Aufgabe 2 — Kalibrierung einer Hall-Sonde

Mithilfe von Hall-Sonden kann die magnetische Flussdichte von Magnetfeldern zuverlässig bestimmt werden. Dafür müssen Hall-Sonden kalibriert werden. Die Kalibrierung soll sicherstellen, dass das Messgerät präzise und reproduzierbare Messergebnisse liefert.

Ein elektrischer Leiter wird im Inneren einer Spule senkrecht zu den Feldlinien bewegt (Material 1).

Skizziere die wesentlichen Kräfte, die zum Zeitpunkt Formula: t_1 auf eines der in Abbildung 1 dargestellten Elektronen wirken, und benenne diese.

Begründe mithilfe der wirkenden Kräfte, dass die maximale Spannung abhängig von der Geschwindigkeit Formula: v des Leiters ist.

8 BE

Berechne die maximale Spannung zwischen den Enden des bewegten Leiters im homogenen Magnetfeld.

2 BE

Die Funktion der Hall-Sonde beruht ebenfalls auf der Ablenkung von Elektronen im Magnetfeld. Die Hall-Sonde dient zur Messung der magnetischen Flussdichte, gibt aber eine Spannung $Formula: U_{\mathrm{H}}$ $Formula: U_{\mathrm{H}}$ aus.

Erläutere mithilfe des Materials 2 die Entstehung der Hall-Spannung $Formula: U_{\mathrm{H}}.$ $Formula: U_{\mathrm{H}}.$

4 BE

Die gegebene Hall-Sonde wird in einer langen Spule platziert und die Hall-Spannung in Abhängigkeit von der Stromstärke in der Spule bestimmt (Material 3).

Zur Überführung der gemessenen Hall-Spannungen in magnetische Flussdichten soll die in Material 4 dargestellte Skala verwendet werden.

Ergänze unter Verwendung von Material 3 die Beschriftung der Skala (Abb. 4, Material 4) für die magnetische Flussdichte.

Beschreibe dein Vorgehen.

8 BE

Wird die an der Hall-Sonde angelegte Spannung Formula: U_0 vergrößert, vergrößert sich der Anstieg des Graphen im Diagramm (s. Abb. 3).

Stelle eine begründete Hypothese für die Ursachen dieser Änderung auf.

3 BE

Das Magnetfeld der verwendeten Spule wird im Folgenden genauer untersucht (Material 5).

Skizziere in Abbildung 5 das zu erwartende Feldlinienbild einer langen Spule.

3 BE

Das Magnetfeld der Spule wurde nun mithilfe einer Hall-Sonde vermessen.

Stelle die Messwerte in Tabelle 1 (Material 5) in einem Formula: B(x) -Diagramm dar.

Interpretiere den Graphenverlauf im Hinblick auf zwei Eigenschaften des Magnetfeldes der stromdurchflossenen Spule.

8 BE

Gib eine Voraussetzung an, unter der sich die verwendete Spule zur Kalibrierung der Hall-Sonde entsprechend Teilaufgabe 2b eignet.

Begründe deine Angabe.

4 BE

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Material 1: Bewegter Leiter im Magnetfeld

Ein Leiter der Länge $Formula: l = 2,0\;\mathrm{cm}$ $Formula: l = 2,0\;\mathrm{cm}$ wird in das homogene Magnetfeld einer Spule senkrecht zu den Feldlinien mit der konstanten Geschwindigkeit $Formula: v = 2,0\;\tfrac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}$ $Formula: v = 2,0\;\tfrac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}$ bewegt (s. Abb. 1).

Die Flussdichte des Magnetfelds beträgt $Formula: B = 0,25\;\mathrm{mT}.$ $Formula: B = 0,25\;\mathrm{mT}.$ Die Abbildung 1 zeigt den Leiter zu zwei verschiedenen Zeitpunkten $Formula: t_{0}$ $Formula: t_{0}$ und $Formula: t_{1}.$ $Formula: t_{1}.$

Zwei vertikale Leiter mit negativen Ladungen bewegen sich nach rechts in ein durch Kreuze dargestelltes Magnetfeld (t0 → t1)

Abb. 1: Position des Leiters zu den verschiedenen Zeitpunkten $Formula: \small{t_0}$ $Formula: \small{t_0}$ und $Formula: \small{t_1}.$ $Formula: \small{t_1}.$

Material 2: Prinzipieller Aufbau einer Hall-Sonde

Skizze: rechteckiger Leiter im in die Seite gerichteten Magnetfeld (×), Voltmeter misst Hallspannung.

