Inhalt
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
SN, Gymnasium
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 9
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (CAS)
BLF (GTR)
BLF (CAS)
Kompetenztest 8
Abitur LK (GTR...
Prüfung
wechseln
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (CAS)
BLF (GTR)
BLF (CAS)
Kompetenztest 8
Mach dich schlau mit SchulLV!
Mit dem digitalen Lernverzeichnis ersetzen wir Prüfungsvorbereitungsbücher sowie Schulbücher in ganz Deutschland. SchulLV bietet schnellen Zugriff auf über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen aus über 100 Abschlüssen in allen Bundesländern. Darüber hinaus besteht Zugriff auf 1.700 Themen im Digitalen Schulbuch für sämtliche Schularten von Klasse 5-13.
Neu: Zugänge deutlich ermäßigt über die Schule kaufen! Hier klicken

Teil B1

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
Die Grundfläche einer Multifunktionsarena kann in einem kartesischen Koordinatensystem (1 Längeneinheit entspricht 1 Meter) dargestellt werden.
Der positive Teil der Abszissenachse zeigt nach Osten; der positive Teil der Ordinatenachse zeigt nach Norden.
Die nördliche Begrenzungslinie der Grundfläche der Multifunktionsarena kann näherungsweise durch den Graphen der Funktion $f$ mit $y= f(x)=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{10.000 -x^2}$ $(x\in D_f)$ beschrieben werden.
Der Graph der Funktion $g$ zur Beschreibung der südlichen Begrenzungslinie entsteht durch Spiegelung des Graphen der Funktion $f$ an der Abszissenachse.
1.1
Gib eine Gleichung der Funktion $g$ an.
Zeige, dass der Punkt $P(100\mid 0)$ auf den Graphen der Funktionen $f$ und $g$ liegt.
Begründe, dass der Graph der Funktion $f$ achsensymmetrisch zur Ordinatenachse verläuft.
Skizziere die Graphen $f$ und $g$ in ihrem größtmöglichen Definitionsbereich in einem geeigneten Koordinatensystem.
(7 BE)
#achsensymmetrie#definitionsbereich
1.2
Bestimme die größte Nord-Süd-Ausdehnung der Grundfläche der Multifunktionsarena.
(3 BE)
1.3
Unter der gesamten Grundfläche der Multifunktionsarena befindet sich als Fundament eine $0,8\,\text{m}$ dicke Bodenplatte aus Beton.
Ermittle das Volumen der Bodenplatte.
(5 BE)
1.4
Im Fundament der Grundfläche befinden sich Versorgungskanäle.
Der Verlauf eines Versorgungskanals kann durch einen Teil des Graphen einer quadratischen Funktion $h$ beschrieben werden. Der Graph dieser Funktion $h$ verläuft durch den Punkt $Q(50\mid 0)$ und trifft im Punkt $R(80\mid f(80))$ senkrecht auf die nördliche Begrenzungslinie der Grundfläche.
Bestimme eine Gleichung der Funktion $h$.
(7 BE)
Die Multifunktionsarena hat eine vollständig geschlossene Dachfläche, welche sich direkt an die Grundfläche anschließt.
Diese Dachfläche kann durch Rotation des Graphen von $f$ um die Abszissenachse beschrieben werden.
Die Dachfläche und die Grundfläche begrenzen einen kuppelförmigen Raum.
#rotation
1.5
Bestimme das Volumen des kuppelförmigen Raumes.
(5 BE)
#rotationsvolumen
1.6
Jeder zur Abszissenachse senkrechte Schnitt durch die Dachfläche ergibt einen Halbkreis. Die sieben Träger der Dachfläche verlaufen entlang solcher Halbkreise.
Benachbarte Träger besitzen jeweils den gleichen Abstand.
Die Träger werden von West nach Ost mit Träger $1$ bis Träger $7$ bezeichnet.
Die Träger $1$ und $7$ besitzen jeweils eine Länge von $68,5\,\text{m}.$
Ermittle die Länge des Trägers $3.$
(7 BE)
Zur Verkleidung der Dachfläche werden Lichtpaneele geliefert.
1.7
Aus Erfahrung sind folgende zwei Aussagen bekannt:
(1) $85\,\%$ der gelieferten Lichtpaneele können sofort eingebaut werden.
