Aufgabe 2 — Füllstandsmessung

Zur Messung der Füllhöhe von Tanks und Behältern können unterschiedliche Messprinzipien zum Einsatz kommen. In einem Modellversuch wird die kapazitative Füllstandsmessung untersucht.

Die Abbildung 1 in Material 1 zeigt einen quaderförmigen Behälter zur Lagerung von Petroleum. Der Füllstand des Petroleums wird durch kapazitive Messung erfasst.

Zunächst wird die Kapazität des leeren Kondensators betrachtet.

Weise nach, dass die Kapazität des Plattenkondensators ohne eingefülltes Petroleum $Formula: C = 7,97 \;\text{pF}$ $Formula: C = 7,97 \;\text{pF}$ beträgt.

3 BE

Wenn der Behälter vollständig mit Petroleum gefüllt ist, ist die Kapazität des Kondensators dadurch gestiegen.

Erläutere ausführlich, dass weitere Ladungen auf die Kondensatorplatten geflossen sind, wenn der Behälter mit Petroleum gefüllt ist und der Kondensator während des Befüllens mit der Spannungsquelle verbunden bleibt.

Veranschauliche mithilfe einer Skizze die Polarisation im Dielektrikum.

9 BE

Für einen teilweise befüllten Behälter kann die Kapazität des betrachteten Kondensators in Abhängigkeit von der Füllhöhe des Petroleums durch die Gleichung im Material 1 beschrieben werden.

Leite den in der Gleichung (Material 1) dargestellten Zusammenhang zwischen der Gesamtkapazität $Formula: C_\text{ges}$ $Formula: C_\text{ges}$ und der Füllhöhe Formula: h des Petroleums im Behälter unter Verwendung von Material 2 her.

6 BE

Berechne die Füllhöhe des Petroleums im Behälter, für die sich eine Gesamtkapazität von $Formula: 10,75 \;\text{pF}$ $Formula: 10,75 \;\text{pF}$ ergibt.

3 BE

Für die kapazitative Messung der Füllhöhe im Behälter wird das Entladeverhalten des Kondensators untersucht. Bei unbekannter Füllhöhe des Petroleums wird der stets mit der gleichen Spannung aufgeladene Kondensator über einen stets gleichen Ohm’schen Widerstand entladen. Material 3 zeigt den durch Messung bestimmten zeitlichen Verlauf der Stromstärke während des Entladevorgangs.

Ermittle unter Verwendung von Material 3 die Kapazität des betrachteten Kondensators.

5 BE

Stelle in Material 3 qualitativ den zeitlichen Verlauf der Entladestromstärke dar, der sich für eine geringere Füllhöhe des Behälters ergibt.

Erkläre den Unterschied der beiden Verläufe.

5 BE

Aus den Messwerten des Entladeverhaltens (Material 3) wurde als Kapazität des Kondensators $Formula: C = 11,8 \;\text{pF}$ $Formula: C = 11,8 \;\text{pF}$ ermittelt.

Zum Zeitpunkt $Formula: t = 0 \;\text{s}$ $Formula: t = 0 \;\text{s}$ beträgt die Stromstärke $Formula: 15,0 \;\text{µA;}$ $Formula: 15,0 \;\text{µA;}$ für $Formula: t > 0 \;\text{s}$ $Formula: t > 0 \;\text{s}$ kann die Stromstärke auf $Formula: \pm 0,1\; \mu\mathrm{A}$ $Formula: \pm 0,1\; \mu\mathrm{A}$ genau bestimmt werden.

Beurteile unter quantitativer Berücksichtigung dieser Messunsicherheit, ob gefolgert werden kann, dass der Behälter aus Material 1 weniger als zur Hälfte mit Petroleum befüllt ist.

5 BE

In einem Betrieb werden unterschiedliche Flüssigkeiten und Feststoffe gelagert. Der Füllstand wird bei einigen dieser Materialien bereits mithilfe eines funktionierenden kapazitativem Messverfahrens (vergleiche Material 1) erfasst. Es soll nun geprüft werden, ob der Füllstand auch für andere Materialien kapazitativ bestimmt werden kann. Die Alternative dazu ist ein massenbezogenes Messverfahren, dessen Installation und Unterhalt aber mit vergleichsweise hohen Kosten verbunden ist (Material 4).

