Aufgabe A1

Hinweis: Wähle aus den Aufgaben A1 und A2 eine Aufgabe, aus den Aufgaben B1 und B2 eine Aufgabe und aus den Experimenten E1 und E2 ein Experiment aus.

Ein Körper an einer Feder kann eine mechanische Schwingung ausführen. Dabei lassen sich Zusammenhänge zwischen verschiedenen physikalischen Größen untersuchen.

1.1

Zunächst wird an eine Feder mit unbekannter Federkonstante Formula: k_1 (Abbildung A) ein Körper mit der Masse $Formula: m = 100\;\text{g}$ $Formula: m = 100\;\text{g}$ angehängt. Die Masse der Feder ist vernachlässigbar. Das Federpendel befindet sich nun in der Ruhelage (Abbildung B). Der Körper wird nach unten ausgelenkt (Abbildung C) und zum Zeitpunkt $Formula: t = 0\;\text{s}$ $Formula: t = 0\;\text{s}$ losgelassen. Es setzt eine harmonische Schwingung ein.

Drei Diagramme (Abbildung A–C): Deckenfeder k1, A kurz, B Masse m in Ruhelage, C Masse m um 2 cm tiefer.

1.1.1

Ermittle die Federkonstante Formula: k_1 der Feder und die Periodendauer Formula: T_1 der harmonischen Schwingung.

(Kontrollergebnis: $Formula: T_1=0,45\;\text{s}$ $Formula: T_1=0,45\;\text{s}$ )

3 BE

1.1.2

Gib eine Gleichung für die momentane Auslenkung Formula: y(t) des Körpers an und skizziere das zugehörige Formula: y(t)- Diagramm für die erste Schwingungsperiode.

3 BE

1.1.3

Berechne die maximale kinetische Energie $Formula: E_\text{kin,max}$ $Formula: E_\text{kin,max}$ des Körpers und skizziere das $Formula: E_\text{kin}(t)-$ $Formula: E_\text{kin}(t)-$ Diagramm für das gleiche Zeitintervall wie in Aufgabe 1.1.2.

4 BE

1.1.4

Vergleiche eine ungedämpfte mit einer gedämpften Schwingung hinsichtlich auftretender Energieformen.

2 BE

1.2

Die Feder in der Anordnung wird nun durch eine zweite Feder mit der unbekannten Federkonstante Formula: k_2 ausgetauscht. Als Pendelkörper wird ein Massestück $Formula: m = 100 \; \text{g}$ $Formula: m = 100 \; \text{g}$ verwendet.

Das Federpendel wird in Schwingung versetzt.

Über einen Zeitraum von $Formula: t_{\text{ges}} = 4 \; \text{s}$ $Formula: t_{\text{ges}} = 4 \; \text{s}$ werden in regelmäßigen Zeitabständen insgesamt Formula: 80 Wertepaare für die Elongation Formula: y und die rücktreibende Kraft $Formula: F_\text{R}$ $Formula: F_\text{R}$ gemessen. Diese werden im folgenden $Formula: F_\text{R}(y)-$ $Formula: F_\text{R}(y)-$ Diagramm inklusive Ausgleichsgerade dargestellt.

Streudiagramm mit Punkten und fallender Regressionslinie; y in m, F_R in N

1.2.1

Begründe, mithilfe des abgebildeten $Formula: F_\text{R}(y)-$ $Formula: F_\text{R}(y)-$ Diagramms, dass die Schwingung näherungsweise harmonisch verläuft.

2 BE

1.2.2

Ermittle mithilfe des abgebildeten $Formula: F_\text{R}(y)-$ $Formula: F_\text{R}(y)-$ Diagramms die Anzahl Formula: N der pro Schwingungsperiode aufgezeichneten Wertepaare.

3 BE

R. STIRLING entwickelte im Jahr 1816 eine besondere Wärmekraftmaschine.

Ein STIRLINGmotor enthält eine abgeschlossene Gasmenge, die zwei isotherme und zwei isochore Zustandsänderungen durchläuft.