(2) $70\,\%$ der gelieferten Lichtpaneele, die nicht sofort eingebaut werden können, können nach einer Überarbeitung eingebaut werden.
Ermittle den Anteil der gelieferten Lichtpaneele, die eingebaut werden können.
Ein eingebautes Lichtpaneel wird zufällig ausgewählt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieses Lichtpaneel überarbeitet wurde.
(6 BE)
1.8
Es wurden $18.000$ Lichtpaneele eingebaut.
Die Funktionsdauer der eingebauten Lichtpaneele ist normalverteilt mit einem Erwartungswert von $8$ Jahren und einer Standardabweichung von $9$ Monaten.
Ermittle, bei wie vielen der eingebauten $18.000$ Lichtpaneele mit einer Funktionsdauer von höchstens $6$ Jahren zu rechnen ist.
(5 BE)
#normalverteilung
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen TI
Download als Dokument:PDF
1.1
$\blacktriangleright$  Gleichung aufstellen
Der Graph von $g$ entsteht durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der Abszissenachse, also an der $x$-Achse. Für den Funktionsterm bedeutet dies $g(x)=-f(x).$ Die Gleichung der Funktion $g$ ergibt sich also wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&g(x) \\[5pt] &=& -f(x) \\[5pt] &=& -\frac{1}{2}\cdot \sqrt{10.000-x^2} \\[5pt] \end{array}$
$ g(x)=-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{10.000-x^2} $
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass der Punkt $\boldsymbol{P}$ auf beiden Graphen liegt
Der Punkt $P(100\mid 0)$ liegt auf den Graphen von $f$ und $g$, wenn er die Funktionsgleichungen erfüllt, also $f(100)=0$ und $g(100)=0$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} f(100)&=&\frac{1}{2}\cdot \sqrt{10.000-100^2} \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 0 \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] g(100)&=& -\frac{1}{2}\cdot \sqrt{10.000-100^2} \\[5pt] &=& -\frac{1}{2}\cdot 0 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(100)&=& 0 \\[10pt] g(100)&=& 0 \end{array}$
Die Koordinaten von $P$ erfüllen beiden Funktionsgleichungen, wodurch der Punkt $P$ auf den beiden Graphen von $f$ und $g$ liegt.
$\blacktriangleright$  Achsensymmetrie begründen
Der Graph einer Funktion $f$ ist achsensymmetrisch zur Ordinatenachse, wenn $f(x)=f(-x)$ gilt.
$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{10.000- (-x)^2} &\quad \scriptsize \mid\; (-x)^2=x^2 \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{10.000- x^2} \\[5pt] &=&f(x) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=& …\\[5pt] &=&f(x) \end{array}$
Da $f(-x)=f(x)$ gilt, ist der Graph von $f$ achsensymmetrisch zur Ordinatenachse.
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Der maximale Definitionsbereich von $f$ und $g$ ist $D= [-100;100].$ Für $f$ ergibt sich folgende Wertetabelle mit gerundeten Werten:
$x$$0 $$ 25$$50 $$75 $$100 $
$y=f(x)$$ 50$$48,4 $$43,3 $$33,1 $$0$
$x$$y$
$0 $$ 50$
$ 25$$48,4 $
$ 50$$43,3 $
$ 75$$ 33,1$
$ 100$$ 0$
Wegen der Achsensymmetrie des Graphen von $f,$ entsteht der Teil des Graphen von $f$ im vierten Quadranten durch Spiegelung des Teils im ersten Quadranten an der Ordinatenachse.
Der Graph von $g$ entsteht dann durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der Abszissenachse.
Abb. 1: Graphen von $f$ und $g$
Abb. 1: Graphen von $f$ und $g$
1.2
$\blacktriangleright$  Größte Nord-Süd-Ausdehnung bestimmen
Abb. 2: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum
Abb. 2: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum
Da dies die einzige lokale Extremstelle ist und es sich um eine Maximalstelle handelt, ist der Funktionswert von $f$ an der Stelle $x=0$ der größte Funktionswert von $f$ im gesamten maximalen Definitionsbereich $[-100,100].$
$\begin{array}[t]{rll} d&=&2\cdot f(0) \\[5pt] &=& 2\cdot 50\\[5pt] &=& 100\\[5pt] \end{array}$
Die größte Nord-Süd-Ausdehnung der Grundfläche der Multifunktionsarena beträgt $100\,\text{m}.$
#extrempunkt
1.3
$\blacktriangleright$  Volumen der Bodenplatte ermitteln
Das Volumen der Bodenplatte ergibt sich zu
$V = G\cdot h$
wobei $h$ die Höhe bzw. Dicke der Bodenplatte ist, also $h = 0,8\,\text{m}.$ $G$ ist der Flächeninhalt der Grundfläche und kann als Inhalt der Fläche berechnet werden, die die Graphen von $f$ und $g$ in ihrem maximalen Definitionsbereich einschließen.
