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Teil B2

Aufgaben
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Obelisk
Abb. 1: nicht maßstäblich
Obelisk
Abb. 1: nicht maßstäblich
2.1
Ermittle die Länge einer Diagonalen der Grundfläche des unteren Teilkörpers.
Begründe, dass der Punkt $F$ die Koordinaten $F(0,35\mid 0,35\mid 7,16)$ hat.
Berechne die Größe des Neigungswinkels einer Seitenkante des unteren Teilkörpers gegenüber der $xy$-Ebene.
(9 BE)
2.2
Es gibt Ebenen, zu denen das Modell des Obelisken symmetrisch ist.
Entscheide für jede der folgenden Gleichungen $\text{I}$ bis $\text{IV},$ ob sie eine derartige Ebene beschreibt.
$\begin{array}{lrll} \text{III}\quad&x-y&=& 0 \\[10pt] \text{IV}\quad&x-z&=& 0 \\[10pt] \end{array}$
Begründe für eine der Gleichungen $\text{I}$ bis $\text{IV},$ dass sie keine derartige Ebene beschreibt.
(5 BE)
#symmetrie
2.3
Zeige, dass die Seitenfläche $EFS_t$ in der Ebene $\epsilon$ mit der Gleichung
$\epsilon:\quad t\cdot x + 0,35\cdot z = 0,35\cdot t +2,506$
$ \epsilon: … $
liegt.
Die Seitenfläche $FGS_t$ liegt in der Ebene $\eta$ mit der Gleichung
$\eta:\quad t\cdot y +0,35\cdot z = 0,35\cdot t +2,506.$
$ \eta: … $
Bestimme den Wert $t,$ für welchen die Ebenen $\epsilon$ und $\eta$ einen Winkel von $80^{\circ}$ einschließen.
(8 BE)
#ebenengleichung
2.4
Berechne den Flächeninhalt der Mantelfläche des oberen Teilkörpers $EFGHS_t$ in Abhängigkeit von $t.$
(6 BE)
2.5
Die Schattenbildung des Obelisken wird am Modell untersucht.
Dabei wird auftreffendes Sonnenlicht durch zueinander parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{v}= \pmatrix{1\\1\\-2}$ dargestellt.
Für diesen Fall gibt es Werte von $t,$ so dass die Spitze $S_t$ des Obelisken einen Schatten auf die $xy$-Ebene wirft.
Es gibt einen Wert $t,$ für den dieser Schatten $5,10\,\text{Meter}$ vom Punkt $B$ entfernt ist.
Ermittle diesen Wert $t.$
(5 BE)
2.6
Ein Miniaturmodell des Obelisken befindet sich in der Eingangshalle einer Kunstausstellung. Der Anteil der Kunstexperten unter den Besuchern dieser Kunstausstellung sei $a.$
Betrachtet wird folgendes Ereignis:
Unter fünf zufällig ausgewählten Besuchern des Kunstausstellung befindet sich genau ein Kunstexperte.
Ermittle den Wert $a,$ für den die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis maximal ist.
(3 BE)
2.7
Die Kunstausstellung ist in der Nacht mit einer Alarmanlage gesichert. Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Nacht ein Einbruch versucht wird, liegt bei $0,1\,\%.$
Bei einem Einbruchsversuch in der Nacht schlägt die Anlage mit einer Wahrscheinlichkeit von $98\,\%$ Alarm. Findet in der Nacht kein Einbruchsversuch statt, kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,4\,\%$ zu einem Alarm.
Betrachtet werden folgende Ereignisse $E_1$ und $E_2:$
„In einer Nacht wird ein Einbruch versucht. “
„In einer Nacht wird ein Alarm ausgelöst. “
Weise nach, dass $E_1$ und $E_2$ stochastisch abhängig sind.
In einer Nacht wurde ein Alarm ausgelöst.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Alarm durch einen Einbruchsversuch ausgelöst wurde.
