Aufgabe 3 — Sicherheit von Deichen

Deiche dienen zum Schutz vor Überflutungen. Ihre Stabilität muss regelmäßig überprüft werden. Messungen des elektrischen Widerstands ermöglichen dabei Rückschlüsse darauf, ob Meerwasser in einen Deich eingedrungen ist.

Bei dem in Material 1 beschriebenen Aufbau wird durch die Elektroden Formula: P_1 und Formula: P_2 ein zeitlich konstantes elektrisches Feld im Deich erzeugt. Nimm im Folgenden an, dass der Deichkörper überall dieselbe stoffliche Zusammensetzung besitzt. Vernachlässige elektrische Ströme, die aufgrund des elektrischen Feldes im Deichkörper entstehen.

Skizziere in Abbildung 1 die elektrischen Feldlinien durch die Punkte A und B.

4 BE

Nimm an, dass von jeder der beiden Elektroden Formula: P_1 und Formula: P_2 im Punkt Formula: Z jeweils ein elektrisches Feld mit dem Betrag $Formula: 1,0 \cdot 10^{-3}\; \tfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}$ $Formula: 1,0 \cdot 10^{-3}\; \tfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}$ erzeugt wird.

Bestimme zeichnerisch in Abbildung 1 den Betrag Formula: E der Gesamtfeldstärke im Punkt Formula: Z. Gib den verwendeten Maßstab an.

[Kontrollwert: $Formula: 1,7 \cdot 10^{-3}\; \tfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}$ $Formula: 1,7 \cdot 10^{-3}\; \tfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}$ ]

8 BE

Im Punkt Formula: Z des Deiches (siehe Abbildung 1 in Material 1) befindet sich ein einfach positiv geladenes Natriumion der Masse $Formula: 3,8 \cdot 10^{-26} \; \mathrm{kg}.$ $Formula: 3,8 \cdot 10^{-26} \; \mathrm{kg}.$

Bestimme mit dem Ergebnis aus Aufgabe a2) den Betrag der elektrischen Kraft auf dieses Ion.

Begründe mithilfe einer Rechnung, dass die Gewichtskraft gegenüber den wirkenden elektrischen Feldkräften vernachlässigt werden kann.

4 BE

Zur Untersuchung, ob in einen Deich Meerwasser eingedrungen ist, wird der spezifische elektrische Widerstand $Formula: \rho$ $Formula: \rho$ des Deichmaterials bestimmt (siehe Material 2).

Erkläre mithilfe des Zusammenhangs aus Material 3 die Veränderung der elektrischen Stromstärke Formula: I, falls Meerwasser in den Deichkörper eindringt. Gehe von der Annahme einer konstanten Spannung Formula: U_M zwischen Formula: M_1 und Formula: M_2 aus.

4 BE

Ermittle unter Verwendung aller geeigneten Messwerte aus Tabelle 1 in Material 3 den spezifischen elektrischen Widerstand $Formula: \rho$ $Formula: \rho$ des Deichkörpers (siehe Material 2).

[Kontrollwert: $Formula: 60 \; \Omega \cdot \text{m}$ $Formula: 60 \; \Omega \cdot \text{m}$ ]

6 BE

Beurteile mithilfe von Material 1 und 2, ob bei dem spezifischen Widerstand von $Formula: 60 \; \Omega \cdot \text{m}$ $Formula: 60 \; \Omega \cdot \text{m}$ Meerwasser in den Deichkörper eingedrungen sein könnte.

6 BE

Während der Messung soll der Deich für die Zeitdauer der Überprüfung für Anwohner und Urlauber gesperrt werden. Die Sperrung wird daher in der Lokalzeitung angekündigt. Deren Redaktion erhält daraufhin einen Leserbrief, der in Material 4 ausschnittsweise abgedruckt ist.

Verfasse im Namen der für die Messungen verantwortlichen Person ein Antwortschreiben, in welchem du auf die in Material 4 angesprochenen Risiken eingehst und physikalisch begründest, dass keine Gefährdung für diese Tiere vorliegt.

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Material 1: Querschnitt des Deichkörpers

Für eine geoelektrische Messung werden zwei Elektroden Formula: P_1 und Formula: P_2 im Abstand Formula: L wenige Zentimeter tief in den Deich aus Sand und Kies gesteckt. Eine äußere Spannung $Formula: U_{\mathrm{außen}}$ $Formula: U_{\mathrm{außen}}$ erzeugt im Deichkörper ein elektrisches Feld.

Abbildung 1: Schematische Darstellung des Deiches im Querschnitt mit der äußeren angelegten Spannung

Material 2: Spezifischer elektrischer Widerstand

Der spezifische elektrische Widerstand $Formula: \rho$ $Formula: \rho$ ist eine Materialkonstante. Je besser ein Material den elektrischen Strom leitet, desto kleiner ist der spezifische Widerstand.

