Aufgabe III — Natürliche Strahlenbelastung durch Radon

Radon ist ein farb- und geruchloses Edelgas, das in geringer Konzentration in der Luft vorhanden ist. Von besonderer Bedeutung ist das radioaktive Radon-Isotop $Formula: ^{222}\mathrm{Rn},$ $Formula: ^{222}\mathrm{Rn},$ das vorwiegend durch Zerfall des Uran-Isotops $Formula: ^{238}\mathrm{U}$ $Formula: ^{238}\mathrm{U}$ im Erdboden gebildet wird.

Begründe, dass es vier Zerfallsreihen gibt und dass $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}$ $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}$ zur Zerfallsreihe von $Formula: ^{238}\mathrm{U}$ $Formula: ^{238}\mathrm{U}$ gehört.

Erläutere, dass alle Nuklide dieser Zerfallsreihe aktuell auf der Erde, deren Alter auf Formula: 4{,}5 Mrd. Jahre geschätzt wird, vorhanden sind.

5 BE

$Formula: ^{222}\mathrm{Rn}$ $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}$ zerfällt in das Polonium-Isotop $Formula: ^{218}\mathrm{Po}.$ $Formula: ^{218}\mathrm{Po}.$ Gib die Zerfallsgleichung von $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}$ $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}$ an und berechne die beim Zerfall frei werdende Energie.

[zur Kontrolle: $Formula: 5{,}59\;\mathrm{MeV}$ $Formula: 5{,}59\;\mathrm{MeV}$ ]

4 BE

Die beim Zerfall von $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}$ $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}$ frei werdende Energie teilt sich auf das $Formula: \alpha\text{-}$ $Formula: \alpha\text{-}$ Teilchen und den $Formula: ^{218}\mathrm{Po}\text{-}$ $Formula: ^{218}\mathrm{Po}\text{-}$ Kern auf. Gehe davon aus, dass vor dem Zerfall der Impuls des $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}\text{-}$ $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}\text{-}$ Kerns null ist und der $Formula: ^{218}\mathrm{Po}\text{-}$ $Formula: ^{218}\mathrm{Po}\text{-}$ Kern nach dem Zerfall in einem angeregten Zustand mit der Anregungsenergie $Formula: 40\;\mathrm{keV}$ $Formula: 40\;\mathrm{keV}$ vorliegt.

Zeige mittels eines nicht-relativistischen Ansatzes, dass für die kinetischen Energien und die Massen der Zusammenhang $Formula: \tfrac{E_{\mathrm{kin},\alpha}}{E_{\mathrm{kin,Po}}} = \tfrac{m_{\mathrm{Po}}}{m_{\alpha}}$ $Formula: \tfrac{E_{\mathrm{kin},\alpha}}{E_{\mathrm{kin,Po}}} = \tfrac{m_{\mathrm{Po}}}{m_{\alpha}}$ gilt.

Überprüfe diesen Zusammenhang unter Verwendung des Ergebnisses aus Teilaufgabe b und dem aus Material 1, Abbildung 1 ermittelbaren Wert der kinetischen Energie des $Formula: \alpha\text{-}$ $Formula: \alpha\text{-}$ Teilchens.

7 BE

Stelle in einer schematischen Zeichnung des Potenzialtopfmodells für den Atomkern die Vorgänge beim $Formula: \alpha\text{-}$ $Formula: \alpha\text{-}$ Zerfall dar.

Stelle eine Hypothese für den Zusammenhang zwischen der Halbwertszeit eines Nuklids und der kinetischen Energie des zugehörigen emittierten $Formula: \alpha\text{-}$ $Formula: \alpha\text{-}$ Teilchens auf.

Hinweis: Der Operator „Hypothesen aufstellen“ erfordert auch eine fachlich fundierte Begründung.

7 BE

In einer Schule sollen Kellerräume zu Unterrichtsräumen umgebaut werden. In Kellerräumen werden teilweise höhere Radon-Aktivitäten gemessen als in der Außenluft, weil das gasförmige $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}$ $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}$ aus dem Erdboden über kleine Risse und Fugen ins Gebäude gelangt.

Die Aktivität von $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}$ $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}$ in Räumen wird durch passive oder aktive Messverfahren ermittelt. Stelle die beiden in Material 2 beschriebenen Verfahren anhand dreier Kriterien tabellarisch einander gegenüber.

