Aufgabe 2 — Zyklotrone

Zyklotrone sind Teilchenbeschleuniger, die sowohl zu Forschungszwecken als auch für medizinische Anwendungen eingesetzt werden.

Geladene Teilchen können in homogenen elektrischen Feldern beschleunigt werden.

Berechne die Geschwindigkeit, die ein zunächst ruhendes Proton nach Durchlaufen einer Beschleunigungsspannung von $Formula: 5\;\mathrm{kV}$ $Formula: 5\;\mathrm{kV}$ besitzt.

3 BE

Beurteile jeweils, ob das Proton bei den in Material 1 schematisch dargestellten Startbedingungen aus der Ruhe auf diese Geschwindigkeit beschleunigt werden kann.

6 BE

In Zyklotronen werden geladene Teilchen innerhalb von elektrischen und magnetischen Feldern beschleunigt (siehe Material 2).

Erläutere den in Material 3 veranschaulichten Beschleunigungsprozess beim ersten Umlauf eines Protons im Zyklotron. Nimm dabei Bezug zu der Bildsequenz 3.1 bis 3.5.

9 BE

Das MC40 Zyklotron an der School of Physics and Astronomy der Universität von Birmingham ist aufgebaut, wie in Material 2 veranschaulicht. In ihm werden Protonen (Masse $Formula: m_{\mathrm{P}}$ $Formula: m_{\mathrm{P}}$ ) zur Forschung und zu medizinischen Zwecken beschleunigt. Der Radius der äußersten Halbkreisbahn beträgt $Formula: 53\;\mathrm{cm}.$ $Formula: 53\;\mathrm{cm}.$

Leite her, dass für die magnetische Flussdichte im Zyklotron der Zusammenhang $Formula: B = \tfrac{m_{\mathrm{P}} \cdot v}{e \cdot r}$ $Formula: B = \tfrac{m_{\mathrm{P}} \cdot v}{e \cdot r}$ gilt.

6 BE

Berechne die magnetische Flussdichte Formula: B, die benötigt wird, damit die Protonen nach Durchlaufen der äußersten Halbkreisbahn mit der Geschwindigkeit $Formula: v = 2,94 \cdot 10^{7}\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ $Formula: v = 2,94 \cdot 10^{7}\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ aus dem Zyklotron austreten.

2 BE

Wie in Material 2 dargestellt, wird ein Zyklotron mit einer Wechselspannung konstanter Frequenz betrieben.

Ermittle mit Hilfe einer kommentierten Rechnung die Frequenz Formula: f der Wechselspannung, bei der Protonen unter der Geschwindigkeit $Formula: v = 2,94 \cdot 10^{7}\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ $Formula: v = 2,94 \cdot 10^{7}\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ austreten.

3 BE

Am Paul-Scherrer-Institut in der Schweiz wird für die Protonentherapie von Krebserkrankungen ein Vier-Sektoren-Zyklotron (siehe Material 4) eingesetzt.

Erkläre den in der Veröffentlichung genannten Zusammenhang von Betriebsfrequenz und Strahlumlauffrequenz und gehe dabei auf den Unterschied dieses Zusammenhangs im Vergleich zu einem klassischen Zyklotron ein.

5 BE

Tumore werden häufig durch die Bestrahlung mit Röntgen- oder Protonenstrahlung bekämpft (Material 5). Dabei kann die Protonenstrahlung mit Hilfe eines Zyklotrons bereitgestellt werden.

Ein Krankenhausbetreiber entscheidet sich, zusätzlich zum vorhandenen Röntgentherapiegerät ein Zyklotron zur Protonenstrahltherapie anzuschaffen.

Bewerte diese Entscheidung unter je einem medizinisch-physikalischen, ökonomischen und gesellschaftlichen Aspekt. Beziehe dabei die beiden Abbildungen 5.1 und 5.2 mit ein.

6 BE

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Material 1: Verschiedene Startbedingungen für ein ruhendes Proton

Schaltbild einer Spannungsquelle mit Plus- und Minuspol, beschriftet mit U = 5 kV.

Abbildung 1.1

Schaltbild mit Spannung U = 5 kV und markiertem p-Punkt

Abbildung 1.2

Schaltskizze mit Spannung U = 5 kV und markiertem p-Kontakt

Abbildung 1.3

Material 2: Funktionsprinzip eines klassischen Zyklotrons

Ein Zyklotron ist ein in einer Vakuumkammer befindlicher Teilchenbeschleuniger, der mit einer Wechselspannung betrieben wird. Vereinfacht betrachtet besteht er aus zwei parallel angeordneten hohlen Halbzylinder-Elektroden, die an ihrer geraden Seite offen sind. Diese Elektroden, auch Duanten genannt, sind jeweils mit einem der Pole der Wechselspannungsquelle verbunden (siehe Abbildung 2.1). Dadurch ändert sich die Polung der Duanten periodisch.

