Analysis 2

Gegeben ist die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=-\tfrac{1}{3}\cdot x^3+3\cdot x.$ $Formula: f(x)=-\tfrac{1}{3}\cdot x^3+3\cdot x.$

In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion Formula: f dargestellt.

Koordinatensystem mit dem Graphen einer Funktion, der die x-Achse bei −3, 0 und 3 schneidet.

Abbildung 1

(1)

Begründe anhand des Funktionsterms von Formula: f, dass der Graph von punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist.

(2)

Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion Formula: f und der Formula: x -Achse eingeschlossen wird.

(1 + 5 Punkte)

In den folgenden Aufgabenteilen b) bis d) geht es um Geraden, die durch den Punkt $Formula: S\bigl(3\mid f(3)\bigr)$ $Formula: S\bigl(3\mid f(3)\bigr)$ verlaufen.

(1)

Der Graph der Funktion Formula: t_1 ist die Tangente an den Graphen von Formula: f im Punkt $Formula: S\bigl(3\mid f(3)\bigr).$ $Formula: S\bigl(3\mid f(3)\bigr).$ Sie schneidet den Graphen von im Bereich $Formula: x\lt3$ $Formula: x\lt3$ nur im Punkt $Formula: Q\bigl(x_Q\mid f(x_Q)\bigr).$ $Formula: Q\bigl(x_Q\mid f(x_Q)\bigr).$

Ermittle rechnerisch eine Funktionsgleichung von Formula: t_1 und gib einen Ansatz zur Bestimmung der Schnittstelle Formula: x_Q an.

[Zur Kontrolle: $Formula: t_1(x)=-6\cdot x+18.$ $Formula: t_1(x)=-6\cdot x+18.$ ]

(2)

Es ist Formula: x_Q=-6.

In Abbildung 2 sind der Graph von Formula: f, der Graph von Formula: t_1 und das schraffierte Flächenstück Formula: A dargestellt.

Schraffierte Fläche zwischen dem Graphen von f(x) und der Tangente t₁(x) von Q bis S.

Abbildung 2

Gib ein Integral an, mit dem der Flächeninhalt des schraffierten Flächenstücks Formula: A berechnet werden kann.

(3)

In der folgenden Abbildung 3 sind der Graph von Formula: f, der Graph von Formula: t_1 und die vertikale Strecke Formula: d dargestellt. Die Strecke verbindet die Punkte der Graphen von und an der Stelle Formula: x=1. Die Länge dieser Strecke ist der vertikale Abstand der Graphen von und an der Stelle

Koordinatensystem mit einer Kurve, einer fallenden Geraden und den markierten Punkten Q und S.

Abbildung 3

(i)

Berechne den vertikalen Abstand der Graphen von Formula: t_1 und Formula: f an der Stelle Formula: x=1.

(ii)

Berechne diejenige Stelle im Intervall Formula: [-6;3], an der der vertikale Abstand der Graphen von Formula: t_1 und Formula: f maximal ist.

(4 + 2 + 5 Punkte)

Es gibt eine Gerade, die durch den Punkt $Formula: S\bigl(3\mid f(3)\bigr)$ $Formula: S\bigl(3\mid f(3)\bigr)$ verläuft und Tangente an den Graphen von Formula: f in einem von verschiedenen Punkt $Formula: B\bigl(x_B\mid f(x_B)\bigr)$ $Formula: B\bigl(x_B\mid f(x_B)\bigr)$ ist. Diese Gerade ist der Graph der Funktion Formula: t_2. In der folgenden Abbildung 4 sind der Graph von und der Graph von dargestellt.

Koordinatensystem mit einer kubischen Funktion und der Tangente t₂ durch die Punkte B und S.

Abbildung 4

(1)

Um Formula: x_B zu bestimmen, wird folgender Ansatz gewählt:

$Formula: \dfrac{f(3)-f(x_B)}{3-x_B}=f'(x_B).$ $Formula: \dfrac{f(3)-f(x_B)}{3-x_B}=f'(x_B).$

Erläutere diesen Ansatz.