Die vorgesehenen Kellerräume sollen auf eine mögliche Radonbelastung hin untersucht werden. Entscheide dich begründet für eines der beiden Verfahren, indem du auf deine Kriterien Bezug nimmst.

6 BE

Für einen der Kellerräume wurde anhand von Messwerten das Diagramm in Material 3, Abbildung 4 erstellt. Der Abfall der Aktivität nach 6:00 Uhr morgens ist auf ein vor 8:00 Uhr abgeschlossenes Stoßlüften zurückzuführen, bei dem die Raumluft vollständig mit Außenluft (Aktivität etwa $Formula: 10\;\mathrm{Bq}$ $Formula: 10\;\mathrm{Bq}$ pro $Formula: \mathrm{m}^3$ $Formula: \mathrm{m}^3$ ) getauscht wurde.

Ermittle aus dem Diagramm einen Näherungswert für den Zeitpunkt, an dem die Fenster wieder geschlossen wurden.

4 BE

Der größte Teil der biologisch schädigenden Wirkung geht nicht von $Formula: ^{222}\mathrm{Rn},$ $Formula: ^{222}\mathrm{Rn},$ sondern von seinen Zerfallsprodukten aus. Während $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}$ $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}$ fast vollständig wieder ausgeatmet wird, lagert sich $Formula: ^{218}\mathrm{Po}$ $Formula: ^{218}\mathrm{Po}$ in der Lunge an. Im Weiteren wird nur die Strahlenbelastung durch den Zerfall von $Formula: ^{218}\mathrm{Po}$ $Formula: ^{218}\mathrm{Po}$ betrachtet, d. h. in der weiteren Folge auftretende Zerfallsprozesse werden vernachlässigt.

Ein Erwachsener atmet durchschnittlich Formula: 7{,}0 Liter Luft pro Minute ein. Berechne für eine Aufenthaltsdauer von Formula: 8{,}0 Stunden im Raum die Anzahl der eingeatmeten $Formula: ^{218}\mathrm{Po}\text{-}$ $Formula: ^{218}\mathrm{Po}\text{-}$ Atome. Nimm dafür eine konstante Aktivität von $Formula: ^{218}\mathrm{Po}$ $Formula: ^{218}\mathrm{Po}$ von $Formula: 0{,}29\;\mathrm{kBq}$ $Formula: 0{,}29\;\mathrm{kBq}$ pro $Formula: \mathrm{m}^3$ $Formula: \mathrm{m}^3$ Raumluft an.

Schätze damit die Äquivalentdosis für die Lunge eines Erwachsenen ab. Gehe davon aus, dass alle eingeatmeten $Formula: ^{218}\mathrm{Po}\text{-}$ $Formula: ^{218}\mathrm{Po}\text{-}$ Kerne in der Lunge zerfallen und die beim Zerfall an das umliegende Lungengewebe abgegebene Energie durch die kinetische Energie des $Formula: \alpha\text{-}$ $Formula: \alpha\text{-}$ Teilchens (siehe Material 1, Abbildung 1) bestimmt wird.

[zur Kontrolle: $Formula: N = 2{,}6 \cdot 10^5$ $Formula: N = 2{,}6 \cdot 10^5$ ]

7 BE

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Material 1: Radioaktiver Zerfall von $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{^{222}\mathrm{Rn}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{^{222}\mathrm{Rn}}}$

Das radioaktive Radon-Isotop $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}$ $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}$ zerfällt über mehrere Zwischenschritte bis zum stabilen Blei-Isotop $Formula: ^{206}\mathrm{Pb}.$ $Formula: ^{206}\mathrm{Pb}.$ Abbildung 1 zeigt das Energiespektrum der von $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}$ $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}$ und seinen Tochternukliden emittierten $Formula: \alpha\text{-}$ $Formula: \alpha\text{-}$ Strahlung.

Diagramm: Zählrate über der Energie in keV (Achse etwa 4000 bis 8000 keV, Beschriftung 5000, 6000, 7000). Scharfe Peaks der Alpha-Teilchen von Ra-226 (knapp unter 4800 keV, mit kleinem Nebenpeak bei etwa 4600 keV), Rn-222 (etwa 5500 keV), Po-218 (etwa 6000 keV) und Po-214 (etwa 7700 keV); kleiner Peak von Po-210 bei etwa 5300 keV.