Senkrecht zur Ebene, in der die Duanten liegen, wirkt ein homogenes Magnetfeld.

Schematische Darstellung einer Protonenquelle mit Quanten und Pfeilen

Abbildung 2.1: Dreidimensionale Ansicht des Aufbaus

Zwischen den Duanten befindet sich eine Protonenquelle. Die emittierten Protonen werden auf einer Bahn aus größer werdenden Halbkreisen wie in Abbildung 2.2 beschleunigt und schließlich nach Durchlaufen der äußersten Halbkreisbahn aus einem Duanten herausgelenkt.

Eine Besonderheit des Zyklotrons ist, dass die Durchlaufzeit des Protons in einem Duanten für jeden halben Umlauf unabhängig vom Bahnradius Formula: r immer gleich ist. Daher kann es mit einer Wechselspannung konstanter Frequenz Formula: f betrieben werden.

Schema einer Magnetfeld- und Spulenanordnung mit U und B Kennzeichnung

Abbildung 2.2: Zyklotron mit Teilchenbahn in der Draufsicht

Material 3: Beschleunigungsprozess in einem klassischen Zyklotron

Die folgenden Abbildungen veranschaulichen schematisch und vereinfacht den Beschleunigungsprozess für ein Proton zu aufeinanderfolgenden Zeitpunkten.

Abbildung 3.1	Abbildung 3.2
Abbildung 3.3	Abbildung 3.4
Abbildung 3.5	…

Schematische Darstellung einer Protonenquelle mit zwei Duanten und Magnetfeldlinien.

Abbildung 3.1

Skizze eines elektrischen Feldes mit Spannung U und Plus- und Minuspolen

Abbildung 3.2

Schema einer elektrisch geladenen Platte im Magnetfeld mit Plus- und Minuspolen.

Abbildung 3.3

Schematische Darstellung eines Kondensators mit elektrischem Feld.

Abbildung 3.4

Schematische Zeichnung eines Kondensators im elektrischen Feld mit Spannung U und Feldlinien.

Abbildung 3.5

…

Material 4: Das Vier-Sektoren-Zyklotron ACCEL

Am Paul-Scherrer-Institut in der Schweiz wird zur Protonentherapie von Krebserkrankungen ein sogenanntes „Vier-Sektoren-Zyklotron“ eingesetzt. Im Gegensatz zum klassischen Zyklotron mit zwei Duanten besitzt dieses Zyklotron vier Duanten ( $Formula: A,\ B,\ C,\ D$ $Formula: A,\ B,\ C,\ D$ ). Gegenüberliegende Duanten und Formula: B beziehungsweise Formula: C und Formula: D sind jeweils elektrisch leitend verbunden. Die Protonenquelle sitzt im Mittelpunkt der Anlage. In einer Veröffentlichung dazu heißt es, dass das in der Medizin eingesetzte Hochfrequenzsystem ACCEL mit einer Betriebsfrequenz von $Formula: 72,8\;\mathrm{MHz},$ $Formula: 72,8\;\mathrm{MHz},$ der doppelten Frequenz der Strahlumlauffrequenz, arbeitet.

Kreisdiagramm mit vier beschrifteten Segmenten A, B, C und D

Abbildung 4.1: Schematische Darstellung eines Vier-Sektoren-Zyklotrons

Material 5: Tumorbekämpfung durch Bestrahlung mit Röntgen- oder Protonenstrahlung

Ein im Inneren des Körpers liegender Tumor kann sich in verschiedenen Gewebetiefen befinden. Manchmal kann er nicht operativ entfernt werden. Dann kommt als Behandlungsmethode die Bestrahlung mit Röntgenstrahlung oder mit Protonenstrahlung in Betracht. Um das schadhafte Krebsgewebe zu zerstören, müssen die Zellen des Gewebes dabei hinreichend viel Energie der jeweiligen Strahlung aufnehmen.

In den folgenden beiden Diagrammen sind für beide Bestrahlungsarten beispielhaft relative Energiedosen, die an das menschliche Gewebe abgegeben werden, in Abhängigkeit von der jeweiligen Gewebetiefe dargestellt.

