl\vert\overrightarrow{AB}\Bigr\vert&=&\Big\vert\overrightarrow{AC}\Big\vert \\[5pt] \sqrt{6^2+2^2+3^2}&=&\sqrt{t^2+(-3t)^2} \\[5pt] \sqrt{49}&=&\sqrt{10}\cdot t &\quad\scriptsize\mid\;:\sqrt{10} \\[5pt] \dfrac{7}{\sqrt{10}}&=&t \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \Bigl\vert\overrightarrow{AB}\Bigr\vert&=&\Big\vert\overrightarrow{AC}\Big\vert \\[5pt] \sqrt{6^2+2^2+3^2}&=&\sqrt{t^2+(-3t)^2} \\[5pt] \sqrt{49}&=&\sqrt{10}\cdot t &\quad\scriptsize\mid\;:\sqrt{10} \\[5pt] \dfrac{7}{\sqrt{10}}&=&t \end{array}$

(1)

Anteil $Formula: \boldsymbol{x}$ $Formula: \boldsymbol{x}$ ermitteln

$Formula: x=\dfrac{0{,}08}{0{,}4}=0{,}2$ $Formula: x=\dfrac{0{,}08}{0{,}4}=0{,}2$

Anteil $Formula: \boldsymbol{y}$ $Formula: \boldsymbol{y}$ ermitteln

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&(1-0{,}4) \cdot 0{,}3 \\[5pt] &=&0{,}18 \\[5pt] &=&18\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&(1-0{,}4) \cdot 0{,}3 \\[5pt] &=&0{,}18 \\[5pt] &=&18\,\% \end{array}$

(2)

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P_V\big(\overline{A}\big)&=&\dfrac{P\big(V\cap \overline{A}\big)}{P(V)} \\[5pt] &=&\dfrac{0{,}18}{0{,}08+0{,}18} \\[5pt] &=&\dfrac{0{,}18}{0{,}26}\gt\dfrac{1}{2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P_V\big(\overline{A}\big)&=&\dfrac{P\big(V\cap \overline{A}\big)}{P(V)} \\[5pt] &=&\dfrac{0{,}18}{0{,}08+0{,}18} \\[5pt] &=&\dfrac{0{,}18}{0{,}26}\gt\dfrac{1}{2} \end{array}$

Somit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die verspätete Sendung nicht mit dem Versandunternehmen $Formula: \text{A}$ $Formula: \text{A}$ verschickt wurde, größer als $Formula: 50\,\%.$ $Formula: 50\,\%.$

Es gilt $Formula: \mu=n\cdot p$ $Formula: \mu=n\cdot p$ und $Formula: \sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}.$ $Formula: \sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}.$ Mit den Werten aus der Aufgabenstellung ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sigma&=&2 \\[5pt] \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} &=& 2\\[5pt] \sqrt{20\cdot (1-p)}&=&2 &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt] 20\cdot (1-p)&=&4 &\quad\scriptsize\mid\;:20 \\[5pt] 1-p&=&0,2 &\quad\scriptsize\mid\;+p \\[5pt] 1&=&0,2 + p &\quad\scriptsize\mid\;-0,2 \\[5pt] 0,8&=&p \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sigma&=&2 \\[5pt] \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} &=& 2\\[5pt] \sqrt{20\cdot (1-p)}&=&2 &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt] 20\cdot (1-p)&=&4 &\quad\scriptsize\mid\;:20 \\[5pt] 1-p&=&0,2 &\quad\scriptsize\mid\;+p \\[5pt] 1&=&0,2 + p &\quad\scriptsize\mid\;-0,2 \\[5pt] 0,8&=&p \end{array}$

Einsetzen in den Erwartungswert liefert für Formula: n:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}\mu&=&20 \\[5pt] n\cdot p&=&20 \\[5pt] 0,8n &=&20 &\quad\scriptsize\mid\;:0,8 \\[5pt] n&=&25 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}\mu&=&20 \\[5pt] n\cdot p&=&20 \\[5pt] 0,8n &=&20 &\quad\scriptsize\mid\;:0,8 \\[5pt] n&=&25 \end{array}$

Der gesuchte parameterfreie Term für die Wahrscheinlichkeit ist somit gegeben durch $Formula: \tbinom{25}{21}\cdot0,8^{21}\cdot0,2^4.$ $Formula: \tbinom{25}{21}\cdot0,8^{21}\cdot0,2^4.$

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