Gib anhand der Materialien 1 und 4 eine begründete Empfehlung, unter welchen Voraussetzungen das massenbezogene Verfahren eingesetzt werden sollte.

4 BE

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Material 1: Behälter zur kapazitiven Füllstandsmessung

Schematischer Aufbau des Behälters:

Zwei einander gegenüberliegende Seiten des Behälters sind aus Metall und mit den Polen einer Spannungsquelle verbunden (siehe Abbildung 1). Ein elektrischer Strom zwischen diesen Platten kann nicht fließen, da die anderen Seiten des Behälters, das Petroleum und die Luft bei den gegebenen Bedingungen jeweils elektrische Nichtleiter sind.

Die beiden leitenden Seiten mit der Füllung dazwischen können modellhaft als Plattenkondensator mit Petroleum bzw. Luft als Dielektrikum betrachtet werden.

Abbildung 1: Schematischer Aufbau des Behälters

Die Dielektrizitätszahl von Petroleum beträgt $Formula: \varepsilon_{r, \text{P}}=2,0,$ $Formula: \varepsilon_{r, \text{P}}=2,0,$ die von Luft $Formula: \varepsilon_{r, \text{L}}=1,0.$ $Formula: \varepsilon_{r, \text{L}}=1,0.$

Für die Kapazität in Abhängigkeit von der Füllhöhe des Behälters gilt

$Formula: C_{\mathrm{ges}}(h) = \varepsilon_0 \cdot \dfrac{b}{d} \cdot (h_{\mathrm{ges}} + (\varepsilon_{r,\mathrm{ P}} - 1) \cdot h)$ $Formula: C_{\mathrm{ges}}(h) = \varepsilon_0 \cdot \dfrac{b}{d} \cdot (h_{\mathrm{ges}} + (\varepsilon_{r,\mathrm{ P}} - 1) \cdot h)$

Material 2: Parallelschaltung von Kondensatoren

Die Kapazität eines Plattenkondensators, der bis zu einer bestimmten Höhe h mit einem Dielektrikum gefüllt ist, entspricht der Gesamtkapazität $Formula: C_\text{ges}$ $Formula: C_\text{ges}$ einer Parallelschaltung aus einem gefüllten und einem ungefüllten Plattenkondensator mit entsprechenden Abmessungen.

Für die Gesamtkapazität zweier parallel geschalteter Kondensatoren der Kapazitäten Formula: C_1 und Formula: C_2 gilt $Formula: C_\text{ges}=C_1+C_2.$ $Formula: C_\text{ges}=C_1+C_2.$

Abbildung 2: Modellierung als Parallelschaltung

Material 3: Zeitlicher Verlauf der Entladestromstärke des Kondensators

Zum Zeitpunkt $Formula: 0 \;\text{s}$ $Formula: 0 \;\text{s}$ ist der Kondensator mit der Spannung $Formula: 7,5 \;\text{V}$ $Formula: 7,5 \;\text{V}$ vollständig geladen und wird über den Ohm’schen Widerstand $Formula: R = 500 \; \mathrm{k}\Omega$ $Formula: R = 500 \; \mathrm{k}\Omega$ entladen.

Abbildung 3: Zeitlicher Verlauf der Entladestromstärke des Kondensators

Material 4: Massenbezogene Füllstandsmessung durch Verwendung von Lastsensoren

Das Grundprinzip der massenbezogenen Füllstandsmessung basiert auf der Messung der Gewichtskraft eines Behälters durch Lastsensoren. Dabei werden die Sensoren unter dem Behälter angebracht und messen die von dem Behälter ausgeübte Kraft. Jegliche Änderung der gemessenen Kraft entspricht einer Änderung des Füllstands, solange das Füllmaterial eine einheitliche Dichte hat.

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Für die Kapazität Formula: C eines Plattenkondensators mit den gegebenen Abmessungen ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rll} C & = & \varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{r} \cdot \dfrac{A}{d} \quad&\mid \text{Einsetzen} \\[5pt] & = & \varepsilon_{0} \cdot 1 \cdot \dfrac{0,15 \; \mathrm{m} \cdot 0,3 \; \mathrm{m}}{0,05 \; \mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 7,97 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{F} \\[5pt] & = & 7,97 \; \mathrm{pF} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} C & = & \varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{r} \cdot \dfrac{A}{d} \quad&\mid \text{Einsetzen} \\[5pt] & = & \varepsilon_{0} \cdot 1 \cdot \dfrac{0,15 \; \mathrm{m} \cdot 0,3 \; \mathrm{m}}{0,05 \; \mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 7,97 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{F} \\[5pt] & = & 7,97 \; \mathrm{pF} \end{array}$

Liegt an einem Plattenkondensator die Spannung Formula: U_0 an, sammeln sich auf den Kondensatorplatten Ladungen an, was den Aufbau eines elektrischen Feldes zwischen den Platten zur Folge hat.

