Aufgabe IV — Anwendung des Potenzialtopfmodells auf Moleküle

Acene sind organische Moleküle. Sie sind beispielsweise für den Einsatz in Bildschirmen interessant und aktuell Gegenstand der Forschung.

Damit Acene für Bildschirme verwendet werden können, müssen sie Photonen mit gewisser Energie aussenden, um bestimmte Farben darzustellen.

Ermittle die Photonenenergie, die einer Wellenlänge von $Formula: 440\;\mathrm{nm}$ $Formula: 440\;\mathrm{nm}$ entspricht.

3 BE

In Bildschirmen können Acene (insbesondere $Formula: 4\text{-A},$ $Formula: 4\text{-A},$ $Formula: 5\text{-A}$ $Formula: 5\text{-A}$ und $Formula: 6\text{-A},$ $Formula: 6\text{-A},$ siehe Material 1) zur Darstellung gewisser Farben verwendet werden. Interessant sind in diesem Zusammenhang insbesondere die Farben Rot, Blau und Grün. Verwende bei den folgenden Berechnungen stets das Modell des eindimensionalen Potenzialtopfs mit unendlich hohen Wänden.

Begründe rechnerisch, dass bei den folgenden Übergängen in $Formula: 4\text{-A}\text{-}$ $Formula: 4\text{-A}\text{-}$ bzw. $Formula: 5\text{-A}\text{-}$ $Formula: 5\text{-A}\text{-}$ Molekülen Photonen emittiert werden, deren Energien den Farben Rot bzw. Blau entsprechen:

$Formula: 4\text{-A}\text{:}$ $Formula: 4\text{-A}\text{:}$ Formula: E_3 nach Formula: E_2

$Formula: 5\text{-A}\text{:}$ $Formula: 5\text{-A}\text{:}$ Formula: E_6 nach Formula: E_5

5 BE

Ermittle durch Rechnung, ob bei einem Übergang in $Formula: 6\text{-A}\text{-}$ $Formula: 6\text{-A}\text{-}$ Molekülen Photonen emittiert werden, deren Energie der Farbe Grün entspricht. Dabei sollen nur Übergänge zwischen benachbarten Niveaus betrachtet werden.

5 BE

Das Modell des eindimensionalen Potenzialtopfs mit unendlich hohen Wänden liefert eine gute Beschreibung für die Lichtemission von Acenen.

Skizziere die Wellenfunktionen zu den ersten drei Energiezuständen im Modell des eindimensionalen Potenzialtopfs mit unendlich hohen Wänden.

4 BE

Nenne drei Annahmen, die in Bezug auf ein Acen-Molekül bei der Anwendung des Modells gemacht werden.

6 BE

Begründe, dass die Modellierung der Acene mittels eines Potenzialtopfs mit unendlich hohen Wänden keine Ionisierung erklären kann.

3 BE

Eine Erweiterung stellt das Modell des eindimensionalen Potenzialtopfs mit endlich hohen Wänden dar (siehe Material 2).

Interpretiere die für die Wellenfunktion $Formula: \psi(x)$ $Formula: \psi(x)$ des Elektrons im Potenzialtopf mit endlich hohen Wänden gültige Beziehung

$Formula: \int_L^\infty |\psi(x)|^2\;\mathrm{d}x > 0$ $Formula: \int_L^\infty |\psi(x)|^2\;\mathrm{d}x > 0$

4 BE

Vor dem Aufkommen von LED-Displays waren Plasma-Displays die beliebteste Wahl bei Flachbildschirmen (siehe Material 3).

Sowohl LEDs als auch die Gasatome in Plasma-Bildschirmen werden elektrisch zum Leuchten gebracht. Zum Betrieb der LEDs ist hierbei eine Spannung von wenigen Volt ausreichend.

Stelle eine Hypothese auf, welcher Spannungsbereich erforderlich ist, um die Gasatome in Plasma-Bildschirmen zum Leuchten anzuregen.

Hinweis: Der Operator „Hypothesen aufstellen“ erfordert auch eine fachlich fundierte Begründung.

4 BE

Beurteile die Güte der drei vom Verkäufer in Material 4 getroffenen Aussagen.

6 BE

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Material 1: Acene

Acene sind organische Verbindungen, die aus mehreren Benzolringen (regelmäßige Sechsecke) bestehen und verschieden lange Ketten bilden.