Beim STIRLINGmotor findet keine Verbrennung statt, sondern es werden lediglich zwei Wärmereservoire mit unterschiedlicher Temperatur benötigt.

Ein STIRLINGmotor eignet sich somit auch für Anwendungen, bei denen kein Sauerstoff zur Verfügung steht. In einem STIRLINGmotor für eine zukünftige Mondstation wird die Abwärme eines kleinen Kernreaktors genutzt, um mechanische Arbeit zu verrichten.

Der Kernreaktor führt dem Arbeitsgas Helium bei der Temperatur $Formula: T_A=830\;\text{K}$ $Formula: T_A=830\;\text{K}$ die Wärme $Formula: Q_{AB}$ $Formula: Q_{AB}$ isotherm zu. Bei einer Temperatur von $Formula: T_C=415 \;\text{K}$ $Formula: T_C=415 \;\text{K}$ wird die Wärme $Formula: Q_{CD}$ $Formula: Q_{CD}$ isotherm an die Umgebung abgegeben. Der maximale Druck während des Kreisprozesses ist beim Zustand A erreicht und beträgt $Formula: p_{A}=15 \;\text{MPa}.$ $Formula: p_{A}=15 \;\text{MPa}.$ Im Zustand A hat das Arbeitsgas zudem das minimale Volumen. Dieses beträgt $Formula: V_A=1 \cdot 10^{-5} \;\text{m}^3.$ $Formula: V_A=1 \cdot 10^{-5} \;\text{m}^3.$ Bei der isothermen Expansion $Formula: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ $Formula: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ nimmt das Volumen um $Formula: \Delta V = 9 \cdot 10^{-5} \; \mathrm{m}^3$ $Formula: \Delta V = 9 \cdot 10^{-5} \; \mathrm{m}^3$ zu. Bei allen Zustandsänderungen wird Helium als ideales Gas mit der spezifischen Gaskonstante $Formula: R_{\mathrm{S}} = 2077 \; \tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}}$ $Formula: R_{\mathrm{S}} = 2077 \; \tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}}$ betrachtet.

2.1

Nenne zwei Eigenschaften eines idealen Gases.

2 BE

2.2

Ermittle für die Zustände A bis D jeweils die Größen Druck Formula: p, Volumen Formula: V und Temperatur Formula: T.

Fasse deine Ergebnisse in einer Tabelle zusammen.

4 BE

2.3

Berechne die Anzahl Formula: N der Heliumatome und deren Gesamtmasse $Formula: m_\text{ges}$ $Formula: m_\text{ges}$ im STIRLINGmotor .

4 BE

2.4

Berechne den Betrag der bei einem Umlauf verrichteten mechanischen Arbeit Formula: |W| dieses STIRLINGmotors.

(Kontrollergebnis: $Formula: |W| \approx 173\;\text{J}$ $Formula: |W| \approx 173\;\text{J}$ )

4 BE

2.5

Mit einem an den STIRLINGmotor angeschlossenen Generator gelingt die Umwandlung von mechanischer in elektrische Energie mit einem Wirkungsgrad von $Formula: \eta_\text{el}= 0,87.$ $Formula: \eta_\text{el}= 0,87.$

Berechne die elektrische Leistung $Formula: P_\text{el}$ $Formula: P_\text{el}$ des Systems in $Formula: \text{kW},$ $Formula: \text{kW},$ wenn der STIRLINGmotor eine Drehzahl von $Formula: n = 5100 \; \mathrm{min}^{-1}$ $Formula: n = 5100 \; \mathrm{min}^{-1}$ hat.