Abbildung 1: kinetische Energien der $Formula: \alpha\text{-}$ $Formula: \alpha\text{-}$ Teilchen, die beim Zerfall ausgewählter Nuklide emittiert werden

Material 2: Messverfahren zur Bestimmung der Radon-Aktivität in Innenräumen

a) Passives Messverfahren

Zeichnung eines flachen, zylindrischen Radon-Exposimeters mit vier weißen, bogenförmigen Öffnungen mit Filtermembran auf der Oberseite; Größenangabe ca. 5 cm.

Abbildung 2a: Radon-Exposimeter; Öffnungen mit Filtermembran in weiß dargestellt

Schnittbild des Radon-Exposimeters: Rn-222 gelangt von oben durch einen Filter in die halbkugelförmige Messkammer der Detektor-Kapsel. Ein Po-218-Kern in der Kammer emittiert ein Alpha-Teilchen in Richtung der Detektorfolie an der Oberseite der Kammer.

Abbildung 2b: schematischer Aufbau des Radon-Exposimeters

Es werden leicht zu handhabende, kostengünstige (30 € bis 50 €) Radon-Exposimeter eingesetzt. Bei ihnen diffundiert $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}$ $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}$ aus der Raumluft durch eine Filtermembran ins Innere einer halbkugelförmigen Messkammer (siehe Abbildung 2a und 2b). An der Oberseite der Kammer ist eine wenige hundert Mikrometer dünne Detektorfolie aus Polycarbonat angebracht. Zerfallen $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}\text{-}$ $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}\text{-}$ Kerne in der Messkammer, so hinterlassen die emittierten $Formula: \alpha\text{-}$ $Formula: \alpha\text{-}$ Teilchen beim Eintritt in die Detektorfolie Spuren. Diese sind erst nach einer chemischen Behandlung im Labor sichtbar und können dann ausgezählt werden. Mithilfe von Radon-Exposimetern können mittlere Radon-Aktivitäten zwischen Formula: 15 und $Formula: 5000\;\mathrm{Bq}$ $Formula: 5000\;\mathrm{Bq}$ pro $Formula: \mathrm{m}^3$ $Formula: \mathrm{m}^3$ Raumluft ermittelt werden. Üblicherweise beträgt die Messdauer drei bis zwölf Monate, um jahreszeitliche Schwankungen berücksichtigen zu können.

b) Aktives Messverfahren

Es werden mehrere tausend Euro teure Messgeräte eingesetzt, die auf einer Ionisationskammer basieren. Ihr prinzipieller Aufbau ist in Abbildung 3 dargestellt. Die Kammer besteht aus einem Metallzylinder (Anode), in dem sich isoliert vom Metallzylinder eine Stabelektrode (Kathode) befindet. Zwischen Anode und Kathode wird eine Gleichspannung von ca. $Formula: 1{,}2\;\mathrm{kV}$ $Formula: 1{,}2\;\mathrm{kV}$ angelegt. Die Oberseite des Metallzylinders ist mit einem Glasfaserfilter versehen, sodass nur $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}\text{-}$ $Formula: ^{222}\mathrm{Rn}\text{-}$ Atome in die Kammer gelangen können, nicht aber die beim Zerfall des Radons entstehenden Folgeprodukte. Wird die Luft in der Kammer aufgrund des Zerfalls des eingedrungenen Radons ionisiert, entsteht ein Ionisationsstrom zwischen Anode und Kathode, der mit einem empfindlichen Messverstärker gemessen wird und direkt proportional zur momentanen Radon-Aktivität ist. Diese Messgeräte verfügen über ein Display zur Anzeige der aktuellen Messwerte zwischen Formula: 2 und $Formula: 2\,000\,000\;\mathrm{Bq}$ $Formula: 2\,000\,000\;\mathrm{Bq}$ pro $Formula: \mathrm{m}^3$ $Formula: \mathrm{m}^3$ Raumluft. Mit dieser Methode kann die Radon-Aktivität über Zeiträume von wenigen Minuten bis zu mehreren Tagen gemessen und digital aufgezeichnet werden.

Schema eines Ionisationsrauchmelders mit Glasfaserfilter, Ionisationskammer und Messgerät.