Abb. 2: Ein Metallplättchen (grau) befindet sich in einem homogenen Magnetfeld. Am Metallplättchen liegt eine Gleichspannung $Formula: \small{U_0}$ $Formula: \small{U_0}$ an.

Material 3: Hall-Spannung in Abhängigkeit vom Spulenstrom

Ein Metallplättchen befindet sich innerhalb einer stromdurchflossenen, mit Luft gefüllten Spule.

Von der Spule sind folgende Parameter bekannt

Länge der Spule: $Formula: \ell = 20\;\mathrm{cm},$ $Formula: \ell = 20\;\mathrm{cm},$
Windungszahl:

Der Strom durch die Spule wird mit $Formula: I_\text{S}$ $Formula: I_\text{S}$ bezeichnet.

Koordinatensystem mit diagonal steigender Geraden durch den Ursprung; x-Achse "Is in A", y-Achse "U_H in µV"

Abb. 3: Hall-Spannung am Metallplättchen in Abhängigkeit vom Spulenstrom $Formula: \small{I_\text{S}.}$ $Formula: \small{I_\text{S}.}$

Material 4: Skalierung Hall-Sonde

Zwei vertikale Achsen: links U_H in µV mit Skala -2,0 bis 2,0, rechts B in mT mit 0‑Marke.

Abb. 4: Skalierung der Hall-Sonde.

Material 5: Magnetfeld einer langen Zylinderspule

Zickzackförmige Feder zwischen zwei Stangen, ausgezogen auf Länge l = 20 cm.

Abb. 5: Schematische Darstellung einer stromdurchflossenen, mit Luft gefüllten Spule mit $Formula: \small{N = 20.}$ $Formula: \small{N = 20.}$ Die dunkleren Windungsabschnitte liegen vor den helleren Abschnitten.

$Formula: \boldsymbol{x}$ $Formula: \boldsymbol{x}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mm}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mm}}$	$Formula: \boldsymbol{B}$ $Formula: \boldsymbol{B}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mT}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mT}}$

Tab. 1: Messung der magnetischen Flussdichte in Abhängigkeit von der Position des Sensors entlang der Längsachse im Inneren der Spule.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Skizzieren und Benennen der wesentlichen Kräfte

Rechteckiger Leiter im Kreuz-Magnetfeld, positive Ladung, v nach rechts, elektrische Kraft nach oben, Lorentzkraft nach unten

Die Lorentzkraft $Formula: F_{\mathrm{L}}$ $Formula: F_{\mathrm{L}}$ wirkt nach unten.
Die elektrische Feldkraft $Formula: F_{\mathrm{el}}$ $Formula: F_{\mathrm{el}}$ wirkt nach oben.

Begründen der Spannungsabhängigkeit

Bei einer konstanten Geschwindigkeit des Leiters stellt sich ein Kräftegleichgewicht ein. Die Lorentzkraft und die elektrische Feldkraft sind betragsmäßig gleich groß:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\text{L}} & = & F_{\text{el}} \\[5pt]q \cdot v \cdot B & = & E \cdot q \\[5pt]q \cdot v \cdot B & = & \dfrac{U}{l} \cdot q\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\text{L}} & = & F_{\text{el}} \\[5pt]q \cdot v \cdot B & = & E \cdot q \\[5pt]q \cdot v \cdot B & = & \dfrac{U}{l} \cdot q\end{array}$

Wenn nun die Geschwindigkeit Formula: v steigt, nimmt auch der Betrag der Lorentzkraft zu. Folglich wirkt eine größere Kraft nach unten auf die Elektronen. Damit das Kräftegleichgewicht weiterhin aufrechterhalten bleibt, muss zwingend auch die elektrische Feldstärke größer werden. Da die Länge des Leiters Formula: l konstant ist, führt dies dazu, dass die Spannung Formula: U zwischen den Enden des Leiters zunehmen muss.