(2)

Der folgende Term dient zur Berechnung des Inhalts eines Flächenstücks $Formula: C\colon$ $Formula: C\colon$

$Formula: \displaystyle\int_{x_B}^{3}\bigl(f(x)-t_2(x)\bigr)\,\mathrm{d}x-\displaystyle\int_{0}^{3}f(x)\,\mathrm{d}x.$ $Formula: \displaystyle\int_{x_B}^{3}\bigl(f(x)-t_2(x)\bigr)\,\mathrm{d}x-\displaystyle\int_{0}^{3}f(x)\,\mathrm{d}x.$

Schraffiere dieses Flächenstück Formula: C in Abbildung 4.

(3 + 2 Punkte)

Gegeben ist die lineare Funktion Formula: g mit $Formula: g(x)=a\cdot(x-3)=a\cdot x-3a,$ $Formula: g(x)=a\cdot(x-3)=a\cdot x-3a,$ $Formula: a\in\mathbb{R}.$ $Formula: a\in\mathbb{R}.$

(1)

Zeige rechnerisch, dass der Graph von Formula: g für alle Werte von Formula: a durch den Punkt $Formula: S\bigl(3\mid f(3)\bigr)$ $Formula: S\bigl(3\mid f(3)\bigr)$ verläuft.

(2)

Ein CAS/MMS liefert für die Gleichung Formula: f(x)=g(x) die Lösungen Formula: x_1, Formula: x_2 und Formula: x_3 mit Formula: x_1=3, $Formula: x_2=\tfrac{-3-\sqrt{9-12a}}{2}$ $Formula: x_2=\tfrac{-3-\sqrt{9-12a}}{2}$ und $Formula: x_3=\tfrac{-3+\sqrt{9-12a}}{2}.$ $Formula: x_3=\tfrac{-3+\sqrt{9-12a}}{2}.$

Bestimme rechnerisch einen Wert von Formula: a, für den sich die Graphen von Formula: f und Formula: g außer an der Stelle Formula: x=3 nur noch an einer weiteren Stelle schneiden.

(1 + 2 Punkte)

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(1)

Es gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} f(-x)&=&-\dfrac{1}{3} \cdot (-x)^3+3 \cdot (-x) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} \cdot x^3-3 \cdot x \\[5pt] &=&-f(x) \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f(-x)&=&-\dfrac{1}{3} \cdot (-x)^3+3 \cdot (-x) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} \cdot x^3-3 \cdot x \\[5pt] &=&-f(x) \end{array}$

Somit ist der Graph von Formula: f punktsymmetrisch zum Ursprung.

(2)

Die Nullstellen von Formula: f können direkt als Formula: x=-3, x=0 und Formula: x=3 abgelesen werden. Da der Graph von punktsymmetrisch zum Ursprung ist, gilt für die gesuchte Fläche:

$Formula: \begin{array}{rlll} 2\cdot\displaystyle\int_0^3 f(x)\;\mathrm{d}x &=&2\cdot\displaystyle\int_0^3\left( -\dfrac{1}{3} x^3+3 x\right) \;\mathrm{d}x \\[5pt] &=&2\cdot\left[-\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{3}{2}x^2\right]_0^3 \\[5pt] &=&2\cdot\left(\left(-\dfrac{1}{12}\cdot3^4+\dfrac{3}{2}\cdot3^2\right)-\left(-\dfrac{1}{12}\cdot0^4+\dfrac{3}{2}\cdot0^2\right)\right) \\[5pt] &=&\dfrac{27}{2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2\cdot\displaystyle\int_0^3 f(x)\;\mathrm{d}x &=&2\cdot\displaystyle\int_0^3\left( -\dfrac{1}{3} x^3+3 x\right) \;\mathrm{d}x \\[5pt] &=&2\cdot\left[-\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{3}{2}x^2\right]_0^3 \\[5pt] &=&2\cdot\left(\left(-\dfrac{1}{12}\cdot3^4+\dfrac{3}{2}\cdot3^2\right)-\left(-\dfrac{1}{12}\cdot0^4+\dfrac{3}{2}\cdot0^2\right)\right) \\[5pt] &=&\dfrac{27}{2} \end{array}$

(1)

