Vektorielle Geometrie
In einem Koordinatensystem ist ein Quader mit den Eckpunkten 
, 
und 
gegeben (vgl. Abbildung 1).
Die Fläche 
ist quadratisch.
Abbildung 1
Der Ortsvektor des Punktes 
ist durch 
gegeben. Zeichne den Punkt in Abbildung 1 ein.
Genau eine der folgenden Gleichungen 
bis 
beschreibt eine Symmetrieebene des Quaders.
Entscheide, welche Gleichung dies ist, und begründe für eine der anderen Gleichungen, dass die durch sie beschriebene Ebene keine Symmetrieebene des Quaders ist.
Der Punkt 
ist die Spitze der Pyramide 
(vgl. Abbildung 2).
Abbildung 2
Berechne die Größe des Winkels, den die Kanten 
und 
einschließen.
Gib eine Gleichung der Gerade an, die durch die Punkte 
und 
verläuft.
Zeige, dass 
nicht auf dieser Gerade liegt.
Für 
werden die Pyramiden 
mit Spitze 
und 
mit Spitze 
betrachtet.
Bestimme den Wert von 
für den die Summe der Volumen der beiden zugehörigen Pyramiden 
des Volumens des Quaders beträgt.
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Gleichung 
beschreibt eine Symmetrieebene des Quaders.
Die zu Gleichung gehörende Ebene schneidet die Kante 
nicht in deren Mittelpunkt.
Die Vektoren 
und 
berechnen sich mit:
![Formula: \begin{array}{rcll}
\overrightarrow{AS}&=& \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OA} \\[5pt]
&=& \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \\[5pt]
&=& \left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/2dfbe1d79bdf22c464962a405e508023acf59009ccbc78f7fa0cc9d39d987061_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rcll}
\overrightarrow{AS}&=& \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OA} \\[5pt]
&=& \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \\[5pt]
&=& \left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/2dfbe1d79bdf22c464962a405e508023acf59009ccbc78f7fa0cc9d39d987061_dark.svg)
![Formula: \begin{array}{rcll}
\overrightarrow{AB}&=& \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \\[5pt]
&=& \left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \\[5pt]
&=& \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c6d90f2304a911904e15e9b4815c98ad7f97be8ad7b11a2710a525195e7329e5_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rcll}
\overrightarrow{AB}&=& \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \\[5pt]
&=& \left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \\[5pt]
&=& \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c6d90f2304a911904e15e9b4815c98ad7f97be8ad7b11a2710a525195e7329e5_dark.svg)
Damit folgt für die Länge der Vektoren:
![Formula: \begin{array}{rcll}
\left| \overrightarrow{AS} \right| &=& \left| \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right| \\[5pt]
&=& \sqrt{ (-2)^2+2^2+3^2} \\[5pt]
&=& \sqrt{17}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/f0d9d0c1eae819705e51159730bbb9d9ce72cf510e9ad655000c0389812e093f_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rcll}
\left| \overrightarrow{AS} \right| &=& \left| \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right| \\[5pt]
&=& \sqrt{ (-2)^2+2^2+3^2} \\[5pt]
&=& \sqrt{17}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/f0d9d0c1eae819705e51159730bbb9d9ce72cf510e9ad655000c0389812e093f_dark.svg)
![Formula: \begin{array}{rcll}
\left| \overrightarrow{AB} \right| &=& \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[5pt]
&=& \sqrt{ 0^2+4^2+0^2} \\[5pt]
&=& 4
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/8e07de03256d2653f82b17ae0c787ae7a6fc533f2aa8c99f20860b6be548717d_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rcll}
\left| \overrightarrow{AB} \right| &=& \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[5pt]
&=& \sqrt{ 0^2+4^2+0^2} \\[5pt]
&=& 4
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/8e07de03256d2653f82b17ae0c787ae7a6fc533f2aa8c99f20860b6be548717d_dark.svg)
Für das Skalarprodukt gilt:
![Formula: \begin{array}{rcll}
\overrightarrow{AS} \circ \overrightarrow{AB} &=& \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt]