Je nach Anzahl der Ringe Formula: k wird zwischen $Formula: 3\text{-A}$ $Formula: 3\text{-A}$ mit Ringen, $Formula: 4\text{-A}$ $Formula: 4\text{-A}$ mit Ringen, $Formula: 5\text{-A}$ $Formula: 5\text{-A}$ mit Ringen usw. unterschieden.

Die Länge des eindimensionalen Potenzialtopfes für ein $Formula: k\text{-A}\text{-}$ $Formula: k\text{-A}\text{-}$ Molekül kann näherungsweise durch $Formula: L_k = k \cdot 0{,}246\;\mathrm{nm}$ $Formula: L_k = k \cdot 0{,}246\;\mathrm{nm}$ berechnet werden.

Chemische Strukturformel mit drei verbundenen Sechsringen und Markierungen (1), (2), (3)

Abbildung 1: schematische Darstellung eines $Formula: 3\text{-A-}$ $Formula: 3\text{-A-}$ Moleküls

Material 2: Modellerweiterung: Potenzialtopf mit endlich hohen Wänden

Das Modell des eindimensionalen Potenzialtopfes mit unendlich hohen Wänden liefert nicht die korrekten Energieniveaus eines linearen Moleküls. Insbesondere ergäben sich daraus unendlich viele gebundene Zustände mit über alle Grenzen wachsenden Energien. Eine Verfeinerung des Modells ist möglich, wenn die Höhe der Wände des Potenzialtopfes der Realität angepasst wird.

Abbildung 2a zeigt den Verlauf der potenziellen Energie für einen eindimensionalen Potenzialtopf mit endlich hohen Wänden. Somit sind hier nur gebundene Zustände mit Energien kleiner als $Formula: E_{\mathrm{max}}$ $Formula: E_{\mathrm{max}}$ möglich. Weiterhin ist hier die Ionisierung schematisch dargestellt.

Abbildung 2b zeigt den Graphen der Nachweiswahrscheinlichkeitsdichte $Formula: |\Psi(x)|^2$ $Formula: |\Psi(x)|^2$ eines Elektrons im Grundzustand.

Diagramm zur Elektronenionisierung im Potenzialprofil mit Energiediagramm.

Grafik der Wahrscheinlichkeitsdichte |Ψ(x)|² als Kurve über x.

Abbildung 2: potenzielle Energie und schematische Darstellung der Ionisierung (a) sowie Nachweiswahrscheinlichkeitsdichte eines Elektrons (b) im linearen Potenzialtopf mit endlich hohen Wänden

Material 3: Vergleich von LED- und Plasma-Bildschirmen

Plasma-Bildschirme erzeugen Bilder, indem ein Edelgas durch Stoßanregung mit Elektronen ionisiert wird. Die hierfür notwendige Ionisierungsenergie beträgt etwa $Formula: 20\;\mathrm{eV}.$ $Formula: 20\;\mathrm{eV}.$ Ein Elektron stößt während seiner Bewegung durch das Edelgas je nach Gerät mit etwa Formula: 10 bis Formula: 50 Gasatomen zusammen. Das ionisierte Gas („Plasma“) emittiert ultraviolettes Licht, welches die Phosphorbeschichtung des Bildschirms anregt, wodurch sichtbares Licht entsteht.

Moderne LED-Bildschirme enthalten in jedem Pixel eine Leuchteinheit, die durch das Anlegen einer elektrischen Spannung separat zum Leuchten angeregt wird und Licht in bestimmten Farben emittiert.

	LED-Bildschirm	Plasma-Bildschirm
Elektrische Eingangsleistung	$Formula: 150\;\mathrm{W}$ $Formula: 150\;\mathrm{W}$	$Formula: 300\;\mathrm{W}$ $Formula: 300\;\mathrm{W}$
Bildwiederholrate (dargestellte Einzelbilder pro Sekunde)	$Formula: 120\;\mathrm{Hz}$ $Formula: 120\;\mathrm{Hz}$	$Formula: 600\;\mathrm{Hz}$ $Formula: 600\;\mathrm{Hz}$
Horizontale Bildschirmauflösung	$Formula: 4000\;\mathrm{Pixel}$ $Formula: 4000\;\mathrm{Pixel}$	$Formula: 1080\;\mathrm{Pixel}$ $Formula: 1080\;\mathrm{Pixel}$

Tabelle 1: typische Kennwerte von LED- und Plasma-Bildschirmen gleicher Größe

Material 4: Verkaufsberatung zu LED- und Plasma-Bildschirmen

Im Rahmen eines Verkaufsgesprächs macht ein Verkäufer die folgenden drei Aussagen:

LED-Bildschirme sind nachhaltiger, weil sie eine geringere Eingangsleistung aufweisen.
LED-Bildschirme sind geeigneter, wenn es auf eine hohe Auflösung ankommt.
Plasma-Bildschirme sind besser geeignet, wenn es auf schnelle Bewegungen (z. B. bei schnellen PC-Spielen) ankommt.