Diagramm zur Eindringtiefe von 6- und 9-MeV-Röntgenstrahlung im Gewebe

Abbildung 5.1: Vom menschlichen Gewebe aufgenommene relative Energiedosis in Abhängigkeit von der Eindringtiefe bei Röntgenstrahlung

Diagramm zur Energiedosis von 220- und 250-MeV-Protonenstrahlung in Gewebe

Abbildung 5.2: Vom menschlichen Gewebe aufgenommene relative Energiedosis in Abhängigkeit von der Eindringtiefe bei Protonenstrahlung

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Aus der Umwandlung der elektrischen Energie in kinetische Energie folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{kin}} & = & E_{\mathrm{el}} \\[5pt] \dfrac{1}{2} m_{\mathrm{P}} \cdot v^2 & = & e \cdot U &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{2}{m_{\mathrm{P}}} \\[5pt] v^2 & = & \dfrac{2eU}{m_{\mathrm{P}}} &\quad\scriptsize\mid\,\sqrt{\;} \\[5pt] v & = & \sqrt{\dfrac{2eU}{m_{\mathrm{P}}}}\\[5pt] & \approx & 9,79 \cdot 10^5\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{kin}} & = & E_{\mathrm{el}} \\[5pt] \dfrac{1}{2} m_{\mathrm{P}} \cdot v^2 & = & e \cdot U &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{2}{m_{\mathrm{P}}} \\[5pt] v^2 & = & \dfrac{2eU}{m_{\mathrm{P}}} &\quad\scriptsize\mid\,\sqrt{\;} \\[5pt] v & = & \sqrt{\dfrac{2eU}{m_{\mathrm{P}}}}\\[5pt] & \approx & 9,79 \cdot 10^5\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \end{array}$

Abbildung 1.1: Nein, da die Polung der Kondensatorplatten so eingestellt ist, dass das Proton sich bereits an der negativ geladenen Platte befindet.

Abbildung 1.2: Ja, da das Proton hier in der Abbildung nach rechts eine Beschleunigungsspannung von $Formula: 5\;\mathrm{kV}$ $Formula: 5\;\mathrm{kV}$ durchläuft.

Abbildung 1.3: Nein, da das Proton zwar nach rechts beschleunigt wird, aber nicht mehr die gesamte Potentialdifferenz von $Formula: 5\;\mathrm{kV}$ $Formula: 5\;\mathrm{kV}$ durchlaufen kann.

In der Zeit zwischen Abbildung 3.1 und 3.2 wird das Proton im elektrischen Feld zwischen den Duanten geradlinig in Richtung von Duant 2 beschleunigt.

Dazu muss Duant 2 negativ geladen sein.

In Duant 2 tritt das Proton in das senkrecht in die Blattebene hinein verlaufende homogene Magnetfeld ein. Die Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft und lenkt das Proton auf eine Kreisbahn.

In der Zeit zwischen Abbildung 3.2 und 3.3 ändert sich nur die Richtung und nicht der Betrag der Geschwindigkeit des Protons.

Zum Zeitpunkt der Abbildung 3.3 muss der Duant 1 negativ sein, damit in der Zeit zwischen Abbildung 3.3 und 3.4 das Proton im elektrischen Feld zwischen den Duanten geradlinig in Richtung von Duant 1 weiter beschleunigt wird.

In Duant 1, also in der Zeitspanne zwischen Abbildung 3.4 und 3.5, bewegt sich das Proton auf einer Kreisbahn mit größerem Radius, weil die konstante Geschwindigkeit nun einen höheren Betrag hat als zuvor in Duant 2.

Wenn sich das Proton mit einer Geschwindigkeit Formula: v auf einer Kreisbahn mit Radius Formula: r bewegt, so wirkt die Lorentzkraft als Zentripetalkraft. Es gilt $Formula: F_{\mathrm{L}} = F_{\mathrm{Z}}$ $Formula: F_{\mathrm{L}} = F_{\mathrm{Z}}$ mit $Formula: F_{\mathrm{L}} = q \cdot v \cdot B$ $Formula: F_{\mathrm{L}} = q \cdot v \cdot B$ und $Formula: F_{\mathrm{Z}} = \tfrac{m \cdot v^2}{r}.$ $Formula: F_{\mathrm{Z}} = \tfrac{m \cdot v^2}{r}.$

Daraus folgt:

$Formula: q \cdot v \cdot B = \dfrac{m \cdot v^2}{r}$ $Formula: q \cdot v \cdot B = \dfrac{m \cdot v^2}{r}$