(6 BE)
#stochastischeunabhängigkeit
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Lösungen
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2.1
$\blacktriangleright$  Länge einer Diagonalen ermitteln
Da $O$ der Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche $ABCD$ ist, halbiert er beide Diagonalen. Die Diagonale $[BD]$ hat also die Länge $\overline{BD} = 2\cdot \overline{BO}.$ Da die Koordinaten von $O$ und $B$ gegeben sind, kannst du den Vektorbetrag verwenden:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{BD}&=& 2\cdot \overline{BO} \\[5pt] &=&2\cdot \left|\overrightarrow{BO} \right| \\[5pt] &=& 2\cdot \left| \pmatrix{0,45\\0,45\\0,00}\right|\\[5pt] &=& 2\cdot \sqrt{0,45^2+0,45^2 +0,00^2} \\[5pt] &\approx& 1,27\,[\text{LE}] \end{array}$
$ \overline{BD} \approx 1,27\,[\text{LE}] $
Die Länge der Diagonalen $\overline{BD}$ beträgt ca. $1,27\,\text{m}.$
$\blacktriangleright$  Koordinaten begründen
Die Koordinaten von $E$ sind gegeben mit $E(0,35\mid -0,35\mid 7,16).$
  • $E$ und $F$ sind beide Eckpunkte der Deckfläche $EFGH$ des unteren Teilkörpers. Diese Deckfläche entsteht durch einen zur $xy$-Ebene parallelen Schnitt. Die Punkte $E$ und $F$ müssen daher die gleiche $z$-Koordinate besitzen:
    $z_F= z_E=7,16$
  • Der Pyramidenstumpf entsteht aus einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche, deren Mittelpunkt der Koordinatenursprung ist. Wegen des zur $xy$-Ebene parallelen Schnitts, ist die Deckfläche ebenfalls quadratisch und ihr Mittelpunkt liegt auf der $z$-Achse.
    Der Abbildung kann man mit diesen Informationen entnehmen, dass der Punkt $F$ die gleiche $x$-Koordinate wie $E$ besitzen muss:
    $x_F=x_E = 0,35$
  • Da $F$ aufgrund der Quadrateigenschaften nun noch genauso weit vom Koordinatenursprung $O$ entfernt sein muss wie $E,$ muss auch die letzte Koordinate vom Betrag her übereinstimmen. Wäre $y_F=y_E,$ wären beide Punkte aber identisch. Also muss gelten $y_F = - y_E= 0,35.$
$\blacktriangleright$  Neigungswinkel berechnen
Der Neigungswinkel einer Seitenkante gegenüber der $xy$-Ebene entspricht beispielsweise dem Schnittwinkel der Geraden durch die Punkte $B$ und $F$ mit der $xy$-Ebene.
Ein Normalenvektor der $xy$-Ebene ist $\overrightarrow{n} = \pmatrix{0\\0\\1},$ ein Richtungsvektor der Geraden ist $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{BF} = \pmatrix{-0,1\\-0,1\\7,16}.$
Mit der Formel für den Schnittwinkel $\phi$ ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \phi &=& \dfrac{\left| \overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{r} \right|}{\left| \overrightarrow{n}\right|\cdot \left| \overrightarrow{r}\right|} \\[5pt] \sin \phi &=& \dfrac{\left| \pmatrix{0\\0\\1}\circ\pmatrix{-0,1\\-0,1\\7,16} \right|}{\left| \pmatrix{0\\0\\1}\right|\cdot \left| \pmatrix{-0,1\\-0,1\\7,16}\right|} \\[5pt] \sin \phi &=& \dfrac{\left| 7,16 \right|}{1 \cdot \sqrt{(-0,1)^2+(-0,1)^2+7,16^2}} \\[5pt] \sin \phi&=& \dfrac{7,16}{\sqrt{51,2856}} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}\\[5pt] \phi &\approx& 89^{\circ} \end{array}$
$ \phi \approx 89^{\circ} $
Der Neigungswinkel der Seitenkante $\overline{BF}$ gegenüber der $xy$-Ebene beträgt ca. $89^{\circ}.$
#schnittwinkel#vektorbetrag
2.2
$\blacktriangleright$  Symmetrieebenen untersuchen
Der Obelisk ist nicht symmetrisch zu dieser Ebene, da sie den Obelisken nicht schneidet, sondern lediglich an der Kante $[AB]$ berührt. Diese Ebene teilt den Obelisken also nicht in zwei Teilkörper, sodass er auch nicht symmetrisch zu ihr sein kann.