Abb. 3: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7
Abb. 3: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7
Das Volumen ergibt sich dann wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&G\cdot h \\[5pt] &=& 15.707,96\,\text{m}^2 \cdot 0,8\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 12.566,37\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$
$ V\approx 12.566,37\,\text{m}^3 $
Das Volumen der Bodenplatte beträgt ca. $V= 12.566,37\,\text{m}^3.$
#integral
1.4
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Für $h$ gelten folgende Bedingungen:
  • $h$ ist eine quadratische Funktion, also ist $h(x)=ax^2+bx+c.$
  • Der Graph von $h$ verläuft durch den Punkt $Q(50\mid 0),$ also muss $h(50)=0$ gelten.
  • Der Graph von $h$ verläuft durch den Punkt $R(80\mid f(80)),$ also muss $h(80)=f(80)$ gelten.
  • Der Graph von $h$ trifft im Punkt $R$ senkrecht auf die nördliche Begrenzungslinie, also den Graphen von $f$. Für die Steigung an dieser Stelle muss daher gelten $h'(80)=-\dfrac{1}{f'(80)}$
Es ist:
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& ax^2+bx+c\\[5pt] h'(x)&=& 2ax+b \end{array}$
Für die benötigten Werte von $f$ ergibt sich mit der Kettenregel für Ableitungen:
$\begin{array}[t]{rll} f(80)&=& 30\\[10pt] f'(x)&=& \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\sqrt{10.000-x^2}}\cdot (-2x) \\[5pt] &=& \dfrac{-x}{2\sqrt{10.000-x^2}} \\[10pt] f'(80)&=& \dfrac{-80}{2\sqrt{10.000-80^2}} \\[5pt] &=& -\frac{2}{3} \\[5pt] \end{array}$
Damit ergibt sich also folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0&=& a\cdot 50^2+b\cdot 50+c\\ &0&=& 2.500a+50b+c\\[5pt] \text{II}\quad&30&=& a\cdot 80^2+b\cdot 80 +c \\ &30&=& 6.400a+80b +c \\[5pt] \text{III}\quad& -\dfrac{1}{-\frac{2}{3}}&=& 2a\cdot 80+b\\ & \frac{3}{2}&=& 160a+b\\ \end{array}$
Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \text{III}\quad \frac{3}{2}&=& 160a+b \\[5pt] b&=& \frac{3}{2}-160a \\[5pt] \end{array}$
Einsetzen in $\text{II}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad 30 &=& 6.400a+80b +c \\[5pt] 30 &=& 6.400a+80\cdot \left( \frac{3}{2}-160a\right) +c \\[5pt] 30&=&6.400a+120 -12.800a+c \\[5pt] 30&=&-6.400a+120+c &\quad \scriptsize \mid\;-30 \\[5pt] 0&=& -6.400a+90+c \\[5pt] c&=& 6.400a-90 \\[5pt] \end{array}$
Einsetzen in $\text{I}$:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad 0&=& 2.500a+50b+c \\[5pt] 0&=& 2.500a+50\cdot \left( \frac{3}{2}-160a\right)+ 6.400a-90 \\[5pt] 0&=& 2.500a +75-8.000a +6.400a-90 \\[5pt] 0&=& 900a-15&\quad \scriptsize \mid\;+15 \\[5pt] 15&=& 900a&\quad \scriptsize \mid\;:900 \\[5pt] \frac{1}{60}&=&a \end{array}$
Damit ergibt sich für $b$ und $c:$
$\begin{array}[t]{rll} b&=& \frac{3}{2}-160\cdot \frac{1}{60}\\[5pt] &=& -\frac{7}{6} \\[10pt] c&=& 6.400a-90 \\[5pt] &=& \frac{50}{3} \end{array}$
Eine Gleichung der Funktion $h$ lautet
$y = h(x)=\frac{1}{60}x^2- \frac{7}{6}x+\frac{50}{3}.$
$y = h(x)=\frac{1}{60}x^2- \frac{7}{6}x+\frac{50}{3}.$
1.5
$\blacktriangleright$  Volumen des Raumes bestimmen
