Aufgabe 3 – Massenbestimmung in der Schwerelosigkeit

Auf Raumstationen ist die Bestimmung der eigenen Körpermasse eine Herausforderung, da eine normale Personenwaage nicht eingesetzt werden kann. Stattdessen wird ein Gerät mit dem Namen BMMD (Body Mass Measurement Device) verwendet.

Erläutere die Bestimmung der Masse mit einem BMMD. Nutze hierzu insbesondere die Informationen aus Material 1.

4 BE

Für ein BMMD wurden die in Material 2 dokumentierten Messdaten ermittelt.

Stelle die Messreihe in einem Diagramm dar.

4 BE

Bestimme anschließend mithilfe deines Diagramms die Masse eines Astronauten für den Fall, dass das BMMD eine Periodendauer von $Formula: T=1,35\;\mathrm{s}$ $Formula: T=1,35\;\mathrm{s}$ misst.

2 BE

Im Folgenden wird das BMMD modellhaft als Federpendel betrachtet. Wie bei jedem Federpendel treten auch bei einem BMMD Beschleunigungen auf. Um zu beurteilen, ob diese eine Gefahr für den Benutzer darstellen, werden die in Material 3 gegebenen Diagramme betrachtet.

Berechne unter Nutzung der Daten aus Material 2 die Federkonstante für das BMMD.

[Kontrollwert: $Formula: D=2,0\;\tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}$ $Formula: D=2,0\;\tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}$ ]

2 BE

Beschrifte und skaliere für die in Material 3 genannte Astronautenmasse die Koordinatenachsen der Diagramme in Material 3.

6 BE

Bestimme den Betrag der maximalen Beschleunigung, die der Astronaut erfährt.

Beurteile, ob hierdurch eine Gefahr für einen durchtrainierten Astronauten besteht.

5 BE

Ein BMMD ist aufgrund einer defekten Elektronik nicht mehr für den Einsatz im Weltall geeignet und wird daher einem Schullabor gespendet.

Begründe mithilfe der Daten in Material 4, dass das BMMD nicht ordnungsgemäß funktioniert.

3 BE

Da das Schullabor das Gerät ohne die defekte Elektronik nutzen möchte, muss zur Bestimmung der Masse insbesondere der Hocker manuell ausgelenkt und auch die Periodendauer manuell ermittelt werden.

Formuliere für diesen Fall Anweisungen an die Schulgemeinschaft so, dass bei der Benutzung Messunsicherheiten möglichst geringgehalten werden und eine zuverlässige Massebestimmung gewährleistet wird. Gehe dazu in einem zusammenhängenden Text auf drei relevante Aspekte ein.

4 BE

Material 1: Das Body Mass Measurement Device (BMMD)

Das BMMD besteht aus einer Art Hocker (mit bekannter Masse Formula: m_H ), auf den sich der Astronaut begibt und festhält. Der Hocker ist über eine Feder (mit bekannter Federkonstante Formula: D ) mit der Raumstation fest verbunden.

Wird das Gerät eingeschaltet, so wird der Astronaut zusammen mit dem Hocker in Schwingungen versetzt. Die Elektronik des Geräts misst die Periodendauer, mit der Astronaut und Hocker als gemeinsame schwingende Masse frei auf und ab schwingen. Aus dieser Periodendauer können dann die schwingende Masse und die Masse des Astronauten errechnet werden.

Mann in gelbem Hemd im Inneren eines Raumschiffs, hält sich an einem blauen Griff fest, umgeben von Kabeln und Technik

Abb. 1: Das Body Mass Measurement Device (BMMD) mit Astronaut

Quelle: NASA; European Space Agency astronaut Andre Kuipers, Expedition 31 flight engineer, uses a

body mass measurement device (BMMD) in the Zvezda Service Module of the International Space Station;

NASA Image and Video Library

Hocker auf Spiralfeder, schematische Skizze mit Doppelpfeil für Auf- und Abbewegung.

Abb. 2: Das Body Mass Measurement Device (BMMD) schematisch

Material 2: Messdaten BMMD

Bevor ein solches Gerät zum Einsatz kommt, wurden Testmessungen durchgeführt und dabei nachfolgende Messwerte ermittelt.

Gehe in den Teilaufgaben von einer Masse des Hockers von $Formula: m_H=15\;\mathrm{kg}$ $Formula: m_H=15\;\mathrm{kg}$ aus. Vernachlässige die Luftreibung sowie die Masse der Feder.

Messdaten zum BMMD:

schwingende Masse $Formula: \boldsymbol{m}$ $Formula: \boldsymbol{m}$ in $Formula: \text{kg}$ $Formula: \text{kg}$	Periodendauer $Formula: \boldsymbol{T}$ $Formula: \boldsymbol{T}$ in $Formula: \text{s}$ $Formula: \text{s}$

Material 3: Diagramme

Die folgenden beiden Diagramme veranschaulichen die idealisierte Bewegung jeweils für eine Periode für eine Astronautenmasse von $Formula: 85\;\text{kg}.$ $Formula: 85\;\text{kg}.$ Eines der Diagramme Formula: 1 bzw. Formula: 2 stellt die Geschwindigkeit der schwingenden Masse in Abhängigkeit von der Zeit und eines die momentane Auslenkung für die gleiche Zeitspanne dar. Zur Erstellung der Diagramme wurde angenommen, dass das BMMD zum Zeitpunkt $Formula: t=0\;\mathrm{s}$ $Formula: t=0\;\mathrm{s}$ bei einer maximalen Auslenkung von $Formula: 30,0\;\mathrm{cm}$ $Formula: 30,0\;\mathrm{cm}$ zu schwingen beginnt.