3 BE

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1.1.1

Ermitteln der Federkonstante:

$Formula: \begin{array}{rcl} k_1 & = & \dfrac{m \cdot g}{\Delta y} \\[5pt] & = & \dfrac{0,100 \;\mathrm{kg} \cdot 9,81 \;\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}}{0,05 \;\mathrm{m}} \\[5pt] & = & 19,62 \;\mathrm{\dfrac{N}{m}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} k_1 & = & \dfrac{m \cdot g}{\Delta y} \\[5pt] & = & \dfrac{0,100 \;\mathrm{kg} \cdot 9,81 \;\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}}{0,05 \;\mathrm{m}} \\[5pt] & = & 19,62 \;\mathrm{\dfrac{N}{m}} \end{array}$

Ermitteln der Periodendauer:

Damit kann nun die Periodendauer Formula: T_1 bestimmt werden:

$Formula: \begin{array}{rcl} T_1 & = & 2\pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{k_1}} \\[5pt] & = & 2\pi \cdot \sqrt{\dfrac{0,100 \;\mathrm{kg}}{19,62 \;\mathrm{\tfrac{N}{m}}}} \\[5pt] & \approx & 0,45 \;\mathrm{s} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} T_1 & = & 2\pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{k_1}} \\[5pt] & = & 2\pi \cdot \sqrt{\dfrac{0,100 \;\mathrm{kg}}{19,62 \;\mathrm{\tfrac{N}{m}}}} \\[5pt] & \approx & 0,45 \;\mathrm{s} \end{array}$

1.1.2

Die Gleichung für die momentane Auslenkung Formula: y(t) lautet:

$Formula: y(t) = -2\;\mathrm{cm} \cdot \cos\left( \dfrac{2\pi}{0{,}45\;\mathrm{s}} \cdot t \right)$ $Formula: y(t) = -2\;\mathrm{cm} \cdot \cos\left( \dfrac{2\pi}{0{,}45\;\mathrm{s}} \cdot t \right)$

Damit kann nun das zugehörige Formula: y(t)- Diagramm für die erste Schwingungsperiode gezeichnet werden:

Violette Wellenkurve y(t) im Koordinatensystem (y in cm, t in s) mit Markierungen bei 0,15/0,3/0,45 s und Amplitude ±2 cm

1.1.3

Berechnen der maximalen kinetischen Energie $Formula: \boldsymbol{{E_\text{kin,max} \text{:}}}$ $Formula: \boldsymbol{{E_\text{kin,max} \text{:}}}$

Es gilt $Formula: v_{\mathrm{max}} = y_{\mathrm{max}} \cdot \omega,$ $Formula: v_{\mathrm{max}} = y_{\mathrm{max}} \cdot \omega,$ daraus folgt:

$Formula: \begin{array}{rcl} E_{\mathrm{kin,max}} & = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\mathrm{max}}^{2} \\[5pt]& = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot y_{\mathrm{max}}^{2} \cdot \omega^{2} \\[5pt]& = & \dfrac{1}{2} \cdot 0,100 \;\mathrm{kg} \cdot (0,02 \;\mathrm{m})^{2} \cdot \left( \dfrac{2\pi}{0,45 \;\mathrm{s}} \right)^{2} \\[5pt]& \approx & 0,0039 \;\mathrm{J} = 3,9 \;\mathrm{mJ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} E_{\mathrm{kin,max}} & = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\mathrm{max}}^{2} \\[5pt]& = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot y_{\mathrm{max}}^{2} \cdot \omega^{2} \\[5pt]& = & \dfrac{1}{2} \cdot 0,100 \;\mathrm{kg} \cdot (0,02 \;\mathrm{m})^{2} \cdot \left( \dfrac{2\pi}{0,45 \;\mathrm{s}} \right)^{2} \\[5pt]& \approx & 0,0039 \;\mathrm{J} = 3,9 \;\mathrm{mJ} \end{array}$

Skizzieren des $Formula: \boldsymbol{E_{\text{kin}}(t)-}$ $Formula: \boldsymbol{E_{\text{kin}}(t)-}$ Diagramms für die erste Schwingungsperiode:

Diagramm: Kinetische Energie E_kin (mJ) als wellenförmige Kurve über Zeit t (s), Maxima bei etwa 0,15 s und 0,3 s.