Der spezifische elektrische Widerstand $Formula: \rho$ $Formula: \rho$ hat die Einheit

$Formula: 1\; \dfrac{\Omega \cdot \mathrm{m}^2}{\mathrm{m}} = 1\; \Omega \cdot \mathrm{m}.$ $Formula: 1\; \dfrac{\Omega \cdot \mathrm{m}^2}{\mathrm{m}} = 1\; \Omega \cdot \mathrm{m}.$

Spezifischer elektrischer Widerstand für verschiedene Materialien

Abbildung 2: Spezifischer elektrischer Widerstand $Formula: \small{\rho}$ $Formula: \small{\rho}$ für verschiedene Materialien

Material 3: Messwerte zur Bestimmung des spezifischen Widerstands

Abbildung 3: Schematische Darstellung der Messung an der Deichoberfläche in der Schlumberger-Anordnung

Mithilfe der sogenannten Schlumberger-Anordnung kann der spezifische Widerstand des Deichmaterials ermittelt werden. Die Spannung $Formula: U_{\mathrm{außen}}$ $Formula: U_{\mathrm{außen}}$ zwischen Formula: P_1 und Formula: P_2 führt zu einem elektrischen Strom, dessen Stärke Formula: I gemessen wird. Zusätzlich wird zwischen den inneren Elektroden Formula: M_1 und Formula: M_2 eine Spannung Formula: U_M gemessen (vergleiche Abbildung 3).

Der Abstand Formula: a zwischen den Elektroden Formula: M_1 und Formula: M_2 bleibt gleich, der Abstand Formula: L der äußeren Elektroden wird variiert.

Unter folgender Bedingung lässt sich der spezifische Widerstand des Deichmaterials bestimmen: $Formula: L \geq 10 a .$ $Formula: L \geq 10 a .$

Gilt diese Bedingung, so kann der spezifische elektrische Widerstand $Formula: \rho$ $Formula: \rho$ des dazwischenliegenden Materials mit folgendem Zusammenhang bestimmt werden:

$Formula: \dfrac{U_{M}}{I} = \rho \cdot \dfrac{4 \cdot a}{\pi \cdot L^2}.$ $Formula: \dfrac{U_{M}}{I} = \rho \cdot \dfrac{4 \cdot a}{\pi \cdot L^2}.$

Bei einem konstanten Abstand von $Formula: a = 10 \;\text{m}$ $Formula: a = 10 \;\text{m}$ wurden folgende Messwerte erfasst:

Messung Nummer
$Formula: \boldsymbol{L}$ $Formula: \boldsymbol{L}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{m}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{m}}$
$Formula: \boldsymbol{U_M}$ $Formula: \boldsymbol{U_M}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mV}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mV}}$
$Formula: \boldsymbol{I}$ $Formula: \boldsymbol{I}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mA}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mA}}$

Tabelle 1: Messbeispiele; zu Prüfungszwecken erstellt

Material 4: Leserbrief und Sicherheitsaspekte

Leserbrief

„[…] Natürlich ist auch für mich die Überprüfung der Deichsicherheit wichtig. Allerdings scheint mir das Vorhaben sehr gefährlich, denn hier werden gefährliche Stromstärken in den Deich eingespeist. Das kann für Tiere, die sich zufällig dort aufhalten, tödlich sein. Ich appelliere daher an den Leiter der Messungen, dass er sicherstellt, dass sich während der Messungen auf dem gesamten Deichkörper auch keine Schafe, Hunde oder Katzen aufhalten. […]“

Sicherheitsaspekte bei der Durchführung der Messung

Die beiden Elektroden Formula: P_1 und Formula: P_2 werden durch Zelte abgedeckt, so dass kein Tier diese berühren kann. Weiter wird sichergestellt, dass die elektrische Feldstärke im zugänglichen Bereich unter dem Wert $Formula: 10 \; \tfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}$ $Formula: 10 \; \tfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}$ bleibt.

Bei Gleichspannungen unter $Formula: 60 \;\text{V}$ $Formula: 60 \;\text{V}$ kann gänzlich auf einen Schutz gegen Berühren verzichtet werden; diese Spannungen gelten auch für Tiere und Kinder als ungefährlich.

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Schematische Querschnitt: Meer links, Dichtungsschicht, Untergrund und Grundwasserströmung mit Punkten P1/P2 und Messstrecke.