Abbildung 3: prinzipieller Aufbau und Beschaltung einer Ionisationskammer

Material 3: Messung der Radon-Aktivität in einem Kellerraum

Diagramm: Aktivität in Bq pro m³ (0 bis 400) über der Uhrzeit von 0:00 bis 0:00 Uhr, Messpunkte mit Fehlerbalken alle zwei Stunden. Von 2:00 bis 6:00 Uhr etwa 330 bis 350 Bq pro m³, um 8:00 Uhr Minimum von etwa 40 Bq pro m³, danach Anstieg über etwa 150 (10:00), 235 (12:00) und 305 (14:00) auf etwa 345 bis 355 Bq pro m³ ab 16:00 Uhr.

Abbildung 4: Messung der Radon-Aktivität pro $Formula: \mathrm{m}^3$ $Formula: \mathrm{m}^3$ Raumluft in einem Raum während eines Tags; die eingetragenen Werte stellen die jeweils alle zwei Stunden gemessenen Aktivitäten mit ihrer Unsicherheit dar

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Begründen der vier Zerfallsreihen

Bei einem $Formula: \alpha\text{-}$ $Formula: \alpha\text{-}$ Zerfall nimmt die Massenzahl Formula: A um vier ab. Bei einem $Formula: \beta\text{-}$ $Formula: \beta\text{-}$ Zerfall bleibt sie unverändert. Deshalb bleibt innerhalb einer solchen Zerfallsreihe der Rest bei der Division der Massenzahl durch vier gleich. Es gibt genau vier mögliche Reste und damit vier Klassen von Zerfallsreihen:

Formula: A=4n, Formula: A=4n+1, Formula: A=4n+2, Formula: A=4n+3

Dabei ist Formula: n eine ganze Zahl. Für die beiden betrachteten Nuklide gilt:

$Formula: 238=4\cdot59+2$ $Formula: 238=4\cdot59+2$ und $Formula: 222=4\cdot55+2$ $Formula: 222=4\cdot55+2$

Beide gehören somit zur $Formula: 4n+2\text{-}$ $Formula: 4n+2\text{-}$ Reihe, der Uran-Radium-Reihe. Aus $Formula: ^{238}_{92}\mathrm{U}$ $Formula: ^{238}_{92}\mathrm{U}$ entsteht durch insgesamt vier $Formula: \alpha\text{-}$ $Formula: \alpha\text{-}$ und zwei $Formula: \beta^-\text{-}$ $Formula: \beta^-\text{-}$ Zerfälle $Formula: ^{222}_{86}\mathrm{Rn}.$ $Formula: ^{222}_{86}\mathrm{Rn}.$ Die Massenzahl sinkt dabei um Formula: 16, die Kernladungszahl insgesamt um Formula: 6.

Erläutern Heutiges Vorkommen

Die Halbwertszeit von $Formula: ^{238}\mathrm{U}$ $Formula: ^{238}\mathrm{U}$ beträgt etwa $Formula: 4{,}5\cdot10^9\;\mathrm{a}$ $Formula: 4{,}5\cdot10^9\;\mathrm{a}$ und ist damit ungefähr so groß wie das Erdalter. Ein erheblicher Teil des ursprünglich vorhandenen Urans ist daher noch nicht zerfallen. Sein fortlaufender Zerfall erzeugt ständig neue Tochterkerne. Dadurch sind auch die kurzlebigen Nuklide der Reihe heute noch vorhanden. Das stabile Endprodukt $Formula: ^{206}\mathrm{Pb}$ $Formula: ^{206}\mathrm{Pb}$ wird ebenfalls gebildet und reichert sich an.

Zerfallsgleichung

$Formula: ^{222}_{86}\mathrm{Rn}\longrightarrow{}^{218}_{84}\mathrm{Po}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}$ $Formula: ^{222}_{86}\mathrm{Rn}\longrightarrow{}^{218}_{84}\mathrm{Po}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}$

Beim $Formula: \alpha\text{-}$ $Formula: \alpha\text{-}$ Zerfall wird ein Heliumkern abgegeben. Die Summe der Massenzahlen und die Summe der Kernladungszahlen bleiben jeweils erhalten.