$Formula: \begin{array}{rlll} f'(3)&=&-3^2+3 \\[5pt] &=&-6 \end{array}$

Einsetzen der Koordinaten $Formula: (3\mid f(3))=(3\mid0)$ $Formula: (3\mid f(3))=(3\mid0)$ in die allgemeine Tangentengleichung Formula: t_1(x)=-6x+b liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&-6\cdot3+b &\quad\scriptsize\mid\;+18 \\[5pt] 18&=&b \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&-6\cdot3+b &\quad\scriptsize\mid\;+18 \\[5pt] 18&=&b \end{array}$

Damit ergibt sich Formula: t_1(x)=-6x+18. Ein Ansatz zur Bestimmung der Schnittstelle Formula: x_Q ist Auflösen von Formula: t_1(x)=f(x) nach und Ablesen des Ergebnisses für das gilt $Formula: x\lt3.$ $Formula: x\lt3.$

(2)

$Formula: \displaystyle\int_{-6}^3\left(t_1(x)-f(x)\right)\;\mathrm{d} x$ $Formula: \displaystyle\int_{-6}^3\left(t_1(x)-f(x)\right)\;\mathrm{d} x$

(3)

(i)

$Formula: \begin{array}{rlll} t_1(1)-f(1)&=&-6\cdot1+18-\left(-\dfrac{1}{3}\cdot1^3+3\cdot1\right) \\[5pt] &=&\dfrac{28}{3}\;[\text{LE}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} t_1(1)-f(1)&=&-6\cdot1+18-\left(-\dfrac{1}{3}\cdot1^3+3\cdot1\right) \\[5pt] &=&\dfrac{28}{3}\;[\text{LE}] \end{array}$

(ii)

An den Grenzen des Intervalls beträgt der Abstand der beiden Funktionen Null, innerhalb liegt der Graph von Formula: t_1 immer über dem von Formula: f. Somit wird der Abstand an einer Stelle Formula: x durch die folgende Funktion gegeben:

$Formula: \begin{array}{rlll} d(x)&=&t_1(x)-f(x) \\[5pt] &=&-6x+18-\left(-\dfrac{1}{3}x^3+3x\right) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} x^3-9 x+18 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} d(x)&=&t_1(x)-f(x) \\[5pt] &=&-6x+18-\left(-\dfrac{1}{3}x^3+3x\right) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} x^3-9 x+18 \end{array}$

Für die erste Ableitung gilt:

Formula: d'(x)=x^2-9

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: d'(x)=0 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} d'(x)&=&0 \\[5pt] x^2-9&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+9 \\[5pt] x^2&=&9 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] x_{1;2}&=&\pm3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} d'(x)&=&0 \\[5pt] x^2-9&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+9 \\[5pt] x^2&=&9 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] x_{1;2}&=&\pm3 \end{array}$

Da Formula: x_1=3 einer der beiden Randwerte ist, liegt nur Formula: x_2=-3 im Inneren des Intervalls und der vertikale Abstand ist somit an dieser Stelle maximal.

(1)

Die linke Seite gibt die Steigung der Geraden mit dem Differenzenquotienten durch die beiden gegebenen Punkte an. Da Formula: t_2 die Tangente an den Graphen von Formula: f bei Formula: x_B ist, entspricht die Steigung exakt Formula: f'(x_B).

(2)

Koordinatensystem mit Graph einer Funktion und Tangente; eine Fläche zwischen beiden ist schraffiert.

(1)

$Formula: g(3)=a \cdot(3-3)=0=f(3)$ $Formula: g(3)=a \cdot(3-3)=0=f(3)$

(2)

Wenn der Wert unter der Wurzel Null ergibt, gilt Formula: x_1=x_2. Damit folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 9-12 a&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+12a \\[5pt] 9&=&12a &\quad\scriptsize\mid\;:12 \\[5pt] \dfrac{3}{4}&=&a \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 9-12 a&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+12a \\[5pt] 9&=&12a &\quad\scriptsize\mid\;:12 \\[5pt] \dfrac{3}{4}&=&a \end{array}$

Für $Formula: a=\tfrac{3}{4}$ $Formula: a=\tfrac{3}{4}$ schneiden sich die beiden Graphen somit an nur einer weiteren Stelle.

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