Das Verhältnis der auf einer Kondensatorplatte gespeicherten Ladungsmenge Formula: Q_0 zur angelegten Spannung Formula: U_0 ist dabei die Kapazität $Formula: C_0 = \tfrac{Q_0}{U_0}.$ $Formula: C_0 = \tfrac{Q_0}{U_0}.$

Wird ein Dielektrikum in den Raum zwischen den Kondensatorplatten eingeführt, so zeigen die im Dielektrikum vorhandenen Moleküle Dipolcharakter und richten sich gemäß dem bestehenden elektrischen Feld zwischen den Kondensatorplatten aus. Diese Polarisation führt dazu, dass die Kapazität des Kondensators auf den Wert $Formula: C = \varepsilon_{r,\mathrm{P}} \cdot C_0$ $Formula: C = \varepsilon_{r,\mathrm{P}} \cdot C_0$ ansteigt.

Da die Spannungsquelle während dieses Prozesses dauerhaft an die Spannungsquelle angeschlossen bleibt, ist die Spannung Formula: U_0 fest vorgegeben. Die Ladungsmenge auf den Platten ist jedoch variabel und passt sich der veränderten Kapazität an.

Für die neue Ladung Formula: Q folgt aus der Formel $Formula: C=\tfrac{Q}{U_0}\text{:}$ $Formula: C=\tfrac{Q}{U_0}\text{:}$

$Formula: Q = U_0 \cdot C = U_0 \cdot \epsilon_{\mathrm{r,P}} \cdot C_0 = \epsilon_{\mathrm{r,P}} \cdot Q_0$ $Formula: \begin{array}{rll} Q & = & U_{0} \cdot C \quad&\mid C = \varepsilon_{r,\mathrm{P}} \cdot C_0 \\[5pt] & = & U_{0} \cdot \varepsilon_{r, \mathrm{P}} \cdot C_{0} \quad&\mid Q_0=U_0 \cdot C_0 \\[5pt] & = & \varepsilon_{r, \mathrm{P}} \cdot Q_0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} Q & = & U_{0} \cdot C \quad&\mid C = \varepsilon_{r,\mathrm{P}} \cdot C_0 \\[5pt] & = & U_{0} \cdot \varepsilon_{r, \mathrm{P}} \cdot C_{0} \quad&\mid Q_0=U_0 \cdot C_0 \\[5pt] & = & \varepsilon_{r, \mathrm{P}} \cdot Q_0 \end{array}$

Daraus resultiert, dass das Einbringen des Dielektrikums eine Vergrößerung der auf dem Kondensator gespeicherten Ladung bewirkt.

Veranschaulichung der Polarisation durch eine Skizze:

Polarisation der Moleküle im Dielektrikum

Um die Gesamtkapazität $Formula: C_{\mathrm{ges}}$ $Formula: C_{\mathrm{ges}}$ zu berechnen, wird die Anordnung als eine Parallelschaltung aus zwei einzelnen Kondensatoren betrachtet. Dabei entfällt ein Teil der Kapazität auf den mit Luft gefüllten Bereich ( Formula: C_1 ) und der andere Teil auf den mit Petroleum bedeckten Bereich ( Formula: C_2 ).

Die effektiven Flächen der Kondensatorplatten ergeben sich aus der Breite Formula: b und den jeweiligen Höhenanteilen zu $Formula: A_1 = (h_{\mathrm{ges}} - h) \cdot b$ $Formula: A_1 = (h_{\mathrm{ges}} - h) \cdot b$ für den Luftbereich sowie $Formula: A_2 = h \cdot b$ $Formula: A_2 = h \cdot b$ für den Petroleumbereich.