Berechnen der frei werdenden Energie

Die frei werdende Energie ergibt sich aus dem Massendefekt:

$Formula: Q=\bigl(m_{\mathrm{Rn}}-m_{\mathrm{Po}}-m_{\mathrm{He}}\bigr)c^2$ $Formula: Q=\bigl(m_{\mathrm{Rn}}-m_{\mathrm{Po}}-m_{\mathrm{He}}\bigr)c^2$

Mit den Bekannten Massen folgt:

$Formula: \Delta m=(222{,}0175782-218{,}0089735-4{,}0026033)\;\mathrm{u}=0{,}0060014\;\mathrm{u}$ $Formula: \Delta m=(222{,}0175782-218{,}0089735-4{,}0026033)\;\mathrm{u}=0{,}0060014\;\mathrm{u}$

Mit $Formula: 1\;\mathrm{u}\cdot c^2\approx931{,}494\;\mathrm{MeV}$ $Formula: 1\;\mathrm{u}\cdot c^2\approx931{,}494\;\mathrm{MeV}$ ergibt sich:

$Formula: Q=0{,}0060014\cdot931{,}494\;\mathrm{MeV}\approx5{,}59\;\mathrm{MeV}$ $Formula: Q=0{,}0060014\cdot931{,}494\;\mathrm{MeV}\approx5{,}59\;\mathrm{MeV}$

Zeigen des Zusammenhangs zwischen Energien und Massen

Vor dem Zerfall ist der Gesamtimpuls null. Wegen der Impulserhaltung fliegen der Poloniumkern und das $Formula: \alpha\text{-}$ $Formula: \alpha\text{-}$ Teilchen in entgegengesetzte Richtungen mit gleich großen Impulsbeträgen:

$Formula: \vec p_{\alpha}+\vec p_{\mathrm{Po}}=\vec0\qquad\Rightarrow\qquad p_{\alpha}=p_{\mathrm{Po}}=p$ $Formula: \vec p_{\alpha}+\vec p_{\mathrm{Po}}=\vec0\qquad\Rightarrow\qquad p_{\alpha}=p_{\mathrm{Po}}=p$

Nichtrelativistisch gilt $Formula: E_{\mathrm{kin}}=\tfrac{p^2}{2m}.$ $Formula: E_{\mathrm{kin}}=\tfrac{p^2}{2m}.$ Damit folgt unmittelbar:

$Formula: \dfrac{E_{\mathrm{kin},\alpha}}{E_{\mathrm{kin},\mathrm{Po}}}=\dfrac{\tfrac{p^2}{2m_{\alpha}}}{\tfrac{p^2}{2m_{\mathrm{Po}}}}=\dfrac{m_{\mathrm{Po}}}{m_{\alpha}}$ $Formula: \dfrac{E_{\mathrm{kin},\alpha}}{E_{\mathrm{kin},\mathrm{Po}}}=\dfrac{\tfrac{p^2}{2m_{\alpha}}}{\tfrac{p^2}{2m_{\mathrm{Po}}}}=\dfrac{m_{\mathrm{Po}}}{m_{\alpha}}$

Überprüfung mit den Energiewerten

Von der frei werdenden Energie verbleiben zunächst $Formula: 40\;\mathrm{keV}=0{,}040\;\mathrm{MeV}$ $Formula: 40\;\mathrm{keV}=0{,}040\;\mathrm{MeV}$ als Anregungsenergie im Tochterkern. Für die beiden kinetischen Energien zusammen stehen daher zur Verfügung:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{kin},\alpha}+E_{\mathrm{kin},\mathrm{Po}} &=& 5{,}59\;\mathrm{MeV}-0{,}040\;\mathrm{MeV} \\[5pt] &=& 5{,}55\;\mathrm{MeV} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{kin},\alpha}+E_{\mathrm{kin},\mathrm{Po}} &=& 5{,}59\;\mathrm{MeV}-0{,}040\;\mathrm{MeV} \\[5pt] &=& 5{,}55\;\mathrm{MeV} \end{array}$

Aus dem Radon-Peak in Material 1, Abbildung 1 lässt sich näherungsweise $Formula: E_{\mathrm{kin},\alpha}\approx5{,}45\;\mathrm{MeV}$ $Formula: E_{\mathrm{kin},\alpha}\approx5{,}45\;\mathrm{MeV}$ ablesen. Somit ergibt sich für den Rückstoß des Poloniumkerns:

$Formula: E_{\mathrm{kin},\mathrm{Po}}\approx5{,}55\;\mathrm{MeV}-5{,}45\;\mathrm{MeV}=0{,}10\;\mathrm{MeV}$ $Formula: E_{\mathrm{kin},\mathrm{Po}}\approx5{,}55\;\mathrm{MeV}-5{,}45\;\mathrm{MeV}=0{,}10\;\mathrm{MeV}$