Da die Dachfläche durch Rotation des Graphen von $f$ um die Abszissenachse beschrieben werden kann, entspricht der Raum dem halben Rotationskörper, der durch die Rotation des Graphen von $f$ entsteht. Das Volumen des Raumes ergibt sich daher mit der Formel für das Rotationsvolumen wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} V &=& \frac{1}{2}\cdot \pi \cdot \displaystyle\int_{-100}^{100}\left(f(x)\right)^2\;\mathrm dx &\scriptsize\quad \mid\; GTR\\[5pt] &\approx& \frac{1}{2}\cdot \pi \cdot 333.333,33\,\text{m}^3\\[5pt] &\approx& 523.598,77\,\text{m}^3\\[5pt] \end{array}$
$ V\approx 523.598,77\,\text{m}^3 $
Das Volumen des kuppelförmigen Raumen beträgt ca. $523.599\,\text{m}^3.$
1.6
$\blacktriangleright$  Länge des dritten Trägers berechnen
Die sieben Träger verlaufen entlang von Halbkreisen. Diese Halbkreise entstehen durch Schnitte durch die Dachfläche, die senkrecht zur Abszissenachse sind.
Diese sieben Schnitte befinden sich an sieben verschiedenen Stellen $x_1,$ $x_2,$ …$x_7$ der Abszissenachse. Dabei haben je zwei nebeneinanderliegende Schnitte den gleichen Abstand voneinander.
Die Länge $l_i$ des Trägers $i$ kann über die Hälfte des Umfangs $U_i$ des Kreises berechnet werden, der bei der Rotation des Graphen von $f$ an der Stelle $x_i$ entsteht. Der Radius $r_i$ des jeweiligen Kreises ist der Funktionswert $f(x_i).$
$\begin{array}[t]{rll} l_i&=& \frac{1}{2}U_i \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 2\pi\cdot r_i \\[5pt] &=& \pi \cdot f(x_i) \end{array}$
$ l_i = \pi \cdot f(x_i)$
Aus der Länge des ersten und siebten Trägers lässt sich die Position dieser berechnen:
Abb. 4: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect
Abb. 4: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect
Da die Träger im gleichen Abstand zueinander verlaufen, befinden sich die sieben Träger an den folgenden Positionen:
$x_1 = -90, $ $x_2= -60,$ $x_3= -30,$ $x_4= 0,$ $x_5=30,$ $x_6= 60$ und $x_7 = 90$
Die Länge $l_3$ des dritten Trägers ergibt sich daher zu:
$\begin{array}[t]{rll} l_3&=& \pi \cdot f(x_3) \\[5pt] &=& \pi \cdot f(-30) &\quad \scriptsize \mid\; GTR\\[5pt] &\approx& 149,84 \end{array}$
Träger $3$ ist ca. $149,84\,\text{m}$ lang.
1.7
$\blacktriangleright$  Anteil ermitteln
Im folgenden soll $E$ das Ereignis beschreiben, dass ein Lichtpaneel eingebaut wird, entsprechend $\overline{E},$ dass es nicht eingebaut wird. $S$ beschreibt das Ereignis, dass ein Lichtpaneel sofort eingebaut wird, $\overline{S}$, dass es nicht sofort eingebaut wird.
Abb. 5: Baumdiagramm
Abb. 5: Baumdiagramm
Mit den Pfadregeln ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(E)&=& P(S)\cdot P_S(E)+P(\overline{S})\cdot P_{\overline{S}}(E) \\[5pt] &=& 0,85\cdot 1 + 0,15\cdot 0,7 \\[5pt] &=& 0,955 \\[5pt] &=& 95,5\,\% \end{array}$
$ P(E)= 95,5\,\%$
$95,5\,\%$ aller gelieferten Lichtpaneele können eingebaut werden.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Mit dem Satz von Bayes und den Pfadregeln ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P_E(\overline{S})&=& \dfrac{P_{\overline{S}}(E)\cdot P(\overline{S})}{P(E)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,7\cdot 0,15}{0,955} \\[5pt] &\approx& 0,1099 \\[5pt] &=& 10,99\,\% \end{array}$
$ P_E(\overline{S})\approx 10,99\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $10,99\,\%$ handelt es sich bei einem zufällig ausgewählten eingebauten Lichtpaneel um ein überarbeitetes.