Für die Kapazitäten der Teilkondensatoren folgt daraus:

$Formula: C_{\mathrm{1}} = \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot \varepsilon_{r,\mathrm{L}} \cdot \frac{ (h_{\mathrm{ges}} - h) \cdot b}{d}$ $Formula: C_{\mathrm{1}} = \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot \varepsilon_{r,\mathrm{L}} \cdot \frac{ (h_{\mathrm{ges}} - h) \cdot b}{d}$

$Formula: C_{\mathrm{2}} = \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot \varepsilon_{r,\mathrm{P}} \cdot \frac{h\cdot b}{d}$ $Formula: C_{\mathrm{2}} = \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot \varepsilon_{r,\mathrm{P}} \cdot \frac{h\cdot b}{d}$

Da es sich um eine Parallelschaltung handelt, addieren sich die Teilkapazitäten zur Gesamtkapazität $Formula: C_{\mathrm{ges}}\text{:}$ $Formula: C_{\mathrm{ges}}\text{:}$

$Formula: C_{\mathrm{ges}} = \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot \varepsilon_{r,\mathrm{L}} \cdot \frac{(h_{\mathrm{ges}} - h) \cdot b}{d} + \;$ $Formula: C_{\mathrm{ges}} = \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot \varepsilon_{r,\mathrm{L}} \cdot \frac{(h_{\mathrm{ges}} - h) \cdot b}{d} + \;$ $Formula: \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot \varepsilon_{r,\mathrm{P}} \cdot \frac{h \cdot b}{d}$ $Formula: \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot \varepsilon_{r,\mathrm{P}} \cdot \frac{h \cdot b}{d}$

Durch Ausklammern der Faktoren $Formula: \varepsilon_0,$ $Formula: \varepsilon_0,$ Formula: b und Formula: d sowie unter der Annahme, dass für Luft $Formula: \varepsilon_{r,\mathrm{L}} = 1$ $Formula: \varepsilon_{r,\mathrm{L}} = 1$ gilt, lässt sich die Formel wie folgt vereinfachen:

$Formula: \begin{array}{rll} C_{\mathrm{ges}} & = & \dfrac{\varepsilon_{0} \cdot b}{d} \cdot (1 \cdot (h_{\mathrm{ges}} - h) + \varepsilon_{r, \mathrm{P}} \cdot h) \\[5pt] & = & \varepsilon_{0} \cdot \dfrac{b}{d} \cdot (h_{\mathrm{ges}} + h \cdot (\varepsilon_{r, \mathrm{P}} - 1)) \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} C_{\mathrm{ges}} & = & \dfrac{\varepsilon_{0} \cdot b}{d} \cdot (1 \cdot (h_{\mathrm{ges}} - h) + \varepsilon_{r, \mathrm{P}} \cdot h) \\[5pt] & = & \varepsilon_{0} \cdot \dfrac{b}{d} \cdot (h_{\mathrm{ges}} + h \cdot (\varepsilon_{r, \mathrm{P}} - 1)) \end{array}$

Dies entspricht der in Material 1 angegebenen Formel

Um die aktuelle Füllhöhe Formula: h des Petroleums bei einer gemessenen Gesamtkapazität von $Formula: C_{\mathrm{ges}} = 10{,}75 \; \mathrm{pF}$ $Formula: C_{\mathrm{ges}} = 10{,}75 \; \mathrm{pF}$ zu bestimmen, wird die zuvor hergeleitete Funktionsgleichung nach der gesuchten Variablen aufgelöst:

$Formula: \begin{array}{rll} C_{\mathrm{ges}}(h) & = & \varepsilon_{0} \cdot \dfrac{b}{d} \cdot (h_{\mathrm{ges}} + (\varepsilon_{r, \mathrm{P}} - 1) \cdot h) & | & \cdot \dfrac{d}{\varepsilon_{0} \cdot b} \\[5pt] \dfrac{C_{\mathrm{ges}}}{\varepsilon_{0}} \cdot \dfrac{d}{b} & = & h_{\mathrm{ges}} + (\varepsilon_{r, \mathrm{P}} - 1) \cdot h & | & - h_{\mathrm{ges}} \,\, ; \,\, : (\varepsilon_{r, \mathrm{P}} - 1) \\[5pt] h & = & \left( \dfrac{C_{\mathrm{ges}}}{\varepsilon_{0}} \cdot \dfrac{d}{b} - h_{\mathrm{ges}} \right) \cdot \dfrac{1}{\varepsilon_{r, \mathrm{P}} - 1} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} C_{\mathrm{ges}}(h) & = & \varepsilon_{0} \cdot \dfrac{b}{d} \cdot (h_{\mathrm{ges}} + (\varepsilon_{r, \mathrm{P}} - 1) \cdot h) & | & \cdot \dfrac{d}{\varepsilon_{0} \cdot b} \\[5pt] \dfrac{C_{\mathrm{ges}}}{\varepsilon_{0}} \cdot \dfrac{d}{b} & = & h_{\mathrm{ges}} + (\varepsilon_{r, \mathrm{P}} - 1) \cdot h & | & - h_{\mathrm{ges}} \,\, ; \,\, : (\varepsilon_{r, \mathrm{P}} - 1) \\[5pt] h & = & \left( \dfrac{C_{\mathrm{ges}}}{\varepsilon_{0}} \cdot \dfrac{d}{b} - h_{\mathrm{ges}} \right) \cdot \dfrac{1}{\varepsilon_{r, \mathrm{P}} - 1} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rll} C_{\mathrm{ges}}(h) & = & \varepsilon_{0} \cdot \dfrac{b}{d} \cdot (h_{\mathrm{ges}} + (\varepsilon_{r, \mathrm{P}} - 1) \cdot h) \\[5pt] \dfrac{C_{\mathrm{ges}}}{\varepsilon_{0}} \cdot \dfrac{d}{b} & = & (\varepsilon_{r, \mathrm{P}} - 1) \cdot h \\[5pt] h & = & \left( \dfrac{C_{\mathrm{ges}}}{\varepsilon_{0}} \cdot \dfrac{d}{b} - h_{\mathrm{ges}} \right) \cdot \dfrac{1}{\varepsilon_{r, \mathrm{P}} - 1} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} C_{\mathrm{ges}}(h) & = & \varepsilon_{0} \cdot \dfrac{b}{d} \cdot (h_{\mathrm{ges}} + (\varepsilon_{r, \mathrm{P}} - 1) \cdot h) \\[5pt] \dfrac{C_{\mathrm{ges}}}{\varepsilon_{0}} \cdot \dfrac{d}{b} & = & (\varepsilon_{r, \mathrm{P}} - 1) \cdot h \\[5pt] h & = & \left( \dfrac{C_{\mathrm{ges}}}{\varepsilon_{0}} \cdot \dfrac{d}{b} - h_{\mathrm{ges}} \right) \cdot \dfrac{1}{\varepsilon_{r, \mathrm{P}} - 1} \end{array}$

Hier können die gegebenen Werte und Konstanten eingesetzt werden:

$Formula: \begin{array}{rll} h & = & \left( \dfrac{10,75 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{F}}{8,854 \cdot 10^{-12} \; \tfrac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}}} \cdot \dfrac{0,05 \; \mathrm{m}}{0,15 \; \mathrm{m}} - 0,30 \; \mathrm{m} \right) \\[5pt] &\phantom{=}& \cdot \dfrac{1}{2,0 - 1} \\[5pt] & \approx & (0,4047 \; \mathrm{m} - 0,30 \; \mathrm{m}) \cdot 1 \\[5pt] & \approx & 0,1047 \; \mathrm{m} \\[5pt] & \approx & 0,10 \; \mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} h & = & \left( \dfrac{10,75 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{F}}{8,854 \cdot 10^{-12} \; \tfrac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}}} \cdot \dfrac{0,05 \; \mathrm{m}}{0,15 \; \mathrm{m}} - 0,30 \; \mathrm{m} \right) \\[5pt] &\phantom{=}& \cdot \dfrac{1}{2,0 - 1} \\[5pt] & \approx & (0,4047 \; \mathrm{m} - 0,30 \; \mathrm{m}) \cdot 1 \\[5pt] & \approx & 0,1047 \; \mathrm{m} \\[5pt] & \approx & 0,10 \; \mathrm{m} \end{array}$

Der berechnete Füllstand des Petroleums im Behälter beträgt somit circa $Formula: 0{,}10 \; \mathrm{m}.$ $Formula: 0{,}10 \; \mathrm{m}.$

Der zeitliche Verlauf der Stromstärke während der Entladung des Kondensators lässt sich mathematisch durch eine Exponentialfunktion beschreiben, die nach der Kapazität Formula: C aufgelöst werden kann:

$Formula: \begin{array}{rll} I(t) &=& I_{0} \cdot e^{-\frac{t}{R \cdot C}} \quad&\mid : I_{0} \\[5pt] \dfrac{I(t)}{I_{0}} &=& e^{-\frac{t}{R \cdot C}} \quad&\mid \ln(\dots) \\[5pt] \ln \left( \dfrac{I(t)}{I_{0}} \right) &=& -\dfrac{t}{R \cdot C} \quad&\mid \cdot \dfrac{C}{\ln \left( \tfrac{I(t)}{I_{0}} \right)} \\[5pt] C &=& -\dfrac{1}{R} \cdot \dfrac{1}{\ln \left( \tfrac{I(t)}{I_{0}} \right)} \cdot t \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} I(t) &=& I_{0} \cdot e^{-\frac{t}{R \cdot C}} \quad&\mid : I_{0} \\[5pt] \dfrac{I(t)}{I_{0}} &=& e^{-\frac{t}{R \cdot C}} \quad&\mid \ln(\dots) \\[5pt] \ln \left( \dfrac{I(t)}{I_{0}} \right) &=& -\dfrac{t}{R \cdot C} \quad&\mid \cdot \dfrac{C}{\ln \left( \tfrac{I(t)}{I_{0}} \right)} \\[5pt] C &=& -\dfrac{1}{R} \cdot \dfrac{1}{\ln \left( \tfrac{I(t)}{I_{0}} \right)} \cdot t \end{array}$

Für die Stromstärke zum Zeitpunkt $Formula: t = 0 \; \mathrm{s}$ $Formula: t = 0 \; \mathrm{s}$ ergibt sich mit Material 3 $Formula: I(0) = 15\;\mathrm{\mu A} = I_{\mathrm{0}}.$ $Formula: I(0) = 15\;\mathrm{\mu A} = I_{\mathrm{0}}.$

Außerdem lassen sich in Material 3 Messwertpaare ablesen, beispielsweise $Formula: I(4,1\;\mathrm{\mu s}) \approx 7,5\;\mathrm{\mu A}.$ $Formula: I(4,1\;\mathrm{\mu s}) \approx 7,5\;\mathrm{\mu A}.$ Somit ergibt sich für die Kapazität Formula: C des Kondensators:

$Formula: \begin{array}{rl} C & = -\dfrac{1}{R} \cdot \dfrac{1}{\ln \left(\tfrac{l(t)}{l_0}\right)} \cdot t \\[5pt] & \approx -\dfrac{1}{500 \cdot 10^3 \; \mathrm{\Omega}} \cdot \dfrac{1}{\ln \left(\tfrac{1}{2}\right)} \cdot 4,1 \cdot 10^{-6} \; \mathrm{s} \\[5pt] & \approx 11,8 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{F} . \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rl} C & = -\dfrac{1}{R} \cdot \dfrac{1}{\ln \left(\tfrac{l(t)}{l_0}\right)} \cdot t \\[5pt] & \approx -\dfrac{1}{500 \cdot 10^3 \; \mathrm{\Omega}} \cdot \dfrac{1}{\ln \left(\tfrac{1}{2}\right)} \cdot 4,1 \cdot 10^{-6} \; \mathrm{s} \\[5pt] & \approx 11,8 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{F} . \end{array}$

Liniengraph: zwei fallende Kurven (durchgezogen und gestrichelt) I in µA gegen t in µs auf kariertem Hintergrund.

Es wird die Gleichung aus Material 1 betrachtet:

Gemäß dieser Gleichung resultiert ein höherer Füllstand Formula: h in einer größeren Kapazität $Formula: C_{\mathrm{ges}}$ $Formula: C_{\mathrm{ges}}$ des Kondensators.

Da bei einer konstanten Spannung eine größere Kapazität auch eine höhere gespeicherte Ladungsmenge auf den Platten bedeutet, wird bei der Entladung über den gleichen ohmschen Widerstand eine längere Zeitspanne benötigt, bis der Kondensator beispielsweise zur Hälfte entladen ist.

Somit verläuft der Entladevorgang bei hohen Füllständen langsamer als bei geringen Füllmengen. In der Grafik ist der Verlauf für eine geringere Füllhöhe daher durch die steiler abfallende, gestrichelte Linie dargestellt.