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Die Energie eines Photons mit der Wellenlänge $Formula: \lambda = 440\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda = 440\;\mathrm{nm}$ ergibt sich aus $Formula: E = \tfrac{h c}{\lambda}.$ $Formula: E = \tfrac{h c}{\lambda}.$ Einsetzen liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}E & = & \dfrac{6{,}626\cdot10^{-34}\;\mathrm{Js}\cdot 3{,}00\cdot10^8\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{440\cdot10^{-9}\;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 4{,}52\cdot10^{-19}\;\mathrm{J} \\[5pt] & \approx & 2{,}82\;\mathrm{eV}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}E & = & \dfrac{6{,}626\cdot10^{-34}\;\mathrm{Js}\cdot 3{,}00\cdot10^8\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{440\cdot10^{-9}\;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 4{,}52\cdot10^{-19}\;\mathrm{J} \\[5pt] & \approx & 2{,}82\;\mathrm{eV}\end{array}$

Die gesuchte Photonenenergie beträgt somit etwa $Formula: 2{,}82\;\mathrm{eV}.$ $Formula: 2{,}82\;\mathrm{eV}.$

Im Modell des eindimensionalen Potenzialtopfs mit unendlich hohen Wänden gelten für ein $Formula: k\text{-A-}$ $Formula: k\text{-A-}$ Molekül die Beziehungen $Formula: E_n=\tfrac{n^2h^2}{8m_{\mathrm e}L_k^2}$ $Formula: E_n=\tfrac{n^2h^2}{8m_{\mathrm e}L_k^2}$ und $Formula: L_k=k\cdot0{,}246\;\mathrm{nm}.$ $Formula: L_k=k\cdot0{,}246\;\mathrm{nm}.$ Bei einem Übergang nach unten ist die Photonenenergie die positive Energiedifferenz $Formula: E_{\mathrm{Photon}}=E_{n_{\mathrm{oben}}}-E_{n_{\mathrm{unten}}}.$ $Formula: E_{\mathrm{Photon}}=E_{n_{\mathrm{oben}}}-E_{n_{\mathrm{unten}}}.$

Für $Formula: 4\text{-A}$ $Formula: 4\text{-A}$ folgt $Formula: L_4=0{,}984\;\mathrm{nm}.$ $Formula: L_4=0{,}984\;\mathrm{nm}.$ Beim Übergang $Formula: E_3\rightarrow E_2$ $Formula: E_3\rightarrow E_2$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\Delta E_{4\text{-A}} & = & \dfrac{h^2}{8m_{\mathrm e}L_4^2}(3^2-2^2) \\[5pt] & \approx & 1{,}94\;\mathrm{eV} \\[5pt] \lambda_{4\text{-A}} & = & \dfrac{hc}{\Delta E_{4\text{-A}}} \\[5pt] & \approx & 639\;\mathrm{nm}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\Delta E_{4\text{-A}} & = & \dfrac{h^2}{8m_{\mathrm e}L_4^2}(3^2-2^2) \\[5pt] & \approx & 1{,}94\;\mathrm{eV} \\[5pt] \lambda_{4\text{-A}} & = & \dfrac{hc}{\Delta E_{4\text{-A}}} \\[5pt] & \approx & 639\;\mathrm{nm}\end{array}$

Die Wellenlänge von etwa $Formula: 639\;\mathrm{nm}$ $Formula: 639\;\mathrm{nm}$ liegt im roten Spektralbereich.