Der Vergleich liefert:

$Formula: \dfrac{E_{\mathrm{kin},\alpha}}{E_{\mathrm{kin},\mathrm{Po}}}\approx\dfrac{5{,}45}{0{,}10}=54{,}5$ $Formula: \dfrac{E_{\mathrm{kin},\alpha}}{E_{\mathrm{kin},\mathrm{Po}}}\approx\dfrac{5{,}45}{0{,}10}=54{,}5$ und $Formula: \dfrac{m_{\mathrm{Po}}}{m_{\alpha}}\approx\dfrac{218}{4}=54{,}5$ $Formula: \dfrac{m_{\mathrm{Po}}}{m_{\alpha}}\approx\dfrac{218}{4}=54{,}5$

Die Werte stimmen im Rahmen der Ablesegenauigkeit überein. Der wesentlich leichtere Heliumkern erhält nahezu die gesamte kinetische Energie.

Potenzialtopfmodell des Alphazerfalls

Die Skizze zeigt die potenzielle Energie eines $Formula: \alpha\text{-}$ $Formula: \alpha\text{-}$ Teilchens in Abhängigkeit von seinem Abstand zum Kernzentrum:

Diagramm des Tunneleffekts eines Alpha-Teilchens an der Coulombbarriere eines Atomkerns.

Hypothese zur Halbwertszeit

Bei vergleichbaren Coulombbarrieren ist die Halbwertszeit umso kürzer, je größer die kinetische Energie der emittierten $Formula: \alpha\text{-}$ $Formula: \alpha\text{-}$ Teilchen ist. Bei höherer Energie wird der zu durchtunnelnde Bereich schmaler und der Energieabstand zur Barriere kleiner. Dadurch steigt die Tunnelwahrscheinlichkeit und damit die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeit. Mit $Formula: T_{1/2}=\tfrac{\ln(2)}{\lambda}$ $Formula: T_{1/2}=\tfrac{\ln(2)}{\lambda}$ folgt eine kleinere Halbwertszeit.

Vergleich anhand dreier Kriterien

Kriterium	Passives Verfahren	Aktives Verfahren
Messprinzip und Auswertung	Alphateilchen hinterlassen Spuren in einer Detektorfolie. Die Spuren werden nach chemischer Behandlung im Labor gezählt; daraus ergibt sich eine mittlere Aktivität.	Alphastrahlung ionisiert die Luft in einer Ionisationskammer. Der gemessene Ionisationsstrom ist proportional zur momentanen Aktivität; die Werte werden direkt angezeigt und digital aufgezeichnet.
Messdauer und zeitliche Aussage	Üblicherweise bis Monate. Langzeitmittelwerte berücksichtigen jahreszeitliche Schwankungen; kurzfristige Veränderungen werden nicht zeitlich aufgelöst.	Wenige Minuten bis mehrere Tage. Der zeitliche Verlauf und kurzfristige Änderungen, etwa durch Lüften, werden sichtbar.
Kosten	Etwa bis Euro pro Exposimeter; dadurch sind Messungen in mehreren Räumen kostengünstig möglich.	Mehrere tausend Euro für ein Messgerät.

Begründete Entscheidung

Für die Untersuchung der Kellerräume vor einer dauerhaften Nutzung als Unterrichtsräume bietet sich das passive Verfahren an, sofern ausreichend Zeit bis zur Nutzung besteht. Entscheidend ist die längerfristige Belastung. Eine Messung über mehrere Monate erfasst auch jahreszeitliche Schwankungen, während eine kurze aktive Messung stark von der jeweiligen Lüftung und Witterung beeinflusst sein kann. Die geringen Kosten ermöglichen es, mehrere Räume gleichzeitig zu untersuchen. Die spätere Laborauswertung ist für diese längerfristige Planung vertretbar.

Wenn dagegen kurzfristig der Einfluss des Lüftens untersucht werden soll, wäre das aktive Verfahren wegen seiner zeitlichen Auflösung geeigneter.

Beim vollständigen Luftaustausch sinkt die Aktivität pro Raumvolumen auf den Außenluftwert von ungefähr $Formula: 10\;\tfrac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{m}^3}.$ $Formula: 10\;\tfrac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{m}^3}.$ Nach dem Schließen der Fenster steigt sie durch erneut eindringendes Radon wieder an. Gesucht ist deshalb der Zeitpunkt, bei dem die rückwärts verlängerte Anstiegskurve diesen Außenluftwert erreicht.