Schematische Zeichnung eines Leiters mit Punkten P1, P2 und Punkt Z, eingezeichneten Feldvektoren (E_p, E_q, E_ges) und 'Untergrund'

Als Maßstab wurde z.B. $Formula: 2,0 \; \mathrm{cm} \stackrel{\wedge}{=} 1,0 \cdot 10^{-3} \; \tfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}$ $Formula: 2,0 \; \mathrm{cm} \stackrel{\wedge}{=} 1,0 \cdot 10^{-3} \; \tfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}$ verwendet, daraus folgt für die Gesamtfeldstärke $Formula: E \approx 1,7 \cdot 10^{-3} \; \tfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}.$ $Formula: E \approx 1,7 \cdot 10^{-3} \; \tfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}.$

Um die wirkenden Kräfte miteinander zu vergleichen, wird zunächst separat die elektrische Kraft und die Gewichtskraft berechnet.

Die elektrische Kraft $Formula: F_{\mathrm{el}}$ $Formula: F_{\mathrm{el}}$ ergibt sich aus dem Produkt der Ladung Formula: e und der elektrischen Feldstärke Formula: E. Mit dem Wert für die elektrische Feldstärke aus Aufgabe a2) ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}{rll} F_{\mathrm{el}} & = & e \cdot E \\[5pt] & \approx & e \cdot 1,7 \cdot 10^{-3} \; \dfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 2,7 \cdot 10^{-22} \; \mathrm{N} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} F_{\mathrm{el}} & = & e \cdot E \\[5pt] & \approx & e \cdot 1,7 \cdot 10^{-3} \; \dfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 2,7 \cdot 10^{-22} \; \mathrm{N} \end{array}$

Im nächsten Schritt wird die Gewichtskraft $Formula: F_{\mathrm{G}}$ $Formula: F_{\mathrm{G}}$ bestimmt:

$Formula: \begin{array}{rll} F_{\mathrm{G}} & = & m \cdot g \\[5pt] & \approx & 3,8 \cdot 10^{-26} \; \mathrm{kg} \cdot g \\[5pt] & \approx & 3,7 \cdot 10^{-25} \; \mathrm{N} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} F_{\mathrm{G}} & = & m \cdot g \\[5pt] & \approx & 3,8 \cdot 10^{-26} \; \mathrm{kg} \cdot g \\[5pt] & \approx & 3,7 \cdot 10^{-25} \; \mathrm{N} \end{array}$

Werden die beiden berechneten Werte miteinander verglichen, so zeigt sich deutlich $Formula: F_{\mathrm{G}} \ll F_{\mathrm{el}}.$ $Formula: F_{\mathrm{G}} \ll F_{\mathrm{el}}.$ Die Gewichtskraft kann somit gegenüber den elektrischen Feldkräften vernachlässigt werden.

Meerwasser zeichnet sich durch einen geringen spezifischen Widerstand aus. Sollte Salzwasser in den Deich eindringen, sinkt folglich der spezifische Widerstand des gesamten Deichmaterials. Die Gleichung aus Material 3 lässt sich nach der Stromstärke Formula: I umstellen:

$Formula: \begin{array}{rcl@{\quad}ll} \dfrac{U_{M}}{I} & = & \rho \cdot \dfrac{4 \cdot a}{\pi \cdot L^{2}} & \mid & \cdot I \\[5pt] U_{M} & = & I \cdot \rho \cdot \dfrac{4 \cdot a}{\pi \cdot L^{2}} & \mid & \cdot \dfrac{\pi \cdot L^{2}}{4 \cdot a \cdot \rho} \\[5pt] I & = & \dfrac{U_{M}}{\rho} \cdot \dfrac{\pi \cdot L^{2}}{4 \cdot a} & & \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl@{\quad}ll} \dfrac{U_{M}}{I} & = & \rho \cdot \dfrac{4 \cdot a}{\pi \cdot L^{2}} & \mid & \cdot I \\[5pt] U_{M} & = & I \cdot \rho \cdot \dfrac{4 \cdot a}{\pi \cdot L^{2}} & \mid & \cdot \dfrac{\pi \cdot L^{2}}{4 \cdot a \cdot \rho} \\[5pt] I & = & \dfrac{U_{M}}{\rho} \cdot \dfrac{\pi \cdot L^{2}}{4 \cdot a} & & \end{array}$

Unter der Annahme, dass die Messspannung $Formula: U_{{M}},$ $Formula: U_{{M}},$ die Länge Formula: L und der Abstand Formula: a unverändert bleiben, resultiert ein kleinerer spezifischer Widerstand des Deichmaterials somit in einem Anstieg der gemessenen Stromstärke.

Die erste Messung muss verworfen werden, da die notwendige Bedingung $Formula: L > 10 \cdot a$ $Formula: L > 10 \cdot a$ in diesem Fall nicht gegeben ist.