Für $Formula: 5\text{-A}$ $Formula: 5\text{-A}$ ist $Formula: L_5=1{,}230\;\mathrm{nm}.$ $Formula: L_5=1{,}230\;\mathrm{nm}.$ Beim Übergang $Formula: E_6\rightarrow E_5$ $Formula: E_6\rightarrow E_5$ folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\Delta E_{5\text{-A}} & = & \dfrac{h^2}{8m_{\mathrm e}L_5^2}(6^2-5^2) \\[5pt] & \approx & 2{,}73\;\mathrm{eV} \\[5pt] \lambda_{5\text{-A}} & = & \dfrac{hc}{\Delta E_{5\text{-A}}} \\[5pt] & \approx & 453\;\mathrm{nm}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\Delta E_{5\text{-A}} & = & \dfrac{h^2}{8m_{\mathrm e}L_5^2}(6^2-5^2) \\[5pt] & \approx & 2{,}73\;\mathrm{eV} \\[5pt] \lambda_{5\text{-A}} & = & \dfrac{hc}{\Delta E_{5\text{-A}}} \\[5pt] & \approx & 453\;\mathrm{nm}\end{array}$

Die Wellenlänge von etwa $Formula: 453\;\mathrm{nm}$ $Formula: 453\;\mathrm{nm}$ liegt im blauen Spektralbereich. Damit sind beide Zuordnungen rechnerisch begründet.

Für $Formula: 6\text{-A}$ $Formula: 6\text{-A}$ beträgt die Topflänge $Formula: L_6=1{,}476\;\mathrm{nm}.$ $Formula: L_6=1{,}476\;\mathrm{nm}.$ Bei Übergängen zwischen benachbarten Niveaus ist die Energiedifferenz:

$Formula: \Delta E_{n+1\rightarrow n}=\dfrac{h^2}{8m_{\mathrm e}L_6^2}\bigl((n+1)^2-n^2\bigr)=\dfrac{h^2}{8m_{\mathrm e}L_6^2}(2n+1)$ $Formula: \Delta E_{n+1\rightarrow n}=\dfrac{h^2}{8m_{\mathrm e}L_6^2}\bigl((n+1)^2-n^2\bigr)=\dfrac{h^2}{8m_{\mathrm e}L_6^2}(2n+1)$

Für den Übergang $Formula: E_7\rightarrow E_6$ $Formula: E_7\rightarrow E_6$ ergibt die Rechnung:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\Delta E_{7\rightarrow6} & = & \dfrac{h^2}{8m_{\mathrm e}L_6^2}(7^2-6^2) \\[5pt] & \approx & 2{,}24\;\mathrm{eV} \\[5pt] \lambda_{7\rightarrow6} & = & \dfrac{hc}{\Delta E_{7\rightarrow6}} \\[5pt] & \approx & 553\;\mathrm{nm}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\Delta E_{7\rightarrow6} & = & \dfrac{h^2}{8m_{\mathrm e}L_6^2}(7^2-6^2) \\[5pt] & \approx & 2{,}24\;\mathrm{eV} \\[5pt] \lambda_{7\rightarrow6} & = & \dfrac{hc}{\Delta E_{7\rightarrow6}} \\[5pt] & \approx & 553\;\mathrm{nm}\end{array}$

Etwa $Formula: 553\;\mathrm{nm}$ $Formula: 553\;\mathrm{nm}$ liegt im grünen Spektralbereich. Somit gibt es bei $Formula: 6\text{-A}$ $Formula: 6\text{-A}$ einen Übergang zwischen benachbarten Energieniveaus, der grünes Licht emittiert.

Im Topf der Länge Formula: L müssen die Wellenfunktionen an beiden unendlich hohen Wänden verschwinden. Für die ersten drei Zustände gilt innerhalb des Topfs:

$Formula: \psi_n(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right),\qquad n\in\{1;2;3\},\quad 0\leq x\leq L$ $Formula: \psi_n(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right),\qquad n\in\{1;2;3\},\quad 0\leq x\leq L$

Die Skizze zeigt für Formula: n=1 eine halbe, für Formula: n=2 eine ganze und für Formula: n=3 eineinhalb Sinuswellen. Die Wellenfunktionen besitzen im Inneren entsprechend null, einen und zwei Knoten.

Wellenfunktionen ψ₁, ψ₂ und ψ₃ im unendlich hohen eindimensionalen Potenzialtopf von x = 0 bis x = L; null, ein beziehungsweise zwei innere Knoten.