&=& (-2) \cdot 0 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 0 \\[5pt]
&=& 8
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/523122dd3f728a3b28100d9e69897543e845511eb64432cb10c7aa966151b884_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rcll}
\overrightarrow{AS} \circ \overrightarrow{AB} &=& \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt]
&=& (-2) \cdot 0 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 0 \\[5pt]
&=& 8
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/523122dd3f728a3b28100d9e69897543e845511eb64432cb10c7aa966151b884_dark.svg)
Damit ergibt sich:
![Formula: \begin{array}{rcll}\cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{AS}\circ\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AS}\right|\cdot\left|\overrightarrow{AB}\right|}\\[5pt] \cos(\alpha) &=&\dfrac{8}{\sqrt{17} \cdot 4} &\quad\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt]
\alpha &=&\cos^{-1}\left(\dfrac{2}{\sqrt{17}}\right) \\[5pt]
\alpha &\approx&61^\circ
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/60169b63da20744859e1b4e89d1e4e28477896c79340b1a34c6f7645ae36f343_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rcll}\cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{AS}\circ\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AS}\right|\cdot\left|\overrightarrow{AB}\right|}\\[5pt] \cos(\alpha) &=&\dfrac{8}{\sqrt{17} \cdot 4} &\quad\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt]
\alpha &=&\cos^{-1}\left(\dfrac{2}{\sqrt{17}}\right) \\[5pt]
\alpha &\approx&61^\circ
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/60169b63da20744859e1b4e89d1e4e28477896c79340b1a34c6f7645ae36f343_dark.svg)
Geradengleichung angeben
Lage zeigen
Das Einsetzen von in die Geradengleichung liefert:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+\mathrm{t} \cdot\left(\begin{array}{c}-4 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)\\[5pt]
\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{l}4 -4t \\ 4t \\ 5t\end{array}\right)
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/805268c44e905516b2210ca43cbe9aad222d9c81fdde00e49c3b423e977fa8f1_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+\mathrm{t} \cdot\left(\begin{array}{c}-4 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)\\[5pt]
\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{l}4 -4t \\ 4t \\ 5t\end{array}\right)
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/805268c44e905516b2210ca43cbe9aad222d9c81fdde00e49c3b423e977fa8f1_dark.svg)
Die erste und zweite Zeile liefern 
Einsetzen in die dritte Zeile liefert dann allerdings 
was nicht stimmt. Somit besitzt die Gleichung keine Lösung und liegt nicht auf der Geraden.
Für das Volumen des Quaders gilt:
Die Summe des Volumens der Pyramiden beträgt somit 
Es folgt:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h_1 +\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h_2 &=&20 \\[5pt]
\dfrac{1}{3} \cdot 4^2 \cdot(3-k)+\dfrac{1}{3} \cdot 4^2 \cdot(5-(3+k))&=&20 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\dfrac{3}{16} \\[5pt]
3-k+5-(3+k)&=&\dfrac{30}{8} &\quad\scriptsize\mid\;-5 \\[5pt]
-2k&=&-\dfrac{10}{8} &\quad\scriptsize\mid\;:(-2) \\[5pt]
k&=&\dfrac{5}{8}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/3be8fe436d5a53a5311fcb289daebc5ca4c000860e1b7064b655c05b0ee926ec_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h_1 +\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h_2 &=&20 \\[5pt]
\dfrac{1}{3} \cdot 4^2 \cdot(3-k)+\dfrac{1}{3} \cdot 4^2 \cdot(5-(3+k))&=&20 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\dfrac{3}{16} \\[5pt]
3-k+5-(3+k)&=&\dfrac{30}{8} &\quad\scriptsize\mid\;-5 \\[5pt]
-2k&=&-\dfrac{10}{8} &\quad\scriptsize\mid\;:(-2) \\[5pt]
k&=&\dfrac{5}{8}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/3be8fe436d5a53a5311fcb289daebc5ca4c000860e1b7064b655c05b0ee926ec_dark.svg)