Die Gleichung aus Material 3 kann nach dem spezifischen Widerstand $Formula: \rho$ $Formula: \rho$ umgestellt werden:

$Formula: \rho = \frac{U_{M}}{I} \cdot \frac{\pi \cdot L^{2}}{4 \cdot a}$ $Formula: \rho = \frac{U_{M}}{I} \cdot \frac{\pi \cdot L^{2}}{4 \cdot a}$

Mit Hilfe dieser Gleichung ergibt sich für die zweite Messung:

$Formula: \rho=\frac {10 \; \text{mV}\cdot \pi \cdot (100 \text{m})^2} {129 \; \text{mA}\cdot 4\cdot 10 \;\ \text{m}}=60,9\;\Omega\cdot\mathrm{m}$ $Formula: \rho=\frac {10 \; \text{mV}\cdot \pi \cdot (100 \text{m})^2} {129 \; \text{mA}\cdot 4\cdot 10 \;\ \text{m}}=60,9\;\Omega\cdot\mathrm{m}$

Und für die dritte Messung:

$Formula: \rho=\frac {5,0 \; \text{mV}\cdot \pi \cdot (120 \text{m})^2} {95 \; \text{mA}\cdot 4\cdot 10 \;\ \text{m}}=59,5\;\Omega\cdot\mathrm{m}$ $Formula: \rho=\frac {5,0 \; \text{mV}\cdot \pi \cdot (120 \text{m})^2} {95 \; \text{mA}\cdot 4\cdot 10 \;\ \text{m}}=59,5\;\Omega\cdot\mathrm{m}$

Aus diesen beiden Ergebnissen lässt sich ein Mittelwert von näherungsweise $Formula: 60\;\Omega\cdot\mathrm{m}$ $Formula: 60\;\Omega\cdot\mathrm{m}$ bilden.

Wie aus Material 1 hervorgeht, setzt sich das Innere des Deiches vorwiegend aus Sand und Kies zusammen. Gemäß den Angaben aus Material 2 handelt es sich um nassen Sand oder nassen Kies. Trockene Sand- und Kiesböden lassen sich definitiv ausschließen, da deren spezifischer Widerstand deutlich höher als $Formula: 60\;\Omega\cdot\mathrm{m}$ $Formula: 60\;\Omega\cdot\mathrm{m}$ ist.

Auffällig ist, dass der ermittelte spezifische Widerstand sogar noch unter dem Wert für nassen Kies liegt. Dies lässt vermuten, dass salzhaltiges Meerwasser in den Deichkörper eingedrungen ist und dadurch den elektrischen Widerstand weiter reduziert hat.

Beispiel für ein Antwortschreiben:

Sehr geehrte Leserin, sehr geehrter Leser,

vielen Dank, dass Sie uns in Ihrem Leserbrief auf Ihre Bedenken hinsichtlich des Tierwohls aufmerksam gemacht haben. Wir möchten diese Gelegenheit nutzen, um Ihnen darzulegen, dass für die Weidetiere auf dem Deich keinerlei Gefahr besteht.

Zunächst ist eine direkte Berührung der an der äußeren Versorgungsspannung liegenden Elektroden ausgeschlossen, da diese mit entsprechenden Abdeckungen gesichert sind. Darüber hinaus sind auch die im Deichkörper fließenden Ströme für die Tiere unbedenklich. Zwar kann eine anliegende Spannung zwischen den Tierbeinen einen Stromfluss durch ihren Körper verursachen, allerdings wird hierbei der Grenzwert von $Formula: 60\;\mathrm{V}$ $Formula: 60\;\mathrm{V}$ nicht erreicht.

Dies lässt sich physikalisch leicht begründen: Die zwischen den Beinen abfallende Spannung ergibt sich rechnerisch aus dem Produkt der elektrischen Feldstärke Formula: E und dem Beinabstand. Da die Feldstärke im gesamten Areal kleiner als $Formula: 10\;\tfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}$ $Formula: 10\;\tfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}$ ist, liegt beispielsweise an einem Schaf mit einem angenommenen Beinabstand von $Formula: 1\;\mathrm{m}$ $Formula: 1\;\mathrm{m}$ eine Spannung von maximal $Formula: 10\;\mathrm{V}$ $Formula: 10\;\mathrm{V}$ an. Dieser Wert ist als vollkommen ungefährlich anzusehen. Selbst bei Tieren mit deutlich größerer Schrittweite bleibt die auftretende Spannung sicher unter dem Grenzwert von $Formula: 60\;\mathrm{V},$ $Formula: 60\;\mathrm{V},$ ab dem eine potenzielle Gefährdung eintreten könnte. Das Tierwohl ist somit uneingeschränkt gesichert.

Mit freundlichen Grüßen

Ihr Messteam

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