Diese Gleichung beschreibt die $xz$-Ebene und damit eine Ebene, zu der der Obelisk symmetrisch ist.
Diese Gleichung beschreibt eine Ebene, die den Obelisken entlang der Diagonalen $[DB]$ und $[HF]$ schneidet. Sie beschreibt eine Ebene, zu der der Obelisk symmetrisch ist.
Diese Gleichung beschreibt keine Ebene, zu der der Obelisk symmetrisch ist.
2.3
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass die Seitenfläche in der Ebene liegt
Die Seitenfläche $EFS_t$ liegt in der Ebene $\epsilon,$ wenn alle drei Eckpunkte in dieser Ebene liegen, also die Ebenengleichung erfüllen.
Eine Punktprobe mit den Koordinaten von $E$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \epsilon:\quad t\cdot x +0,35\cdot z &=& 0,35\cdot t +2,506 &\quad \scriptsize \mid\; E(0,35\mid -0,35\mid 7,16) \\[5pt] t\cdot 0,35 +0,35\cdot 7,16 &=& 0,35\cdot t +2,506 \\[5pt] 0,35\cdot t +2,506 &=& 0,35\cdot t +2,506 \end{array}$
Die Koordinaten von $E$ erfüllen also die Ebenengleichung, sodass $E$ in der Ebene $\epsilon$ liegt. Für $F$ folgt analog:
$\begin{array}[t]{rll} \epsilon:\quad t\cdot x +0,35\cdot z &=& 0,35\cdot t +2,506 &\quad \scriptsize \mid\; F(0,35\mid 0,35\mid 7,16) \\[5pt] t\cdot 0,35 +0,35\cdot 7,16 &=& 0,35\cdot t +2,506 \\[5pt] 0,35\cdot t +2,506 &=& 0,35\cdot t +2,506 \end{array}$
Die Koordinaten von $F$ erfüllen also ebenfalls die Ebenengleichung, sodass $F$ in der Ebene $\epsilon$ liegt. Für $S_t$ folgt analog:
$\begin{array}[t]{rll} \epsilon:\quad t\cdot x +0,35\cdot z &=& 0,35\cdot t +2,506 &\quad \scriptsize \mid\; S_t(0,00\mid 0,00\mid 7,16+t) \\[5pt] t\cdot 0,00 +0,35\cdot (7,16+t) &=& 0,35\cdot t +2,506 \\[5pt] 0,35\cdot t +2,506 &=& 0,35\cdot t +2,506 \end{array}$
Die Koordinaten von $S_t$ erfüllen also ebenfalls die Ebenengleichung, sodass insgesamt alle drei Eckpunkte und damit die gesamte Seitenfläche $EFS_t$ in der Ebene $\epsilon$ liegt.
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Aus den angegebenen Ebenengleichungen lassen sich zugehörige Normalenvektoren ablesen:
$\overrightarrow{n}_{\epsilon} = \pmatrix{t\\0\\0,35}$ und $\overrightarrow{n}_{\eta}=\pmatrix{0\\t\\0,35}$
Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \cos 80^{\circ}&=& \dfrac{\left|\overrightarrow{n}_{\epsilon}\circ \overrightarrow{n}_{\eta} \right|}{\left| \overrightarrow{n}_{\epsilon}\right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_{\eta} \right|} \\[5pt] \cos 80^{\circ}&=& \dfrac{\left|\pmatrix{t\\0\\0,35}\circ \pmatrix{0\\t\\0,35} \right|}{\left| \pmatrix{t\\0\\0,35}\right| \cdot \left|\pmatrix{0\\t\\0,35} \right|} \\[5pt] \cos 80^{\circ}&=& \dfrac{0,35^2}{\sqrt{t^2+0^2+0,35^2}\cdot \sqrt{0^2+t^2+0,35^2}} \\[5pt] \cos 80^{\circ}&=& \dfrac{0,35^2}{t^2+0,35^2} &\quad \scriptsize \mid\; -\cos 80^{\circ} \\[5pt] 0 &=& \dfrac{0,35^2}{t^2+0,35^2}-\cos 80^{\circ} \end{array}$
$ 0 = … $
Diese Gleichung kannst du mit deinem GTR lösen, indem du die rechte Seite als Funktionsterm in Abhängigkeit von $t$ auffasst und dir den zugehörigen Graphen anzeigen lässt und anschließend die Nullstellen bestimmst.