#baumdiagramm#pfadregeln#satzvonbayes
1.8
$\blacktriangleright$  Erwartete Anzahl der Lichtpaneele ermitteln
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ welche die Funktionsdauer der eingebauten Lichtpaneele beschreibt. Diese ist laut Aufgabenstellung normalverteilt mit dem Erwartungswert $\mu = 8$ Jahre und $\sigma= 9$ Monate $= 0,75$ Jahre.
Die Wahrscheinlichkeit $P(X\leq 6 )$ ergibt sich durch die Verteilungsfunktion $\Phi$ der Standardnormalverteilung und der zugehörigen Tabelle im Material:
$\begin{array}[t]{rll} P\left(X\leq 8\right)&=& P\left(\dfrac{X-\mu}{\sigma}\leq \dfrac{6-\mu}{\sigma}\right)\\[5pt] &=& P\left(\dfrac{X-8}{0,75}\leq \dfrac{6-8}{0,75}\right) \\[5pt] &=& P\left(\dfrac{X-8}{0,75}\leq -\dfrac{8}{3}\right) \\[5pt] &=& \Phi\left(-\frac{8}{3}\right) \\[5pt] &\approx& \Phi(-2,67) \\[5pt] &=&1-\Phi(2,67) \\[5pt] &\approx&1- 0,9962\\[5pt] &=& 0,0038 = 0,38\,\% \end{array}$
$ P\left(X\leq 8\right) \approx 0,38\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,38\,\%$ besitzt ein zufällig ausgewähltes eingebautes Lichtpaneel eine Lebensdauer von höchstens $6$ Jahren.
Von den $18.000$ eingebauten Lichtpaneelen haben also erwartungsgemäß $18.000\cdot 0,0038 \approx 68$ Lichtpaneele eine Lebensdauer von höchstens $6$ Jahren.
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[5]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen Casio
Download als Dokument:PDF
1.1
$\blacktriangleright$  Gleichung aufstellen
Der Graph von $g$ entsteht durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der Abszissenachse, also an der $x$-Achse. Für den Funktionsterm bedeutet dies $g(x)=-f(x).$ Die Gleichung der Funktion $g$ ergibt sich also wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&g(x) \\[5pt] &=& -f(x) \\[5pt] &=& -\frac{1}{2}\cdot \sqrt{10.000-x^2} \\[5pt] \end{array}$
$ g(x)=-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{10.000-x^2} $
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass der Punkt $\boldsymbol{P}$ auf beiden Graphen liegt
Der Punkt $P(100\mid 0)$ liegt auf den Graphen von $f$ und $g$, wenn er die Funktionsgleichungen erfüllt, also $f(100)=0$ und $g(100)=0$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} f(100)&=&\frac{1}{2}\cdot \sqrt{10.000-100^2} \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 0 \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] g(100)&=& -\frac{1}{2}\cdot \sqrt{10.000-100^2} \\[5pt] &=& -\frac{1}{2}\cdot 0 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(100)&=& 0 \\[10pt] g(100)&=& 0 \end{array}$
Die Koordinaten von $P$ erfüllen beiden Funktionsgleichungen, wodurch der Punkt $P$ auf den beiden Graphen von $f$ und $g$ liegt.
$\blacktriangleright$  Achsensymmetrie begründen
Der Graph einer Funktion $f$ ist achsensymmetrisch zur Ordinatenachse, wenn $f(x)=f(-x)$ gilt.
$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{10.000- (-x)^2} &\quad \scriptsize \mid\; (-x)^2=x^2 \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{10.000- x^2} \\[5pt] &=&f(x) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=& …\\[5pt] &=&f(x) \end{array}$
Da $f(-x)=f(x)$ gilt, ist der Graph von $f$ achsensymmetrisch zur Ordinatenachse.