Mit Hilfe der Gleichung in Material 1 ergibt sich als Kapazität des Kondensators, wenn er zur Hälfte mit Petroleum gefüllt ist $Formula: C(15 \; \mathrm{cm}) \approx 11,95 \; \mathrm{pF}.$ $Formula: C(15 \; \mathrm{cm}) \approx 11,95 \; \mathrm{pF}.$ Um sicherzustellen, dass der Behälter weniger als zur Hälfte mit Petroleum befüllt ist, muss ausgeschlossen werden, dass die Kapazität des betrachteten Kondensators größer oder gleich diesem Grenzwert ist.

Die Auswertung des zeitlichen Verlaufs der Entladestromstärke liefert zunächst einen Kapazitätswert von $Formula: 11,8 \;\text{pF},$ $Formula: 11,8 \;\text{pF},$ allerdings unterliegt diese durch die gegebene Messunsicherheit der Stromstärke, die auf $Formula: \pm 0,1\; \mathrm{\mu A}$ $Formula: \pm 0,1\; \mathrm{\mu A}$ genau bestimmt werden kann, Unsicherheiten.

Wird beispielsweise die Stromstärke bei $Formula: t=4\; \mu \text{s}$ $Formula: t=4\; \mu \text{s}$ betrachtet, ergibt sich für die Stromstärke ein Wert von $Formula: (7,7 \pm 0,1) \; \mu\mathrm{A}.$ $Formula: (7,7 \pm 0,1) \; \mu\mathrm{A}.$

Daraus lässt sich mit Hilfe des Zusammenhangs aus Teilaufgabe c1) die innerhalb der Messunsicherheit maximale Kapazität berechnen:

$Formula: \begin{array}{rcl} C & = & -\dfrac{1}{R} \cdot \dfrac{1}{\ln \left( \tfrac{I(t)}{I_{\mathrm{0}}} \right)} \cdot t \\[5pt] C_\text{max} & = & -\dfrac{1}{500\;\mathrm{k\Omega}} \cdot \dfrac{1}{\ln \left( \tfrac{7,8\;\mathrm{\mu A}}{15\;\mathrm{\mu A}} \right)} \cdot 4\;\mathrm{\mu s} \\[5pt] & \approx & 1,22 \cdot 10^{-11}\;\mathrm{F} \approx 12,23\;\mathrm{pF} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} C & = & -\dfrac{1}{R} \cdot \dfrac{1}{\ln \left( \tfrac{I(t)}{I_{\mathrm{0}}} \right)} \cdot t \\[5pt] C_\text{max} & = & -\dfrac{1}{500\;\mathrm{k\Omega}} \cdot \dfrac{1}{\ln \left( \tfrac{7,8\;\mathrm{\mu A}}{15\;\mathrm{\mu A}} \right)} \cdot 4\;\mathrm{\mu s} \\[5pt] & \approx & 1,22 \cdot 10^{-11}\;\mathrm{F} \approx 12,23\;\mathrm{pF} \end{array}$

Dieser Wert ist größer als die Kapazität des Kondensators, wenn er zur Hälfte mit Petroleum gefüllt ist. Somit ist es innerhalb der Messunsicherheit möglich, dass die tatsächliche Kapazität größer als $Formula: 11,95 \; \mathrm{pF}$ $Formula: 11,95 \; \mathrm{pF}$ ist, der Behälter also mehr als zur Hälfte mit Petroleum befüllt ist. Es kann also nicht gefolgert werden, dass der Kondensator weniger als zur Hälfte mit Petroleum befüllt ist.

Aus wirtschaftlichen Gründen sollte der Einbau nicht-notwendiger Systeme vermieden werden, da diese in der Regel unnötige Mehrkosten verursachen. Folglich rechtfertigt sich die Installation der massenbasierten Füllstandsmessung ausschließlich in den Fällen, in denen die bisher etablierte kapazitive Methode an ihre technischen Grenzen stößt und ungeeignet ist.

Ein wesentliches Kriterium des kapazitiven Verfahrens (wie in Material 1 beschrieben) ist, dass die Kondensatorplatten zwingend elektrisch voneinander isoliert bleiben müssen. Das bedeutet im Umkehrschluss, dass elektrisch leitfähige Flüssigkeiten mit dieser Methode nicht erfasst werden können, da sie die Isolierung aufheben würden.

Wie aus Material 4 hervorgeht, bietet sich für genau diese leitfähigen Stoffe das massenbezogene Messverfahren als passende Alternative an – unter der zwingenden Voraussetzung, dass das zu messende Material eine einheitliche Dichte aufweist.

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