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F1: ROOT
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F1: ROOT
Du erhältst die beiden Lösungen $t_1\approx 0,76$ und $t_2\approx -0,76.$ In der Aufgabenstellung ist aber angegeben, dass $t>0$ sein soll. Für $t\approx 0,76$ schließen die Ebenen $\epsilon$ und $\eta$ also einen Winkel von $80^{\circ}$ ein.
#schnittwinkel
2.4
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt der Mantelfläche berechnen
Da es sich beim oberen Teilkörper um eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche handelt, sind alle vier Seitenflächen gleich groß. Es genügt also den Flächeninhalt des Dreiecks $EFS_t$ zu bestimmen. Dafür kannst du das Kreuzprodukt verwenden:
$\begin{array}[t]{rll} A_{EFS_t}&=& \frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{EF}\times \overrightarrow{ES_t} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{0\\0,7\\0}\times \pmatrix{-0,35\\0,35\\t} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{0,7\cdot t - 0\cdot 0,35 \\ 0\cdot (-0,35) - 0\cdot t \\ 0\cdot 0,35 - 0,7\cdot (-0,35)} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{0,7\cdot t \\ 0\\ 0,245} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{(0,7t)^2 +0^2 +0,245^2}\\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{0,49t^2 +0,060025}\\[5pt] \end{array}$
$ A_{EFS_t} = \frac{1}{2}\cdot \sqrt{…} $
Der Flächeninhalt der Mantelfläche ergibt sich also zu:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 4\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{0,49t^2 +0,060025} \\[5pt] &=& 2\cdot \sqrt{0,49t^2 +0,060025} \\[5pt] \end{array}$
$ A=2\cdot \sqrt{…} $
Der Flächeninhalt der Mantelfläche des oberen Teilkörpers beträgt $2\cdot \sqrt{0,49t^2 +0,060025}\,\text{m}^2.$
#kreuzprodukt
2.5
$\blacktriangleright$  Parameterwert ermitteln
Der Schattenpunkt $S'$ muss drei Bedingungen erfüllen:
  1. Er liegt in der $xy$-Ebene, es ist also $z_{S'} = 0.$
  2. Er liegt auf der Geraden durch $S_t$ mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{v}:$
    $\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS'}&=&\overrightarrow{OS_t} + r\cdot \overrightarrow{v} \\[5pt] &=& \pmatrix{0,00\\0,00\\7,16+t} + r\cdot \pmatrix{1\\1\\-2}\\[5pt] &=& \pmatrix{r\\r\\7,16+t-2r} \end{array}$
    $ \overrightarrow{OS'}=\pmatrix{r\\r\\7,16+t-2r} $
  3. $S'$ liegt $5,10\,\text{m}$ von $B$ entfernt: $\left|\overrightarrow{BS'}\right|= 5,10 $
Aus den ersten beiden Bedingungen ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 7,16+t-2r &\quad \scriptsize \mid\;+2r \\[5pt] 2r&=& 7,16+t &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] r&=& 3,58+0,5t \\[5pt] \end{array}$
$ r = 3,58+0,5t $
Dies kannst du nun in die dritte Bedingung einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{BS'}\right|&=& 5,10 \\[5pt] \left|\pmatrix{r-0,45\\r-0,45 \\ 7,16 +t-2r} \right|&=& 5,10 &\quad \scriptsize \mid\; r=3,58+0,5t \\[5pt] \left|\pmatrix{3,58+0,5t-0,45\\3,58+0,5t-0,45 \\ 7,16+t -2(3,58+0,5t)} \right|&=& 5,10 \\[5pt] \left|\pmatrix{3,13+0,5t\\3,13+0,5t \\0} \right|&=& 5,10 \\[5pt] \sqrt{(3,13+0,5t)^2+(3,13+0,5t)^2 +0^2 }&=& 5,10 \\[5pt] \sqrt{2\cdot(3,13+0,5t)^2}&=& 5,10 \\[5pt] \sqrt{2}\cdot(3,13+0,5t)&=& 5,10 &\quad \scriptsize\mid\; :\sqrt{2} \\[5pt] 3,13+0,5t &=& \frac{5,10}{\sqrt{2}} &\quad \scriptsize\mid\; -3,13 \\[5pt] 0,5t &=& \frac{5,10}{\sqrt{2}}-3,13 &\quad \scriptsize\mid\; :0,5 \\[5pt] t &=& 2\cdot\frac{5,10}{\sqrt{2}}-6,26\\[5pt] t &\approx& 0,95\\[5pt] \end{array}$
$ t\approx 0,95 $
Für $t\approx 0,95$ ist der Schatten der Spitze $5,10\,\text{m}$ vom Punkt $B$ entfernt.