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Der maximale Definitionsbereich von $f$ und $g$ ist $D= [-100;100].$ Für $f$ ergibt sich folgende Wertetabelle mit gerundeten Werten:
$x$$0 $$ 25$$50 $$75 $$100 $
$y=f(x)$$ 50$$48,4 $$43,3 $$33,1 $$0$
$x$$y$
$0 $$ 50$
$ 25$$48,4 $
$ 50$$43,3 $
$ 75$$ 33,1$
$ 100$$ 0$
Wegen der Achsensymmetrie des Graphen von $f,$ entsteht der Teil des Graphen von $f$ im vierten Quadranten durch Spiegelung des Teils im ersten Quadranten an der Ordinatenachse.
Der Graph von $g$ entsteht dann durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der Abszissenachse.
Abb. 1: Graphen von $f$ und $g$
Abb. 1: Graphen von $f$ und $g$
1.2
$\blacktriangleright$  Größte Nord-Süd-Ausdehnung bestimmen
Da die Ordinatenachse nach Norden zeigt und der Graph $g$ durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der Abszissenachse entsteht, ergibt sich die größte Nord-Süd-Ausdehnung $d$ der Grundfläche, über den doppelten Betrag des maximalen Funktionswertes von $f$.
Abb. 2: F5 (G-Solv) $\to$ F2: Max
Abb. 2: F5 (G-Solv) $\to$ F2: Max
Da dies die einzige lokale Extremstelle ist und es sich um eine Maximalstelle handelt, ist der Funktionswert von $f$ an der Stelle $x=0$ der größte Funktionswert von $f$ im gesamten maximalen Definitionsbereich $[-100,100].$
$\begin{array}[t]{rll} d&=&2\cdot f(0) \\[5pt] &=& 2\cdot 50\\[5pt] &=& 100\\[5pt] \end{array}$
Die größte Nord-Süd-Ausdehnung der Grundfläche der Multifunktionsarena beträgt $100\,\text{m}.$
#extrempunkt
1.3
$\blacktriangleright$  Volumen der Bodenplatte ermitteln
Das Volumen der Bodenplatte ergibt sich zu
$V = G\cdot h$
wobei $h$ die Höhe bzw. Dicke der Bodenplatte ist, also $h = 0,8\,\text{m}.$ $G$ ist der Flächeninhalt der Grundfläche und kann als Inhalt der Fläche berechnet werden, die die Graphen von $f$ und $g$ in ihrem maximalen Definitionsbereich einschließen. Da der Graph von $g$ gerade die Spiegelung des Graphen von $f$ an der Abszissenachse ist, folgt mit dem Graph-Menü des GTRs:
Abb. 3: F5 (G-Solv) $\to$ F6: $\triangleright$ $\to$ F3: $\int \mathrm dx$ $\to$ F1: $\int \mathrm dx$
Abb. 3: F5 (G-Solv) $\to$ F6: $\triangleright$ $\to$ F3: $\int \mathrm dx$ $\to$ F1: $\int \mathrm dx$
Das Volumen ergibt sich dann wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&G\cdot h \\[5pt] &=& 15.707,96\,\text{m}^2 \cdot 0,8\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 12.566,37\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$
$ V\approx 12.566,37\,\text{m}^3 $
Das Volumen der Bodenplatte beträgt ca. $V= 12.566,37\,\text{m}^3.$
#integral
1.4
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Für $h$ gelten folgende Bedingungen:
  • $h$ ist eine quadratische Funktion, also ist $h(x)=ax^2+bx+c.$
  • Der Graph von $h$ verläuft durch den Punkt $Q(50\mid 0),$ also muss $h(50)=0$ gelten.
  • Der Graph von $h$ verläuft durch den Punkt $R(80\mid f(80)),$ also muss $h(80)=f(80)$ gelten.