Für die Berechnung werden die Werte aus Material 1 herangezogen:

$Formula: B = 0,25 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{T};$ $Formula: B = 0,25 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{T};$ $Formula: l = 0,02\;\mathrm{m}$ $Formula: l = 0,02\;\mathrm{m}$ und $Formula: v = 2,0 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ $Formula: v = 2,0 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$

Aus der Gleichung aus Aufgabe 1a folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}q \cdot v \cdot B & = & \dfrac{U}{l} \cdot q & \quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{l}{q} \\[5pt]U & = & B \cdot l \cdot v\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}q \cdot v \cdot B & = & \dfrac{U}{l} \cdot q & \quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{l}{q} \\[5pt]U & = & B \cdot l \cdot v\end{array}$

Für die maximale Spannung zwischen den Enden des bewegten Leiters ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}U & = & -B \cdot l \cdot v \\[5pt] & = & -0,25 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{T} \cdot 0,02\;\mathrm{m} \cdot 2,0 \cdot 10^{-3}\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\[5pt] & = & -10 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{V} \\[5pt] & = & -10\;\mathrm{nV}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}U & = & -B \cdot l \cdot v \\[5pt] & = & -0,25 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{T} \cdot 0,02\;\mathrm{m} \cdot 2,0 \cdot 10^{-3}\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\[5pt] & = & -10 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{V} \\[5pt] & = & -10\;\mathrm{nV}\end{array}$

Eine Hall-Sonde besteht im Wesentlichen aus einem Metallplättchen mit freien Elektronen, an dem eine Spannung anliegt. Das Plättchen befindet sich innerhalb eines homogenen Magnetfelds mit der magnetischen Flussdichte Formula: B.

Die anliegende Spannung führt im Metallplättchen zu einer gerichteten Bewegung der freien Elektronen, also zu einem elektrischen Strom. Dadurch wirkt auf die Elektronen eine Lorentzkraft, wodurch die Elektronen zur Unterseite des Metallplättchens abgelenkt werden.

Durch diese Verschiebung der Ladungsträger kommt es an der Unterseite des Plättchens zu einem Elektronenüberschuss, während es an der Oberseite des Plättchens zu einem Elektronenmangel kommt. Dadurch entsteht eine Potentialdifferenz zwischen der Oberseite und der Unterseite des Plättchens. Diese messbare Potentialdifferenz wird als Hall-Spannung bezeichnet.

Aus dem gegebenen Diagramm (Abb. 3) ist ein linearer Zusammenhang zwischen der Stromstärke in der Spule und der gemessenen Hall-Spannung erkennbar. Es gilt folglich die Proportionalität $Formula: U_{\mathrm{H}} \sim I_{\mathrm{S}}.$ $Formula: U_{\mathrm{H}} \sim I_{\mathrm{S}}.$

Da für die magnetische Flussdichte innerhalb einer Spule ebenfalls der proportionale Zusammenhang $Formula: B \sim I_{\mathrm{S}}$ $Formula: B \sim I_{\mathrm{S}}$ gilt, folgt daraus, dass auch $Formula: B \sim U_{\mathrm{H}}$ $Formula: B \sim U_{\mathrm{H}}$ gelten muss.

Für die Skalierung reicht es daher aus, einen einzigen Wert für die magnetische Flussdichte zu berechnen. Aus dem Diagramm (Abb. 3) kann beispielsweise für eine Hall-Spannung von $Formula: U_{\mathrm{H}} = 2,0\;\mathrm{\mu V}$ $Formula: U_{\mathrm{H}} = 2,0\;\mathrm{\mu V}$ die Stromstärke $Formula: I_{\mathrm{S}} = 2,25\;\mathrm{A}$ $Formula: I_{\mathrm{S}} = 2,25\;\mathrm{A}$ abgelesen werden. Damit lässt sich die magnetische Flussdichte Formula: B berechnen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}B & = & \mu_{0} \cdot \mu_{{r}} \cdot \dfrac{N \cdot I_\text{S}}{l} \\[5pt] & = & \mu_{0} \cdot 1 \cdot \dfrac{20 \cdot 2,25\;\mathrm{A}}{0,20\;\mathrm{m}} \\[5pt] & = & 2,8 \cdot 10^{-4}\;\mathrm{T} \\[5pt] & = & 0,28\;\mathrm{mT}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}B & = & \mu_{0} \cdot \mu_{{r}} \cdot \dfrac{N \cdot I_\text{S}}{l} \\[5pt] & = & \mu_{0} \cdot 1 \cdot \dfrac{20 \cdot 2,25\;\mathrm{A}}{0,20\;\mathrm{m}} \\[5pt] & = & 2,8 \cdot 10^{-4}\;\mathrm{T} \\[5pt] & = & 0,28\;\mathrm{mT}\end{array}$

Daraus ergibt sich folgende Zuordnung für die Skalierung der Hall-Sonde:

Zwei vertikale Achsen: links U_H (µV) von -2,0 bis 2,0, rechts B (mT) von -0,28 bis 0,28.