Für eine Näherung wird der erste Abschnitt des Anstiegs als linear betrachtet. Aus dem Diagramm ergeben sich ungefähr $Formula: 40\;\tfrac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{m}^3}$ $Formula: 40\;\tfrac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{m}^3}$ um 8:00 Uhr und $Formula: 150\;\tfrac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{m}^3}$ $Formula: 150\;\tfrac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{m}^3}$ um 10:00 Uhr. Die mittlere Steigung beträgt damit:

$Formula: s\approx\dfrac{(150-40)\;\tfrac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{m}^3}}{2\;\mathrm{h}}=55\;\dfrac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{m}^3\cdot\mathrm{h}}$ $Formula: s\approx\dfrac{(150-40)\;\tfrac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{m}^3}}{2\;\mathrm{h}}=55\;\dfrac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{m}^3\cdot\mathrm{h}}$

Für den Anstieg vom Außenluftwert bis zum Messwert um 8:00 Uhr ergibt sich:

$Formula: \Delta t\approx\dfrac{(40-10)\;\tfrac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{m}^3}}{55\;\tfrac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{m}^3\cdot\mathrm{h}}}\approx0{,}55\;\mathrm{h}\approx33\;\mathrm{min}$ $Formula: \Delta t\approx\dfrac{(40-10)\;\tfrac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{m}^3}}{55\;\tfrac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{m}^3\cdot\mathrm{h}}}\approx0{,}55\;\mathrm{h}\approx33\;\mathrm{min}$

Die Fenster wurden daher ungefähr gegen 7:30 Uhr wieder geschlossen. Wegen der Messunsicherheiten und der nur näherungsweise linearen Rückverlängerung ist keine minutengenaue Angabe möglich.

Anzahl der eingeatmeten Poloniumatome

In acht Stunden wird das folgende Luftvolumen eingeatmet:

$Formula: V=7{,}0\;\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{min}}\cdot8{,}0\cdot60\;\mathrm{min}=3360\;\mathrm{L}=3{,}36\;\mathrm{m}^3$ $Formula: V=7{,}0\;\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{min}}\cdot8{,}0\cdot60\;\mathrm{min}=3360\;\mathrm{L}=3{,}36\;\mathrm{m}^3$

Die Aktivität pro Volumen ist $Formula: a=0{,}29\;\tfrac{\mathrm{kBq}}{\mathrm{m}^3}=290\;\tfrac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{m}^3}.$ $Formula: a=0{,}29\;\tfrac{\mathrm{kBq}}{\mathrm{m}^3}=290\;\tfrac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{m}^3}.$ Für $Formula: ^{218}\mathrm{Po}$ $Formula: ^{218}\mathrm{Po}$ wird die tabellierte Halbwertszeit $Formula: T_{1/2}\approx3{,}10\;\mathrm{min}=186\;\mathrm{s}$ $Formula: T_{1/2}\approx3{,}10\;\mathrm{min}=186\;\mathrm{s}$ verwendet. Aus $Formula: A=\lambda N$ $Formula: A=\lambda N$ folgt für die Anzahl der Atome im eingeatmeten Luftvolumen:

$Formula: N=\dfrac{aV}{\lambda}=\dfrac{aV T_{1/2}}{\ln(2)}$ $Formula: N=\dfrac{aV}{\lambda}=\dfrac{aV T_{1/2}}{\ln(2)}$

Einsetzen der Werte ergibt:

$Formula: N=\dfrac{290\;\tfrac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{m}^3}\cdot3{,}36\;\mathrm{m}^3\cdot186\;\mathrm{s}}{\ln(2)}\approx2{,}6\cdot10^5$ $Formula: N=\dfrac{290\;\tfrac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{m}^3}\cdot3{,}36\;\mathrm{m}^3\cdot186\;\mathrm{s}}{\ln(2)}\approx2{,}6\cdot10^5$

Damit werden etwa $Formula: 260\,000$ $Formula: 260\,000$ Poloniumatome eingeatmet. Die Aktivität wird hier über die Zerfallskonstante in eine Atomanzahl umgerechnet; sie ist keine Anzahl von Atomen pro Sekunde Atemluft.