#vektorbetrag
2.6
$\blacktriangleright$  Parameterwert ermitteln
Die zufällige Anzahl der Kunstexperten unter den $5$ zufällig ausgewählten Besuchern kann als binomialverteilt mit $n=5$ und $p=a$ angenommen werden. Mithilfe der Binomialformel ergibt sich dann folgende Funktionsgleichung für die Wahrscheinlichkeit für genau einen Kunstexperten in Abhängigkeit von $a:$
$\begin{array}[t]{rll} P(a)&=& \binom{5}{1} \cdot a^1\cdot (1-a)^4 \\[5pt] &=& 5\cdot a\cdot (1-a)^4 \end{array}$
$ P(a)= 5\cdot a\cdot (1-a)^4 $
Mit dem GTR kannst du nun das Maximum bestimmen, indem du dir den Graphen anzeigen lässt und anschließend auf Hochpunkte und Randextrema untersuchst.
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX
Du erhältst den einzigen Hochpunkt $H(0,2\mid 0,4096).$ Der Funktionswert an den Intervallrändern $p=0$ und $p=1$ beträgt $P(0)=P(1)=0.$ Für $a=0,2$ ist also die Wahrscheinlichkeit für das betrachtete Ereignis maximal.
#binomialverteilung
2.7
$\blacktriangleright$  Stochastische Abhängigkeit zeigen
Die beiden Ereignisse sind stochastisch abhängig, wenn gilt: $P(E_1\cap E_2)\neq P(E_1) \cdot P(E_2).$
Für $E_1$ gilt laut Aufgabenstellung $P(E_1) = 0,1\,\%.$
Zur Übersicht kannst du ein Baumdiagramm zeichnen.
Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
Mit den Pfadregeln erhältst du folgende Wahrscheinlichkeiten.
$\begin{array}[t]{rll} P(E_2)&=& P(E_1)\cdot P_{E_1}(E_2) + P(\overline{E_1})\cdot P_{\overline{E_1}}(E_2) \\[5pt] &=& 0,001\cdot 0,98 +0,999\cdot 0,004 \\[5pt] &=& 0,004976 \\[10pt] P(E_1)\cdot P(E_2)&=& 0,001\cdot 0,004976 \\[5pt] &=& 0,000004976 \\[10pt] P(E_1\cap E_2)&=& P(E_1)\cdot P_{E_1}(E_2) \\[5pt] &=& 0,001\cdot 0,98 \\[5pt] &=& 0,00098 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(E_2)&=& … \\[10pt] P(E_1)\cdot P(E_2)&=&… \\[10pt] P(E_1\cap E_2)&=& … \end{array}$
Es ist also $P(E_1\cap E_2)\neq P(E_1)\cdot P(E_2),$ sodass die Ereignisse $E_1$ und $E_2$ stochastisch abhängig sind.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für einen Einbruchsversuch berechnen
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lässt sich mithilfe des Satzes von Bayes berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P_{E_2}(E_1)&=& \dfrac{P_{E_1}(E_2)\cdot P(E_1)}{P(E_2)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,98\cdot 0,001}{0,004976} \\[5pt] &\approx& 0,1969 \\[5pt] \end{array}$
$ P_{E_2}(E_1) \approx 0,1969 $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einem Alarm wirklich um einen Einbruchsversuch handelt, beträgt ca. $19,69\,\%.$
#satzvonbayes#baumdiagramm#pfadregeln
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