Auflösen nach Formula: B liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} q \cdot v \cdot B & = & \dfrac{m \cdot v^2}{r} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{q \cdot v} \\[5pt] B & = & \dfrac{m \cdot v}{q \cdot r} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} q \cdot v \cdot B & = & \dfrac{m \cdot v^2}{r} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{q \cdot v} \\[5pt] B & = & \dfrac{m \cdot v}{q \cdot r} \end{array}$

Da es sich um ein Proton mit Masse $Formula: m_{\mathrm{P}}$ $Formula: m_{\mathrm{P}}$ und Ladung Formula: e handelt, ergibt sich die gesuchte Gleichung:

$Formula: B = \dfrac{m_{\mathrm{P}} \cdot v}{e \cdot r}$ $Formula: B = \dfrac{m_{\mathrm{P}} \cdot v}{e \cdot r}$

Einsetzen in die Gleichung aus Teilaufgabe 3a liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} B & = & \dfrac{m_{\mathrm{P}} \cdot v}{e \cdot r} \\[5pt] & = & \dfrac{1,673 \cdot 10^{-27}\;\mathrm{kg} \cdot 2,94 \cdot 10^7\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{1,602 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C} \cdot 0,53\;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 0,58\;\mathrm{T} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} B & = & \dfrac{m_{\mathrm{P}} \cdot v}{e \cdot r} \\[5pt] & = & \dfrac{1,673 \cdot 10^{-27}\;\mathrm{kg} \cdot 2,94 \cdot 10^7\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{1,602 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C} \cdot 0,53\;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 0,58\;\mathrm{T} \end{array}$

Für den letzten Halbkreis mit $Formula: s = \pi \cdot 0,53\;\mathrm{m}$ $Formula: s = \pi \cdot 0,53\;\mathrm{m}$ benötigt das Proton die Zeit $Formula: t = \tfrac{s}{v}.$ $Formula: t = \tfrac{s}{v}.$ Das ist die halbe Periodendauer der angelegten Wechselspannung, es gilt also $Formula: \tfrac{s}{v} = t = \tfrac{1}{2} \cdot T.$ $Formula: \tfrac{s}{v} = t = \tfrac{1}{2} \cdot T.$ Damit gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} f & = & \dfrac{1}{T} \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2 \cdot t} \\[5pt] & = & \dfrac{v}{2 \cdot s} \\[5pt] & = & \dfrac{2,94 \cdot 10^7\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2\pi \cdot 0,53\;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 8,829 \cdot 10^6\;\mathrm{Hz} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} f & = & \dfrac{1}{T} \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2 \cdot t} \\[5pt] & = & \dfrac{v}{2 \cdot s} \\[5pt] & = & \dfrac{2,94 \cdot 10^7\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2\pi \cdot 0,53\;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 8,829 \cdot 10^6\;\mathrm{Hz} \end{array}$

In der Veröffentlichung steht, dass die Betriebsfrequenz doppelt so hoch ist wie die Strahlumlauffrequenz. Dies lässt sich dadurch erklären, dass das Zyklotron aus vier Duanten besteht, das heißt, bei einem Umlauf finden vier Beschleunigungen anstelle von zwei beim klassischen Zyklotron statt. Daher muss auch doppelt so oft die Polung wechseln; die Betriebsfrequenz muss also doppelt so hoch sein wie die Strahlumlauffrequenz.

Beim klassischen Zyklotron gibt es nur zwei Beschleunigungen pro Umlauf. Hier muss die Polung nur zweimal wechseln, das heißt, es erfolgt eine Schwingung der Wechselspannung pro Umlauf.

Medizinisch-physikalischer Aspekt für die Anschaffung eines Zyklotrons:

Aus den beiden Abbildungen lässt sich entnehmen, dass bei der Protonenstrahlung die Energie genauer lokalisiert in einer bestimmten Tiefe abgegeben werden kann als bei Röntgenstrahlung. Damit können tief liegende Tumore gezielter bekämpft werden, ohne umliegendes Gewebe stark zu schädigen.

Ökonomischer Aspekt gegen die Anschaffung eines Zyklotrons:

Der Krankenhausbetreiber muss zusätzliches Geld für das Gerät, den Unterhalt und den Betrieb aufbringen.

Gesellschaftlicher Aspekt für die Anschaffung eines Zyklotrons:

Es kann mehr Menschen mit weniger Nebenwirkungen vor Ort geholfen werden.

Trotz des ökonomischen Aspekts unterstütze ich die Entscheidung des Krankenhausbetreibers.

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