Abschätzung der Äquivalentdosis der Lunge

Für den Zerfall von $Formula: ^{218}\mathrm{Po}$ $Formula: ^{218}\mathrm{Po}$ lässt sich aus Material 1, Abbildung 1 eine Alphateilchenenergie von etwa $Formula: 6{,}0\;\mathrm{MeV}$ $Formula: 6{,}0\;\mathrm{MeV}$ ablesen. Für ein Teilchen entspricht dies:

$Formula: E_{\alpha}=6{,}0\cdot10^6\;\mathrm{eV}\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\;\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{eV}}\approx9{,}6\cdot10^{-13}\;\mathrm{J}$ $Formula: E_{\alpha}=6{,}0\cdot10^6\;\mathrm{eV}\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\;\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{eV}}\approx9{,}6\cdot10^{-13}\;\mathrm{J}$

Nach der Aufgabenannahme zerfallen alle eingeatmeten Poloniumkerne in der Lunge und geben diese Energie an das Gewebe ab. Daraus folgt:

$Formula: E_{\mathrm{ges}}=N E_{\alpha}\approx2{,}6\cdot10^5\cdot9{,}6\cdot10^{-13}\;\mathrm{J}\approx2{,}5\cdot10^{-7}\;\mathrm{J}$ $Formula: E_{\mathrm{ges}}=N E_{\alpha}\approx2{,}6\cdot10^5\cdot9{,}6\cdot10^{-13}\;\mathrm{J}\approx2{,}5\cdot10^{-7}\;\mathrm{J}$

Für die Abschätzung wird eine Lungenmasse von $Formula: m_{\mathrm{L}}\approx1{,}0\;\mathrm{kg}$ $Formula: m_{\mathrm{L}}\approx1{,}0\;\mathrm{kg}$ angenommen. Die Energiedosis beträgt dann:

$Formula: D=\dfrac{E_{\mathrm{ges}}}{m_{\mathrm{L}}}\approx\dfrac{2{,}5\cdot10^{-7}\;\mathrm{J}}{1{,}0\;\mathrm{kg}}=2{,}5\cdot10^{-7}\;\mathrm{Gy}$ $Formula: D=\dfrac{E_{\mathrm{ges}}}{m_{\mathrm{L}}}\approx\dfrac{2{,}5\cdot10^{-7}\;\mathrm{J}}{1{,}0\;\mathrm{kg}}=2{,}5\cdot10^{-7}\;\mathrm{Gy}$

Mit dem Strahlungswichtungsfaktor $Formula: w_{\mathrm{R}}=20$ $Formula: w_{\mathrm{R}}=20$ für Alphastrahlung ergibt sich die Äquivalentdosis:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} H_{\mathrm{L}} &=& w_{\mathrm{R}}D \\[5pt] &\approx& 20\cdot2{,}5\cdot10^{-7}\;\mathrm{Sv} \\[5pt] &=& 5{,}0\cdot10^{-6}\;\mathrm{Sv} \\[5pt] &=& 5{,}0\;\mathrm{\mu Sv} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} H_{\mathrm{L}} &=& w_{\mathrm{R}}D \\[5pt] &\approx& 20\cdot2{,}5\cdot10^{-7}\;\mathrm{Sv} \\[5pt] &=& 5{,}0\cdot10^{-6}\;\mathrm{Sv} \\[5pt] &=& 5{,}0\;\mathrm{\mu Sv} \end{array}$

Die Äquivalentdosis der Lunge liegt unter diesen Annahmen somit in der Größenordnung von wenigen Mikrosievert. Bei einer anderen angenommenen Lungenmasse ändert sich das Ergebnis umgekehrt proportional zur Masse. Weitere Zerfälle der Zerfallsreihe sind hier entsprechend der Aufgabenstellung nicht berücksichtigt.

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Lerninhalte in Physik

Aufgabe III — Natürliche Strahlenbelastung durch Radon

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Material 1: Radioaktiver Zerfall von

Material 2: Messverfahren zur Bestimmung der Radon-Aktivität in Innenräumen

a) Passives Messverfahren

b) Aktives Messverfahren

Material 3: Messung der Radon-Aktivität in einem Kellerraum

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Material 1: Radioaktiver Zerfall von $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{^{222}\mathrm{Rn}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{^{222}\mathrm{Rn}}}$