1.1.4

Schwingungstyp	Energie-Austausch	Energie-Abfluss	Gesamtenergie
Ungedämpft	Pendelt verlustfrei zwischen $Formula: E_\text{pot}$ $Formula: E_\text{pot}$ und $Formula: E_\text{kin}$ $Formula: E_\text{kin}$ hin und her.	Keiner.	Konstant.
Gedämpft	Pendelt zwischen $Formula: E_\text{pot}$ $Formula: E_\text{pot}$ und $Formula: E_\text{kin},$ $Formula: E_\text{kin},$ aber die Werte werden mit jedem Zyklus kleiner.	Ja, als thermische Energie (Wärme) an die Umgebung durch Reibungsarbeit.	Nimmt exponentiell ab.

1.2.1

Es liegt eine harmonische Schwingung vor, da die rücktreibende Kraft $Formula: F_\text{R}$ $Formula: F_\text{R}$ proportional zur Auslenkung Formula: y ist ( $Formula: F_\text{R} \sim -y$ $Formula: F_\text{R} \sim -y$ ) und in Richtung des Gleichgewichtszustands wirkt.

Damit ist das lineare Kraftgesetz erfüllt.

1.2.2

Im gegebenen $Formula: F_\text{R}(y)-$ $Formula: F_\text{R}(y)-$ Diagramm kann folgendes Wertepaar abgelesen werden:

$Formula: |y|=0,04\; \text{m}$ $Formula: |y|=0,04\; \text{m}$ und $Formula: |F_\text{R}|=0,16\; \text{N}$ $Formula: |F_\text{R}|=0,16\; \text{N}$

$Formula: \Rightarrow k_2 = \dfrac{|F_{\mathrm{R}}|}{|y|} = \dfrac{0,16\;\mathrm{N}}{0,04\;\mathrm{m}} = 4\;\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}$ $Formula: \Rightarrow k_2 = \dfrac{|F_{\mathrm{R}}|}{|y|} = \dfrac{0,16\;\mathrm{N}}{0,04\;\mathrm{m}} = 4\;\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}$

$Formula: \Rightarrow T_2 = 2\pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{k_2}} = 2\pi \sqrt{\dfrac{0,1\;\mathrm{kg}}{4\;\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}}} = 0,99\;\mathrm{s}$ $Formula: \Rightarrow T_2 = 2\pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{k_2}} = 2\pi \sqrt{\dfrac{0,1\;\mathrm{kg}}{4\;\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}}} = 0,99\;\mathrm{s}$

$Formula: \Rightarrow N = 80 \cdot \dfrac{T_2}{t_{\mathrm{ges}}} = 80 \cdot \dfrac{0,99\;\mathrm{s}}{4\;\mathrm{s}} = 19,8$ $Formula: \Rightarrow N = 80 \cdot \dfrac{T_2}{t_{\mathrm{ges}}} = 80 \cdot \dfrac{0,99\;\mathrm{s}}{4\;\mathrm{s}} = 19,8$

Es werden somit etwa Formula: 20 Wertepaare pro Schwingungsperiode gemessen.

2.1

Teilchen bewegen sich frei
Teilchen stoßen vollkommen elastisch zusammen
Teilchen üben keine Anziehungskräfte (Intermolekularkräfte) aufeinander aus

2.2

Zustand	$Formula: \boldsymbol{p}$ $Formula: \boldsymbol{p}$ in $Formula: \boldsymbol{\text{MPa}}$ $Formula: \boldsymbol{\text{MPa}}$	$Formula: \boldsymbol{V}$ $Formula: \boldsymbol{V}$ in $Formula: \boldsymbol{10^{-5} \; \text{m}^3}$ $Formula: \boldsymbol{10^{-5} \; \text{m}^3}$	$Formula: \boldsymbol{T}$ $Formula: \boldsymbol{T}$ in $Formula: \boldsymbol{\text{K}}$ $Formula: \boldsymbol{\text{K}}$
A
B
C
D

2.3

Berechnen der Anzahl $Formula: \boldsymbol{N}$ $Formula: \boldsymbol{N}$ der Heliumatome:

Es gilt:

$Formula: N = \frac{p_{{A}} \cdot V_{{A}}}{k \cdot T_{{A}}}$ $Formula: N = \frac{p_{{A}} \cdot V_{{A}}}{k \cdot T_{{A}}}$