  • Der Graph von $h$ trifft im Punkt $R$ senkrecht auf die nördliche Begrenzungslinie, also den Graphen von $f$. Für die Steigung an dieser Stelle muss daher gelten $h'(80)=-\dfrac{1}{f'(80)}$
Es ist:
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& ax^2+bx+c\\[5pt] h'(x)&=& 2ax+b \end{array}$
Für die benötigten Werte von $f$ ergibt sich mit der Kettenregel für Ableitungen:
$\begin{array}[t]{rll} f(80)&=& 30\\[10pt] f'(x)&=& \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\sqrt{10.000-x^2}}\cdot (-2x) \\[5pt] &=& \dfrac{-x}{2\sqrt{10.000-x^2}} \\[10pt] f'(80)&=& \dfrac{-80}{2\sqrt{10.000-80^2}} \\[5pt] &=& -\frac{2}{3} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(80)&=& 30\\[10pt] f'(x)&=& \dfrac{-x}{2\sqrt{10.000-x^2}} \\[10pt] f'(80)&=& -\frac{2}{3} \\[5pt] \end{array}$
Damit ergibt sich also folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0&=& a\cdot 50^2+b\cdot 50+c\\ &0&=& 2.500a+50b+c\\[5pt] \text{II}\quad&30&=& a\cdot 80^2+b\cdot 80 +c \\ &30&=& 6.400a+80b +c \\[5pt] \text{III}\quad& -\dfrac{1}{-\frac{2}{3}}&=& 2a\cdot 80+b\\ & \frac{3}{2}&=& 160a+b\\ \end{array}$
Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \text{III}\quad \frac{3}{2}&=& 160a+b \\[5pt] b&=& \frac{3}{2}-160a \\[5pt] \end{array}$
Einsetzen in $\text{II}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad 30 &=& 6.400a+80b +c \\[5pt] 30 &=& 6.400a+80\cdot \left( \frac{3}{2}-160a\right) +c \\[5pt] 30&=&6.400a+120 -12.800a+c \\[5pt] 30&=&-6.400a+120+c &\quad \scriptsize \mid\;-30 \\[5pt] 0&=& -6.400a+90+c \\[5pt] c&=& 6.400a-90 \\[5pt] \end{array}$
$ c = 6.400a-90 $
Einsetzen in $\text{I}$:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad 0&=& 2.500a+50b+c \\[5pt] 0&=& 2.500a+50\cdot \left( \frac{3}{2}-160a\right)+ 6.400a-90 \\[5pt] 0&=& 2.500a +75-8.000a +6.400a-90 \\[5pt] 0&=& 900a-15&\quad \scriptsize \mid\;+15 \\[5pt] 15&=& 900a&\quad \scriptsize \mid\;:900 \\[5pt] \frac{1}{60}&=&a \end{array}$
$ \frac{1}{60}=a $
Damit ergibt sich für $b$ und $c:$
$\begin{array}[t]{rll} b&=& \frac{3}{2}-160\cdot \frac{1}{60}\\[5pt] &=& -\frac{7}{6} \\[10pt] c&=& 6.400a-90 \\[5pt] &=& \frac{50}{3} \end{array}$
Eine Gleichung der Funktion $h$ lautet
$y = h(x)=\frac{1}{60}x^2- \frac{7}{6}x+\frac{50}{3}.$
$y = h(x)=\frac{1}{60}x^2- \frac{7}{6}x+\frac{50}{3}.$
1.5
$\blacktriangleright$  Volumen des Raumes bestimmen
Da die Dachfläche durch Rotation des Graphen von $f$ um die Abszissenachse beschrieben werden kann, entspricht der Raum dem halben Rotationskörper, der durch die Rotation des Graphen von $f$ entsteht. Das Volumen des Raumes ergibt sich daher mit der Formel für das Rotationsvolumen wie folgt:
Abb. 4: Graph von $f^2$
Abb. 4: Graph von $f^2$
Das Volumen des kuppelförmigen Raumen beträgt ca. $523.599\,\text{m}^3.$
1.6
$\blacktriangleright$  Länge des dritten Trägers berechnen
Die sieben Träger verlaufen entlang von Halbkreisen. Diese Halbkreise entstehen durch Schnitte durch die Dachfläche, die senkrecht zur Abszissenachse sind.
Diese sieben Schnitte befinden sich an sieben verschiedenen Stellen $x_1,$ $x_2,$ …$x_7$ der Abszissenachse. Dabei haben je zwei nebeneinanderliegende Schnitte den gleichen Abstand voneinander.