Bei der Übertragung des Modells auf ein Acen-Molekül werden beispielsweise folgende Annahmen getroffen:

Die Bewegung eines betrachteten Elektrons wird auf die Längsrichtung des Moleküls reduziert; quer dazu wird die Ausdehnung vernachlässigt.
Das Elektron kann sich innerhalb der Länge $Formula: L_k=k\cdot0{,}246\;\mathrm{nm}$ $Formula: L_k=k\cdot0{,}246\;\mathrm{nm}$ frei bewegen; das Potenzial ist dort näherungsweise konstant.
Die Molekülenden werden als unendlich hohe Potenzialwände behandelt; das Elektron kann den Topf nicht verlassen.

Wechselwirkungen des betrachteten Elektrons mit anderen Elektronen und Details des Molekülpotenzials bleiben dabei unberücksichtigt.

Bei einer Ionisierung verlässt ein Elektron das Molekül. Im Potenzialtopf mit unendlich hohen Wänden ist die Wellenfunktion außerhalb des Topfs null; das Elektron kann die Wände bei keiner endlichen Energie überwinden. Das Modell besitzt daher keinen Zustand für ein freies Elektron außerhalb des Moleküls und kann eine Ionisierung nicht erklären.

Das Integral $Formula: \int_L^{\infty}|\psi(x)|^2\;\mathrm{d}x>0$ $Formula: \int_L^{\infty}|\psi(x)|^2\;\mathrm{d}x>0$ ist die Wahrscheinlichkeit, das Elektron rechts außerhalb des Topfs, also für $Formula: x>L\text{,}$ $Formula: x>L\text{,}$ nachzuweisen. Sie ist positiv, weil die Wellenfunktion an einer endlich hohen Wand nicht abrupt auf null fällt, sondern außerhalb exponentiell abklingt. Das beschreibt das Eindringen der Wellenfunktion in den klassisch verbotenen Bereich; es bedeutet für einen gebundenen Zustand noch keine Ionisierung.

Ein beschleunigtes Elektron benötigt nach Material 3 für die Ionisierung eines Gasatoms etwa $Formula: 20\;\mathrm{eV}.$ $Formula: 20\;\mathrm{eV}.$ Bei Formula: 10 bis Formula: 50 Stößen ist die insgesamt bereitzustellende Energie grob Formula: 200 bis $Formula: 1000\;\mathrm{eV}.$ $Formula: 1000\;\mathrm{eV}.$ Mit Formula: E=eU führt dies als Hypothese auf eine Spannung in der Größenordnung einiger hundert Volt bis etwa $Formula: 1\;\mathrm{kV}\text{,}$ $Formula: 1\;\mathrm{kV}\text{,}$ also deutlich oberhalb der wenigen Volt für eine LED. Energieverluste und die konkrete Beschaltung können den tatsächlichen Betriebswert verändern.

Aussage 1: Die geringere Eingangsleistung des LED-Bildschirms ( $Formula: 150\;\mathrm{W}$ $Formula: 150\;\mathrm{W}$ statt $Formula: 300\;\mathrm{W}$ $Formula: 300\;\mathrm{W}$ ) spricht bei gleicher Nutzungsdauer für einen niedrigeren Stromverbrauch. Ob er insgesamt nachhaltiger ist, lässt sich daraus allein nicht entscheiden; Herstellung, Lebensdauer und Entsorgung fehlen.

Aussage 2: Der LED-Bildschirm hat laut Material 3 eine horizontale Auflösung von Formula: 4000 statt Formula: 1080 Pixeln bei gleicher Bildschirmgröße. Für hohe räumliche Auflösung stützen die Daten die Aussage. Die vertikale Auflösung ist allerdings nicht angegeben.

Aussage 3: Die Bildwiederholrate ist beim Plasma-Bildschirm mit $Formula: 600\;\mathrm{Hz}$ $Formula: 600\;\mathrm{Hz}$ größer als beim LED-Bildschirm mit $Formula: 120\;\mathrm{Hz}.$ $Formula: 120\;\mathrm{Hz}.$ Das kann die Darstellung schneller Bewegungen begünstigen. Ob der Unterschied praktisch sichtbar ist, lässt sich ohne Angaben zu Reaktionszeit, Ansteuerung und Wahrnehmung nicht abschließend beurteilen.

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Lerninhalte in Physik

Aufgabe IV — Anwendung des Potenzialtopfmodells auf Moleküle

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Material 1: Acene

Material 2: Modellerweiterung: Potenzialtopf mit endlich hohen Wänden

Material 3: Vergleich von LED- und Plasma-Bildschirmen

Material 4: Verkaufsberatung zu LED- und Plasma-Bildschirmen

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