Mit der Boltzmann Konstante $Formula: k \approx 1,380649 \cdot 10^{-23} \; \tfrac{\text{J}}{\text{K}}$ $Formula: k \approx 1,380649 \cdot 10^{-23} \; \tfrac{\text{J}}{\text{K}}$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rcl} N & = & \dfrac{p_{\mathrm{A}} \cdot V_{\mathrm{A}}}{k \cdot T_{\mathrm{A}}} \\[5pt] & = & \dfrac{15 \cdot 10^{6} \;\mathrm{Pa} \cdot 1 \cdot 10^{-5} \;\mathrm{m^{3}}}{1,380649 \cdot 10^{-23} \;\mathrm{\tfrac{J}{K}} \cdot 830 \;\mathrm{K}} \\[5pt] & \approx & 1,31 \cdot 10^{22} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} N & = & \dfrac{p_{\mathrm{A}} \cdot V_{\mathrm{A}}}{k \cdot T_{\mathrm{A}}} \\[5pt] & = & \dfrac{15 \cdot 10^{6} \;\mathrm{Pa} \cdot 1 \cdot 10^{-5} \;\mathrm{m^{3}}}{1,380649 \cdot 10^{-23} \;\mathrm{\tfrac{J}{K}} \cdot 830 \;\mathrm{K}} \\[5pt] & \approx & 1,31 \cdot 10^{22} \end{array}$

Berechnen der Gesamtmasse $Formula: \boldsymbol{m_{\text{ges}}\text{:}}$ $Formula: \boldsymbol{m_{\text{ges}}\text{:}}$

$Formula: \begin{array}{rcl} m_{\mathrm{ges}} & = & \dfrac{p_{{A}} \cdot V_{{A}}}{R_{{S}} \cdot T_{{A}}} \\[5pt] & = & \dfrac{15 \cdot 10^{6} \;\mathrm{Pa} \cdot 1 \cdot 10^{-5} \;\mathrm{m^{3}}}{2077 \;\mathrm{\tfrac{J}{kg \cdot K}} \cdot 830 \;\mathrm{K}} \\[5pt] & \approx & 8,70 \cdot 10^{-5} \;\mathrm{kg} = 87,0 \;\mathrm{mg} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} m_{\mathrm{ges}} & = & \dfrac{p_{{A}} \cdot V_{{A}}}{R_{{S}} \cdot T_{{A}}} \\[5pt] & = & \dfrac{15 \cdot 10^{6} \;\mathrm{Pa} \cdot 1 \cdot 10^{-5} \;\mathrm{m^{3}}}{2077 \;\mathrm{\tfrac{J}{kg \cdot K}} \cdot 830 \;\mathrm{K}} \\[5pt] & \approx & 8,70 \cdot 10^{-5} \;\mathrm{kg} = 87,0 \;\mathrm{mg} \end{array}$

2.4

Berechnen des Betrages der bei einem Umlauf verrichteten Arbeit Formula: |W| :