Zwei Diagramme auf Millimeterpapier: oben durchgezogene Sinuskurve, unten gestrichelte phasenverschobene Sinuskurve; x-Achse "Zeit in s".

Abb. 3: Diagramme der idealisierten Bewegung für eine Periode

Bewegungsgleichungen der ungedämpften harmonischen Schwingung

$Formula: s(t)=s_{\max } \cdot \sin (\omega \cdot t)$ $Formula: s(t)=s_{\max } \cdot \sin (\omega \cdot t)$

Bei Vorliegen eines Nullphasenwinkels gilt:

$Formula: s(t)=s_{\max } \cdot \sin \left(\omega \cdot t+\varphi_0\right)$ $Formula: s(t)=s_{\max } \cdot \sin \left(\omega \cdot t+\varphi_0\right)$

$Formula: v(t)=s_{\max } \cdot \omega \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi_0\right)$ $Formula: v(t)=s_{\max } \cdot \omega \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi_0\right)$

$Formula: a(t)=-s_{\max } \cdot \omega^2 \cdot \sin \left(\omega \cdot t+\varphi_0\right)$ $Formula: a(t)=-s_{\max } \cdot \omega^2 \cdot \sin \left(\omega \cdot t+\varphi_0\right)$

	Auslenkung, Elongation
$Formula: s_{\max }$ $Formula: s_{\max }$	Amplitude
$Formula: \omega$ $Formula: \omega$	Kreisfrequenz
	Zeit
$Formula: \varphi_0$ $Formula: \varphi_0$	Nullphasenwinkel
	Geschwindigkeit
	Beschleunigung

Material 4: Messdaten bei defektem BMMD

Bei einem harmonischen Federpendel ist das Quadrat der Periodendauer proportional zur schwingenden Masse $Formula: (T^2 \sim m).$ $Formula: (T^2 \sim m).$ Da das BMMD modellhaft als Federpendel betrachtet werden kann, ist davon auszugehen, dass dies auch für ein BMMD gilt.

Bei dem BMMD mit defekter Elektronik werden die folgenden Messdaten ausgegeben:

schwingende Masse $Formula: \boldsymbol{m}$ $Formula: \boldsymbol{m}$ in $Formula: \text{kg}$ $Formula: \text{kg}$	Periodendauer $Formula: \boldsymbol{T}$ $Formula: \boldsymbol{T}$ in $Formula: \text{s}$ $Formula: \text{s}$

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Astronaut und Hocker stellen die schwingende Masse dar. Wird diese Masse aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, so führt sie anschließend freie harmonische Schwingungen aus. Die Elektronik des BMMD misst die Periodendauer Formula: T. Daraus kann dann mithilfe der Gleichung $Formula: T=2 \pi \cdot \sqrt{\tfrac{m}{D}}$ $Formula: T=2 \pi \cdot \sqrt{\tfrac{m}{D}}$ die schwingende Masse berechnet werden. Abziehen der Masse des Hockers von dem Ergebnis liefert dann die Masse des Astronauten.

Diagramm: Periodendauer T (s) gegen Masse m (kg), aufsteigende Kurve mit Punkten und Markierungen bei ~100 kg und T≈1,35 s.

Aus dem Diagramm in Teilaufgabe a kann wie im Koordinatensystem eingezeichnet näherungsweise eine Masse von $Formula: 95\;\text{kg}$ $Formula: 95\;\text{kg}$ abgelesen werden. Der Astronaut hat somit eine Masse von $Formula: 95\;\mathrm{kg}-15\;\mathrm{kg}=80\;\mathrm{kg}.$ $Formula: 95\;\mathrm{kg}-15\;\mathrm{kg}=80\;\mathrm{kg}.$

Es gilt $Formula: T=2 \pi \cdot \sqrt{\tfrac{m}{D}}.$ $Formula: T=2 \pi \cdot \sqrt{\tfrac{m}{D}}.$ Unter Nutzung des Wertepaares für z.B. $Formula: m=100\;\mathrm{kg}$ $Formula: m=100\;\mathrm{kg}$ ergibt sich damit für Formula: D:

$Formula: \begin{array}{rll} T & = & 2 \pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{D}} &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt] T^2 & = & 4 \pi^2 \cdot \dfrac{m}{D} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot \tfrac{D}{T^2} \\[5pt] D & = & 4 \pi^2 \cdot \dfrac{m}{T^2} \\[5pt] D & = & 4 \pi^2 \cdot \dfrac{100\;\mathrm{kg}}{(1,40\;\mathrm{s})^2} \\[5pt] D & \approx & 2000\;\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} T & = & 2 \pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{D}} &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt] T^2 & = & 4 \pi^2 \cdot \dfrac{m}{D} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot \tfrac{D}{T^2} \\[5pt] D & = & 4 \pi^2 \cdot \dfrac{m}{T^2} \\[5pt] D & = & 4 \pi^2 \cdot \dfrac{100\;\mathrm{kg}}{(1,40\;\mathrm{s})^2} \\[5pt] D & \approx & 2000\;\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} \end{array}$

Der Astronaut hat eine Masse von $Formula: 85\;\text{kg}.$ $Formula: 85\;\text{kg}.$ Das bedeutet eine schwingende Masse von $Formula: 100\;\text{kg},$ $Formula: 100\;\text{kg},$ woraus sich eine Periodendauer von $Formula: T=1,40\;\mathrm{s}$ $Formula: T=1,40\;\mathrm{s}$ ableiten lässt (Material 2). Unter Berücksichtigung einer Amplitude von $Formula: 30,0\;\text{cm}$ $Formula: 30,0\;\text{cm}$ ergibt sich damit für Diagramm 2:

Gestrichelte Sinuskurve: Auslenkung in cm über Zeit in s, Achsenbeschriftungen und Markierungen bei 0,7 und 1,4 s.

Für $Formula: v_\text{max}$ $Formula: v_\text{max}$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rll} v_{\max } & = & s_{\max } \cdot \omega \\[5pt] & = & s_{\max } \cdot \sqrt{\dfrac{D}{m}} \\[5pt] & = & 30,0\;\mathrm{cm} \cdot \sqrt{\dfrac{2000\;\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}}{100\;\mathrm{kg}}} \\[5pt] & = & 134\;\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} v_{\max } & = & s_{\max } \cdot \omega \\[5pt] & = & s_{\max } \cdot \sqrt{\dfrac{D}{m}} \\[5pt] & = & 30,0\;\mathrm{cm} \cdot \sqrt{\dfrac{2000\;\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}}{100\;\mathrm{kg}}} \\[5pt] & = & 134\;\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} \end{array}$

Damit ergibt sich für Diagramm 1:

Diagramm: Geschwindigkeit (cm/s) über Zeit (s), sinusförmige Kurve mit Nulldurchgang bei 0,7 s und sichtbaren Maxima/Minima.

Für $Formula: a_{\max }$ $Formula: a_{\max }$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rll} a_{\max } & = & s_{\max } \cdot \dfrac{D}{m} \\[5pt] & = & 0,3\;\mathrm{m} \cdot \dfrac{2000\;\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}}{100\;\mathrm{kg}} \\[5pt] & = & 6,0\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} a_{\max } & = & s_{\max } \cdot \dfrac{D}{m} \\[5pt] & = & 0,3\;\mathrm{m} \cdot \dfrac{2000\;\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}}{100\;\mathrm{kg}} \\[5pt] & = & 6,0\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \end{array}$

Da die maximale Beschleunigung sogar geringer ist als die Erdbeschleunigung $Formula: \mathrm g=9,81\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2},$ $Formula: \mathrm g=9,81\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2},$ besteht für einen durchtrainierten Astronauten somit keine Gefahr.

Ein weiterer möglicher Aspekt wäre, dass die Beschleunigung sich bei einem Federpendel/beim BMMD nicht ruckartig ändert.

schwingende Masse $Formula: \boldsymbol{m}$ $Formula: \boldsymbol{m}$ in $Formula: \text{kg}$ $Formula: \text{kg}$
Periodendauer $Formula: \boldsymbol{T}$ $Formula: \boldsymbol{T}$ in $Formula: \text{s}$ $Formula: \text{s}$
$Formula: \boldsymbol{\dfrac{m}{T^2}}$ $Formula: \boldsymbol{\dfrac{m}{T^2}}$ in $Formula: \dfrac{\text{kg}}{\text{s}^2}$ $Formula: \dfrac{\text{kg}}{\text{s}^2}$

Die ergänzten Daten für $Formula: \tfrac{m}{T^2}$ $Formula: \tfrac{m}{T^2}$ sind nicht konstant, was zeigt, dass keine Proportionalität zwischen Formula: T^2 und Formula: m vorliegt. Somit muss das BMMD falsche Daten liefern.

Es sind verschiedene Dinge zu beachten, wenn die Masse mit dem BMMD bestimmt wird. Zum einen sollten bei einer Zeitmessung immer mehrere Schwingungsperioden berücksichtigt werden, z. B. Formula: 6 Perioden, und daraus dann die Periodendauer ermittelt werden (in dem Fall Division durch ).

Zusätzlich ist eine Messreihe durchzuführen, in der die Messung mehrmals, z. B. Formula: 3 mal, wiederholt und der Mittelwert gebildet wird.

Des Weiteren wird die manuelle Messung mit mehreren Personen durchgeführt, z. B. Formula: 2. Einer begibt sich auf den Hocker und die zweite Person lenkt aus und ist auch für die Zeitmessung zuständig.

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