Die Länge $l_i$ des Trägers $i$ kann über die Hälfte des Umfangs $U_i$ des Kreises berechnet werden, der bei der Rotation des Graphen von $f$ an der Stelle $x_i$ entsteht. Der Radius $r_i$ des jeweiligen Kreises ist der Funktionswert $f(x_i).$
$\begin{array}[t]{rll} l_i&=& \frac{1}{2}U_i \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 2\pi\cdot r_i \\[5pt] &=& \pi \cdot f(x_i) \end{array}$
$ l_i = \pi \cdot f(x_i)$
Aus der Länge des ersten und siebten Trägers lässt sich die Position dieser berechnen:
Abb. 5: F5 (G-Solv) $\to$ F6: $\triangleright$ $\to$ F2: X-CAL
Abb. 5: F5 (G-Solv) $\to$ F6: $\triangleright$ $\to$ F2: X-CAL
Da die Träger im gleichen Abstand zueinander verlaufen, befinden sich die sieben Träger an den folgenden Positionen:
$x_1 = -90, $ $x_2= -60,$ $x_3= -30,$ $x_4= 0,$ $x_5=30,$ $x_6= 60$ und $x_7 = 90$
Die Länge $l_3$ des dritten Trägers ergibt sich daher zu:
$\begin{array}[t]{rll} l_3&=& \pi \cdot f(x_3) \\[5pt] &=& \pi \cdot f(-30) &\quad \scriptsize \mid\; GTR\\[5pt] &\approx& 149,84 \end{array}$
Träger $3$ ist ca. $149,84\,\text{m}$ lang.
1.7
$\blacktriangleright$  Anteil ermitteln
Im folgenden soll $E$ das Ereignis beschreiben, dass ein Lichtpaneel eingebaut wird, entsprechend $\overline{E},$ dass es nicht eingebaut wird. $S$ beschreibt das Ereignis, dass ein Lichtpaneel sofort eingebaut wird, $\overline{S}$, dass es nicht sofort eingebaut wird.
Abb. 6: Baumdiagramm
Abb. 6: Baumdiagramm
Mit den Pfadregeln ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(E)&=& P(S)\cdot P_S(E)+P(\overline{S})\cdot P_{\overline{S}}(E) \\[5pt] &=& 0,85\cdot 1 + 0,15\cdot 0,7 \\[5pt] &=& 0,955 \\[5pt] &=& 95,5\,\% \end{array}$
$ P(E)= 95,5\,\%$
$95,5\,\%$ aller gelieferten Lichtpaneele können eingebaut werden.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Mit dem Satz von Bayes und den Pfadregeln ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P_E(\overline{S})&=& \dfrac{P_{\overline{S}}(E)\cdot P(\overline{S})}{P(E)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,7\cdot 0,15}{0,955} \\[5pt] &\approx& 0,1099 \\[5pt] &=& 10,99\,\% \end{array}$
$ P_E(\overline{S})\approx 10,99\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $10,99\,\%$ handelt es sich bei einem zufällig ausgewählten eingebauten Lichtpaneel um ein überarbeitetes.
#baumdiagramm#pfadregeln#satzvonbayes
1.8
$\blacktriangleright$  Erwartete Anzahl der Lichtpaneele ermitteln
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ welche die Funktionsdauer der eingebauten Lichtpaneele beschreibt. Diese ist laut Aufgabenstellung normalverteilt mit dem Erwartungswert $\mu = 8$ Jahre und $\sigma= 9$ Monate $= 0,75$ Jahre.
Die Wahrscheinlichkeit $P(X\leq 6 )$ ergibt sich durch die Verteilungsfunktion $\Phi$ der Standardnormalverteilung und der zugehörigen Tabelle im Material:
$\begin{array}[t]{rll} P\left(X\leq 8\right)&=& P\left(\dfrac{X-\mu}{\sigma}\leq \dfrac{6-\mu}{\sigma}\right)\\[5pt] &=& P\left(\dfrac{X-8}{0,75}\leq \dfrac{6-8}{0,75}\right) \\[5pt] &=& P\left(\dfrac{X-8}{0,75}\leq -\dfrac{8}{3}\right) \\[5pt] &=& \Phi\left(-\frac{8}{3}\right) \\[5pt] &\approx& \Phi(-2,67) \\[5pt] &=&1-\Phi(2,67) \\[5pt] &\approx&1- 0,9962\\[5pt] &=& 0,0038 = 0,38\,\% \end{array}$
$ P\left(X\leq 8\right) \approx 0,38\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,38\,\%$ besitzt ein zufällig ausgewähltes eingebautes Lichtpaneel eine Lebensdauer von höchstens $6$ Jahren.
Von den $18.000$ eingebauten Lichtpaneelen haben also erwartungsgemäß $18.000\cdot 0,0038 \approx 68$ Lichtpaneele eine Lebensdauer von höchstens $6$ Jahren.
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[6]
© 2017 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App