$Formula: \begin{array}{rcl} W_{{AB}} & = & -m_{\mathrm{ges}} \cdot R_{\mathrm{S}} \cdot T_{{A}} \cdot \ln\left( \dfrac{V_{{B}}}{V_{{A}}} \right) \\[5pt] & = & -8,70 \cdot 10^{-5}\;\mathrm{kg} \cdot 2077\;\mathrm{\dfrac{J}{kg\cdot K}} \\[5pt]&\phantom{=}& \cdot 830\;\mathrm{K} \cdot \ln\left( \dfrac{10 \cdot 10^{-5}\;\mathrm{m^{3}}}{1 \cdot 10^{-5}\;\mathrm{m^{3}}} \right) \\[5pt] & \approx & -345,3 \;\mathrm{J} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} W_{{AB}} & = & -m_{\mathrm{ges}} \cdot R_{\mathrm{S}} \cdot T_{{A}} \cdot \ln\left( \dfrac{V_{{B}}}{V_{{A}}} \right) \\[5pt] & = & -8,70 \cdot 10^{-5}\;\mathrm{kg} \cdot 2077\;\mathrm{\dfrac{J}{kg\cdot K}} \\[5pt]&\phantom{=}& \cdot 830\;\mathrm{K} \cdot \ln\left( \dfrac{10 \cdot 10^{-5}\;\mathrm{m^{3}}}{1 \cdot 10^{-5}\;\mathrm{m^{3}}} \right) \\[5pt] & \approx & -345,3 \;\mathrm{J} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcl} W_{{CD}} & = & -m_{\mathrm{ges}} \cdot R_{\mathrm{S}} \cdot T_{{C}} \cdot \ln\left( \dfrac{V_{{D}}}{V_{{C}}} \right) \\[5pt] & = & -8,70 \cdot 10^{-5}\;\mathrm{kg} \cdot 2077\;\mathrm{\dfrac{J}{kg\cdot K}} \\[5pt]&\phantom{=}& \cdot 415\;\mathrm{K} \cdot \ln\left( \dfrac{1 \cdot 10^{-5}\;\mathrm{m^{3}}}{10 \cdot 10^{-5}\;\mathrm{m^{3}}} \right) \\[5pt] & \approx & 172,7 \;\mathrm{J} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} W_{{CD}} & = & -m_{\mathrm{ges}} \cdot R_{\mathrm{S}} \cdot T_{{C}} \cdot \ln\left( \dfrac{V_{{D}}}{V_{{C}}} \right) \\[5pt] & = & -8,70 \cdot 10^{-5}\;\mathrm{kg} \cdot 2077\;\mathrm{\dfrac{J}{kg\cdot K}} \\[5pt]&\phantom{=}& \cdot 415\;\mathrm{K} \cdot \ln\left( \dfrac{1 \cdot 10^{-5}\;\mathrm{m^{3}}}{10 \cdot 10^{-5}\;\mathrm{m^{3}}} \right) \\[5pt] & \approx & 172,7 \;\mathrm{J} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcl} |W| & = & |W_{{AB}} + W_{{CD}}| \\[5pt] & = & |-345,3 \;\mathrm{J} + 172,7 \;\mathrm{J}| \\[5pt] & = & |-172,6 \;\mathrm{J}| \\[5pt] & = & 172,6 \;\mathrm{J} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} |W| & = & |W_{{AB}} + W_{{CD}}| \\[5pt] & = & |-345,3 \;\mathrm{J} + 172,7 \;\mathrm{J}| \\[5pt] & = & |-172,6 \;\mathrm{J}| \\[5pt] & = & 172,6 \;\mathrm{J} \end{array}$

Hinweis: Auch das Ergebnis $Formula: W = -173 \; \text{J}$ $Formula: W = -173 \; \text{J}$ wird als korrekt bewertet.

2.5

$Formula: \begin{array}{rcl} P_{\mathrm{el}} & = & \eta_{\mathrm{el}} \cdot |W| \cdot n \\[5pt] & = & 0,87 \cdot 173 \;\mathrm{J} \cdot \dfrac{5100 \;\mathrm{\tfrac{1}{min}}}{60 \;\mathrm{\tfrac{s}{min}}} \\[5pt] & \approx & 12.793 \;\mathrm{W} \approx 12,8 \;\mathrm{kW} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} P_{\mathrm{el}} & = & \eta_{\mathrm{el}} \cdot |W| \cdot n \\[5pt] & = & 0,87 \cdot 173 \;\mathrm{J} \cdot \dfrac{5100 \;\mathrm{\tfrac{1}{min}}}{60 \;\mathrm{\tfrac{s}{min}}} \\[5pt] & \approx & 12.793 \;\mathrm{W} \approx 12,8 \;\mathrm{kW} \end{array}$

Die elektrische Leistung bei der gegebenen Drehzahl beträgt somit circa $Formula: P_{\mathrm{el}} = 12,8 \;\mathrm{kW}.$ $Formula: P_{\mathrm{el}} = 12,8 \;\mathrm{kW}.$

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