Wird die angelegte Spannung $Formula: U_{\mathrm{0}}$ $Formula: U_{\mathrm{0}}$ vergrößert, erhöht sich auch der Stromfluss im Inneren des Metallplättchens.

Hypothese 1: Mit zunehmender Stromstärke wächst die Driftgeschwindigkeit der Elektronen an. Dadurch erhöht sich wiederum die Lorentzkraft, wodurch die Elektronen stärker abgelenkt werden und die Potentialdifferenz wächst. Dementsprechend erhöht sich die resultierende Hall-Spannung $Formula: U_{\mathrm{H}}.$ $Formula: U_{\mathrm{H}}.$
Hypothese 2 (Alternative): Bei einer zunehmenden Stromstärke bewegen sich pro Sekunde mehr Elektronen durch das Metallplättchen. Dadurch fällt der Unterschied an Ladungsträgern zwischen der Oberseite und der Unterseite größer aus. Dies führt ebenfalls zu einer Erhöhung der Hall-Spannung $Formula: U_{\mathrm{H}}.$ $Formula: U_{\mathrm{H}}.$

Diagramm: lange Spule mit vielen Windungen und umlaufenden Magnetfeldlinien

Darstellen der Messwerte in einem Diagramm

Diagramm: B in mT gegen x in mm, gebogene Kurve mit Messpunkten, Maximum um 120 mm

Interpretieren des Graphenverlaufs

Aus dem Verlauf des Graphen lassen sich zwei wesentliche Eigenschaften des Magnetfeldes der stromdurchflossenen Spule ableiten:

Homogener Bereich: Das Magnetfeld der Spule ist im mittleren Abschnitt von ca. $Formula: 70\;\mathrm{mm}$ $Formula: 70\;\mathrm{mm}$ bis ca. $Formula: 130\;\mathrm{mm}$ $Formula: 130\;\mathrm{mm}$ annähernd homogen, da die magnetische Flussdichte in diesem Intervall nahezu konstant bei einem Wert von ca. $Formula: 0,28\;\mathrm{mT}$ $Formula: 0,28\;\mathrm{mT}$ liegt.
Inhomogene Randbereiche: An den Enden der Spule ist das Magnetfeld deutlich schwächer als in der Mitte. Am linken Rand (von bis ca. $Formula: 70\;\mathrm{mm}$ $Formula: 70\;\mathrm{mm}$ ) nimmt die magnetische Flussdichte kontinuierlich zu, während sie am rechten Rand (von ca. bis $Formula: 200\;\mathrm{mm}$ $Formula: 200\;\mathrm{mm}$ ) wieder abnimmt.

Die vorliegende Spule kann zur Kalibrierung der Hall-Sonde verwendet werden, sofern die Sonde exakt in der Mitte der Spule, also im homogenen Bereich des Magnetfeldes, platziert wird.

Selbst bei einer Platzierung in der Mitte muss sichergestellt sein, dass die theoretische Formel zur Bestimmung der Flussdichte einer langen Spule für diese konkrete Spule hinreichend genau gültig ist.

Alternativ lässt sich die Spule auch dann zur Kalibrierung nutzen, wenn ihr Magnetfeld im Vorfeld mit einer bereits zuverlässig kalibrierten Hall-Sonde exakt ausgemessen wurde. Unter dieser Bedingung lässt sich die zu kalibrierende Hall-Sonde an einer bestimmten, zuvor vermessenen Position platzieren und anhand des dort bekannten Referenzwertes kalibrieren.

In allen Fällen sind jedoch Unsicherheiten bei der Kalibrierung nicht völlig auszuschließen. Daher muss stets sichergestellt werden, dass diese Messunsicherheiten je nach geplantem späteren Einsatzzweck der Hall-Sonde nicht zu groß ausfallen.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?